浙江省宁波市七校2023-2024学年九年级上学期12月培优联测数学试题

这是一份浙江省宁波市七校2023-2024学年九年级上学期12月培优联测数学试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．从1、2、3、……、2022、2023中挑选一些数，其中没有两数之和可以被其差整除，选出的这些数最多有（ ）
A．674个B．675个C．1011个D．1012个
2．从长度为3、5、7、8的四条线段中任意选三条组成三角形，其中能组成含有角的三角形的概率为（ ）
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4
3．已知抛物线（a、b、c是常数，）经过点和点，若该抛物线的顶点在第三象限，记，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知中，，于D，E是CD上一点（不与C，D重合），点E作于G，交AB于F，过E作于H，交AB于K，连结HF，GK．则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是的外接圆，弦BD交AC于点E，，，过点O作于点F，延长FO交BE于点G，若，，则AB的长为（ ）
A．B．C．16D．14
二、填空题（每空6分，共30分）
6．对于正整数n定义阶乘，则__________（用阶乘表示）
7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，且，则整数m的值为__________．
8．如图，点A，B在函数的图象上，过点A，B作x轴的垂线分别交函数（，）的图象于点C，D，连结OB，OD，AD，CD．若，且与的面积之和为4，则__________．
9．图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到收集．即透明条的运动路径为：．假设，O，P，A，B在同一直线上，，，，，P为OA中点．
（1）点B到OC的距离为__________cm．
（2）若的半径为，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为__________cm．
三、解答题（第10题10分，第11、12题各15分，共40分）
10．已知扇形OAB．
（1）如图1，请你作一条过圆心O的直线，使扇形的面积被这条直线平分；
（2）如图2，若扇形OAB的面积被以O为圆心的CD平分，点C在OA上，点D在OB上，在图2上作出这条CD．
（注：所有作图都要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
11．根据以下素材，探索完成任务．
12．如图，四边形ABCD内接于，AB为直径，连结AC，BD交于点E，弦于点G，连结AG，且满足．
（1）求证：四边形AGCD为平行四边形．
（2）设，，
①求y关于x的函数表达式．
②已知的直径为，，点H是边CF上一动点，若AF恰好与的某一边平行时，求CH的长．
③连结OG，若OG平分，则x的值为__________．
参考答案
1-5BCBBD
6．
7．8．
9．（1）（2）
10．解：如图所示，
11．解：【任务1】以点O为原点建立如图1所示的坐标系，若选择第一象限的抛物线表达式进行求解：
根据题意，设，代入点，求得，
【任务2】把代入，
得，
点M的纵坐标为，即石柱的高为；
【任务3】如图2，
令，解得或（舍），
安装后关于OM成轴对称分布，石柱直径为，，，
左右两侧各安装7个直线型喷头，共14个喷头，，
离中心O最远的两个喷头的坐标分别为，．
12．（1）解：是的直径，弦于点G，
，；
，；四边形ACGD为平行四边形．
（2）解：①如图1，过点A作于点P，则四边形ADGP是矩形，
四边形AGCD为平行四边形，，，，，
，，，，
设，，则，，，
，，
在中，，
在中，，消去a，b即可；
关于x的函数表达式为；
②，，，，
，，，
，，，解得；
显然DE与AF是不平行的，
如图2，当时，，四边形ADHF是平行四边形，
，；
如图3，当时，四边形AGCD是平行四边形，，是CF的中点，
，；
故CH的长为或；
③如图4，过点O作于点M，过点O作于点N，
平分，，，，
整理，得，解得或，
，当时，，当时，，故答案为：1或2．
如何设计喷水池喷头的安装方案？
素材1
图1中有一个直径为的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着一个直径为的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱距水池中心处到达最高，高度为．
素材2
如图3，拟在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头（喷射水柱竖直向上，高度均为）；相邻两个直线型喷头的间距均为，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于OM成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定水柱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，任选一条抛物线求函数表达式．
任务2
确定石柱高度
在你所建立的坐标系中，确定水柱汇合点M的纵坐标．
任务3
拟定设计方案
请给出符合所有要求的直线型喷头的安装数量，并根据你所建立的直角坐标系，求出离中心O最远的两个直线型喷头的坐标．