北师大版 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列第六单元：商的变化规律和商不变的性质专项练习(原卷版+解析)

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2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列第六单元：商的变化规律和商不变的性质专项练习1．9÷3＝( )45÷15＝( )90÷30＝( )180÷60＝( )900÷300＝( )我发现：被除数和除数都( )或( )一个( )的数（0除外），商不变。2．在◯里填上适当的运算符号，在□里填上适当的数。（1）180÷16＝（180◯□）÷（16÷4）（2）280÷40＝（280÷20）÷（40◯□）（3）960÷16＝（960×5）÷（16◯□）（4）180÷15＝（180÷3）÷（15◯□）3．根据“100÷25＝4”和商不变的规律在横线上填上合适的数。(1)（100×2）÷（25× ）＝4(2)（100÷5）÷（25÷ ）＝4(3)（100×4）÷（25× ）＝4(4)（100÷25）÷（25÷ ）＝44．在624÷26＝24算式中，如果商变为12，被除数不变，除数要( )。5．A÷B＝30，那么（A×2）÷（B×2）＝( )；（A÷6）÷（B÷6）＝( )。6．在〇里填上适当的符号，在□里填上适当的数。250÷25＝（250÷5）÷（25〇□）        300÷15＝（300×3）÷（15〇□）7．根据80÷5＝16，可知800÷5＝( )，800÷50＝( )。8．两数相除，商是5，余数是3，如果被除数和除数同时乘10，商是( )，余数是( )。9．两数相除的商是12，如果被除数和除数都除以3，现在的商是( )。10．两个数相除的商是29，若被除数和除数同时乘100，则商是( )；若被除数和除数同时除以10，则商是( )。11．已知A－B＝460，则（A＋100）－（B－100）＝( )。已知A×B＝600，则（A÷4）×（B×4）＝( )。已知A÷B＝31……6，若A、B同时乘4，此时商是( )，余数是( )。12．在A÷28＝16中，如果被除数不变，除数乘2，那么现在的商应该是( )。13．已知“△×★＝320”，若把△和★同时乘10，则积是( )；已知“a÷b＝24”，如果把a除以3，b不变，则商应为( )，若要使商不变，则b应该( )。14．在除法里，两个数相除的商是16，如果被除数和除数都扩大13倍，商是( )。15．在除法算式A÷B＝12中，如果A和B同时乘5，商是( )；如果A乘5，B不变，商是( )。16．在除法算式420÷70＝6中，被除数乘10，要使商不变，除数应该乘( )。17．两数相乘积是60，如果一个乘数乘2，另一个乘数乘3，那么积是( )；如果两数相除商是60，被除数和除数都乘2，那么商是( )。18．在括号里填上适当的数，使计算简便。19．两个数的商是60，如果被除数扩大到原来的10倍，除数不变，那么商是( )；如果除数扩大到原来的10倍，被除数不变，商是( )。如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商是( )。20．根据第一道算式，直接写出第二、第三道算式的得数。因为，所以( )；( )，这是利用了( )的规律。21．25÷8＝3……1，若将被除数和除数同时乘10，则商是( )，余数是( )。22．A÷B＝7……3，如果将A、B同时乘100，那么现在商是( )，余数是( )。23．两数相除，商是23，余数是3，如果被除数和除数同时乘200，则商是( )，余数是( )。24．明明在计算一道除法算式，在被除数和除数后面同时去掉2个“0”，算得的商和余数都是8，这道除法算式的商是( )，余数是( )。25．□÷34＝12……□，余数最大是( )，这时被除数是( )；如果被除数和除数都乘10，那么这时商是( )，余数是( )。26．□÷△＝○……5，如果□和△同时乘2，那么商是( )，余数是( )。27．两个数相除的商是8，余数是6，被除数和除数同时乘10，商是( )，余数是( )。28．两数相除，商是3，余数是2，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是( )，余数是( )。29．两个数相除，商是8，余数是5，如果被除数扩大到原来的3倍，除数也扩大到原来的3倍，那么商是( )，余数是( )。30．已知，如果A和B同时乘10，那么，商是( )，余数是( )。2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列第六单元：商的变化规律和商不变的性质专项练习1．9÷3＝( )45÷15＝( )90÷30＝( )180÷60＝( )900÷300＝( )我发现：被除数和除数都( )或( )一个( )的数（0除外），商不变。【答案】 3 3 3 3 3 乘 除以 相同【分析】被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。【详解】45÷15＝（9×5）÷（3×5）＝9÷3＝390÷30＝（9×10）÷（3×10）＝9÷3＝3180÷60＝（9×20）÷（3×20）＝9÷3＝3900÷300＝（9×100）÷（3×100）＝9÷3＝39÷3＝（3）45÷15＝（3）90÷30＝（3）180÷60＝（3）900÷300＝（3） 我发现：被除数和除数都（乘）或（除以）一个（相同）的数（0除外），商不变。【点睛】熟记商不变的规律是解题关键。2．在◯里填上适当的运算符号，在□里填上适当的数。（1）180÷16＝（180◯□）÷（16÷4）（2）280÷40＝（280÷20）÷（40◯□）（3）960÷16＝（960×5）÷（16◯□）（4）180÷15＝（180÷3）÷（15◯□）【答案】（1）÷；4（2）÷；20（3）×；5（4）÷；3【分析】商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）相同的不为0的数，商不变，据此解答。【详解】根据商不变的规律可得：（1）等式右边的除数除以4，要使商不变，那么被除数也要除以4，如下：180÷16＝（180÷4）÷（16÷4）（2）等式右边的被除数除以20，要使商不变，那么除数也要除以20，如下：280÷40＝（280÷20）÷（40÷20）（3）等式右边的被除数乘5，要使商不变，那么除数也要乘5，如下：960÷16＝（960×5）÷（16×5）（4）等式右边的被除数除以3，要使商不变，那么除数也要除以3，如下：180÷15＝（180÷3）÷（15÷3）【点睛】本题考查对商不变规律的理解及运用，要熟练掌握。3．根据“100÷25＝4”和商不变的规律在横线上填上合适的数。(1)（100×2）÷（25× ）＝4(2)（100÷5）÷（25÷ ）＝4(3)（100×4）÷（25× ）＝4(4)（100÷25）÷（25÷ ）＝4【答案】(1)2(2)5(3)4(4)25【分析】商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）相同的不为0的数，商不变，据此解答。【详解】（1）已知100÷25＝4，被除数乘2，除数也要乘2，商不变，即：（100×2）÷（25×2）＝200÷50＝4（2）已知100÷25＝4，被除数除以5，除数也要除以5，商不变，即：（100÷5）÷（25÷5）＝20÷5＝4（3）已知100÷25＝4，被除数乘4，除数也要乘4，商不变，即：（100×4）÷（25×4）＝400÷100＝4（4）已知100÷25＝4，被除数除以25，除数也要除以25，商不变，即：（100÷25）÷（25÷25）＝4÷1＝4【点睛】本题考查对商不变规律的理解及运用，要熟练掌握。4．在624÷26＝24算式中，如果商变为12，被除数不变，除数要( )。【答案】乘2【分析】被除数不变，商除以几，那么除数要乘几；据此解答。【详解】根据分析：24÷12＝2，商从24变为12是除以2，被除数不变，那么除数要乘2。【点睛】本题考查的是商的变化规律。5．A÷B＝30，那么（A×2）÷（B×2）＝( )；（A÷6）÷（B÷6）＝( )。【答案】 30 30【分析】在商不为0的除法算式里，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变；依此填空即可。【详解】根据分析可知，A÷B＝30，那么（A×2）÷（B×2）＝30；（A÷6）÷（B÷6）＝30。【点睛】熟练掌握商不变的规律，是解答此题的关键。6．在〇里填上适当的符号，在□里填上适当的数。250÷25＝（250÷5）÷（25〇□）        300÷15＝（300×3）÷（15〇□）【答案】÷；5；×；3【分析】根据在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，即可解题。【详解】由分析可知：250÷25＝（250÷5）÷（25÷5）    300÷15＝（300×3）÷（15×3）【点睛】本题主要考查了商的变化规律，需熟练掌握。7．根据80÷5＝16，可知800÷5＝( )，800÷50＝( )。【答案】 160 16【分析】在除法算式中，除数不变，被除数乘或除以几（0除外），商就乘或除以相同的数；商不变性质是：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。【详解】根据80÷5＝16，可知800÷5＝160，800÷50＝16。【点睛】此题主要考查了商的变化规律及商不变性质的运用。8．两数相除，商是5，余数是3，如果被除数和除数同时乘10，商是 ，余数是 。【答案】 5 30【分析】商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以同一个数。据此解答。【详解】两数相除，如果被除数和除数同时乘10，商不变，还是5。余数乘10，变为30。【点睛】熟练掌握商的变化规律是解决本题的关键。9．两数相除的商是12，如果被除数和除数都除以3，现在的商是( )。【答案】12【分析】商不变的规律：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。【详解】根据商不变的规律可知：两数相除的商是12，如果被除数和除数都除以3，现在的商是12。【点睛】此题主要考查商不变的规律的灵活应用，注意“同时”、“相同的数”的词语。10．两个数相除的商是29，若被除数和除数同时乘100，则商是( )；若被除数和除数同时除以10，则商是( )。【答案】 29 29【分析】商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变，据此解答。【详解】两个数相除的商是29，若被除数和除数同时乘100，则商不变，是29；若被除数和除数同时除以10，则商不变，是29。【点睛】熟练掌握商的变化规律是解决本题的关键。11．已知A－B＝460，则（A＋100）－（B－100）＝( )。已知A×B＝600，则（A÷4）×（B×4）＝( )。已知A÷B＝31……6，若A、B同时乘4，此时商是( )，余数是( )。【答案】 660 600 31 24【分析】在减法算式中，被减数增加100，减数减少100，则差就增加（100＋100）。在乘法算式里，两个因数都不为0时，一个因数除以几（不为0），另一个因数乘前面一个因数除以的数，积的大小不变。在有余数的除法算式里，被除数和除数同时乘4，那么商不变，余数也要乘4，依此计算并填空即可。【详解】100＋100＝200；460＋200＝660，则（A＋100）－（B－100）＝660。已知A×B＝600，则（A÷4）×（B×4）＝600。6×4＝24，已知A÷B＝31……6，若A、B同时乘4，此时商是31，余数是24。【点睛】熟练掌握差、积、商的变化规律，是解答此题的关键。12．在A÷28＝16中，如果被除数不变，除数乘2，那么现在的商应该是( )。【答案】8【分析】被除数不变，商随除数变化的规律：除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。【详解】16÷2＝8所以，在A÷28＝16中，如果被除数不变，除数乘2，那么现在的商应该是8。【点睛】此题考查了商的变化规律的灵活运用。注意：被除数不变时，商和除数的变化正好相反。13．已知“△×★＝320”，若把△和★同时乘10，则积是( )；已知“a÷b＝24”，如果把a除以3，b不变，则商应为( )，若要使商不变，则b应该( )。【答案】 32000 8 除以3【分析】当两个因数同时乘（或除以）一个数（0除外）时，积就要乘（或除以）两次这个数；除数不变，商随被除数变化的规律：被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几；商不变的规律：被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。【详解】320×10×10＝3200×10＝3200024÷3＝8已知“△×★＝320”，若把△和★同时乘10，则积是32000；已知“a÷b＝24”，如果把a除以3，b不变，则商应为8，若要使商不变，则b应该除以3。【点睛】熟练掌握积的变化规律和商不变的规律是解答本题的关键。14．在除法里，两个数相除的商是16，如果被除数和除数都扩大13倍，商是( )。【答案】16【分析】商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。据此解答即可。【详解】在除法里，两个数相除的商是16，如果被除数和除数都扩大13倍，商不变，所以商还是16。【点睛】本题考查了商不变规律的灵活运用。15．在除法算式A÷B＝12中，如果A和B同时乘5，商是( )；如果A乘5，B不变，商是( )。【答案】 12 60【分析】①商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变；②商的变化规律：除数不变，被除数扩大几倍，商也扩大几倍；除数不变，被除数缩小为原来的几分之一，商也缩小为原来的几分之一；据此解答。【详解】根据分析：①如果A和B同时乘5，商是12；②12×5＝60，所以如果A乘5，B不变，商是60。【点睛】掌握商的变化规律是解答本题的关键。16．在除法算式420÷70＝6中，被除数乘10，要使商不变，除数应该乘( )。【答案】10【分析】根据在除法算式中，被除数和除数同时扩大相同的倍数（0除外），商不变，即可解题。【详解】由分析可知，在除法算式420÷70＝6中，被除数乘10，要使商不变，除数必须乘10。【点睛】本题主要考查了商的变化规律，需熟练掌握。17．两数相乘积是60，如果一个乘数乘2，另一个乘数乘3，那么积是( )；如果两数相除商是60，被除数和除数都乘2，那么商是( )。【答案】 360 60【分析】两个因数相乘，一个因数乘m或除以m（0除外），另一个因数乘n或除以n（0除外），积就乘mn或除以mn；被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。【详解】60×（2×3）＝60×6＝36060×（2÷2）＝60×1＝60两数相乘积是60，如果一个乘数乘2，另一个乘数乘3，那么积是（ 360  ）；如果两数相除商是60，被除数和除数都乘2，那么商是（ 60 ）。【点睛】熟练掌握积的变化规律和商的变化规律是解决此题的关键。18．在括号里填上适当的数，使计算简便。【答案】见详解【分析】根据商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，据此即可求解。【详解】【点睛】本题考查商的变化规律。19．两个数的商是60，如果被除数扩大到原来的10倍，除数不变，那么商是( )；如果除数扩大到原来的10倍，被除数不变，商是( )。如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商是( )。【答案】 600 6 60【分析】除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商就乘（或除以）几；被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商就除以（或乘）几；被除数和除数同时乘（或除以）几（0除外），商不变。【详解】两个数的商是60，如果被除数扩大到原来的10倍（即被除数乘10），除数不变，那么商是60×10＝600；如果除数扩大到原来的10倍（即除数乘10），被除数不变，商是60÷10＝6；如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍（即被除数、除数同时乘10），商是60 。【点睛】熟练掌握商的变化规律是解答本题的关键。20．根据第一道算式，直接写出第二、第三道算式的得数。因为，所以( )；( )，这是利用了( )的规律。【答案】 8 8 商不变【分析】商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变，据此解答。【详解】因为，所以8；8，这是利用了商不变的规律。【点睛】熟练掌握商不变的规律是解答此题的关键。21．25÷8＝3……1，若将被除数和除数同时乘10，则商是( )，余数是( )。【答案】 3 10【分析】被除数和除数同时乘（或除以）几（0除外），则商不变，余数要同时乘（或除以）相同的数。【详解】25÷8＝3……1，若将被除数和除数同时乘10，则商是3，余数是10。【点睛】熟练掌握商和余数的变化规律是解答本题的关键。22．A÷B＝7……3，如果将A、B同时乘100，那么现在商是( )，余数是( )。【答案】 7 300【分析】有余数的除法算式里，被除数和除数同时乘100，那么商不变，余数也乘100，依此填空。【详解】A÷B＝7……3，如果将A、B同时乘100，那么现在商是7，余数是3×100＝300。【点睛】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。23．两数相除，商是23，余数是3，如果被除数和除数同时乘200，则商是( )，余数是( )。【答案】 23 600【分析】被除数和除数同时乘（或除以）几（0除外），商不变，余数也要乘（或除以）相同的数。【详解】两数相除，商是23，余数是3，如果被除数和除数同时乘200，则商是23，余数是600。【点睛】熟练掌握商和余数的变化规律是解答本题的关键。24．明明在计算一道除法算式，在被除数和除数后面同时去掉2个“0”，算得的商和余数都是8，这道除法算式的商是( )，余数是( )。【答案】 8 800【分析】在有余数的除法中，“被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变，但余数也随着除以或乘相同的数”，据此可知，在被除数和除数后面同时去掉2个“0”后即同时除以100，商不变，但余数也要除以100后是8，可求出正确的余数。【详解】这道除法算式的商不变，仍然是8；被除数和除数同时除以100后，余数也除以了100，所以余数应为：。【点睛】解答此题的关键之处在于明确：被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变，但余数也随着除以或乘相同的数。25．□÷34＝12……□，余数最大是( )，这时被除数是( )；如果被除数和除数都乘10，那么这时商是( )，余数是( )。【答案】 33 441 12 330【分析】由题意可得，根据“余数小于除数”可得余数最大值，再根据：被除数＝除数×商＋余数求得被除数；在后根据商不变规律：如果被除数和除数同时乘（除以）一个不为0的数，则商不变，据此填空即可。【详解】因为余数小于除数，所以余数最大为33；当余数为33时，被除数＝34×12＋33＝408＋33＝441如果被除数和除数都乘10，那么这时商是12，余数是330。【点睛】此题考查了商不变的规律，关键是明确：如果被除数和除数同时乘（除以）一个不为0的数，则商不变即可。26．□÷△＝○……5，如果□和△同时乘2，那么商是( )，余数是( )。【答案】 ○ 10【分析】商的变化规律：被除数和除数同时扩大相同倍数或缩小为原来的几分之几，商不变，余数也同时扩大相同倍数或缩小为原来的几分之几。据此解答即可。【详解】□÷△＝○……5，如果□和△同时乘2，那么商是○，余数是10。【点睛】熟练掌握商的变化规律是解决本题的关键。27．两个数相除的商是8，余数是6，被除数和除数同时乘10，商是( )，余数是( )。【答案】 8 60【分析】根据在有余数的除法，被除数和被除数和除数同时乘10，商不变，余数也乘10，据此解答。【详解】两个数相除的商是8，余数是6，被除数和除数同时乘10，商是8，余数是60。【点睛】清楚余数的变化是解答此题的关键。28．两数相除，商是3，余数是2，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是( )，余数是( )。【答案】 3 20【分析】商的变化规律：被除数和除数同时扩大相同倍数或缩小为原来的几分之几，商不变，余数也同时扩大相同倍数或缩小为原来的几分之几。据此解答即可。【详解】两数相除，商是3，余数是2，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是3，余数是20。【点睛】熟练掌握商的变化规律是解决本题的关键。29．两个数相除，商是8，余数是5，如果被除数扩大到原来的3倍，除数也扩大到原来的3倍，那么商是( )，余数是( )。【答案】 8 15【分析】被除数和除数同时扩大相同的不为0的数，商不变，余数也扩大原来的几倍，据此解答。【详解】两个数相除，商是8，余数是5，如果被除数扩大到原来的3倍，除数也扩大到原来的3倍，那么商是8，余数是15。【点睛】清楚商和余数的变化是解答此题的关键。30．已知，如果A和B同时乘10，那么，商是( )，余数是( )。【答案】 8 30【分析】有余数的除法算式里，被除数和除数同时乘10，那么商不变，余数也乘10，依此填空。【详解】已知，如果A和B同时乘10，那么，商是8；余数是：3×10＝30【点睛】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。