沪教版七年级数学上学期重难点精品讲义 第7讲-一元一次方程的应用(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学上学期重难点精品讲义 第7讲-一元一次方程的应用(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了85=382等内容，欢迎下载使用。

解决储蓄问题、销售折扣问题、行程问题，进一步掌握列一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；
提高分析问题和解决问题的能力，初步体会分类讨论的数学思想，初步养成正确思考问题的良好习惯．
案例：如右图：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟跑120米，两人同时由同一点同向出发，问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？
问题1：将上题中“两人同时由同一点同向出发”改为“两人同时由同一点反向出发”， 问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？
问题2：小明、小杰在400米环形跑道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑280米，两人说好小明比小杰先跑30秒后，小杰再从小明起跑位置与小明同向起跑，问几分钟后，小明和小杰第一次相遇。
例题1：若银行一年定期储蓄的年利率是2.25%，小丽的父亲取出一年到期的本金和利息时，扣除了利息税（利息税＝利息×20%）27元，问小丽的父亲存入的本金是多少元？
试一试：小明的妈妈在银行里存入人民币5000元，国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息20%，储户取款时由银行代扣代收。存取一年，到期可得人民币5090元，求这项储蓄的年利率是多少？
例题2： 一家商店将某种服装按成本价加价40%作为标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，问这种服装每件的成本价是多少元？
试一试：一种节能型冰箱，商店按原售价的九折出售，降价后的新售价是每台2430元，因为商店按进价加价20%作为原售价，所以降价后商店还能赚钱，请问：这种节能型冰箱的进价是多少元？按降价后的新售价出售，商店每台还可多赚多少元？
例题3：甲、乙两辆火车，长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒钟多行4米，两列火车相向而行，从相遇到错开需要9秒钟，问两车的速度各是多少？
试一试：一通讯员骑自行车要在规定时间内将文件送到某地。若每小时行15千米，则可早到25分钟；若每小时行12千米，则将迟到12分钟。问原来规定的时间是多少小时，到某地路程有多远？
※例题4：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米／小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。
※试一试：轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时。若船速为26千米/时，水流速度为2千米/时，那么A港和B港相距多少千米？
1．如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知卡片的短边长是cm，那么图中三块阴影部分的总面积是__________．
2．小杰，小丽两人在400米的环形跑道上练习跑步，小杰每分钟跑300米，小丽每分钟跑150米，两人同时同地同向出发，__分钟后两人第一次相遇．
3．小明的妈妈在银行里存入人民币5000元，存期两年，到期后可得人民币5150元，如果设这项储蓄的年利率是x，根据题意，可列出方程是__________________．
4．一次测验共有15道题，做对一题得1分，已知26人的平均分不少于4.8分，其中最低分得3分，并且至少有3人得4分，那么得5分的共有______人．
5．甲每天加工零件80个，甲加工3天后，乙也加入加工同一种零件，再经过5天，两人共加工这种零件1120个，问乙每天加工这种零件多少个？
6．学生课桌装配车间共有木工人，每个木工每天能装配双人课桌张或者单人椅只，一张双人课桌和两只单人椅子配成一套，怎样分配工作能使一天装配的课桌椅配套？
7．一家商店将某种自行车按成本价加价30%作为标价，为了吸引顾客，商家又以标价的八折售出，结果每辆自行车仍可获利26元，问这辆自行车的标价是多少元？
8．某店以一共500元进价购得甲、乙两件商品，然后将甲、乙两件商品分别按和的利润标定出售价．
(1)如果按上述进价和售价进行交易，那么该店买卖这两件商品能否盈利260元？为什么？
(2)如果该店按原定售价八折促销，某顾客同时购买了甲、乙两种商品，实际付款584元，那么甲、乙两商品原进价各多少元？
9．甲乙两车从相距250千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇．已知甲车的速度与乙车的速度比是2：3，求甲、乙两车的速度．
10．某商店为迎接新年举行促销活动，促销活动有以下两种优惠方案：
方案一：购买一件商品打八折，购买两件以上在商品总价打八折的基础上再打九折；
方案二：购买一件商品打八五折，折后价格每满100元再送30元抵用券，可以用于抵扣其他商品的价格．
（注：两种优惠只能选择其中一种参加）
(1)小明想购买一件标价270元的衣服和一双标价450元的鞋子，请你帮助小明算一算选择哪种优惠方案更合算．
(2)如果衣服和鞋子的标价都是在进价的基础上加价了50%，那么这两种优惠方案商店是赚了还是亏了?为什么?
(3)如果小明已决定要购买标价为450元的鞋子，又想两种方案的优惠额相同，那么小明想购买的衣服的标价（低于450元）应调整为多少元?
11．某品牌电视机的进价为1600元，出售的标价为2500元，现商店准备打折出售，降到利润率为，则商品打了几折？
1．某校组织师生去参观一大型工程建筑，如果租用60座的甲种客车若干辆，刚好坐满；如果租用80座的乙种客车可少租1辆，且余40个空座位，设该校师生人，则可以列方程__．
2．已知长方形的长与宽之比是，且它的周长是20cm，则它的面积是_____
3．一辆汽车从A城出发驶向B城，如果以每小时50千米的速度行驶恰好准时到达，如果以每小时40千米的速度行驶，会比规定时间晚15分钟到达．设A、B两城的距离为x千米，根据题意，可列出方程是____．
4．已知m，n都是质数，若关于的方程的解是3，则__________．．
5．用库存化肥给麦田施肥，若每亩施肥90千克，就少3000千克，若每亩施肥75千克，就余4500千克，那么共有多少亩麦田？
6．生产某种合金，需要甲、乙、丙三种原料，甲与乙之比是，丙与乙之比为，若需要这种合金92千克，问：甲、乙、丙三种原料是多少千克？
7．六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？
8．甲、乙两种商品成本共240元，已知甲商品按的利润率定价，乙商品按的利润率定价，后来甲打9折出售，乙打8折出售．结果共获利润48元，两种商品成本各为多少元？
9．试验田里的黄瓜大丰收：六一班同学收下全部的，装满了4筐还多36千克，六二班同学收完其余部分，刚好装满8筐．
(1)1筐黄瓜是全部黄瓜的几分之几？
(2)共收黄瓜多少千克？
10．今年小红的父亲的年龄正好是小红年龄的5倍，如果8年后父亲的年龄是小红年龄的3倍还少2岁，求小红今年几岁？
11．已知环形跑道一圈长为400米，小丽与小杰的速度之比为3：4，如果小丽和小杰在跑道上相距8米处同时反向出发，经过28秒后两人首次相遇，求两人的速度各是多少？
第7讲-一元一次方程的应用
解决储蓄问题、销售折扣问题、行程问题，进一步掌握列一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；
提高分析问题和解决问题的能力，初步体会分类讨论的数学思想，初步养成正确思考问题的良好习惯．
（此环节设计时间在10-15分钟）
案例：如右图：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟跑120米，两人同时由同一点同向出发，问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？
解：设分钟后，小丽与小杰第一次相遇，
根据题意，得
解方程，得
答：2分钟后，小丽与小杰第一次相遇 ．
问题1：将上题中“两人同时由同一点同向出发”改为“两人同时由同一点反向出发”， 问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？
解：设分钟后，小丽与小杰第一次相遇．
根据题意，得
解方程，得
答：分钟后，小丽与小杰第一次相遇 ．
问题2：小明、小杰在400米环形跑道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑280米，两人说好小明比小杰先跑30秒后，小杰再从小明起跑位置与小明同向起跑，问几分钟后，小明和小杰第一次相遇。
解：设分钟后两人第一次相遇，
根据题意，得
解方程，得
答：两人12.5分钟后第一次相遇 ．
（此环节设计时间在50-60分钟）
例题1：若银行一年定期储蓄的年利率是2.25%，小丽的父亲取出一年到期的本金和利息时，扣除了利息税（利息税＝利息×20%）27元，问小丽的父亲存入的本金是多少元？
教法说明：首先让学生回顾储蓄问题中常见的量以及储蓄问题中的基本数量关系：
利息＝（本金）×（利率）×（期数）
利息税＝利息×税率
税前本息和＝（本金）＋（利息）
税后本息和＝（本金）＋（税后利息）＝（本金）＋（利息）×（1—适用税率）
参考答案：
解：设小丽的父亲存入的本金是元，根据题意，得

解方程，得
答：小丽的父亲存入的本金是6000元 ．
试一试：小明的妈妈在银行里存入人民币5000元，国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息20%，储户取款时由银行代扣代收。存取一年，到期可得人民币5090元，求这项储蓄的年利率是多少？
参考答案：
解：设这项储蓄的年利率是，
根据题意，得
解方程，得
所以
答：这项存款的年利率是 ．
例题2： 一家商店将某种服装按成本价加价40%作为标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，问这种服装每件的成本价是多少元？
教法说明：首先让学生回顾销售问题中常见的量以及销售问题中的基本数量关系：
售价＝（成本价）＋（盈利）＝（成本价）×（1＋盈利率）
折后售价＝（原售价）×（折扣）
参考答案：
解：设这种服装每件的成本价是元，根据题意，得

解方程得
答：这种服装每件的成本价是元 ．
试一试：一种节能型冰箱，商店按原售价的九折出售，降价后的新售价是每台2430元，因为商店按进价加价20%作为原售价，所以降价后商店还能赚钱，请问：这种节能型冰箱的进价是多少元？按降价后的新售价出售，商店每台还可多赚多少元？
参考答案：
解：设这种节能型冰箱每台的进价是元，那么每台冰箱原售价是元，
根据题意，得
解方程，得
所以
答：这种节能型冰箱每台的进价是元，商店每台还可多赚元 ．
例题3：甲、乙两辆火车，长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒钟多行4米，两列火车相向而行，从相遇到错开需要9秒钟，问两车的速度各是多少？
教法说明：首先让学生回顾行程问题中常见的量以及行程问题中的基本数量关系：
路程＝速度×时间 速度＝ 时间＝
参考答案：
解：设甲车的速度为x米/秒，则乙车的速度为（x-4）米/秒，
根据题意，得
解方程，得
答：甲、乙两车的速度分别是20米/秒和16米/秒 ．
试一试：一通讯员骑自行车要在规定时间内将文件送到某地。若每小时行15千米，则可早到25分钟；若每小时行12千米，则将迟到12分钟。问原来规定的时间是多少小时，到某地路程有多远？
参考答案：
（方法一）
解：设某地路程有千米，根据题意，得

解方程得
规定时间为：
答：原来规定的时间是小时，到某地路程有37千米 ．
（方法二）
解：设原来规定的时间是小时，根据题意，得

解得
路程为：
答：原来规定的时间是小时，到某地路程有37千米 ．
※例题4：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米／小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。
教法说明：首先让学生回顾航行问题中常见的量以及航行问题中的基本数量关系：
顺水速度＝静水速度＋水流速度， 逆水速度＝静水速度—水流速度
参考答案：
解：设船在静水中的速度是x，根据题意，得

解方程，得
两个码头的距离是
答：两码头之间的距离36千米 ．
※试一试：轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时。若船速为26千米/时，水流速度为2千米/时，那么A港和B港相距多少千米？
参考答案：
解：设A港和B港相距x千米，根据题意，得
解方程，得
答：A港和B港相距504千米 ．
1．如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知卡片的短边长是cm，那么图中三块阴影部分的总面积是__________．
【答案】108
【分析】
根据图中可知：3个短边+3个长边=5个长边；小正方形的边长=长边-短边．两个等量关系可求解．
【详解】
设长方形卡片的长为xcm，依题意得：
5x=3×12+3x
解得：x=18．
则图中小正形的边长=18-12=6cm，
∴图中阴影部分的面积为：6×6×3=108cm2．
故答案为108．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
2．小杰，小丽两人在400米的环形跑道上练习跑步，小杰每分钟跑300米，小丽每分钟跑150米，两人同时同地同向出发，__分钟后两人第一次相遇．
【答案】##
【分析】
根据追击问题得出等量关系：两人路程之差等于400米，列出方程解答即可．
【详解】
设分钟后两人第一次相遇，依题意有，
解得：．
故分钟后两人第一次相遇．
故答案为：．
【点睛】
此题考查一元一次方程的应用，关键是找到等量关系并正确列出方程．
3．小明的妈妈在银行里存入人民币5000元，存期两年，到期后可得人民币5150元，如果设这项储蓄的年利率是x，根据题意，可列出方程是__________________．
【答案】5000+5000x×2＝5150
【分析】
设这项储蓄的年利率是x，根据等量关系本息和为本金+本金×利率×期数=到期后的钱数，列方程5000+5000x×2＝5150即可．
【详解】
解：设这项储蓄的年利率是x，依题意得：5000+5000x×2＝5150．
故答案为：5000+5000x×2＝5150．
【点睛】
本题考查银行存款本息和问题，掌握本金是存入银行的现金，利息=本金×利率×期数，本息和是本金与利息的和是解题关键．
4．一次测验共有15道题，做对一题得1分，已知26人的平均分不少于4.8分，其中最低分得3分，并且至少有3人得4分，那么得5分的共有______人．
【答案】22
【分析】
通过理解题意可知本题的等量关系，即得3分的人数+得4分的人数+得5分的人数＝26人，得5分人的总分数+得3分人的总分数+得4分人的总分数≥26人×4.8分，根据这两个等量关系，可列出方程与不等式，再求解．
【详解】
解：设得5分的人数为x人，得3分的人数为y人，得4分的人数为3人．
则可得，
解得：x≥21.9
若x＝23，则23+3＝26，没有得3分的人，不符合题意，所以x＝22．
答：得5分的人数应为22人．
故答案为：22．
【点睛】
此题考查不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．解题过程中一定要符合题目的意思，以事实为依据．
5．甲每天加工零件80个，甲加工3天后，乙也加入加工同一种零件，再经过5天，两人共加工这种零件1120个，问乙每天加工这种零件多少个？
【答案】乙每天加工这种零件96个．
【分析】
直接利用甲加工的零件+乙加工的零件=1120，进而得出等式求出答案．
【详解】
解：设乙每天加工这种零件x个，根据题意可得：
80×3+5（80+x）=1120，
解得：x=96，
答：乙每天加工这种零件96个．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出甲乙加工的零件数是解题关键．
6．学生课桌装配车间共有木工人，每个木工每天能装配双人课桌张或者单人椅只，一张双人课桌和两只单人椅子配成一套，怎样分配工作能使一天装配的课桌椅配套？
【答案】安排人装配双人课桌，人装配单人椅
【分析】
设安排人装配双人课桌，则有人装配单人椅，根据“每个木工每天能装配双人课桌张或者单人椅只，一张双人课桌和两只单人椅子配成一套，”列出方程，即可求解．
【详解】
解：设安排人装配双人课桌，则有人装配单人椅，
由题可知：，
解得，
（人），
安排人装配双人课桌，人装配单人椅．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
7．一家商店将某种自行车按成本价加价30%作为标价，为了吸引顾客，商家又以标价的八折售出，结果每辆自行车仍可获利26元，问这辆自行车的标价是多少元？
【答案】845元
【分析】
设这辆自行车的成本价是x元，根据利润＝售价﹣成本价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（1+30%）x中即可求出结论．
【详解】
解：设这辆自行车的成本价是x元，
依题意得：，
解得：，
∴（元）．
答：这辆自行车的标价是845元．
【点睛】
题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出一元一次方程是解题关键．
8．某店以一共500元进价购得甲、乙两件商品，然后将甲、乙两件商品分别按和的利润标定出售价．
(1)如果按上述进价和售价进行交易，那么该店买卖这两件商品能否盈利260元？为什么？
(2)如果该店按原定售价八折促销，某顾客同时购买了甲、乙两种商品，实际付款584元，那么甲、乙两商品原进价各多少元？
【答案】(1)该店买卖这两件商品不可能盈利260元，原因见解析
(2)甲商品的原进价为300元，乙商品的原进价为200元
【分析】
（1）利用获得的总利润=两件商品的进价之和×50%，可求出两件商品均按50%的利润销售可获得的利润，由该值小于260即可得出结论；
（2）设甲商品的原进价为x元，则乙商品的原进价为(500-x)元，根据某顾客按八折购买共付款584元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
(1)
（元，，
该店买卖这两件商品不可能盈利260元．
(2)
设甲商品的原进价为元，则乙商品的原进价为元，
依题意得：，
解得：，
．
答：甲商品的原进价为300元，乙商品的原进价为200元．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．甲乙两车从相距250千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇．已知甲车的速度与乙车的速度比是2：3，求甲、乙两车的速度．
【答案】甲车的速度为50千米/时，乙车的速度为75千米/时
【分析】
设甲车的速度为2x千米/时，则乙车的速度为3x千米/时，利用路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入2x，3x中，即可求出甲、乙两车的速度．
【详解】
解：设甲车的速度为2x千米/时，则乙车的速度为3x千米/时，
依题意得：2×2x+2×3x=250，
解得：x=25，
∴2x=2×25=50，3x=3×25=75．
答：甲车的速度为50千米/时，乙车的速度为75千米/时．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．某商店为迎接新年举行促销活动，促销活动有以下两种优惠方案：
方案一：购买一件商品打八折，购买两件以上在商品总价打八折的基础上再打九折；
方案二：购买一件商品打八五折，折后价格每满100元再送30元抵用券，可以用于抵扣其他商品的价格．
（注：两种优惠只能选择其中一种参加）
(1)小明想购买一件标价270元的衣服和一双标价450元的鞋子，请你帮助小明算一算选择哪种优惠方案更合算．
(2)如果衣服和鞋子的标价都是在进价的基础上加价了50%，那么这两种优惠方案商店是赚了还是亏了?为什么?
(3)如果小明已决定要购买标价为450元的鞋子，又想两种方案的优惠额相同，那么小明想购买的衣服的标价（低于450元）应调整为多少元?
【答案】(1)选方案一合算．
(2)这两种优惠方案商店都是赚的．
(3)小明应购买的衣服标价调整为112.5元．
【分析】
（1）根据题意我们把两种方案所要花的钱都把它算出来然后比较大小就可以了．
（2）根据成本等于标价除以(1+加价幅度),算出标价,再比较成本与售价的大小即可．
（3）先假设小明想购买的衣服标价应调整为m元，再根据两种方案最终的付款额相同这个等量关系列方程求解即可．
(1)
解：（1）方案一：(270+450)×=518.4（元）
方案二：先买鞋子应付款为450×0.85=382.5(元)，
折后价格每满100元再送30元抵用券，
所以返3×30=90（元）的券，
再买衣服应花的钱为：270-90=180（元）
所以总付款为：382.5+180=562.5（元）
因为518.4元