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北师大版2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列第一单元圆面积篇【十五大考点】(原卷版+解析)
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这是一份北师大版2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列第一单元圆面积篇【十五大考点】(原卷版+解析)，共73页。
篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份，编者也常常为此苦恼。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样？再结合自身教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学讲解，又适宜课后作业练习，还适宜阶段复习的大综合系列。《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！2023年9月20日2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列第一单元圆·面积篇【十五大考点】专题解读本专题是第一单元圆·面积篇。本部分内容考察圆面积的计算公式及实际应用，部分考点和题型难度较大，可选择性讲解，总体建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十五个考点，欢迎使用。目录导航目录TOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc22264" 【考点一】圆与长方形的拼切转化问题（圆面积转化推导公式） PAGEREF _Toc22264 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20317" 【考点二】圆的面积 PAGEREF _Toc20317 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc31436" 【考点三】已知周长，求圆的面积 PAGEREF _Toc31436 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc18969" 【考点四】半圆的面积 PAGEREF _Toc18969 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc30998" 【考点五】半圆的实际应用 PAGEREF _Toc30998 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc8285" 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题 PAGEREF _Toc8285 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11518" 【考点七】面积的比较问题 PAGEREF _Toc11518 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc25130" 【考点八】半径、直径和周长、面积的倍数关系 PAGEREF _Toc25130 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc18986" 【考点九】半径、直径和周长、面积的比例关系 PAGEREF _Toc18986 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc29068" 【考点十】半径、直径和周长、面积的增减变化问题 PAGEREF _Toc29068 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc15217" 【考点十一】长方形与最圆问题 PAGEREF _Toc15217 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc17171" 【考点十二】外方内圆与外圆内方（正方形与最圆问题。 PAGEREF _Toc17171 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc19437" 【考点十三】圆面积与指针问题 PAGEREF _Toc19437 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc8975" 【考点十四】圆环的面积问题其一：整圆环 PAGEREF _Toc8975 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc5574" 【考点十五】圆环的面积问题其二：半圆环 PAGEREF _Toc5574 \h 18典型例题【考点一】圆与长方形的拼切转化问题（圆面积转化推导公式）。【方法点拨】把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母πr表示，宽相当于圆的半径，用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr2。【典型例题1】基础型。把圆按下图所示的顺序逐步细分，拼成长方形的样子。这样细分下去，圆的面积就是a和b的积。从图中可以看出： (1)a是圆的( )。(2)b是圆的( )。(3)如果a＝2厘米，这个圆的面积为( )。【对应练习1】把一个圆平均分成若干份，正好可以拼成宽为4cm的长方形，这个长方形的长是( )cm，原来圆的面积是( )cm2。【对应练习2】将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是( )cm2。 【对应练习3】如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。 【典型例题2】拓展型。把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为41.4cm，这个圆的面积是( )。【对应练习1】把一个圆切割后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长为24.84厘米，原来这个圆的面积是( )平方厘米。【对应练习2】把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形（如右图）。已知这个近似长方形的周长是24.84厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。（π取3.14）【对应练习3】如下图，把一个圆等分后拼成一个近似长方形，这个长方形的周长是33.12厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米。与近似长方形周长关系，求出圆的半径，解答问题。【考点二】圆的面积。【方法点拨】圆的面积S=πr2。【典型例题】用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是4cm，所画出圆面积是( )cm2。【对应练习1】一个圆形游泳池的半径是5m，它的周长是( )m，面积是( )m2。【对应练习2】小明用圆规画一个圆，圆规两脚张开的距离是3厘米，画出的圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。【对应练习3】圆的半径是3米，它的直径是( )米，周长是( )米，面积是( )平方米。（π取3.14）【考点三】已知周长，求圆的面积。【方法点拨】已知圆的周长，先求出圆的半径，再根据圆的面积公式求面积。【典型例题】用圆规画一个周长是15.7厘米的圆，圆规两脚间叉开的距离应是( )厘米，该圆的面积是( )平方厘米。【对应练习1】画一个周长62.8厘米的圆，圆规两脚间的距离是( )厘米，画成的圆的面积是( )平方厘米。【对应练习2】一个圆形铁板的周长是12.56米，它的半径是( )米，面积是( )平方米。【对应练习3】大戏院门店有一根圆柱子，柱子的外围周长是314cm，它的横截面面积是( )cm2。【考点四】半圆的面积。【方法点拨】半圆的面积：S半圆=πr2÷2。【典型例题】一个半圆半径为3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。【对应练习1】直径是4厘米的半圆，它的周长是( )，面积是( )。【对应练习2】把一张周长是18.84dm的圆形纸片对折成半圆，这个半圆的周长是( )dm，面积是( )dm2。【对应练习3】一个周长为20.56 cm的半圆，它半径是( )cm，面积是( )cm²。【考点五】半圆的实际应用。【方法点拨】半圆的面积：S半圆=πr2÷2。【典型例题】李奶奶用15.7米长的篱笆靠墙围成一个半圆形的菜园，这个菜园的面积是( )。【对应练习1】李奶奶家的养鸡场（如图），一面靠墙，一面用竹篱笆围成半圆，它的半径是6m。（1）修这个养鸡场用了多长的竹篱笆？（2）李奶奶要扩建这个养鸡场，把它的半径增加2m。养鸡场的面积会增加多少？【对应练习2】东东家有一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场，这个半圆的直径是8米，篱笆长多少米？鸡场占地多少平方米？【对应练习3】王奶奶用78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占地面积是多少平方米？【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题。【方法点拨】用同一根铁丝围成正方形、正方形或圆，周长不变，借此求面积。【典型例题1】等长转化其一。一根铁丝围成了一个边长7.85厘米的正方形（接头不计），如果把这根铁丝围成最大的圆（接头不计），圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。【对应练习1】一根铁丝可以围成一个边长为1.57dm的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆形，那么这个圆形的面积是( )dm2。【对应练习2】两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长是6.28厘米，圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。【对应练习3】用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是( )平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )平方厘米。【典型例题2】等长转化其二。一根铁丝刚好能围成一个长8厘米，宽4.56厘米的长方形。如果将这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积有多少平方厘米？【对应练习1】一段铁丝刚好能围成一个长10.5厘米、宽2.06厘米的长方形，用同样长的铁丝围成一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？【对应练习2】一根铁丝围成一个长10cm，宽5.7cm的长方形，用这根铁丝再围成一个最大的圆形，这个圆形的面积是多少?【考点七】面积的比较问题。【方法点拨】周长相等的图形（长方形、正方形、圆）中，圆的面积最大。【典型例题】有一根628厘米长的铁丝，如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？【对应练习1】用三根同样长的铁丝分别围成一个圆、一个长方形和一个正方形，其中( )的面积最大。【对应练习2】把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。【对应练习3】把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。【考点八】半径、直径和周长、面积的倍数关系。【方法点拨】在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数的平方倍。【典型例题1】倍数关系其一。圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。【对应练习1】一个圆的半径扩大4倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。【对应练习2】一个圆的周长扩大5倍，它的直径扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。【对应练习3】一个圆的半径扩大a倍，直径扩大( )倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。【典型例题2】倍数关系其二。大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的( )，大圆面积是小圆面积的( )倍。【对应练习1】有大小两个圆，大圆直径是小圆直径的3倍，那么大圆周长是小圆周长的( )倍；小圆面积是大圆面积的( )。（填几分之几）【对应练习2】大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，小圆面积是大圆面积的( )。【对应练习3】大圆半径是小圆半径的5倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。【考点九】半径、直径和周长、面积的比例关系。【方法点拨】1.两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。2.圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。【典型例题1】比例关系其一。两圆的半径之比，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。【对应练习1】两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是( )cm。【对应练习2】小圆直径8厘米，大圆半径6厘米，小圆和大圆直径之比是( )；小圆和大圆周长比是( )；小圆和大圆的面积比是( )。【对应练习3】已知小圆半径是大圆半径的，则小圆与大圆的周长之比是( )，如果小圆面积是，则大圆面积是( )。【典型例题2】比例关系其二。如图：大圆半径为8厘米，小圆半径为4厘米，则大圆与小圆的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。【对应练习1】下图是由一个大圆和一个小圆组成的，点O是大圆的圆心。小圆与大圆的半径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。【对应练习2】三个同心圆（如图），已知OA：AB：BC的比是1：2：3，那么这三个圆（从小到大）的周长之比是( )，面积之比是( )。【对应练习3】（如图）如果大圆的半径和小圆的直径相等，那么大圆面积与小圆面积之比是( )。A．2∶1 B．4∶1 C． D．【考点十】半径、直径和周长、面积的增减变化问题。【方法点拨】1.周长的变化：算出增加后圆的周长和原来的周长进行相减得到周长增加的部分。当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。2.面积的变化：算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。【典型例题】一个半径是3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加( )dm，面积增加( )dm2。【对应练习1】圆的半径由4cm增加到5cm，它的周长增加( )cm，它的面积增加( )cm2。（π取3.14）【对应练习2】一个圆的半径是6m，周长是( )m，面积是( )m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加( )m，面积增加( )m2。【对应练习3】用篱笆围一个半圆形养鸡场，一面靠墙，篱笆长15.7米。如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏( )米，则面积增加( )平方米。【考点十一】长方形与最圆问题。【方法点拨】在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。【典型例题】在一张长6cm，宽4cm的长方体纸上画一个最大的圆，那么圆规两脚间的距离是( )厘米；所画圆的面积是( )平方厘米。【对应练习1】在一块长8分米、宽6分米的长方形铁板上，剪掉一个最大的圆，剩下部分的面积是( )平方分米。【对应练习2】在长8cm，宽0.6dm的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。【对应练习3】在一张长8cm、宽6cm的长方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm，面积是( )cm2。【考点十二】外方内圆与外圆内方（正方形与最圆问题）。【方法点拨】1.外方内圆：在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积与正方形面积比为π:4。2.外圆内方：在圆里面画最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线的长，圆的面积与正方形的面积比为π:2。【典型例题1】“外方内圆”。如图，在一张边长10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )，剩余部分的面积是( )。【对应练习1】在一个面积为40平方厘米的正方形里，剪下一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米。【对应练习2】在一张周长20分米的正方形上剪下一个最大的圆，则剩余部分的面积是( )平方分米。【对应练习3】数学课上，小明用边长8cm的正方形纸，小华用边长10cm的正方形纸，各剪了一个最大的圆，小明和小华所剪的圆的周长之比是( )，面积之比是( )。【典型例题2】“外圆内方”。在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是72平方厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。【对应练习1】把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线长8cm，那么这个圆形纸片的面积是( )平方厘米，折起来的部分的面积是( )平方厘米。【对应练习2】在一个周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )平方厘米，这个正方形的面积与这个圆的面积最简单整数比是( )∶( )。【对应练习3】如图，在周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，阴影部分的面积是( )平方厘米。【典型例题3】综合型。如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。【对应练习1】大圆内有一个最大的正方形，正方形内有一个最大的圆，大圆面积和小圆面积的比是( )。A．4∶1 B．200∶157 C．2∶1 D．200∶43【对应练习2】如图，大圆内画一个最大的正方形，正方形内画一个最大的圆…，如此画下去，共画了4个圆，那么，最大的圆的面积是最小的圆的( )倍。A．2 B．4 C．8 D．16【考点十三】圆面积与指针问题。【方法点拨】时针和分针可看作圆的半径，求周长或面积时，应先分析出时针或分针走的圈数。【典型例题】一个钟表的分针长10厘米，时针长8厘米。从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？这时时针扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留两位小数）【对应练习1】一个挂钟的分针长12厘米，经过15分钟，分针尖端走过的路程是多少厘米？分针扫过内面积是多少平方厘米？【对应练习2】某钟表的分针长10厘米，从1时到4时，分针针尖走过了多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？【对应练习3】一个钟表的时针长8厘米，分针长10厘米，从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是多少？一昼夜分针尖端走过的路程是多少？【考点十四】圆环的面积问题其一：整圆环。【方法点拨】圆环的面积：S=πR2-πr2。【典型例题】在一个半径为3米的圆形花园外铺一条宽1米的小路，小路的面积是多少？【对应练习1】公园内有一个周长是25.12米的圆形喷水池，在喷水池的周围有一条2米宽的甬路。甬路的占地面积有多少平方米？【对应练习2】土楼是福建、广东等地的一种民居建筑，外围形状有圆形、方形、椭圆形等。有两座底面是圆环形的土楼，其中一座外直径34米，内直径14米；另一座外直径26米，内直径也是14米。两座土楼的房屋占地面积相差多少？【对应练习3】小林爸爸新买了一张圆形餐桌，桌面的直径是2米。（1）如果每个人需要0.5米宽的位置就餐，这张餐桌最多能坐多少人？（2）为了方便大家夹菜，爸爸又在餐桌中央放了一个直径是1米的圆形转盘，剩下桌面的面积是多少？【考点十五】圆环的面积问题其二：半圆环。【方法点拨】半圆环的面积：S=(πR2-πr2)÷2。【典型例题】在一个半径为10米的圆形喷泉周围修一条宽3米的小路，小路一半面积铺鹅卵石，一半面积铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？【对应练习1】如图所示。李爷爷靠墙用篱笆围了一块半圆形的苗圃，半径是4米。如果要扩建这个苗圃，把这块苗圃的半径增加2米，这块半圆形苗圃的面积增加了多少平方米？【对应练习2】一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？【对应练习3】一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？ 篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份，编者也常常为此苦恼。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样？再结合自身教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学讲解，又适宜课后作业练习，还适宜阶段复习的大综合系列。《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！2023年9月20日2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列第一单元圆·面积篇【十五大考点】专题解读本专题是第一单元圆·面积篇。本部分内容考察圆面积的计算公式及实际应用，部分考点和题型难度较大，可选择性讲解，总体建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十五个考点，欢迎使用。目录导航目录TOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc22264" 【考点一】圆与长方形的拼切转化问题（圆面积转化推导公式） PAGEREF _Toc22264 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20317" 【考点二】圆的面积 PAGEREF _Toc20317 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc31436" 【考点三】已知周长，求圆的面积 PAGEREF _Toc31436 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc18969" 【考点四】半圆的面积 PAGEREF _Toc18969 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc30998" 【考点五】半圆的实际应用 PAGEREF _Toc30998 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc8285" 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题 PAGEREF _Toc8285 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc11518" 【考点七】面积的比较问题 PAGEREF _Toc11518 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc25130" 【考点八】半径、直径和周长、面积的倍数关系 PAGEREF _Toc25130 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc18986" 【考点九】半径、直径和周长、面积的比例关系 PAGEREF _Toc18986 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc29068" 【考点十】半径、直径和周长、面积的增减变化问题 PAGEREF _Toc29068 \h 30 HYPERLINK \l "_Toc15217" 【考点十一】长方形与最圆问题 PAGEREF _Toc15217 \h 33 HYPERLINK \l "_Toc17171" 【考点十二】外方内圆与外圆内方（正方形与最圆问题。 PAGEREF _Toc17171 \h 35 HYPERLINK \l "_Toc19437" 【考点十三】圆面积与指针问题 PAGEREF _Toc19437 \h 44 HYPERLINK \l "_Toc8975" 【考点十四】圆环的面积问题其一：整圆环 PAGEREF _Toc8975 \h 46 HYPERLINK \l "_Toc5574" 【考点十五】圆环的面积问题其二：半圆环 PAGEREF _Toc5574 \h 49典型例题【考点一】圆与长方形的拼切转化问题（圆面积转化推导公式）。【方法点拨】把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母πr表示，宽相当于圆的半径，用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr2。【典型例题1】基础型。把圆按下图所示的顺序逐步细分，拼成长方形的样子。这样细分下去，圆的面积就是a和b的积。从图中可以看出： (1)a是圆的( )。(2)b是圆的( )。(3)如果a＝2厘米，这个圆的面积为( )。【答案】(1)半径(2)周长的一半(3)12.56平方厘米【分析】根据题图可知，一个圆被平均分成的份数越多，拼成的图形越接近长方形。长方形的宽a就是圆的半径，长方形的长b就是圆周长的一半。根据“S＝πr2”求出圆的面积即可。【详解】（1）a是圆的半径。（2）b是圆的周长的一半。（3）3.14×42＝12.56（平方厘米）【点睛】熟练掌握圆面积的推导过程是解答本题的关键。【对应练习1】把一个圆平均分成若干份，正好可以拼成宽为4cm的长方形，这个长方形的长是( )cm，原来圆的面积是( )cm2。【答案】 12.56 50.24【分析】已知把一个圆剪拼成一个近似的长方形，那么长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径；根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。【详解】2×3.14×4÷2＝12.56（cm）3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2）这个长方形的长是12.56cm，原来圆的面积是50.24cm2。【点睛】本题考查圆的面积公式推导过程的应用，明确把一个圆剪拼成一个近似长方形时，长方形的长、宽与圆的周长、半径的关系是解题的关键。【对应练习2】将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是( )cm2。 【答案】12.56【分析】将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长相当于圆的周长的一半，根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。【详解】6.28÷3.14＝2（cm）3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2）则圆的面积是12.56cm2。【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。【对应练习3】如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。 【答案】 4 50.24【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份，沿半径剪开，再拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度，据此可以求出圆的半径，再根据圆的面积公式： ；把数据代入公式解答。【详解】8÷2＝4（厘米）3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）圆形纸片的半径是4厘米，这张圆形纸片的面积是50.24平方厘米。【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，圆的周长的意义及应用。【典型例题2】拓展型。把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为41.4cm，这个圆的面积是( )。【答案】78.5平方厘米/78.5cm2【分析】将圆剪开拼接成一个近似的长方形，，如图所示，长方形的周长＝圆的周长＋两个半径，据此等量关系列方程求出圆的半径，再代入圆的面积公式即可。【详解】解：设圆的半径为r厘米。2×3.14×r＋2r＝41.46.28r＋2r＝41.48.28r＝41.48.28r÷8.28＝41.4÷8.28r＝5圆的面积：3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）这个圆的面积是78.5平方厘米。【点睛】此题考查圆的面积公式，明确圆拼接成长方形周长会多两个半径是解题的关键。【对应练习1】把一个圆切割后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长为24.84厘米，原来这个圆的面积是( )平方厘米。【答案】28.26【分析】把一个圆剪开后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长就等于这个圆的周长的一半，宽相当于圆的半径，据此先求出圆的半径，再根据圆的面积公式计算即可【详解】解：设圆的半径为r，则长方形的长是πr，宽是r。πr＋r＝24.84÷24.14r＝12.42r＝33.14×32＝28.26（平方厘米）则原来这个圆的面积是28.26平方厘米。【点睛】考查了圆的周长和圆的面积公式的推导，注意圆的周长是拼成近似的长方形的长的2倍。【对应练习2】把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形（如右图）。已知这个近似长方形的周长是24.84厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。（π取3.14）【答案】28.26【分析】把一个圆形纸片剪开后，拼成一个宽等于半径，面积相等的近似长方形。这个近似长方形的周长就比圆的周长多了圆半径的2倍，可求出圆的半径，然后根据圆面积公式求出面积即可。【详解】圆的半径是：24.84÷（2＋3.14×2）＝24.84÷（2＋6.28）＝24.84÷8.28＝3（厘米）圆的面积是：3.14×3²＝3.14×9＝28.26（平方厘米）【点睛】本题考查了根据圆面积公式求圆面积以及把一个圆形剪开，拼成一个近似长方形，解答此题应注意这个近似长方形的周长，就比圆的周长多了圆半径的2倍的知识。【对应练习3】如下图，把一个圆等分后拼成一个近似长方形，这个长方形的周长是33.12厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米。【答案】50.24【分析】把圆等分后拼成一个近似长方形，长方形的周长是圆形周长加直径，由此算出圆的半径，代入圆的面积公式即可算出。【详解】设圆的半径为r厘米2r＋2πr＝33.12解：2r＋2×3.14r＝33.122r＋6.28r＝33.128.28r＝33.12r＝33.12÷8.28r＝4圆的面积：3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）【点睛】本题关键是知道圆的周长与近似长方形周长关系，求出圆的半径，解答问题。【考点二】圆的面积。【方法点拨】圆的面积S=πr2。【典型例题】用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是4cm，所画出圆面积是( )cm2。【答案】50.24【分析】圆规两脚间的距离是4cm，即圆的半径是4cm，再根据圆的面积公式：S＝，代入数据即可求出所圆的面积。【详解】3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2）即所画出圆面积是50.24cm2。【点睛】解答本题的关键是知道圆规两脚间的距离是半径，然后通过圆的面积公式计算得到答案。【对应练习1】一个圆形游泳池的半径是5m，它的周长是( )m，面积是( )m2。【答案】 31.4 78.5【分析】圆的周长，圆的面积，把半径5m分别代入圆的周长、面积公式计算即可。【详解】2×3.14×5＝31.4（m）3.14×52＝3.14×25＝78.5（m2）所以它的周长是31.4m，面积是78.5m2。【点睛】在计算圆的面积时，不要把当成计算，应是。【对应练习2】小明用圆规画一个圆，圆规两脚张开的距离是3厘米，画出的圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。【答案】 18.84 28.26【分析】圆规两脚张开的距离是圆的半径，即＝3厘米。圆的周长，圆的面积，把半径3厘米分别代入圆的周长公式、面积公式计算即可。【详解】2×3.14×3＝2×3×3.14＝6×3.14＝18.84（厘米）3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）所以画出的圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米。【点睛】在计算圆的面积时，不要把当成计算，应是。【对应练习3】圆的半径是3米，它的直径是( )米，周长是( )米，面积是( )平方米。（π取3.14）【答案】 6 18.84 28.26【分析】根据直径和半径的关系：d＝2r，圆周长公式：C＝πd，圆面积公式：S＝πr2，代入数据解答即可。【详解】3×2＝6（米）3.14×6＝18.84（米）3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方米）圆的半径是3米，它的直径是6米，周长是18.84米，面积是28.26平方米。【点睛】本题主要考查了直径和半径的关系、圆面积公式、圆周长公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。【考点三】已知周长，求圆的面积。【方法点拨】已知圆的周长，先求出圆的半径，再根据圆的面积公式求面积。【典型例题】用圆规画一个周长是15.7厘米的圆，圆规两脚间叉开的距离应是( )厘米，该圆的面积是( )平方厘米。【答案】 2.5 19.625【分析】根据圆的周长公式：C＝，代入圆的周长的数据，求出圆的半径，即圆规两脚间叉开的距离；再根据圆的面积公式：S＝，代入数据即可求出该圆的面积。【详解】15.7÷2÷3.14＝7.85÷3.14＝2.5（厘米）3.14×2.52＝3.14×6.25＝19.625（平方厘米）即圆规两脚间叉开的距离应是2.5厘米，该圆的面积是19.625平方厘米。【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆的周长和圆的面积公式求解。【对应练习1】画一个周长62.8厘米的圆，圆规两脚间的距离是( )厘米，画成的圆的面积是( )平方厘米。【答案】 10 314【分析】圆规两脚间的距离是指这个圆的半径，由此利用“圆的周长公式为： ”，求出这个圆的半径，再根据圆的面积公式：，解题即可。【详解】62.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（cm）3.14×102＝3.14×100＝314（cm2）所以，画一个周长62.8厘米的圆，圆规两脚间的距离是10厘米，画成的圆的面积是314平方厘米。【点睛】此题考查了圆的周长和面积公式的灵活应用。【对应练习2】一个圆形铁板的周长是12.56米，它的半径是( )米，面积是( )平方米。【答案】 2 12.56【分析】根据圆的周长公式：C＝，代入数据求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝，代入数据即可求出圆的面积。【详解】12.56÷2÷3.14＝6.28÷3.14＝2（米）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方米）即圆的半径是2米，面积是12.56平方米。【点睛】此题主要考查圆的周长和圆的面积公式的灵活运用。【对应练习3】大戏院门店有一根圆柱子，柱子的外围周长是314cm，它的横截面面积是( )cm2。【答案】7850【分析】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式计算即可。【详解】314÷3.14÷2＝50（cm）3.14×502＝3.14×2500＝7850（cm2）它的横截面面积是7850cm2。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。【考点四】半圆的面积。【方法点拨】半圆的面积：S半圆=πr2÷2。【典型例题】一个半圆半径为3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。【答案】 14.13 15.42【分析】根据半圆的面积、半圆周长的意义，半圆的面积等于该圆面积的一半，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，根据半圆的面积公式：S＝πr2÷2，半圆的周长公式：C＝πr＋2r，把数据代入公式解答。【详解】3.14×32÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（平方厘米）3.14×3＋3×2＝9.42＋6＝15.42（厘米）则它的面积是14.13平方厘米，周长是15.42厘米。【点睛】此题主要考查半圆的面积公式、半圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。【对应练习1】直径是4厘米的半圆，它的周长是( )，面积是( )。【答案】 10.28厘米/10.28cm 6.28平方厘米/6.28cm2【分析】周长是指封闭图形一周的长度，据此得出半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，根据圆的周长公式C＝πd求解；半圆的面积＝圆的面积÷2，根据圆的面积公式S＝πr2求解。【详解】半圆的周长：3.14×4÷2＋4＝6.28＋4＝10.28（厘米）半圆的面积：3.14×（4÷2）2÷2＝3.14×4÷2＝6.28（平方厘米）直径是4厘米的半圆，它的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米。【点睛】本题考查圆的周长、圆的面积公式的运用，掌握半圆的周长、半圆的面积的计算方法是解题的关键。【对应练习2】把一张周长是18.84dm的圆形纸片对折成半圆，这个半圆的周长是( )dm，面积是( )dm2。【答案】 15.42 14.13【分析】由圆的周长可知：，据此用18.84÷3.14÷2求出圆的半径；再根据半圆的周长求出这个半圆的周长，即3.14×3＋2×3；根据圆的面积求出圆的面积，再用圆的面积÷2求出半圆的面积，即3.14×32÷2。【详解】18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（dm）3.14×3＋2×3＝9.42＋6＝15.42（dm）3.14×32÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（dm2）所以这个半圆的周长是15.42dm，面积是14.13dm2。【点睛】解决此题时应注意半圆的周长并不等于圆周长的一半。【对应练习3】一个周长为20.56 cm的半圆，它半径是( )cm，面积是( )cm²。【答案】 4 25.12【分析】半圆周长＝πr＋2r，所以半圆的半径＝半圆的周长÷（π＋2）；半圆的面积＝πr2÷2，据此列式计算。【详解】20.56÷（3.14＋2）＝20.56÷5.14＝4（cm）3.14×42÷2＝3.14×16÷2＝25.12（cm²）一个周长为20.56 cm的半圆，它半径是4cm，面积是25.12cm²。【点睛】关键是掌握并灵活运用半圆的周长和面积公式。【考点五】半圆的实际应用。【方法点拨】半圆的面积：S半圆=πr2÷2。【典型例题】李奶奶用15.7米长的篱笆靠墙围成一个半圆形的菜园，这个菜园的面积是( )。解析：15.7÷3.14＝5（米）3.14××52÷2＝3.14×25÷2＝39.25（平方米）【对应练习1】李奶奶家的养鸡场（如图），一面靠墙，一面用竹篱笆围成半圆，它的半径是6m。（1）修这个养鸡场用了多长的竹篱笆？（2）李奶奶要扩建这个养鸡场，把它的半径增加2m。养鸡场的面积会增加多少？解析：（1）3.14×6×2÷2＝18.84×2÷2＝18.84（米）答：修这个养鸡场用了18.84米的竹篱笆。（2）3.14×（6＋2）2÷2－3.14×62÷2＝3.14×32－3.14×18＝3.14×14＝43.96（平方米）答：养鸡场的面积会增加43.96平方米。【对应练习2】东东家有一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场，这个半圆的直径是8米，篱笆长多少米？鸡场占地多少平方米？解析：篱笆长12.56米，鸡场占地50.24平方米。【对应练习3】王奶奶用78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占地面积是多少平方米？解析：r＝78.5÷3.14＝25（米）3.14×252÷2＝981.25（平方米）答：这个养鸡场的占地面积是981.25平方米。【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题。【方法点拨】用同一根铁丝围成正方形、正方形或圆，周长不变，借此求面积。【典型例题1】等长转化其一。一根铁丝围成了一个边长7.85厘米的正方形（接头不计），如果把这根铁丝围成最大的圆（接头不计），圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。【答案】 31.4 78.5【分析】用一根铁丝围成了一个正方形，那么铁丝的长度等于正方形的周长；根据正方形的周长＝边长×4，求出这根铁丝的长度；又用这根铁丝围成最大的圆，那么圆的周长等于这根铁丝的长度，根据r＝C÷π÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积S＝πr2，即可求出圆的面积。【详解】正方形的周长（圆的周长）：7.85×4＝31.4（厘米）圆的半径：31.4÷3.14÷2＝5（厘米）圆的面积：3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）圆的周长是31.4厘米，面积是78.5平方厘米。【点睛】本题考查正方形的周长、圆的周长、圆的面积公式的灵活运用，明确用一根铁丝围成一个图形，铁丝长度等于这个图形的周长。【对应练习1】一根铁丝可以围成一个边长为1.57dm的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆形，那么这个圆形的面积是( )dm2。【答案】0.19625【分析】根据题意，围成正方形的周长即是围成圆的周长，可根据圆的周长公式：C＝2πr，进行计算即可得到围成圆的半径的长度，然后根据圆的面积公式，列式解答即可得到答案。【详解】1.57÷3.14÷2＝0.5÷2＝0.25（dm）3.14×0.252＝3.14×0.0625＝0.19625（平方分米）【点睛】此题主要考查的是圆的周长和面积公式的应用。【对应练习2】两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长是6.28厘米，圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。【答案】 4 50.24【分析】用6.28×4求出正方形的周长，也是圆的周长，再根据“r＝c÷π÷2”、“s＝πr²”求出圆的半径和面积即可。【详解】6.28×4÷3.14÷2＝25.12÷3.14÷2＝4（厘米）；3.14×4²＝50.24（平方厘米）【点睛】明确正方形和圆的周长相等是解答本题的关键，熟练掌握的圆的周长和面积公式。【对应练习3】用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是( )平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )平方厘米。【答案】15.405625，19.625【详解】试题分析：（1）用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，这个正方形的周长就是15.7厘米，用它除以4，求出这个正方形的边长，再根据正方形的面积公式，求出它面积，（2）用一根长15.7厘米的铁丝围成一个圆，这个圆的周长就是15.7，用它除以2，再除以π，求出这个圆的半径，再根据圆的面积公式求出圆的面积．解：（1）15.7÷4=3.925（厘米），3.925×3.925=15.405625（平方厘米）．（2）15.7÷2÷3.14=2.5（厘米），3.14×2.52=3.14×6.25=19.625（平方厘米）．故答案为15.405625，19.625．点评：本题的关键是求出这个正方形的边长和圆的半径，再根据正方形和圆的面积公式进行解答．【典型例题2】等长转化其二。一根铁丝刚好能围成一个长8厘米，宽4.56厘米的长方形。如果将这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积有多少平方厘米？【答案】50.24平方厘米【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，据此先求出长方形的周长，即围成圆的周长。将圆的周长除以2再除以圆周率3.14，求出圆的半径。圆的面积S＝πr2，将数据代入其中，求出围成圆的面积。【详解】（8＋4.56）×2＝12.56×2＝25.12（厘米）25.12÷2÷3.14＝12.56÷3.14＝4（厘米）3.14×42＝50.24（平方厘米）答：这个圆的面积有50.24平方厘米。【点睛】本题考查了圆的周长和面积，熟记圆的周长和面积公式是解题的关键。【对应练习1】一段铁丝刚好能围成一个长10.5厘米、宽2.06厘米的长方形，用同样长的铁丝围成一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？【答案】50.24平方厘米【分析】通过长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入长和宽的数据，求出铁丝的长度，再根据圆的周长公式：C＝，可得r＝C÷2÷，代入数据，求出圆的半径之后，根据圆的面积公式：S＝即可求出这个圆的面积。【详解】（10.5＋2.06）×2＝12.56×2＝25.12（厘米）25.12÷2÷3.14＝4（厘米）3.14×4×4＝50.24（平方厘米）答：这个圆的面积是50.24平方厘米。【点睛】此题的解题关键是抓住铁丝的长度不变，灵活运用长方形和圆的周长公式，最后再利用圆的面积公式求出结果。【对应练习2】一根铁丝围成一个长10cm，宽5.7cm的长方形，用这根铁丝再围成一个最大的圆形，这个圆形的面积是多少?【答案】78.5cm2【详解】(10+5.7)×2÷2÷3.14=5(cm)3.14×=78.5(cm2)【考点七】面积的比较问题。【方法点拨】周长相等的图形（长方形、正方形、圆）中，圆的面积最大。【典型例题】有一根628厘米长的铁丝，如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？【答案】22800平方厘米，24649平方厘米，31400平方厘米，圆的面积最大【详解】试题分析：周长一定，分别依据长方形、正方形和圆的周长公式求出长方形的长和宽，正方形的边长，圆的半径，进而分别求出其面积．解：长方形：628÷2=314（厘米），假设长为200厘米，则宽为114厘米，其面积是200×114=22800（平方厘米），正方形：628÷4=157（厘米），其面积为157×157=24649平方厘米），圆：628÷2π=100（厘米），其面积为3.14×1002=31400（平方厘米），答：长方形的面积是22800平方厘米，正方形的面积是24649平方厘米，圆的面积是31400平方厘米；由以上可知圆的面积最大．点评：此题主要考查长方形、正方形及圆的面积公式，将数据代入公式即可．【对应练习1】用三根同样长的铁丝分别围成一个圆、一个长方形和一个正方形，其中( )的面积最大。【答案】圆【分析】根据题意可知，铁丝的长度是围成图形的周长，此题用举例法解答，先假设正方形、长方形和圆形的周长都是16米，分别求出圆、正方形、长方形的面积，然后比较大小即可。【详解】假设正方形、长方形和圆形的周长都是16米，则圆的面积为：π×（）2≈20.38（平方米）；正方形的边长为：16÷4＝4（米），面积为：4×4＝16（平方米）；长方形长、宽越接近，面积越大，就取长为5米、宽为3米，面积为：5×3＝15（平方米），当长方形的长和宽最接近时面积也小于16平方米；所以周长相等的正方形、长方形和圆形，圆面积最大。【点睛】所以周长相等，圆面积＞正方形面积＞长方形面积。【对应练习2】把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。【答案】圆；长方形【详解】试题分析：由题意得：三种图形的周长相等，是24÷3=8（分米），分别计算出面积，再比较大小．解：①正方形面积为：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）；②长方形长与宽的和是：8÷2=4（分米），面积最大为：1×3=3（平方分米）；③圆的半径为：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圆的面积为：3.14×1.32=5.3066（平方分米）；所以：3＜4＜5.3066，即圆的面积最大，长方形的面积最小．故答案为圆；长方形．点评：此题主要考查正方体、长方形、圆的面积计算，明确它们的周长相等时，圆的面积最大，长方形面积最小．【对应练习3】把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。【答案】圆；长方形【详解】试题分析：由题意得：三种图形的周长相等，是24÷3=8（分米），分别计算出面积，再比较大小．解：①正方形面积为：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）；②长方形长与宽的和是：8÷2=4（分米），面积最大为：1×3=3（平方分米）；③圆的半径为：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圆的面积为：3.14×1.32=5.3066（平方分米）；所以：3＜4＜5.3066，即圆的面积最大，长方形的面积最小．故答案为圆；长方形．点评：此题主要考查正方体、长方形、圆的面积计算，明确它们的周长相等时，圆的面积最大，长方形面积最小．【考点八】半径、直径和周长、面积的倍数关系。【方法点拨】在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数的平方倍。【典型例题1】倍数关系其一。圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。【答案】 9倍 3【详解】略【对应练习1】一个圆的半径扩大4倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。【答案】 4 16【分析】一个圆的半径扩大到原来的几倍，周长也扩大到原来的几倍；面积扩大倍数是半径扩大倍数的平方，据此解答即可。【详解】一个圆的半径扩大到原来的4倍，周长也扩大到原来的4倍，面积扩大到原来的16倍。【点睛】明确半径、周长和面积之间扩大倍数之间的关系是解答本题的关键。【对应练习2】一个圆的周长扩大5倍，它的直径扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。【答案】 5 25【解析】略【对应练习3】一个圆的半径扩大a倍，直径扩大( )倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。【答案】 a a a²【分析】假设圆原来的半径为2，则扩大后圆的半径为2a，直径由原来的4变为4a，周长由原来的4π变为4aπ，面积由π×2²＝4π变为π×（2a）²＝4πa²，由此解答即可。【详解】一个圆的半径扩大a倍，直径扩大a倍，周长扩大a倍，面积扩大a²倍。【点睛】本题采用了假设法，假设法使题目变得具体化，简单化。【典型例题2】倍数关系其二。大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的( )，大圆面积是小圆面积的( )倍。【答案】 4【分析】根据半径的倍数等于周长的倍数，倍数×倍数是面积之间的倍数，据此分析。【详解】2×2＝4，大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的，大圆面积是小圆面积的4倍。【点睛】圆的周长＝πd＝2πr，圆的面积＝πr²。【对应练习1】有大小两个圆，大圆直径是小圆直径的3倍，那么大圆周长是小圆周长的( )倍；小圆面积是大圆面积的( )。（填几分之几）【答案】 3 【分析】根据大圆的直径是小圆直径的3倍，可知大圆的半径是小圆半径的3倍，进而代入周长和面积公式，先分别求出它们的周长和面积，进而得解。【详解】（1）大圆周长：小圆周长：大圆周长小圆周长（2）大圆面积：小圆面积：小圆面积是大圆面积的：【点睛】考查了圆的周长公式或，圆的面积公式运用。【对应练习2】大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，小圆面积是大圆面积的( )。【答案】 4 【详解】小圆的周长C=2πr，大圆半径是小圆半径的4倍，大圆的周长=2π×4r，小圆的面积S=πr²，大圆半径是小圆半径的4倍，大圆的面积S=π×4r×4r=16πr²，由此可知答案．【对应练习3】大圆半径是小圆半径的5倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。【答案】 5 25【分析】由题意可知，假设小圆的半径是1，则大圆的半径是5，根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，据此解答即可。【详解】假设小圆的半径是1，则大圆的半径是5，（2π×5）÷2π＝10π÷2π＝5π×52÷π×12＝25π÷π＝25则大圆周长是小圆周长的5倍，大圆面积是小圆面积的25倍。【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。【考点九】半径、直径和周长、面积的比例关系。【方法点拨】1.两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。2.圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。【典型例题1】比例关系其一。两圆的半径之比，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。【答案】 9∶25 3∶5【分析】圆的周长，圆的面积，根据圆的周长和面积公式可知，两圆的面积之比等于半径的平方之比，两圆的周长之比等于半径之比，据此解答即可。【详解】两圆的半径之比 3:5 ，它们的面积之比是9∶25，周长之比是3∶5。【点睛】本题考查比、圆的周长和面积，解答本题的关键是掌握圆的周长和面积计算公式。【对应练习1】两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是( )cm。【答案】 4∶3 4∶3 16∶9 9.42【分析】由题意可知，两个圆的半径之比是4∶3，则假设两个圆的半径分别为4和3，根据直径＝半径×2，圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此求出它们的直径之比、周长之比和面积之比；根据圆的周长公式求出较大的圆的直径，进而求出较小的圆的直径，最后求出较小的圆的周长。【详解】假设两个圆的半径分别为4和3（4×2）∶（3×2）＝8∶6＝（8÷2）∶（6÷2）＝4∶34π∶3π＝4∶342π∶32π＝16π∶9π＝16∶912.56÷3.14＝4（cm）4÷4×3＝1×3＝3（cm）3.14×3＝9.42（cm）则两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是4∶3，周长之比是4∶3，面积之比是16∶9，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是9.42cm。【点睛】本题考查比的意义，结合圆的周长和面积的计算方法是解题的关键。【对应练习2】小圆直径8厘米，大圆半径6厘米，小圆和大圆直径之比是( )；小圆和大圆周长比是( )；小圆和大圆的面积比是( )。【答案】 2∶3 2∶3 4∶9【分析】根据d＝2r，先求出大圆的直径，然后写出比，化简比即可；根据两个圆的直径比＝周长比，面积比＝直径比的平方，据此直接写出比即可。【详解】根据分析：直径比和周长比：8∶（6×2）＝8∶12＝2∶3面积比：（2×2）∶（3×3）＝4∶9所以，小圆直径8厘米，大圆半径6厘米，小圆和大圆直径之比是（2∶3）；小圆和大圆周长比是（2∶3）；小圆和大圆的面积比是（4∶9）。【点睛】此题考查了圆的周长以及面积计算，关键熟记：两个圆的直径比＝周长比，面积比＝直径平方的比。【对应练习3】已知小圆半径是大圆半径的，则小圆与大圆的周长之比是( )，如果小圆面积是，则大圆面积是( )。【答案】 1∶3 28.26【分析】已知小圆半径是大圆半径的，利用比与分数之间的关系，可得小圆和大圆的半径之比是1∶3，根据圆的周长＝×2×半径，因此两个圆的周长比等于这两个圆的半径比，即可求出小圆与大圆的周长之比。再根据圆的面积＝，因此两个圆的面积比等于这两个圆的半径的平方比，可求得小圆和大圆的面积之比是1∶9，把小圆的面积看作1份，大圆的面积看作9份，用小圆的面积除以1，求出1份量是多少，再乘9即可求出大圆的面积。【详解】根据分析得，小圆和大圆的半径之比是1∶3，所以小圆与大圆的周长之比是1∶3。小圆与大圆的面积之比是12∶32＝1∶9。3.14÷1×9＝28.26（cm2）即大圆面积是28.26cm2。【点睛】此题主要考查比的应用以及圆的周长、面积公式的熟练运用。【典型例题2】比例关系其二。如图：大圆半径为8厘米，小圆半径为4厘米，则大圆与小圆的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。【答案】 2∶1 2∶1 4∶1 75.36【分析】根据圆的直径d＝2r，圆的周长C＝2πr，圆的面积S＝πr2，可知两个圆的直径之比、周长之比等于它们的半径之比，两个圆的面积之比等于它们的半径的平方比。从图中可知，小圆的圆心移动的长度是以（8＋4）厘米为半径的圆的周长，根据圆的周长C＝2πr，代入数据计算即可求解。【详解】大圆与小圆的直径之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；大圆与小圆的周长之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；大圆与小圆的面积之比是82∶42＝64∶16＝（64÷16）∶（16÷16）＝4∶1；2×3.14×（8＋4）＝2×3.14×12＝75.36（厘米）小圆的圆心移动的长度是75.36厘米。【点睛】本题考查圆的直径、周长、面积公式的运用以及比的意义、比的化简。【对应练习1】下图是由一个大圆和一个小圆组成的，点O是大圆的圆心。小圆与大圆的半径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。【答案】 1∶2 1∶2 1∶4【分析】可以假设小圆的半径为r，大圆的半径为2r，分别求出大小圆的半径、大小圆的周长、大小圆的面积，再写出比并化简即可。【详解】根据题意，设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r，小圆与大圆的半径之比：r∶2r＝1∶2周长之比：2πr∶2π（2r）＝1∶2面积之比：πr2∶π（2r）2＝πr2∶4πr2＝1∶4已知小圆的直径等于大圆的半径，那么小圆与大圆的半径之比是1∶2，周长之比是1∶2，面积之比是1∶4。【点睛】本题考查圆的周长、面积公式及比的意义与化简比。【对应练习2】三个同心圆（如图），已知OA：AB：BC的比是1：2：3，那么这三个圆（从小到大）的周长之比是( )，面积之比是( )。【答案】 1：3：6 1：9：36【详解】由分析得：这三个圆的周长的比等于半径的比，面积的比等于半径平方的比，所以，这三个圆（从小到大）的周长之比是1：3：6，面积的比是1：9：36．故答案为1：3：6，1：9：36．【对应练习3】（如图）如果大圆的半径和小圆的直径相等，那么大圆面积与小圆面积之比是( )。A．2∶1 B．4∶1 C． D．【答案】B【分析】假设出小圆的半径，大圆的半径＝小圆的半径×2，利用“”表示出大圆的面积和小圆的面积，最后根据比的意义求出大圆和小圆的面积比，据此解答。【详解】假设小圆的半径为r厘米，则大圆的半径为2r厘米。小圆的面积：（平方厘米）大圆的面积：＝（平方厘米）大圆的面积∶小圆的面积＝∶＝4∶1所以，大圆面积与小圆面积之比是4∶1。故答案为：B【点睛】掌握圆的面积计算公式和比的意义是解答题目的关键。【考点十】半径、直径和周长、面积的增减变化问题。【方法点拨】1.周长的变化：算出增加后圆的周长和原来的周长进行相减得到周长增加的部分。当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。2.面积的变化：算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。【典型例题】一个半径是3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加( )dm，面积增加( )dm2。【答案】 6.28 21.98【分析】由于半径增加1dm，那么此时的半径是4dm，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数代入公式求出半径增加前的周长和面积，再求出半径增加后的周长和面积，之后作差即可。【详解】当半径是3dm的时候周长：3.14×3×2＝9.42×2＝18.84（dm）面积：3.14×32＝3.14×9＝28.26（dm2）半径增加1dm后：3＋1＝4（dm）周长：3.14×4×2＝12.56×2＝25.12（dm）面积：3.14×42＝3.14×16＝50.24（dm2）则周长增加：25.12－18.84＝6.28（dm）面积增加：50.24－28.26＝21.98（dm2）所以一个半径为3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加6.28dm，面积增加21.98dm2。【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式，应熟练掌握它们的公式并灵活运用。【对应练习1】圆的半径由4cm增加到5cm，它的周长增加( )cm，它的面积增加( )cm2。（π取3.14）【答案】 6.28 28.26【分析】根据圆的周长公式：C＝，和圆的面积公式：S＝，代入前后半径的数据，分别求出增加前和增加后的圆的周长及圆的面积，再相减即可求出增加的圆的周长和增加的圆的面积。【详解】2×3.14×5－2×3.14×4＝31.4－25.12＝6.28（cm）3.14×52－3.14×42＝3.14×25－3.14×16＝78.5－50.24＝28.26（cm2）即圆的周长增加6.28cm，它的面积增加28.26cm2。【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆的周长和圆的面积公式解决实际的问题。【对应练习2】一个圆的半径是6m，周长是( )m，面积是( )m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加( )m，面积增加( )m2。【答案】 37.68 113.04 6.28 40.82【分析】根据“”“”分别求出这个圆的周长和面积，以及半径增加后圆的周长和面积，最后求出它们的差，据此解答。【详解】2×3.14×6＝6.28×6＝37.68（m）3.14×62＝3.14×36＝113.04（m2）6＋1＝7（m）2×3.14×7－37.68＝6.28×7－37.68＝43.96－37.68＝6.28（m）3.14×72－113.04＝3.14×49－113.04＝153.86－113.04＝40.82（m2）所以，一个圆的半径是6m，周长是37.68m，面积是113.04m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加6.28m，面积增加40.82m2。【点睛】熟练掌握并灵活运用圆的周长和面积的计算公式是解答题目的关键。【对应练习3】用篱笆围一个半圆形养鸡场，一面靠墙，篱笆长15.7米。如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏( )米，则面积增加( )平方米。【答案】 3.14 17.27【分析】先用15.7×2求出整圆的周长，然后算出养鸡场原来的半径，再算出增加1米后的半径以及篱笆长度，和之前的篱笆长相减，求出增加的围栏长度；分别根据增加前后的半径求出半圆的面积，最后把它们相减求出增加的面积即可。【详解】原来半径：15.7×2÷2÷3.14＝15.7÷3.14＝5（米）后来半径：5＋1＝6（米）后来篱笆长：6×2×3.14÷2＝6×3.14＝18.84（米）增加的围栏长度：18.84－15.7＝3.14（米）增加的面积：3.14×6×6÷2－3.14×5×5÷2＝3.14×18－3.14×12.5＝56.52－39.25＝17.27（平方米）如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏3.14米，则面积增加17.27平方米。【点睛】灵活运用圆的周长和面积公式是解题的关键。【考点十一】长方形与最圆问题。【方法点拨】在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。【典型例题】在一张长6cm，宽4cm的长方体纸上画一个最大的圆，那么圆规两脚间的距离是( )厘米；所画圆的面积是( )平方厘米。【答案】 2 12.56【分析】根据题意可知，在这张长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，所以圆规两脚间的距离是（4÷2）厘米，根据圆的面积公式：S＝r2，把数据代入公式解答。【详解】4÷2＝2（厘米）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）圆规两脚间的距离是2厘米，所画圆的面积是12.56平方厘米。【点睛】考查圆的特点以及圆的面积计算，重点是能够熟练掌握圆的面积计算方法。【对应练习1】在一块长8分米、宽6分米的长方形铁板上，剪掉一个最大的圆，剩下部分的面积是( )平方分米。【答案】19.74【分析】长方形里剪掉一个最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，长方形面积－圆的面积＝剩下部分的面积，据此列式计算。【详解】8×6－3.14×（6÷2）2＝48－3.14×32＝48－3.14×9＝48－28.26＝19.74（平方分米）剩下部分的面积是19.74平方分米。【点睛】关键是掌握并灵活运用长方形和圆的面积公式，理解长方形和圆之间的关系。【对应练习2】在长8cm，宽0.6dm的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。【答案】 18.84 28.26【分析】在长方形中画一个最大的圆，则这个圆的直径相当于长方形的宽，根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。【详解】0.6dm＝6cm3.14×6＝18.84（cm）3.14×（6÷2）2＝3.14×9＝28.26（cm2）则这个圆的周长是18.84cm，面积是28.26cm2。【点睛】本题考查圆的周长和面积，明确这个圆的直径相当于长方形的宽是解题的关键。【对应练习3】在一张长8cm、宽6cm的长方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm，面积是( )cm2。【答案】 3 18.84 28.26【分析】以长方形的宽为直径的圆是长方形中最大的圆，在同圆或等圆中，半径是直径的，直径是半径的2倍，利用“”求出圆的周长，利用“”求出圆的面积，据此解答。【详解】半径：6÷2＝3（cm）周长：2×3.14×3＝6.28×3＝18.84（cm）面积：3.14×32＝28.26（cm2）所以，这个圆的半径是3cm，周长是18.84cm，面积是28.26cm2。【点睛】理解最大圆的直径等于长方形的宽，并掌握圆的周长和面积计算公式是解答题目的关键。【考点十二】外方内圆与外圆内方（正方形与最圆问题）。【方法点拨】1.外方内圆：在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积与正方形面积比为π:4。2.外圆内方：在圆里面画最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线的长，圆的面积与正方形的面积比为π:2。【典型例题1】“外方内圆”。如图，在一张边长10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )，剩余部分的面积是( )。【答案】 78.5 21.5【分析】由题意可知：这个最大圆的直径应该等于正方形的边长，正方形的边长已知，于是利用圆的面积＝πr2，即可求出圆的面积；再用正方形的面积减去圆的面积，即可求出剩余部分的面积。【详解】3.14×（10÷2）2＝3.14×25＝78.5（平方厘米）这个圆的面积是78.5平方厘米。10×10－78.5＝100－78.5＝21.5（平方厘米）余下部分的面积是21.5平方厘米。【点睛】此题主要考查学生正方形与圆面积的计算能力，解答此题的关键是明白：正方形中最大圆的直径应该等于正方形的边长，即可求得圆面积和余下的面积。【对应练习1】在一个面积为40平方厘米的正方形里，剪下一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米。【答案】31.4【分析】由题意可知，从正方形中剪下一个最大的圆，则该圆的直径相当于正方形的边长，圆的半径的平方等于正方形的面积的，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。【详解】40×＝10（平方厘米）3.14×10＝31.4（平方厘米）则圆的面积是31.4平方厘米。【点睛】本题考查圆的面积，明确圆的半径的平方等于正方形的面积的是解题的关键。【对应练习2】在一张周长20分米的正方形上剪下一个最大的圆，则剩余部分的面积是( )平方分米。【答案】5.375【分析】周长20分米的正方形的边长是5分米，则这个最大的圆的直径就是5分米，据此利用圆的面积公式求出这个最大的圆的面积，再用正方形的面积减去圆的面积即可。【详解】20÷4＝5（分米）5×5－3.14×（5÷2）2＝25－3.14×6.25＝25－19.625＝5.375（平方分米）剩余部分的面积是5.375平方分米。【点睛】解答此题的关键是：弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积的和或差求得，再利用面积公式计算即可解答问题。【对应练习3】数学课上，小明用边长8cm的正方形纸，小华用边长10cm的正方形纸，各剪了一个最大的圆，小明和小华所剪的圆的周长之比是( )，面积之比是( )。【答案】 4∶5 16∶25【分析】正方形的边长为圆的直径，根据圆的周长公式：可知，圆的周长之比等于半径之比；根据圆的面积公式：可知，圆的面积之比等于半径的平方之比。【详解】小明剪的圆的半径为：8÷2＝4（cm），小华剪的圆的半径为：10÷2＝5（cm）；所以小明和小华所剪的圆的周长之比为：4∶5；小明和小华所剪的圆的面积之比为：＝16∶25【点睛】此题考查的是圆的面积公式和圆的周长公式。【典型例题2】“外圆内方”。在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是72平方厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。【答案】 113.04 37.68【分析】在一个圆内画一个最大的正方形，如图，正方形的对角线＝圆的直径，设圆的半径是r厘米，根据2r×r×2÷2＝正方形面积，确定r，再根据圆的面积＝πr2，圆的周长＝2πr，求出圆的面积和周长。【详解】解：设圆的半径是r厘米。2r×r×2÷2＝722r×r＝722r×r÷2＝72÷2r×r＝36r＝63.14×62＝3.14×36＝113.04（平方厘米）2×3.14×6＝37.68（厘米）这个圆的面积是113.04平方厘米，周长是37.68厘米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。【对应练习1】把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线长8cm，那么这个圆形纸片的面积是( )平方厘米，折起来的部分的面积是( )平方厘米。【答案】 50.24 18.24【分析】把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线＝圆的直径，根据圆的面积＝πr2，求出圆形纸片的面积；圆的面积－正方形面积＝折起来的面积，正方形的面积＝两个三角形面积和，据此列式计算。【详解】3.14×（8÷2）2＝3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）50.24－8×（8÷2）÷2×2＝50.24－8×4÷2×2＝50.24－32＝18.24（平方厘米）这个圆形纸片的面积是50.24平方厘米，折起来的部分的面积是18.24平方厘米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的面积公式，灵活计算正方形面积。【对应练习2】在一个周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )平方厘米，这个正方形的面积与这个圆的面积最简单整数比是( )∶( )。【答案】 18 100 157【分析】圆内画一个最大的正方形，正方形对角线＝圆的直径，根据圆的直径＝周长÷π，求出圆的直径，即正方形对角线，将正方形平均分成2个等腰直角三角形，根据三角形面积＝底×高÷2，求出正方形面积；圆的面积＝πr2，根据比的意义，写出正方形与圆的面积比，化简即可。【详解】18.84÷3.14＝6（厘米）6×（6÷2）÷2×2＝6×3÷2×2＝18（平方厘米）3.14×（6÷2）2＝3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）18∶28.26＝1800∶2826＝300∶471＝100∶157在一个周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是18平方厘米，这个正方形的面积与这个圆的面积最简单整数比是100∶157。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式以及正方形面积公式，理解比的意义，掌握化简比的方法。【对应练习3】如图，在周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，阴影部分的面积是( )平方厘米。【答案】10.26【分析】以圆的直径为对角线的正方形是圆内面积最大的正方形，连接正方形的两条对角线，正方形被分成4个形状相同的等腰直角三角形，先根据圆的周长求出圆的半径，再利用“”表示出圆的面积，并根据“”表示出正方形的面积，阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，据此解答。【详解】18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（厘米）3.14×32－×3×3×4＝3.14×9－×4＝28.26－18＝10.26（平方厘米）所以，阴影部分的面积是10.26平方厘米。【点睛】把正方形的面积转化为三角形的面积，并掌握圆的周长和面积计算公式是解答题目的关键。【典型例题3】综合型。如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。【答案】1.14【分析】根据题意，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积；在圆里画一个最大的正方形，如下图，用正方形的一条对角线把这个正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是这个最大正方形的面积；最后用圆的面积减去最大正方形的面积，即是阴影部分的面积。【详解】圆的半径：2÷2＝1（cm）圆的面积：3.14×1×1＝3.14（cm2）圆内最大正方形的面积：2×1÷2×2＝2（cm2）阴影部分的面积：3.14－2＝1.14（cm2）阴影部分的面积是1.14cm2。【点睛】本题考查圆的面积、三角形面积公式的运用，关键是把圆内最大正方形的面积转化成两个完全一样的三角形的面积求解。【对应练习1】大圆内有一个最大的正方形，正方形内有一个最大的圆，大圆面积和小圆面积的比是( )。A．4∶1 B．200∶157 C．2∶1 D．200∶43【答案】C【分析】观察图形可知，设小圆的半径是1，正方形的边长为2，利用圆的面积公式即可表示出小圆的面积为π；假设大圆的半径为r，根据大圆和正方形的关系，正方形的面积等于2r2，据此求出r2，进而得出大圆的面积，然后写出大圆面积和小圆面积的比，再化简即可。【详解】设小圆的半径为1，则：小圆的面积是：π×1×1＝π正方形的面积是：（1＋1）2＝22＝4设大圆的半径是r，则：2r2＝42r2÷2＝4÷2r2＝2大圆的面积是：π×r2＝2π所以大圆面积和小圆面积的比是：2π∶π＝（2π÷2）∶（π÷2）＝2∶1故答案为：C【点睛】本题主要考查了组合图形面积的计算，根据圆中取面积最大正方形的画法，推导出大圆半径和正方形边长的关系，是本题解题的关键。【对应练习2】如图，大圆内画一个最大的正方形，正方形内画一个最大的圆…，如此画下去，共画了4个圆．那么，最大的圆的面积是最小的圆的( )倍。A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】首先设最小圆的半径（最小正方形的边心距）为x，然后利用构造的等腰直角三角形表示出最大的正方形的半径，然后根据面积的比等于半径比的平方即可得到答案。【详解】如图：设同心圆的圆心为O，连接OA，作OC垂直于最大正方形的边于点C，设最小圆的半径（最小正方形的边心距）为x，∵∠AOC=45°，所以∴最大圆与最小圆的面积比为：（2x）2：x2=8：1，即最大圆的面积是最小圆的面积的8倍。故选C。【点睛】本题考查了正多边形的有关计算，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形并找到两圆的半径比。【考点十三】圆面积与指针问题。【方法点拨】时针和分针可看作圆的半径，求周长或面积时，应先分析出时针或分针走的圈数。【典型例题】一个钟表的分针长10厘米，时针长8厘米。从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？这时时针扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留两位小数）【答案】62.8厘米；16.75平方厘米【分析】从1时到2时，分针走了1圈，时针走了1大格，一共有12格；根据圆周长公式：C＝2πr，用3.14×2×10即可求出分针针尖走过了多少厘米；根据题意可知，时针扫过的面积是圆面积的；根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×82×即可求出时针扫过的面积。【详解】3.14×2×10＝62.8（厘米）3.14×82×＝3.14×64×≈16.75（平方厘米）答：分针针尖走过了62.8厘米；时针扫过的面积是16.75平方厘米。【点睛】本题主要考查了圆周长公式和圆面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。【对应练习1】一个挂钟的分针长12厘米，经过15分钟，分针尖端走过的路程是多少厘米？分针扫过内面积是多少平方厘米？【答案】18.84厘米；113.04平方厘米【分析】根据生活经验可知，分针1小时（60分钟）转一圈，经过15分钟，分针转了四分之一圈，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。【详解】2×3.14×12÷4＝6.28×12÷4＝75.36÷4＝18.84（厘米）3.14×122÷4＝3.14×144÷4＝452.16÷4＝113.04（平方厘米）答：分针尖端走过的路程是18.84厘米，分针扫过内面积是113.04平方厘米。【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【对应练习2】某钟表的分针长10厘米，从1时到4时，分针针尖走过了多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？【答案】188.4厘米；942平方厘米【分析】根据题意可知，从1时到4时，分针正好转动了三圈，分针走一圈，它的尖端走过的路程是一个圆，分针的长度就是这个圆的半径，根据圆的周长公式走一圈所走的路程，再乘3即可求出分针走过的路程；分针转过一圈的面积，就是这个圆的面积，利用圆的面积公式求出扫一圈的面积，再乘3即可解答。【详解】2×3.14×10×3＝6.28×10×3＝188.4（厘米）3.14×102×3＝3.14×100×3＝942（平方厘米）答：分针针尖走过了188.4厘米，分针扫过的面积是942平方厘米。【点睛】此题主要考查的是圆的周长、面积公式的应用。【对应练习3】一个钟表的时针长8厘米，分针长10厘米，从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是多少？一昼夜分针尖端走过的路程是多少？【答案】100.48平方厘米；1507.2厘米【分析】时针和分针的长度相当于圆的半径，从中午12时到下午6时，时针扫过钟面的一半，根据半圆面积＝πr2÷2，求出时针扫过的面积；一昼夜分针转24圈，根据圆的周长C＝2πr，求出转一圈的路程，乘24即可。【详解】3.14×82÷2＝3.14×64÷2＝100.48（平方厘米）2×3.14×10×24＝62.8×24＝1507.2（厘米）答：从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是100.48平方厘米，一昼夜分针尖端走过的路程是1507.2厘米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。【考点十四】圆环的面积问题其一：整圆环。【方法点拨】圆环的面积：S=πR2-πr2。【典型例题】在一个半径为3米的圆形花园外铺一条宽1米的小路，小路的面积是多少？【答案】21.98平方米【分析】由题意可知，小路的面积等于半径为（3＋1）米的圆的面积减去半径为3米的圆的面积，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。【详解】3＋1＝4（米）3.14×42－3.14×32＝3.14×（42－32）＝3.14×（16－9）＝3.14×7＝21.98（平方米）答：小路的面积是21.98平方米。【点睛】本题考查圆的面积，熟记公式是解题的关键。【对应练习1】公园内有一个周长是25.12米的圆形喷水池，在喷水池的周围有一条2米宽的甬路。甬路的占地面积有多少平方米？【答案】62.8平方米【分析】先根据圆的周长公式求出内圆的半径，有一条2米宽的甬路，即环宽为2米，用内圆的半径加上环宽，就是外圆的半径，再利用圆环的面积公式：即可得解。【详解】25.12÷2÷3.14＝4（米）4＋2＝6（米）3.14×（62－42）＝3.14×（36－16）＝3.14×20＝62.8（平方米）答：甬路的占地面积有62.8平方米。【点睛】此题的解题关键是掌握圆的周长以及圆环的面积计算方法。【对应练习2】土楼是福建、广东等地的一种民居建筑，外围形状有圆形、方形、椭圆形等。有两座底面是圆环形的土楼，其中一座外直径34米，内直径14米；另一座外直径26米，内直径也是14米。两座土楼的房屋占地面积相差多少？【答案】376.8平方米【分析】这个楼座的形状是圆环形的，根据圆环的面积＝，其中R是外圆的半径，r是内圆的半径，将数据带入公式分别计算面积，然后求差即可。【详解】34÷2＝17（米）14÷2＝7（米）26÷2＝13（米）14÷2＝7（米）＝＝＝（平方米）＝＝＝376.8（平方米）753.6－376.8＝376.8（平方米）答：两座土楼的房屋占地面积相差376.8平方米。【点睛】考查圆环面积的计算方法，重点是能够熟记圆环面积的计算公式。【对应练习3】小林爸爸新买了一张圆形餐桌，桌面的直径是2米。（1）如果每个人需要0.5米宽的位置就餐，这张餐桌最多能坐多少人？（2）为了方便大家夹菜，爸爸又在餐桌中央放了一个直径是1米的圆形转盘，剩下桌面的面积是多少？【答案】（1）12人；（2）2.355平方米【分析】（1）先根据圆的周长公式C＝πd，把数据代入求出餐桌一圈的长度，再除以0.5米即可求出最多能坐多少人，所得的结果要根据实际情况采用“去尾法”保留整数；（2）剩下桌面的面积即为圆环部分的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），把数据代入计算即可。【详解】（1）3.14×2÷0.5＝6.28÷0.5＝12.56≈12（人）答：这张餐桌最多能坐12人。（2）3.14×[（2÷2）2－（1÷2）2]＝3.14×[12－0.52]＝3.14×[1－0.25]＝3.14×0.75＝2.355（平方米）答：剩下桌面的面积是2.355平方米。【点睛】掌握并灵活运用圆的周长和面积公式是解答本题的关键。【考点十五】圆环的面积问题其二：半圆环。【方法点拨】半圆环的面积：S=(πR2-πr2)÷2。【典型例题】在一个半径为10米的圆形喷泉周围修一条宽3米的小路，小路一半面积铺鹅卵石，一半面积铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？【答案】108.33平方米【分析】由题意可知，小圆的半径为10米，大圆的半径＝小圆的半径＋环宽，利用“”表示出小路的面积，最后除以2求出小路铺水泥的面积，据此解答。【详解】10＋3＝13（米）3.14×（132－102）÷2＝3.14×（169－100）÷2＝3.14×69÷2＝216.66÷2＝108.33（平方米）答：小路铺水泥的面积是108.33平方米。【点睛】本题主要考查环形面积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。【对应练习1】如图所示。李爷爷靠墙用篱笆围了一块半圆形的苗圃，半径是4米。如果要扩建这个苗圃，把这块苗圃的半径增加2米，这块半圆形苗圃的面积增加了多少平方米？【答案】31.4平方米【分析】增加的面积为圆环的一半，已知现在的半径为4米，半径增加2米，则现在的半径为4＋2＝6米，再根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2），代入公式，最后除以2即可解题。【详解】4＋2＝6（米）3.14×（62－42）÷2＝3.14×（36－16）÷2＝3.14×20÷2＝62.8÷2＝31.4（平方米）答：这块半圆形苗圃的面积增加了31.4平方米。【点睛】解读出增加的面积为圆环的一半，并掌握圆环的面积公式是解题的关键。【对应练习2】一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？【答案】（1）76.93平方米（2）23.55平方米【分析】（1）根据题意，已知半圆形花坛一周的长是35.98米，也就是半圆周长为35.98米；根据半圆周长＝圆周长的一半＋直径，即C半圆＝πr＋2r，可知：圆的半径r＝C半圆÷（π＋2），由此求出半圆形花坛的半径；然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出一个圆的面积，再除以2，即是这个的花坛的面积。（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，求花坛面积增大多少，就是求半圆环的面积；由上一题可知内圆的半径是7米，则外圆的半径是（7＋1）米；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出一个圆环的面积，再除以2，即可得解。【详解】（1）半圆的半径：35.98÷（3.14＋2）＝35.98÷5.14＝7（米）半圆的面积：3.14×72÷2＝3.14×49÷2＝153.86÷2＝76.93（平方米）答：这个花坛的面积是76.93平方米。（2）7＋1＝8（米）3.14×（82－72）÷2＝3.14×（64－49）÷2＝3.14×15÷2＝47.1÷2＝23.55（平方米）答：花坛的面积增大23.55平方米。【点睛】本题考查半圆周长计算方法的灵活运用以及圆环面积公式的应用。【对应练习3】一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？【答案】（1）76.93平方米（2）23.55平方米【分析】（1）半圆周长＝πr＋2r，半径＝半圆周长÷（π＋2），半圆面积＝πr2÷2，据此列式解答即可。（2）增大的面积是圆环面积的一半，圆环面积的一半＝π（R2－r2）÷2，据此列式解答。【详解】（1）35.98÷（3.14＋2）＝35.98÷5.14＝7（米）3.14×72÷2＝3.14×49÷2＝76.93（平方米）答：这个花坛的面积有76.93平方米。（2）7＋1＝8（米）3.14×（82－72）÷2＝3.14×（64－49）÷2＝3.14×15÷2＝23.55（平方米）答：花坛的面积增大23.55平方米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长、面积和圆环面积公式。
篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份，编者也常常为此苦恼。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样？再结合自身教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学讲解，又适宜课后作业练习，还适宜阶段复习的大综合系列。《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！2023年9月20日2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列第一单元圆·面积篇【十五大考点】专题解读本专题是第一单元圆·面积篇。本部分内容考察圆面积的计算公式及实际应用，部分考点和题型难度较大，可选择性讲解，总体建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十五个考点，欢迎使用。目录导航目录TOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc22264" 【考点一】圆与长方形的拼切转化问题（圆面积转化推导公式） PAGEREF _Toc22264 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20317" 【考点二】圆的面积 PAGEREF _Toc20317 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc31436" 【考点三】已知周长，求圆的面积 PAGEREF _Toc31436 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc18969" 【考点四】半圆的面积 PAGEREF _Toc18969 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc30998" 【考点五】半圆的实际应用 PAGEREF _Toc30998 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc8285" 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题 PAGEREF _Toc8285 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11518" 【考点七】面积的比较问题 PAGEREF _Toc11518 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc25130" 【考点八】半径、直径和周长、面积的倍数关系 PAGEREF _Toc25130 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc18986" 【考点九】半径、直径和周长、面积的比例关系 PAGEREF _Toc18986 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc29068" 【考点十】半径、直径和周长、面积的增减变化问题 PAGEREF _Toc29068 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc15217" 【考点十一】长方形与最圆问题 PAGEREF _Toc15217 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc17171" 【考点十二】外方内圆与外圆内方（正方形与最圆问题。 PAGEREF _Toc17171 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc19437" 【考点十三】圆面积与指针问题 PAGEREF _Toc19437 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc8975" 【考点十四】圆环的面积问题其一：整圆环 PAGEREF _Toc8975 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc5574" 【考点十五】圆环的面积问题其二：半圆环 PAGEREF _Toc5574 \h 18典型例题【考点一】圆与长方形的拼切转化问题（圆面积转化推导公式）。【方法点拨】把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母πr表示，宽相当于圆的半径，用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr2。【典型例题1】基础型。把圆按下图所示的顺序逐步细分，拼成长方形的样子。这样细分下去，圆的面积就是a和b的积。从图中可以看出： (1)a是圆的( )。(2)b是圆的( )。(3)如果a＝2厘米，这个圆的面积为( )。【对应练习1】把一个圆平均分成若干份，正好可以拼成宽为4cm的长方形，这个长方形的长是( )cm，原来圆的面积是( )cm2。【对应练习2】将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是( )cm2。 【对应练习3】如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。 【典型例题2】拓展型。把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为41.4cm，这个圆的面积是( )。【对应练习1】把一个圆切割后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长为24.84厘米，原来这个圆的面积是( )平方厘米。【对应练习2】把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形（如右图）。已知这个近似长方形的周长是24.84厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。（π取3.14）【对应练习3】如下图，把一个圆等分后拼成一个近似长方形，这个长方形的周长是33.12厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米。与近似长方形周长关系，求出圆的半径，解答问题。【考点二】圆的面积。【方法点拨】圆的面积S=πr2。【典型例题】用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是4cm，所画出圆面积是( )cm2。【对应练习1】一个圆形游泳池的半径是5m，它的周长是( )m，面积是( )m2。【对应练习2】小明用圆规画一个圆，圆规两脚张开的距离是3厘米，画出的圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。【对应练习3】圆的半径是3米，它的直径是( )米，周长是( )米，面积是( )平方米。（π取3.14）【考点三】已知周长，求圆的面积。【方法点拨】已知圆的周长，先求出圆的半径，再根据圆的面积公式求面积。【典型例题】用圆规画一个周长是15.7厘米的圆，圆规两脚间叉开的距离应是( )厘米，该圆的面积是( )平方厘米。【对应练习1】画一个周长62.8厘米的圆，圆规两脚间的距离是( )厘米，画成的圆的面积是( )平方厘米。【对应练习2】一个圆形铁板的周长是12.56米，它的半径是( )米，面积是( )平方米。【对应练习3】大戏院门店有一根圆柱子，柱子的外围周长是314cm，它的横截面面积是( )cm2。【考点四】半圆的面积。【方法点拨】半圆的面积：S半圆=πr2÷2。【典型例题】一个半圆半径为3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。【对应练习1】直径是4厘米的半圆，它的周长是( )，面积是( )。【对应练习2】把一张周长是18.84dm的圆形纸片对折成半圆，这个半圆的周长是( )dm，面积是( )dm2。【对应练习3】一个周长为20.56 cm的半圆，它半径是( )cm，面积是( )cm²。【考点五】半圆的实际应用。【方法点拨】半圆的面积：S半圆=πr2÷2。【典型例题】李奶奶用15.7米长的篱笆靠墙围成一个半圆形的菜园，这个菜园的面积是( )。【对应练习1】李奶奶家的养鸡场（如图），一面靠墙，一面用竹篱笆围成半圆，它的半径是6m。（1）修这个养鸡场用了多长的竹篱笆？（2）李奶奶要扩建这个养鸡场，把它的半径增加2m。养鸡场的面积会增加多少？【对应练习2】东东家有一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场，这个半圆的直径是8米，篱笆长多少米？鸡场占地多少平方米？【对应练习3】王奶奶用78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占地面积是多少平方米？【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题。【方法点拨】用同一根铁丝围成正方形、正方形或圆，周长不变，借此求面积。【典型例题1】等长转化其一。一根铁丝围成了一个边长7.85厘米的正方形（接头不计），如果把这根铁丝围成最大的圆（接头不计），圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。【对应练习1】一根铁丝可以围成一个边长为1.57dm的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆形，那么这个圆形的面积是( )dm2。【对应练习2】两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长是6.28厘米，圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。【对应练习3】用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是( )平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )平方厘米。【典型例题2】等长转化其二。一根铁丝刚好能围成一个长8厘米，宽4.56厘米的长方形。如果将这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积有多少平方厘米？【对应练习1】一段铁丝刚好能围成一个长10.5厘米、宽2.06厘米的长方形，用同样长的铁丝围成一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？【对应练习2】一根铁丝围成一个长10cm，宽5.7cm的长方形，用这根铁丝再围成一个最大的圆形，这个圆形的面积是多少?【考点七】面积的比较问题。【方法点拨】周长相等的图形（长方形、正方形、圆）中，圆的面积最大。【典型例题】有一根628厘米长的铁丝，如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？【对应练习1】用三根同样长的铁丝分别围成一个圆、一个长方形和一个正方形，其中( )的面积最大。【对应练习2】把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。【对应练习3】把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。【考点八】半径、直径和周长、面积的倍数关系。【方法点拨】在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数的平方倍。【典型例题1】倍数关系其一。圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。【对应练习1】一个圆的半径扩大4倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。【对应练习2】一个圆的周长扩大5倍，它的直径扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。【对应练习3】一个圆的半径扩大a倍，直径扩大( )倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。【典型例题2】倍数关系其二。大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的( )，大圆面积是小圆面积的( )倍。【对应练习1】有大小两个圆，大圆直径是小圆直径的3倍，那么大圆周长是小圆周长的( )倍；小圆面积是大圆面积的( )。（填几分之几）【对应练习2】大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，小圆面积是大圆面积的( )。【对应练习3】大圆半径是小圆半径的5倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。【考点九】半径、直径和周长、面积的比例关系。【方法点拨】1.两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。2.圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。【典型例题1】比例关系其一。两圆的半径之比，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。【对应练习1】两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是( )cm。【对应练习2】小圆直径8厘米，大圆半径6厘米，小圆和大圆直径之比是( )；小圆和大圆周长比是( )；小圆和大圆的面积比是( )。【对应练习3】已知小圆半径是大圆半径的，则小圆与大圆的周长之比是( )，如果小圆面积是，则大圆面积是( )。【典型例题2】比例关系其二。如图：大圆半径为8厘米，小圆半径为4厘米，则大圆与小圆的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。【对应练习1】下图是由一个大圆和一个小圆组成的，点O是大圆的圆心。小圆与大圆的半径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。【对应练习2】三个同心圆（如图），已知OA：AB：BC的比是1：2：3，那么这三个圆（从小到大）的周长之比是( )，面积之比是( )。【对应练习3】（如图）如果大圆的半径和小圆的直径相等，那么大圆面积与小圆面积之比是( )。A．2∶1 B．4∶1 C． D．【考点十】半径、直径和周长、面积的增减变化问题。【方法点拨】1.周长的变化：算出增加后圆的周长和原来的周长进行相减得到周长增加的部分。当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。2.面积的变化：算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。【典型例题】一个半径是3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加( )dm，面积增加( )dm2。【对应练习1】圆的半径由4cm增加到5cm，它的周长增加( )cm，它的面积增加( )cm2。（π取3.14）【对应练习2】一个圆的半径是6m，周长是( )m，面积是( )m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加( )m，面积增加( )m2。【对应练习3】用篱笆围一个半圆形养鸡场，一面靠墙，篱笆长15.7米。如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏( )米，则面积增加( )平方米。【考点十一】长方形与最圆问题。【方法点拨】在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。【典型例题】在一张长6cm，宽4cm的长方体纸上画一个最大的圆，那么圆规两脚间的距离是( )厘米；所画圆的面积是( )平方厘米。【对应练习1】在一块长8分米、宽6分米的长方形铁板上，剪掉一个最大的圆，剩下部分的面积是( )平方分米。【对应练习2】在长8cm，宽0.6dm的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。【对应练习3】在一张长8cm、宽6cm的长方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm，面积是( )cm2。【考点十二】外方内圆与外圆内方（正方形与最圆问题）。【方法点拨】1.外方内圆：在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积与正方形面积比为π:4。2.外圆内方：在圆里面画最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线的长，圆的面积与正方形的面积比为π:2。【典型例题1】“外方内圆”。如图，在一张边长10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )，剩余部分的面积是( )。【对应练习1】在一个面积为40平方厘米的正方形里，剪下一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米。【对应练习2】在一张周长20分米的正方形上剪下一个最大的圆，则剩余部分的面积是( )平方分米。【对应练习3】数学课上，小明用边长8cm的正方形纸，小华用边长10cm的正方形纸，各剪了一个最大的圆，小明和小华所剪的圆的周长之比是( )，面积之比是( )。【典型例题2】“外圆内方”。在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是72平方厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。【对应练习1】把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线长8cm，那么这个圆形纸片的面积是( )平方厘米，折起来的部分的面积是( )平方厘米。【对应练习2】在一个周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )平方厘米，这个正方形的面积与这个圆的面积最简单整数比是( )∶( )。【对应练习3】如图，在周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，阴影部分的面积是( )平方厘米。【典型例题3】综合型。如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。【对应练习1】大圆内有一个最大的正方形，正方形内有一个最大的圆，大圆面积和小圆面积的比是( )。A．4∶1 B．200∶157 C．2∶1 D．200∶43【对应练习2】如图，大圆内画一个最大的正方形，正方形内画一个最大的圆…，如此画下去，共画了4个圆，那么，最大的圆的面积是最小的圆的( )倍。A．2 B．4 C．8 D．16【考点十三】圆面积与指针问题。【方法点拨】时针和分针可看作圆的半径，求周长或面积时，应先分析出时针或分针走的圈数。【典型例题】一个钟表的分针长10厘米，时针长8厘米。从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？这时时针扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留两位小数）【对应练习1】一个挂钟的分针长12厘米，经过15分钟，分针尖端走过的路程是多少厘米？分针扫过内面积是多少平方厘米？【对应练习2】某钟表的分针长10厘米，从1时到4时，分针针尖走过了多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？【对应练习3】一个钟表的时针长8厘米，分针长10厘米，从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是多少？一昼夜分针尖端走过的路程是多少？【考点十四】圆环的面积问题其一：整圆环。【方法点拨】圆环的面积：S=πR2-πr2。【典型例题】在一个半径为3米的圆形花园外铺一条宽1米的小路，小路的面积是多少？【对应练习1】公园内有一个周长是25.12米的圆形喷水池，在喷水池的周围有一条2米宽的甬路。甬路的占地面积有多少平方米？【对应练习2】土楼是福建、广东等地的一种民居建筑，外围形状有圆形、方形、椭圆形等。有两座底面是圆环形的土楼，其中一座外直径34米，内直径14米；另一座外直径26米，内直径也是14米。两座土楼的房屋占地面积相差多少？【对应练习3】小林爸爸新买了一张圆形餐桌，桌面的直径是2米。（1）如果每个人需要0.5米宽的位置就餐，这张餐桌最多能坐多少人？（2）为了方便大家夹菜，爸爸又在餐桌中央放了一个直径是1米的圆形转盘，剩下桌面的面积是多少？【考点十五】圆环的面积问题其二：半圆环。【方法点拨】半圆环的面积：S=(πR2-πr2)÷2。【典型例题】在一个半径为10米的圆形喷泉周围修一条宽3米的小路，小路一半面积铺鹅卵石，一半面积铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？【对应练习1】如图所示。李爷爷靠墙用篱笆围了一块半圆形的苗圃，半径是4米。如果要扩建这个苗圃，把这块苗圃的半径增加2米，这块半圆形苗圃的面积增加了多少平方米？【对应练习2】一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？【对应练习3】一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？ 篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份，编者也常常为此苦恼。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样？再结合自身教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学讲解，又适宜课后作业练习，还适宜阶段复习的大综合系列。《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！2023年9月20日2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列第一单元圆·面积篇【十五大考点】专题解读本专题是第一单元圆·面积篇。本部分内容考察圆面积的计算公式及实际应用，部分考点和题型难度较大，可选择性讲解，总体建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十五个考点，欢迎使用。目录导航目录TOC \o "1-1" \h \u HYPERLINK \l "_Toc22264" 【考点一】圆与长方形的拼切转化问题（圆面积转化推导公式） PAGEREF _Toc22264 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20317" 【考点二】圆的面积 PAGEREF _Toc20317 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc31436" 【考点三】已知周长，求圆的面积 PAGEREF _Toc31436 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc18969" 【考点四】半圆的面积 PAGEREF _Toc18969 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc30998" 【考点五】半圆的实际应用 PAGEREF _Toc30998 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc8285" 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题 PAGEREF _Toc8285 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc11518" 【考点七】面积的比较问题 PAGEREF _Toc11518 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc25130" 【考点八】半径、直径和周长、面积的倍数关系 PAGEREF _Toc25130 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc18986" 【考点九】半径、直径和周长、面积的比例关系 PAGEREF _Toc18986 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc29068" 【考点十】半径、直径和周长、面积的增减变化问题 PAGEREF _Toc29068 \h 30 HYPERLINK \l "_Toc15217" 【考点十一】长方形与最圆问题 PAGEREF _Toc15217 \h 33 HYPERLINK \l "_Toc17171" 【考点十二】外方内圆与外圆内方（正方形与最圆问题。 PAGEREF _Toc17171 \h 35 HYPERLINK \l "_Toc19437" 【考点十三】圆面积与指针问题 PAGEREF _Toc19437 \h 44 HYPERLINK \l "_Toc8975" 【考点十四】圆环的面积问题其一：整圆环 PAGEREF _Toc8975 \h 46 HYPERLINK \l "_Toc5574" 【考点十五】圆环的面积问题其二：半圆环 PAGEREF _Toc5574 \h 49典型例题【考点一】圆与长方形的拼切转化问题（圆面积转化推导公式）。【方法点拨】把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母πr表示，宽相当于圆的半径，用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr2。【典型例题1】基础型。把圆按下图所示的顺序逐步细分，拼成长方形的样子。这样细分下去，圆的面积就是a和b的积。从图中可以看出： (1)a是圆的( )。(2)b是圆的( )。(3)如果a＝2厘米，这个圆的面积为( )。【答案】(1)半径(2)周长的一半(3)12.56平方厘米【分析】根据题图可知，一个圆被平均分成的份数越多，拼成的图形越接近长方形。长方形的宽a就是圆的半径，长方形的长b就是圆周长的一半。根据“S＝πr2”求出圆的面积即可。【详解】（1）a是圆的半径。（2）b是圆的周长的一半。（3）3.14×42＝12.56（平方厘米）【点睛】熟练掌握圆面积的推导过程是解答本题的关键。【对应练习1】把一个圆平均分成若干份，正好可以拼成宽为4cm的长方形，这个长方形的长是( )cm，原来圆的面积是( )cm2。【答案】 12.56 50.24【分析】已知把一个圆剪拼成一个近似的长方形，那么长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径；根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。【详解】2×3.14×4÷2＝12.56（cm）3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2）这个长方形的长是12.56cm，原来圆的面积是50.24cm2。【点睛】本题考查圆的面积公式推导过程的应用，明确把一个圆剪拼成一个近似长方形时，长方形的长、宽与圆的周长、半径的关系是解题的关键。【对应练习2】将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是( )cm2。 【答案】12.56【分析】将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长相当于圆的周长的一半，根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。【详解】6.28÷3.14＝2（cm）3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2）则圆的面积是12.56cm2。【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。【对应练习3】如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。 【答案】 4 50.24【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份，沿半径剪开，再拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度，据此可以求出圆的半径，再根据圆的面积公式： ；把数据代入公式解答。【详解】8÷2＝4（厘米）3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）圆形纸片的半径是4厘米，这张圆形纸片的面积是50.24平方厘米。【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，圆的周长的意义及应用。【典型例题2】拓展型。把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为41.4cm，这个圆的面积是( )。【答案】78.5平方厘米/78.5cm2【分析】将圆剪开拼接成一个近似的长方形，，如图所示，长方形的周长＝圆的周长＋两个半径，据此等量关系列方程求出圆的半径，再代入圆的面积公式即可。【详解】解：设圆的半径为r厘米。2×3.14×r＋2r＝41.46.28r＋2r＝41.48.28r＝41.48.28r÷8.28＝41.4÷8.28r＝5圆的面积：3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）这个圆的面积是78.5平方厘米。【点睛】此题考查圆的面积公式，明确圆拼接成长方形周长会多两个半径是解题的关键。【对应练习1】把一个圆切割后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长为24.84厘米，原来这个圆的面积是( )平方厘米。【答案】28.26【分析】把一个圆剪开后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长就等于这个圆的周长的一半，宽相当于圆的半径，据此先求出圆的半径，再根据圆的面积公式计算即可【详解】解：设圆的半径为r，则长方形的长是πr，宽是r。πr＋r＝24.84÷24.14r＝12.42r＝33.14×32＝28.26（平方厘米）则原来这个圆的面积是28.26平方厘米。【点睛】考查了圆的周长和圆的面积公式的推导，注意圆的周长是拼成近似的长方形的长的2倍。【对应练习2】把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形（如右图）。已知这个近似长方形的周长是24.84厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。（π取3.14）【答案】28.26【分析】把一个圆形纸片剪开后，拼成一个宽等于半径，面积相等的近似长方形。这个近似长方形的周长就比圆的周长多了圆半径的2倍，可求出圆的半径，然后根据圆面积公式求出面积即可。【详解】圆的半径是：24.84÷（2＋3.14×2）＝24.84÷（2＋6.28）＝24.84÷8.28＝3（厘米）圆的面积是：3.14×3²＝3.14×9＝28.26（平方厘米）【点睛】本题考查了根据圆面积公式求圆面积以及把一个圆形剪开，拼成一个近似长方形，解答此题应注意这个近似长方形的周长，就比圆的周长多了圆半径的2倍的知识。【对应练习3】如下图，把一个圆等分后拼成一个近似长方形，这个长方形的周长是33.12厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米。【答案】50.24【分析】把圆等分后拼成一个近似长方形，长方形的周长是圆形周长加直径，由此算出圆的半径，代入圆的面积公式即可算出。【详解】设圆的半径为r厘米2r＋2πr＝33.12解：2r＋2×3.14r＝33.122r＋6.28r＝33.128.28r＝33.12r＝33.12÷8.28r＝4圆的面积：3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）【点睛】本题关键是知道圆的周长与近似长方形周长关系，求出圆的半径，解答问题。【考点二】圆的面积。【方法点拨】圆的面积S=πr2。【典型例题】用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是4cm，所画出圆面积是( )cm2。【答案】50.24【分析】圆规两脚间的距离是4cm，即圆的半径是4cm，再根据圆的面积公式：S＝，代入数据即可求出所圆的面积。【详解】3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2）即所画出圆面积是50.24cm2。【点睛】解答本题的关键是知道圆规两脚间的距离是半径，然后通过圆的面积公式计算得到答案。【对应练习1】一个圆形游泳池的半径是5m，它的周长是( )m，面积是( )m2。【答案】 31.4 78.5【分析】圆的周长，圆的面积，把半径5m分别代入圆的周长、面积公式计算即可。【详解】2×3.14×5＝31.4（m）3.14×52＝3.14×25＝78.5（m2）所以它的周长是31.4m，面积是78.5m2。【点睛】在计算圆的面积时，不要把当成计算，应是。【对应练习2】小明用圆规画一个圆，圆规两脚张开的距离是3厘米，画出的圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。【答案】 18.84 28.26【分析】圆规两脚张开的距离是圆的半径，即＝3厘米。圆的周长，圆的面积，把半径3厘米分别代入圆的周长公式、面积公式计算即可。【详解】2×3.14×3＝2×3×3.14＝6×3.14＝18.84（厘米）3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）所以画出的圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米。【点睛】在计算圆的面积时，不要把当成计算，应是。【对应练习3】圆的半径是3米，它的直径是( )米，周长是( )米，面积是( )平方米。（π取3.14）【答案】 6 18.84 28.26【分析】根据直径和半径的关系：d＝2r，圆周长公式：C＝πd，圆面积公式：S＝πr2，代入数据解答即可。【详解】3×2＝6（米）3.14×6＝18.84（米）3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方米）圆的半径是3米，它的直径是6米，周长是18.84米，面积是28.26平方米。【点睛】本题主要考查了直径和半径的关系、圆面积公式、圆周长公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。【考点三】已知周长，求圆的面积。【方法点拨】已知圆的周长，先求出圆的半径，再根据圆的面积公式求面积。【典型例题】用圆规画一个周长是15.7厘米的圆，圆规两脚间叉开的距离应是( )厘米，该圆的面积是( )平方厘米。【答案】 2.5 19.625【分析】根据圆的周长公式：C＝，代入圆的周长的数据，求出圆的半径，即圆规两脚间叉开的距离；再根据圆的面积公式：S＝，代入数据即可求出该圆的面积。【详解】15.7÷2÷3.14＝7.85÷3.14＝2.5（厘米）3.14×2.52＝3.14×6.25＝19.625（平方厘米）即圆规两脚间叉开的距离应是2.5厘米，该圆的面积是19.625平方厘米。【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆的周长和圆的面积公式求解。【对应练习1】画一个周长62.8厘米的圆，圆规两脚间的距离是( )厘米，画成的圆的面积是( )平方厘米。【答案】 10 314【分析】圆规两脚间的距离是指这个圆的半径，由此利用“圆的周长公式为： ”，求出这个圆的半径，再根据圆的面积公式：，解题即可。【详解】62.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（cm）3.14×102＝3.14×100＝314（cm2）所以，画一个周长62.8厘米的圆，圆规两脚间的距离是10厘米，画成的圆的面积是314平方厘米。【点睛】此题考查了圆的周长和面积公式的灵活应用。【对应练习2】一个圆形铁板的周长是12.56米，它的半径是( )米，面积是( )平方米。【答案】 2 12.56【分析】根据圆的周长公式：C＝，代入数据求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝，代入数据即可求出圆的面积。【详解】12.56÷2÷3.14＝6.28÷3.14＝2（米）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方米）即圆的半径是2米，面积是12.56平方米。【点睛】此题主要考查圆的周长和圆的面积公式的灵活运用。【对应练习3】大戏院门店有一根圆柱子，柱子的外围周长是314cm，它的横截面面积是( )cm2。【答案】7850【分析】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式计算即可。【详解】314÷3.14÷2＝50（cm）3.14×502＝3.14×2500＝7850（cm2）它的横截面面积是7850cm2。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。【考点四】半圆的面积。【方法点拨】半圆的面积：S半圆=πr2÷2。【典型例题】一个半圆半径为3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。【答案】 14.13 15.42【分析】根据半圆的面积、半圆周长的意义，半圆的面积等于该圆面积的一半，半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，根据半圆的面积公式：S＝πr2÷2，半圆的周长公式：C＝πr＋2r，把数据代入公式解答。【详解】3.14×32÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（平方厘米）3.14×3＋3×2＝9.42＋6＝15.42（厘米）则它的面积是14.13平方厘米，周长是15.42厘米。【点睛】此题主要考查半圆的面积公式、半圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。【对应练习1】直径是4厘米的半圆，它的周长是( )，面积是( )。【答案】 10.28厘米/10.28cm 6.28平方厘米/6.28cm2【分析】周长是指封闭图形一周的长度，据此得出半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，根据圆的周长公式C＝πd求解；半圆的面积＝圆的面积÷2，根据圆的面积公式S＝πr2求解。【详解】半圆的周长：3.14×4÷2＋4＝6.28＋4＝10.28（厘米）半圆的面积：3.14×（4÷2）2÷2＝3.14×4÷2＝6.28（平方厘米）直径是4厘米的半圆，它的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米。【点睛】本题考查圆的周长、圆的面积公式的运用，掌握半圆的周长、半圆的面积的计算方法是解题的关键。【对应练习2】把一张周长是18.84dm的圆形纸片对折成半圆，这个半圆的周长是( )dm，面积是( )dm2。【答案】 15.42 14.13【分析】由圆的周长可知：，据此用18.84÷3.14÷2求出圆的半径；再根据半圆的周长求出这个半圆的周长，即3.14×3＋2×3；根据圆的面积求出圆的面积，再用圆的面积÷2求出半圆的面积，即3.14×32÷2。【详解】18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（dm）3.14×3＋2×3＝9.42＋6＝15.42（dm）3.14×32÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（dm2）所以这个半圆的周长是15.42dm，面积是14.13dm2。【点睛】解决此题时应注意半圆的周长并不等于圆周长的一半。【对应练习3】一个周长为20.56 cm的半圆，它半径是( )cm，面积是( )cm²。【答案】 4 25.12【分析】半圆周长＝πr＋2r，所以半圆的半径＝半圆的周长÷（π＋2）；半圆的面积＝πr2÷2，据此列式计算。【详解】20.56÷（3.14＋2）＝20.56÷5.14＝4（cm）3.14×42÷2＝3.14×16÷2＝25.12（cm²）一个周长为20.56 cm的半圆，它半径是4cm，面积是25.12cm²。【点睛】关键是掌握并灵活运用半圆的周长和面积公式。【考点五】半圆的实际应用。【方法点拨】半圆的面积：S半圆=πr2÷2。【典型例题】李奶奶用15.7米长的篱笆靠墙围成一个半圆形的菜园，这个菜园的面积是( )。解析：15.7÷3.14＝5（米）3.14××52÷2＝3.14×25÷2＝39.25（平方米）【对应练习1】李奶奶家的养鸡场（如图），一面靠墙，一面用竹篱笆围成半圆，它的半径是6m。（1）修这个养鸡场用了多长的竹篱笆？（2）李奶奶要扩建这个养鸡场，把它的半径增加2m。养鸡场的面积会增加多少？解析：（1）3.14×6×2÷2＝18.84×2÷2＝18.84（米）答：修这个养鸡场用了18.84米的竹篱笆。（2）3.14×（6＋2）2÷2－3.14×62÷2＝3.14×32－3.14×18＝3.14×14＝43.96（平方米）答：养鸡场的面积会增加43.96平方米。【对应练习2】东东家有一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场，这个半圆的直径是8米，篱笆长多少米？鸡场占地多少平方米？解析：篱笆长12.56米，鸡场占地50.24平方米。【对应练习3】王奶奶用78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占地面积是多少平方米？解析：r＝78.5÷3.14＝25（米）3.14×252÷2＝981.25（平方米）答：这个养鸡场的占地面积是981.25平方米。【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题。【方法点拨】用同一根铁丝围成正方形、正方形或圆，周长不变，借此求面积。【典型例题1】等长转化其一。一根铁丝围成了一个边长7.85厘米的正方形（接头不计），如果把这根铁丝围成最大的圆（接头不计），圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。【答案】 31.4 78.5【分析】用一根铁丝围成了一个正方形，那么铁丝的长度等于正方形的周长；根据正方形的周长＝边长×4，求出这根铁丝的长度；又用这根铁丝围成最大的圆，那么圆的周长等于这根铁丝的长度，根据r＝C÷π÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积S＝πr2，即可求出圆的面积。【详解】正方形的周长（圆的周长）：7.85×4＝31.4（厘米）圆的半径：31.4÷3.14÷2＝5（厘米）圆的面积：3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）圆的周长是31.4厘米，面积是78.5平方厘米。【点睛】本题考查正方形的周长、圆的周长、圆的面积公式的灵活运用，明确用一根铁丝围成一个图形，铁丝长度等于这个图形的周长。【对应练习1】一根铁丝可以围成一个边长为1.57dm的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆形，那么这个圆形的面积是( )dm2。【答案】0.19625【分析】根据题意，围成正方形的周长即是围成圆的周长，可根据圆的周长公式：C＝2πr，进行计算即可得到围成圆的半径的长度，然后根据圆的面积公式，列式解答即可得到答案。【详解】1.57÷3.14÷2＝0.5÷2＝0.25（dm）3.14×0.252＝3.14×0.0625＝0.19625（平方分米）【点睛】此题主要考查的是圆的周长和面积公式的应用。【对应练习2】两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长是6.28厘米，圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。【答案】 4 50.24【分析】用6.28×4求出正方形的周长，也是圆的周长，再根据“r＝c÷π÷2”、“s＝πr²”求出圆的半径和面积即可。【详解】6.28×4÷3.14÷2＝25.12÷3.14÷2＝4（厘米）；3.14×4²＝50.24（平方厘米）【点睛】明确正方形和圆的周长相等是解答本题的关键，熟练掌握的圆的周长和面积公式。【对应练习3】用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是( )平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )平方厘米。【答案】15.405625，19.625【详解】试题分析：（1）用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，这个正方形的周长就是15.7厘米，用它除以4，求出这个正方形的边长，再根据正方形的面积公式，求出它面积，（2）用一根长15.7厘米的铁丝围成一个圆，这个圆的周长就是15.7，用它除以2，再除以π，求出这个圆的半径，再根据圆的面积公式求出圆的面积．解：（1）15.7÷4=3.925（厘米），3.925×3.925=15.405625（平方厘米）．（2）15.7÷2÷3.14=2.5（厘米），3.14×2.52=3.14×6.25=19.625（平方厘米）．故答案为15.405625，19.625．点评：本题的关键是求出这个正方形的边长和圆的半径，再根据正方形和圆的面积公式进行解答．【典型例题2】等长转化其二。一根铁丝刚好能围成一个长8厘米，宽4.56厘米的长方形。如果将这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积有多少平方厘米？【答案】50.24平方厘米【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，据此先求出长方形的周长，即围成圆的周长。将圆的周长除以2再除以圆周率3.14，求出圆的半径。圆的面积S＝πr2，将数据代入其中，求出围成圆的面积。【详解】（8＋4.56）×2＝12.56×2＝25.12（厘米）25.12÷2÷3.14＝12.56÷3.14＝4（厘米）3.14×42＝50.24（平方厘米）答：这个圆的面积有50.24平方厘米。【点睛】本题考查了圆的周长和面积，熟记圆的周长和面积公式是解题的关键。【对应练习1】一段铁丝刚好能围成一个长10.5厘米、宽2.06厘米的长方形，用同样长的铁丝围成一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？【答案】50.24平方厘米【分析】通过长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入长和宽的数据，求出铁丝的长度，再根据圆的周长公式：C＝，可得r＝C÷2÷，代入数据，求出圆的半径之后，根据圆的面积公式：S＝即可求出这个圆的面积。【详解】（10.5＋2.06）×2＝12.56×2＝25.12（厘米）25.12÷2÷3.14＝4（厘米）3.14×4×4＝50.24（平方厘米）答：这个圆的面积是50.24平方厘米。【点睛】此题的解题关键是抓住铁丝的长度不变，灵活运用长方形和圆的周长公式，最后再利用圆的面积公式求出结果。【对应练习2】一根铁丝围成一个长10cm，宽5.7cm的长方形，用这根铁丝再围成一个最大的圆形，这个圆形的面积是多少?【答案】78.5cm2【详解】(10+5.7)×2÷2÷3.14=5(cm)3.14×=78.5(cm2)【考点七】面积的比较问题。【方法点拨】周长相等的图形（长方形、正方形、圆）中，圆的面积最大。【典型例题】有一根628厘米长的铁丝，如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？【答案】22800平方厘米，24649平方厘米，31400平方厘米，圆的面积最大【详解】试题分析：周长一定，分别依据长方形、正方形和圆的周长公式求出长方形的长和宽，正方形的边长，圆的半径，进而分别求出其面积．解：长方形：628÷2=314（厘米），假设长为200厘米，则宽为114厘米，其面积是200×114=22800（平方厘米），正方形：628÷4=157（厘米），其面积为157×157=24649平方厘米），圆：628÷2π=100（厘米），其面积为3.14×1002=31400（平方厘米），答：长方形的面积是22800平方厘米，正方形的面积是24649平方厘米，圆的面积是31400平方厘米；由以上可知圆的面积最大．点评：此题主要考查长方形、正方形及圆的面积公式，将数据代入公式即可．【对应练习1】用三根同样长的铁丝分别围成一个圆、一个长方形和一个正方形，其中( )的面积最大。【答案】圆【分析】根据题意可知，铁丝的长度是围成图形的周长，此题用举例法解答，先假设正方形、长方形和圆形的周长都是16米，分别求出圆、正方形、长方形的面积，然后比较大小即可。【详解】假设正方形、长方形和圆形的周长都是16米，则圆的面积为：π×（）2≈20.38（平方米）；正方形的边长为：16÷4＝4（米），面积为：4×4＝16（平方米）；长方形长、宽越接近，面积越大，就取长为5米、宽为3米，面积为：5×3＝15（平方米），当长方形的长和宽最接近时面积也小于16平方米；所以周长相等的正方形、长方形和圆形，圆面积最大。【点睛】所以周长相等，圆面积＞正方形面积＞长方形面积。【对应练习2】把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。【答案】圆；长方形【详解】试题分析：由题意得：三种图形的周长相等，是24÷3=8（分米），分别计算出面积，再比较大小．解：①正方形面积为：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）；②长方形长与宽的和是：8÷2=4（分米），面积最大为：1×3=3（平方分米）；③圆的半径为：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圆的面积为：3.14×1.32=5.3066（平方分米）；所以：3＜4＜5.3066，即圆的面积最大，长方形的面积最小．故答案为圆；长方形．点评：此题主要考查正方体、长方形、圆的面积计算，明确它们的周长相等时，圆的面积最大，长方形面积最小．【对应练习3】把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。【答案】圆；长方形【详解】试题分析：由题意得：三种图形的周长相等，是24÷3=8（分米），分别计算出面积，再比较大小．解：①正方形面积为：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）；②长方形长与宽的和是：8÷2=4（分米），面积最大为：1×3=3（平方分米）；③圆的半径为：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圆的面积为：3.14×1.32=5.3066（平方分米）；所以：3＜4＜5.3066，即圆的面积最大，长方形的面积最小．故答案为圆；长方形．点评：此题主要考查正方体、长方形、圆的面积计算，明确它们的周长相等时，圆的面积最大，长方形面积最小．【考点八】半径、直径和周长、面积的倍数关系。【方法点拨】在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数的平方倍。【典型例题1】倍数关系其一。圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。【答案】 9倍 3【详解】略【对应练习1】一个圆的半径扩大4倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。【答案】 4 16【分析】一个圆的半径扩大到原来的几倍，周长也扩大到原来的几倍；面积扩大倍数是半径扩大倍数的平方，据此解答即可。【详解】一个圆的半径扩大到原来的4倍，周长也扩大到原来的4倍，面积扩大到原来的16倍。【点睛】明确半径、周长和面积之间扩大倍数之间的关系是解答本题的关键。【对应练习2】一个圆的周长扩大5倍，它的直径扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。【答案】 5 25【解析】略【对应练习3】一个圆的半径扩大a倍，直径扩大( )倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。【答案】 a a a²【分析】假设圆原来的半径为2，则扩大后圆的半径为2a，直径由原来的4变为4a，周长由原来的4π变为4aπ，面积由π×2²＝4π变为π×（2a）²＝4πa²，由此解答即可。【详解】一个圆的半径扩大a倍，直径扩大a倍，周长扩大a倍，面积扩大a²倍。【点睛】本题采用了假设法，假设法使题目变得具体化，简单化。【典型例题2】倍数关系其二。大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的( )，大圆面积是小圆面积的( )倍。【答案】 4【分析】根据半径的倍数等于周长的倍数，倍数×倍数是面积之间的倍数，据此分析。【详解】2×2＝4，大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的，大圆面积是小圆面积的4倍。【点睛】圆的周长＝πd＝2πr，圆的面积＝πr²。【对应练习1】有大小两个圆，大圆直径是小圆直径的3倍，那么大圆周长是小圆周长的( )倍；小圆面积是大圆面积的( )。（填几分之几）【答案】 3 【分析】根据大圆的直径是小圆直径的3倍，可知大圆的半径是小圆半径的3倍，进而代入周长和面积公式，先分别求出它们的周长和面积，进而得解。【详解】（1）大圆周长：小圆周长：大圆周长小圆周长（2）大圆面积：小圆面积：小圆面积是大圆面积的：【点睛】考查了圆的周长公式或，圆的面积公式运用。【对应练习2】大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，小圆面积是大圆面积的( )。【答案】 4 【详解】小圆的周长C=2πr，大圆半径是小圆半径的4倍，大圆的周长=2π×4r，小圆的面积S=πr²，大圆半径是小圆半径的4倍，大圆的面积S=π×4r×4r=16πr²，由此可知答案．【对应练习3】大圆半径是小圆半径的5倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。【答案】 5 25【分析】由题意可知，假设小圆的半径是1，则大圆的半径是5，根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，据此解答即可。【详解】假设小圆的半径是1，则大圆的半径是5，（2π×5）÷2π＝10π÷2π＝5π×52÷π×12＝25π÷π＝25则大圆周长是小圆周长的5倍，大圆面积是小圆面积的25倍。【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。【考点九】半径、直径和周长、面积的比例关系。【方法点拨】1.两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。2.圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。【典型例题1】比例关系其一。两圆的半径之比，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。【答案】 9∶25 3∶5【分析】圆的周长，圆的面积，根据圆的周长和面积公式可知，两圆的面积之比等于半径的平方之比，两圆的周长之比等于半径之比，据此解答即可。【详解】两圆的半径之比 3:5 ，它们的面积之比是9∶25，周长之比是3∶5。【点睛】本题考查比、圆的周长和面积，解答本题的关键是掌握圆的周长和面积计算公式。【对应练习1】两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是( )cm。【答案】 4∶3 4∶3 16∶9 9.42【分析】由题意可知，两个圆的半径之比是4∶3，则假设两个圆的半径分别为4和3，根据直径＝半径×2，圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此求出它们的直径之比、周长之比和面积之比；根据圆的周长公式求出较大的圆的直径，进而求出较小的圆的直径，最后求出较小的圆的周长。【详解】假设两个圆的半径分别为4和3（4×2）∶（3×2）＝8∶6＝（8÷2）∶（6÷2）＝4∶34π∶3π＝4∶342π∶32π＝16π∶9π＝16∶912.56÷3.14＝4（cm）4÷4×3＝1×3＝3（cm）3.14×3＝9.42（cm）则两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是4∶3，周长之比是4∶3，面积之比是16∶9，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是9.42cm。【点睛】本题考查比的意义，结合圆的周长和面积的计算方法是解题的关键。【对应练习2】小圆直径8厘米，大圆半径6厘米，小圆和大圆直径之比是( )；小圆和大圆周长比是( )；小圆和大圆的面积比是( )。【答案】 2∶3 2∶3 4∶9【分析】根据d＝2r，先求出大圆的直径，然后写出比，化简比即可；根据两个圆的直径比＝周长比，面积比＝直径比的平方，据此直接写出比即可。【详解】根据分析：直径比和周长比：8∶（6×2）＝8∶12＝2∶3面积比：（2×2）∶（3×3）＝4∶9所以，小圆直径8厘米，大圆半径6厘米，小圆和大圆直径之比是（2∶3）；小圆和大圆周长比是（2∶3）；小圆和大圆的面积比是（4∶9）。【点睛】此题考查了圆的周长以及面积计算，关键熟记：两个圆的直径比＝周长比，面积比＝直径平方的比。【对应练习3】已知小圆半径是大圆半径的，则小圆与大圆的周长之比是( )，如果小圆面积是，则大圆面积是( )。【答案】 1∶3 28.26【分析】已知小圆半径是大圆半径的，利用比与分数之间的关系，可得小圆和大圆的半径之比是1∶3，根据圆的周长＝×2×半径，因此两个圆的周长比等于这两个圆的半径比，即可求出小圆与大圆的周长之比。再根据圆的面积＝，因此两个圆的面积比等于这两个圆的半径的平方比，可求得小圆和大圆的面积之比是1∶9，把小圆的面积看作1份，大圆的面积看作9份，用小圆的面积除以1，求出1份量是多少，再乘9即可求出大圆的面积。【详解】根据分析得，小圆和大圆的半径之比是1∶3，所以小圆与大圆的周长之比是1∶3。小圆与大圆的面积之比是12∶32＝1∶9。3.14÷1×9＝28.26（cm2）即大圆面积是28.26cm2。【点睛】此题主要考查比的应用以及圆的周长、面积公式的熟练运用。【典型例题2】比例关系其二。如图：大圆半径为8厘米，小圆半径为4厘米，则大圆与小圆的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。【答案】 2∶1 2∶1 4∶1 75.36【分析】根据圆的直径d＝2r，圆的周长C＝2πr，圆的面积S＝πr2，可知两个圆的直径之比、周长之比等于它们的半径之比，两个圆的面积之比等于它们的半径的平方比。从图中可知，小圆的圆心移动的长度是以（8＋4）厘米为半径的圆的周长，根据圆的周长C＝2πr，代入数据计算即可求解。【详解】大圆与小圆的直径之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；大圆与小圆的周长之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；大圆与小圆的面积之比是82∶42＝64∶16＝（64÷16）∶（16÷16）＝4∶1；2×3.14×（8＋4）＝2×3.14×12＝75.36（厘米）小圆的圆心移动的长度是75.36厘米。【点睛】本题考查圆的直径、周长、面积公式的运用以及比的意义、比的化简。【对应练习1】下图是由一个大圆和一个小圆组成的，点O是大圆的圆心。小圆与大圆的半径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。【答案】 1∶2 1∶2 1∶4【分析】可以假设小圆的半径为r，大圆的半径为2r，分别求出大小圆的半径、大小圆的周长、大小圆的面积，再写出比并化简即可。【详解】根据题意，设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r，小圆与大圆的半径之比：r∶2r＝1∶2周长之比：2πr∶2π（2r）＝1∶2面积之比：πr2∶π（2r）2＝πr2∶4πr2＝1∶4已知小圆的直径等于大圆的半径，那么小圆与大圆的半径之比是1∶2，周长之比是1∶2，面积之比是1∶4。【点睛】本题考查圆的周长、面积公式及比的意义与化简比。【对应练习2】三个同心圆（如图），已知OA：AB：BC的比是1：2：3，那么这三个圆（从小到大）的周长之比是( )，面积之比是( )。【答案】 1：3：6 1：9：36【详解】由分析得：这三个圆的周长的比等于半径的比，面积的比等于半径平方的比，所以，这三个圆（从小到大）的周长之比是1：3：6，面积的比是1：9：36．故答案为1：3：6，1：9：36．【对应练习3】（如图）如果大圆的半径和小圆的直径相等，那么大圆面积与小圆面积之比是( )。A．2∶1 B．4∶1 C． D．【答案】B【分析】假设出小圆的半径，大圆的半径＝小圆的半径×2，利用“”表示出大圆的面积和小圆的面积，最后根据比的意义求出大圆和小圆的面积比，据此解答。【详解】假设小圆的半径为r厘米，则大圆的半径为2r厘米。小圆的面积：（平方厘米）大圆的面积：＝（平方厘米）大圆的面积∶小圆的面积＝∶＝4∶1所以，大圆面积与小圆面积之比是4∶1。故答案为：B【点睛】掌握圆的面积计算公式和比的意义是解答题目的关键。【考点十】半径、直径和周长、面积的增减变化问题。【方法点拨】1.周长的变化：算出增加后圆的周长和原来的周长进行相减得到周长增加的部分。当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。2.面积的变化：算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。【典型例题】一个半径是3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加( )dm，面积增加( )dm2。【答案】 6.28 21.98【分析】由于半径增加1dm，那么此时的半径是4dm，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数代入公式求出半径增加前的周长和面积，再求出半径增加后的周长和面积，之后作差即可。【详解】当半径是3dm的时候周长：3.14×3×2＝9.42×2＝18.84（dm）面积：3.14×32＝3.14×9＝28.26（dm2）半径增加1dm后：3＋1＝4（dm）周长：3.14×4×2＝12.56×2＝25.12（dm）面积：3.14×42＝3.14×16＝50.24（dm2）则周长增加：25.12－18.84＝6.28（dm）面积增加：50.24－28.26＝21.98（dm2）所以一个半径为3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加6.28dm，面积增加21.98dm2。【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式，应熟练掌握它们的公式并灵活运用。【对应练习1】圆的半径由4cm增加到5cm，它的周长增加( )cm，它的面积增加( )cm2。（π取3.14）【答案】 6.28 28.26【分析】根据圆的周长公式：C＝，和圆的面积公式：S＝，代入前后半径的数据，分别求出增加前和增加后的圆的周长及圆的面积，再相减即可求出增加的圆的周长和增加的圆的面积。【详解】2×3.14×5－2×3.14×4＝31.4－25.12＝6.28（cm）3.14×52－3.14×42＝3.14×25－3.14×16＝78.5－50.24＝28.26（cm2）即圆的周长增加6.28cm，它的面积增加28.26cm2。【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆的周长和圆的面积公式解决实际的问题。【对应练习2】一个圆的半径是6m，周长是( )m，面积是( )m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加( )m，面积增加( )m2。【答案】 37.68 113.04 6.28 40.82【分析】根据“”“”分别求出这个圆的周长和面积，以及半径增加后圆的周长和面积，最后求出它们的差，据此解答。【详解】2×3.14×6＝6.28×6＝37.68（m）3.14×62＝3.14×36＝113.04（m2）6＋1＝7（m）2×3.14×7－37.68＝6.28×7－37.68＝43.96－37.68＝6.28（m）3.14×72－113.04＝3.14×49－113.04＝153.86－113.04＝40.82（m2）所以，一个圆的半径是6m，周长是37.68m，面积是113.04m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加6.28m，面积增加40.82m2。【点睛】熟练掌握并灵活运用圆的周长和面积的计算公式是解答题目的关键。【对应练习3】用篱笆围一个半圆形养鸡场，一面靠墙，篱笆长15.7米。如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏( )米，则面积增加( )平方米。【答案】 3.14 17.27【分析】先用15.7×2求出整圆的周长，然后算出养鸡场原来的半径，再算出增加1米后的半径以及篱笆长度，和之前的篱笆长相减，求出增加的围栏长度；分别根据增加前后的半径求出半圆的面积，最后把它们相减求出增加的面积即可。【详解】原来半径：15.7×2÷2÷3.14＝15.7÷3.14＝5（米）后来半径：5＋1＝6（米）后来篱笆长：6×2×3.14÷2＝6×3.14＝18.84（米）增加的围栏长度：18.84－15.7＝3.14（米）增加的面积：3.14×6×6÷2－3.14×5×5÷2＝3.14×18－3.14×12.5＝56.52－39.25＝17.27（平方米）如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏3.14米，则面积增加17.27平方米。【点睛】灵活运用圆的周长和面积公式是解题的关键。【考点十一】长方形与最圆问题。【方法点拨】在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。【典型例题】在一张长6cm，宽4cm的长方体纸上画一个最大的圆，那么圆规两脚间的距离是( )厘米；所画圆的面积是( )平方厘米。【答案】 2 12.56【分析】根据题意可知，在这张长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，所以圆规两脚间的距离是（4÷2）厘米，根据圆的面积公式：S＝r2，把数据代入公式解答。【详解】4÷2＝2（厘米）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）圆规两脚间的距离是2厘米，所画圆的面积是12.56平方厘米。【点睛】考查圆的特点以及圆的面积计算，重点是能够熟练掌握圆的面积计算方法。【对应练习1】在一块长8分米、宽6分米的长方形铁板上，剪掉一个最大的圆，剩下部分的面积是( )平方分米。【答案】19.74【分析】长方形里剪掉一个最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，长方形面积－圆的面积＝剩下部分的面积，据此列式计算。【详解】8×6－3.14×（6÷2）2＝48－3.14×32＝48－3.14×9＝48－28.26＝19.74（平方分米）剩下部分的面积是19.74平方分米。【点睛】关键是掌握并灵活运用长方形和圆的面积公式，理解长方形和圆之间的关系。【对应练习2】在长8cm，宽0.6dm的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。【答案】 18.84 28.26【分析】在长方形中画一个最大的圆，则这个圆的直径相当于长方形的宽，根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。【详解】0.6dm＝6cm3.14×6＝18.84（cm）3.14×（6÷2）2＝3.14×9＝28.26（cm2）则这个圆的周长是18.84cm，面积是28.26cm2。【点睛】本题考查圆的周长和面积，明确这个圆的直径相当于长方形的宽是解题的关键。【对应练习3】在一张长8cm、宽6cm的长方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm，面积是( )cm2。【答案】 3 18.84 28.26【分析】以长方形的宽为直径的圆是长方形中最大的圆，在同圆或等圆中，半径是直径的，直径是半径的2倍，利用“”求出圆的周长，利用“”求出圆的面积，据此解答。【详解】半径：6÷2＝3（cm）周长：2×3.14×3＝6.28×3＝18.84（cm）面积：3.14×32＝28.26（cm2）所以，这个圆的半径是3cm，周长是18.84cm，面积是28.26cm2。【点睛】理解最大圆的直径等于长方形的宽，并掌握圆的周长和面积计算公式是解答题目的关键。【考点十二】外方内圆与外圆内方（正方形与最圆问题）。【方法点拨】1.外方内圆：在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积与正方形面积比为π:4。2.外圆内方：在圆里面画最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线的长，圆的面积与正方形的面积比为π:2。【典型例题1】“外方内圆”。如图，在一张边长10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )，剩余部分的面积是( )。【答案】 78.5 21.5【分析】由题意可知：这个最大圆的直径应该等于正方形的边长，正方形的边长已知，于是利用圆的面积＝πr2，即可求出圆的面积；再用正方形的面积减去圆的面积，即可求出剩余部分的面积。【详解】3.14×（10÷2）2＝3.14×25＝78.5（平方厘米）这个圆的面积是78.5平方厘米。10×10－78.5＝100－78.5＝21.5（平方厘米）余下部分的面积是21.5平方厘米。【点睛】此题主要考查学生正方形与圆面积的计算能力，解答此题的关键是明白：正方形中最大圆的直径应该等于正方形的边长，即可求得圆面积和余下的面积。【对应练习1】在一个面积为40平方厘米的正方形里，剪下一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米。【答案】31.4【分析】由题意可知，从正方形中剪下一个最大的圆，则该圆的直径相当于正方形的边长，圆的半径的平方等于正方形的面积的，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。【详解】40×＝10（平方厘米）3.14×10＝31.4（平方厘米）则圆的面积是31.4平方厘米。【点睛】本题考查圆的面积，明确圆的半径的平方等于正方形的面积的是解题的关键。【对应练习2】在一张周长20分米的正方形上剪下一个最大的圆，则剩余部分的面积是( )平方分米。【答案】5.375【分析】周长20分米的正方形的边长是5分米，则这个最大的圆的直径就是5分米，据此利用圆的面积公式求出这个最大的圆的面积，再用正方形的面积减去圆的面积即可。【详解】20÷4＝5（分米）5×5－3.14×（5÷2）2＝25－3.14×6.25＝25－19.625＝5.375（平方分米）剩余部分的面积是5.375平方分米。【点睛】解答此题的关键是：弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积的和或差求得，再利用面积公式计算即可解答问题。【对应练习3】数学课上，小明用边长8cm的正方形纸，小华用边长10cm的正方形纸，各剪了一个最大的圆，小明和小华所剪的圆的周长之比是( )，面积之比是( )。【答案】 4∶5 16∶25【分析】正方形的边长为圆的直径，根据圆的周长公式：可知，圆的周长之比等于半径之比；根据圆的面积公式：可知，圆的面积之比等于半径的平方之比。【详解】小明剪的圆的半径为：8÷2＝4（cm），小华剪的圆的半径为：10÷2＝5（cm）；所以小明和小华所剪的圆的周长之比为：4∶5；小明和小华所剪的圆的面积之比为：＝16∶25【点睛】此题考查的是圆的面积公式和圆的周长公式。【典型例题2】“外圆内方”。在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是72平方厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。【答案】 113.04 37.68【分析】在一个圆内画一个最大的正方形，如图，正方形的对角线＝圆的直径，设圆的半径是r厘米，根据2r×r×2÷2＝正方形面积，确定r，再根据圆的面积＝πr2，圆的周长＝2πr，求出圆的面积和周长。【详解】解：设圆的半径是r厘米。2r×r×2÷2＝722r×r＝722r×r÷2＝72÷2r×r＝36r＝63.14×62＝3.14×36＝113.04（平方厘米）2×3.14×6＝37.68（厘米）这个圆的面积是113.04平方厘米，周长是37.68厘米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。【对应练习1】把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线长8cm，那么这个圆形纸片的面积是( )平方厘米，折起来的部分的面积是( )平方厘米。【答案】 50.24 18.24【分析】把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线＝圆的直径，根据圆的面积＝πr2，求出圆形纸片的面积；圆的面积－正方形面积＝折起来的面积，正方形的面积＝两个三角形面积和，据此列式计算。【详解】3.14×（8÷2）2＝3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）50.24－8×（8÷2）÷2×2＝50.24－8×4÷2×2＝50.24－32＝18.24（平方厘米）这个圆形纸片的面积是50.24平方厘米，折起来的部分的面积是18.24平方厘米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的面积公式，灵活计算正方形面积。【对应练习2】在一个周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )平方厘米，这个正方形的面积与这个圆的面积最简单整数比是( )∶( )。【答案】 18 100 157【分析】圆内画一个最大的正方形，正方形对角线＝圆的直径，根据圆的直径＝周长÷π，求出圆的直径，即正方形对角线，将正方形平均分成2个等腰直角三角形，根据三角形面积＝底×高÷2，求出正方形面积；圆的面积＝πr2，根据比的意义，写出正方形与圆的面积比，化简即可。【详解】18.84÷3.14＝6（厘米）6×（6÷2）÷2×2＝6×3÷2×2＝18（平方厘米）3.14×（6÷2）2＝3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）18∶28.26＝1800∶2826＝300∶471＝100∶157在一个周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是18平方厘米，这个正方形的面积与这个圆的面积最简单整数比是100∶157。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式以及正方形面积公式，理解比的意义，掌握化简比的方法。【对应练习3】如图，在周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，阴影部分的面积是( )平方厘米。【答案】10.26【分析】以圆的直径为对角线的正方形是圆内面积最大的正方形，连接正方形的两条对角线，正方形被分成4个形状相同的等腰直角三角形，先根据圆的周长求出圆的半径，再利用“”表示出圆的面积，并根据“”表示出正方形的面积，阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，据此解答。【详解】18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（厘米）3.14×32－×3×3×4＝3.14×9－×4＝28.26－18＝10.26（平方厘米）所以，阴影部分的面积是10.26平方厘米。【点睛】把正方形的面积转化为三角形的面积，并掌握圆的周长和面积计算公式是解答题目的关键。【典型例题3】综合型。如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。【答案】1.14【分析】根据题意，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积；在圆里画一个最大的正方形，如下图，用正方形的一条对角线把这个正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是这个最大正方形的面积；最后用圆的面积减去最大正方形的面积，即是阴影部分的面积。【详解】圆的半径：2÷2＝1（cm）圆的面积：3.14×1×1＝3.14（cm2）圆内最大正方形的面积：2×1÷2×2＝2（cm2）阴影部分的面积：3.14－2＝1.14（cm2）阴影部分的面积是1.14cm2。【点睛】本题考查圆的面积、三角形面积公式的运用，关键是把圆内最大正方形的面积转化成两个完全一样的三角形的面积求解。【对应练习1】大圆内有一个最大的正方形，正方形内有一个最大的圆，大圆面积和小圆面积的比是( )。A．4∶1 B．200∶157 C．2∶1 D．200∶43【答案】C【分析】观察图形可知，设小圆的半径是1，正方形的边长为2，利用圆的面积公式即可表示出小圆的面积为π；假设大圆的半径为r，根据大圆和正方形的关系，正方形的面积等于2r2，据此求出r2，进而得出大圆的面积，然后写出大圆面积和小圆面积的比，再化简即可。【详解】设小圆的半径为1，则：小圆的面积是：π×1×1＝π正方形的面积是：（1＋1）2＝22＝4设大圆的半径是r，则：2r2＝42r2÷2＝4÷2r2＝2大圆的面积是：π×r2＝2π所以大圆面积和小圆面积的比是：2π∶π＝（2π÷2）∶（π÷2）＝2∶1故答案为：C【点睛】本题主要考查了组合图形面积的计算，根据圆中取面积最大正方形的画法，推导出大圆半径和正方形边长的关系，是本题解题的关键。【对应练习2】如图，大圆内画一个最大的正方形，正方形内画一个最大的圆…，如此画下去，共画了4个圆．那么，最大的圆的面积是最小的圆的( )倍。A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】首先设最小圆的半径（最小正方形的边心距）为x，然后利用构造的等腰直角三角形表示出最大的正方形的半径，然后根据面积的比等于半径比的平方即可得到答案。【详解】如图：设同心圆的圆心为O，连接OA，作OC垂直于最大正方形的边于点C，设最小圆的半径（最小正方形的边心距）为x，∵∠AOC=45°，所以∴最大圆与最小圆的面积比为：（2x）2：x2=8：1，即最大圆的面积是最小圆的面积的8倍。故选C。【点睛】本题考查了正多边形的有关计算，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形并找到两圆的半径比。【考点十三】圆面积与指针问题。【方法点拨】时针和分针可看作圆的半径，求周长或面积时，应先分析出时针或分针走的圈数。【典型例题】一个钟表的分针长10厘米，时针长8厘米。从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？这时时针扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留两位小数）【答案】62.8厘米；16.75平方厘米【分析】从1时到2时，分针走了1圈，时针走了1大格，一共有12格；根据圆周长公式：C＝2πr，用3.14×2×10即可求出分针针尖走过了多少厘米；根据题意可知，时针扫过的面积是圆面积的；根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×82×即可求出时针扫过的面积。【详解】3.14×2×10＝62.8（厘米）3.14×82×＝3.14×64×≈16.75（平方厘米）答：分针针尖走过了62.8厘米；时针扫过的面积是16.75平方厘米。【点睛】本题主要考查了圆周长公式和圆面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。【对应练习1】一个挂钟的分针长12厘米，经过15分钟，分针尖端走过的路程是多少厘米？分针扫过内面积是多少平方厘米？【答案】18.84厘米；113.04平方厘米【分析】根据生活经验可知，分针1小时（60分钟）转一圈，经过15分钟，分针转了四分之一圈，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。【详解】2×3.14×12÷4＝6.28×12÷4＝75.36÷4＝18.84（厘米）3.14×122÷4＝3.14×144÷4＝452.16÷4＝113.04（平方厘米）答：分针尖端走过的路程是18.84厘米，分针扫过内面积是113.04平方厘米。【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【对应练习2】某钟表的分针长10厘米，从1时到4时，分针针尖走过了多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？【答案】188.4厘米；942平方厘米【分析】根据题意可知，从1时到4时，分针正好转动了三圈，分针走一圈，它的尖端走过的路程是一个圆，分针的长度就是这个圆的半径，根据圆的周长公式走一圈所走的路程，再乘3即可求出分针走过的路程；分针转过一圈的面积，就是这个圆的面积，利用圆的面积公式求出扫一圈的面积，再乘3即可解答。【详解】2×3.14×10×3＝6.28×10×3＝188.4（厘米）3.14×102×3＝3.14×100×3＝942（平方厘米）答：分针针尖走过了188.4厘米，分针扫过的面积是942平方厘米。【点睛】此题主要考查的是圆的周长、面积公式的应用。【对应练习3】一个钟表的时针长8厘米，分针长10厘米，从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是多少？一昼夜分针尖端走过的路程是多少？【答案】100.48平方厘米；1507.2厘米【分析】时针和分针的长度相当于圆的半径，从中午12时到下午6时，时针扫过钟面的一半，根据半圆面积＝πr2÷2，求出时针扫过的面积；一昼夜分针转24圈，根据圆的周长C＝2πr，求出转一圈的路程，乘24即可。【详解】3.14×82÷2＝3.14×64÷2＝100.48（平方厘米）2×3.14×10×24＝62.8×24＝1507.2（厘米）答：从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是100.48平方厘米，一昼夜分针尖端走过的路程是1507.2厘米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。【考点十四】圆环的面积问题其一：整圆环。【方法点拨】圆环的面积：S=πR2-πr2。【典型例题】在一个半径为3米的圆形花园外铺一条宽1米的小路，小路的面积是多少？【答案】21.98平方米【分析】由题意可知，小路的面积等于半径为（3＋1）米的圆的面积减去半径为3米的圆的面积，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。【详解】3＋1＝4（米）3.14×42－3.14×32＝3.14×（42－32）＝3.14×（16－9）＝3.14×7＝21.98（平方米）答：小路的面积是21.98平方米。【点睛】本题考查圆的面积，熟记公式是解题的关键。【对应练习1】公园内有一个周长是25.12米的圆形喷水池，在喷水池的周围有一条2米宽的甬路。甬路的占地面积有多少平方米？【答案】62.8平方米【分析】先根据圆的周长公式求出内圆的半径，有一条2米宽的甬路，即环宽为2米，用内圆的半径加上环宽，就是外圆的半径，再利用圆环的面积公式：即可得解。【详解】25.12÷2÷3.14＝4（米）4＋2＝6（米）3.14×（62－42）＝3.14×（36－16）＝3.14×20＝62.8（平方米）答：甬路的占地面积有62.8平方米。【点睛】此题的解题关键是掌握圆的周长以及圆环的面积计算方法。【对应练习2】土楼是福建、广东等地的一种民居建筑，外围形状有圆形、方形、椭圆形等。有两座底面是圆环形的土楼，其中一座外直径34米，内直径14米；另一座外直径26米，内直径也是14米。两座土楼的房屋占地面积相差多少？【答案】376.8平方米【分析】这个楼座的形状是圆环形的，根据圆环的面积＝，其中R是外圆的半径，r是内圆的半径，将数据带入公式分别计算面积，然后求差即可。【详解】34÷2＝17（米）14÷2＝7（米）26÷2＝13（米）14÷2＝7（米）＝＝＝（平方米）＝＝＝376.8（平方米）753.6－376.8＝376.8（平方米）答：两座土楼的房屋占地面积相差376.8平方米。【点睛】考查圆环面积的计算方法，重点是能够熟记圆环面积的计算公式。【对应练习3】小林爸爸新买了一张圆形餐桌，桌面的直径是2米。（1）如果每个人需要0.5米宽的位置就餐，这张餐桌最多能坐多少人？（2）为了方便大家夹菜，爸爸又在餐桌中央放了一个直径是1米的圆形转盘，剩下桌面的面积是多少？【答案】（1）12人；（2）2.355平方米【分析】（1）先根据圆的周长公式C＝πd，把数据代入求出餐桌一圈的长度，再除以0.5米即可求出最多能坐多少人，所得的结果要根据实际情况采用“去尾法”保留整数；（2）剩下桌面的面积即为圆环部分的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），把数据代入计算即可。【详解】（1）3.14×2÷0.5＝6.28÷0.5＝12.56≈12（人）答：这张餐桌最多能坐12人。（2）3.14×[（2÷2）2－（1÷2）2]＝3.14×[12－0.52]＝3.14×[1－0.25]＝3.14×0.75＝2.355（平方米）答：剩下桌面的面积是2.355平方米。【点睛】掌握并灵活运用圆的周长和面积公式是解答本题的关键。【考点十五】圆环的面积问题其二：半圆环。【方法点拨】半圆环的面积：S=(πR2-πr2)÷2。【典型例题】在一个半径为10米的圆形喷泉周围修一条宽3米的小路，小路一半面积铺鹅卵石，一半面积铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？【答案】108.33平方米【分析】由题意可知，小圆的半径为10米，大圆的半径＝小圆的半径＋环宽，利用“”表示出小路的面积，最后除以2求出小路铺水泥的面积，据此解答。【详解】10＋3＝13（米）3.14×（132－102）÷2＝3.14×（169－100）÷2＝3.14×69÷2＝216.66÷2＝108.33（平方米）答：小路铺水泥的面积是108.33平方米。【点睛】本题主要考查环形面积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。【对应练习1】如图所示。李爷爷靠墙用篱笆围了一块半圆形的苗圃，半径是4米。如果要扩建这个苗圃，把这块苗圃的半径增加2米，这块半圆形苗圃的面积增加了多少平方米？【答案】31.4平方米【分析】增加的面积为圆环的一半，已知现在的半径为4米，半径增加2米，则现在的半径为4＋2＝6米，再根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2），代入公式，最后除以2即可解题。【详解】4＋2＝6（米）3.14×（62－42）÷2＝3.14×（36－16）÷2＝3.14×20÷2＝62.8÷2＝31.4（平方米）答：这块半圆形苗圃的面积增加了31.4平方米。【点睛】解读出增加的面积为圆环的一半，并掌握圆环的面积公式是解题的关键。【对应练习2】一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？【答案】（1）76.93平方米（2）23.55平方米【分析】（1）根据题意，已知半圆形花坛一周的长是35.98米，也就是半圆周长为35.98米；根据半圆周长＝圆周长的一半＋直径，即C半圆＝πr＋2r，可知：圆的半径r＝C半圆÷（π＋2），由此求出半圆形花坛的半径；然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出一个圆的面积，再除以2，即是这个的花坛的面积。（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，求花坛面积增大多少，就是求半圆环的面积；由上一题可知内圆的半径是7米，则外圆的半径是（7＋1）米；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出一个圆环的面积，再除以2，即可得解。【详解】（1）半圆的半径：35.98÷（3.14＋2）＝35.98÷5.14＝7（米）半圆的面积：3.14×72÷2＝3.14×49÷2＝153.86÷2＝76.93（平方米）答：这个花坛的面积是76.93平方米。（2）7＋1＝8（米）3.14×（82－72）÷2＝3.14×（64－49）÷2＝3.14×15÷2＝47.1÷2＝23.55（平方米）答：花坛的面积增大23.55平方米。【点睛】本题考查半圆周长计算方法的灵活运用以及圆环面积公式的应用。【对应练习3】一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？【答案】（1）76.93平方米（2）23.55平方米【分析】（1）半圆周长＝πr＋2r，半径＝半圆周长÷（π＋2），半圆面积＝πr2÷2，据此列式解答即可。（2）增大的面积是圆环面积的一半，圆环面积的一半＝π（R2－r2）÷2，据此列式解答。【详解】（1）35.98÷（3.14＋2）＝35.98÷5.14＝7（米）3.14×72÷2＝3.14×49÷2＝76.93（平方米）答：这个花坛的面积有76.93平方米。（2）7＋1＝8（米）3.14×（82－72）÷2＝3.14×（64－49）÷2＝3.14×15÷2＝23.55（平方米）答：花坛的面积增大23.55平方米。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长、面积和圆环面积公式。
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