沪教版七年级数学上学期重难点精品讲义 第1讲-有理数(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学上学期重难点精品讲义 第1讲-有理数(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了33，，﹣3，5km到达小颖家，然后向西走了，14、，，0等内容，欢迎下载使用。

理解有理数的意义及分类，能判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意义的量；
理解数轴的意义，能在数轴上表示出任意一个有理数，并理解任何一个有理数都可以在数轴上表示出来；
理解绝对值的意义，理解互为相反数的两个数的绝对值有什么关系，理解两个负数，绝对值大的那个数反而小．
问题1：有理数的分类：

问题2：相反数：
相反数的几何定义：
相反数的代数定义：
问题3：绝对值：
绝对值的几何定义：
绝对值的代数定义：
例题1：把下列各数填入相应集合的括号内：
29，﹣5.5，2002，，﹣1，90%，3.14，0，，﹣0.01，﹣2，1
（1）整数：{ }
（2）分数：{ }
（3）正数：{ }
（4）负数：{ }
试一试1：下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是负数？哪些是有理数？
7，﹣2，，，69，0，0.33，，﹣3.1
（1）整数：{ }
（2）正数：{ }
（3）负数：{ }
（4）有理数：{ }
例题2：（1）在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“＜”号连接起来．
，，，，，，，
（2）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_________．
试一试2：（1）已知在数轴上的位置如图所示，则为（ ）
A、负数 B、正数 C、非负数 D、非正数
（2）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点对应的数分别为整数，并且，那么数轴的原点对应点为（ ）
A、A点 B、B点 C、C点 D、D点
例题3：若在数轴上所示：化简：
试一试3：已知有理数、、在数轴上对应的点如图所示，试化简：．
例题4：检修小组从A地出发，在东西路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下（单位：千米）： ﹣4，＋7，﹣9，＋8，＋6，﹣4，﹣3．
（1）求收工时距A地多远？
（2）距A地最远的是哪一次？
（3）若每千米耗油0.3升，从出发到收工时共耗油多少升?
试一试4：一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了
9.5km到达小明家，最后回到超市，
（1）超市为原点，向东作为正方向，用个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置；
（2）小明家距离小彬家多远？
（3）货车一共行驶了多少千米？
案例讨论：
阅读下列解题过程，然后答题：
已知如果两个数互为相反数，则这两个数的和为0，例如，若x和y互为相反数，则必有x＋y＝0．
现已知：｜a｜＋a＝0，求a的取值范围．
解：因为｜a｜＋a＝0，所以｜a｜与a互为相反数，
所以｜a｜＝﹣a ，
所以a的取值范围是
阅读以上解题过程，解答下题：
已知：｜a﹣1｜＋（a﹣1）＝0，求a的取值范围．
1．（2021·上海·期中）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·上海普陀·期中）在15，﹣0.23，0，5，﹣0.65，2，﹣，316%这几个数中，非负数的个数是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
3．（2021·上海市嘉定区金鹤学校期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．0不是有理数B．只有0的绝对值等于它本身
C．有理数可以分为正有理数和负有理数D．任何有理数都有相反数
4．（2021·上海·期中）下列说法正确的是（ ）
A．当为有理数时，一定表示负数或0
B．在10和14之间只有三个数：11，12，13
C．与互为相反数
D．在数轴上表示2的点到原点的距离为2
5．（2021·上海·期末）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣B．C．2D．﹣2
6．（2021·上海奉贤·期末）在数轴上，位于﹣2和2之间的点表示的有理数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．无数个
7．（2021·上海·青教院附中期中）若是最简分数，则a可取的正整数有______．
8．（2021·上海静安·七年级期末）在实数3，，，，﹣，0，，π，3.14、，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有 ___个．
9．（2021·上海·青教院附中期中）在8、2.5、0、、10中，自然数有________个．
10．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）的最小值为__________．
11．（2021·上海杨浦·七年级期中）已知数轴上A、B两点间的距离为，如果点A所表示的数是﹣1，那么点B所表示的数是________________．
12．（2021·上海市复旦初级中学期中）如图，写出数轴上点A、点B所表示的分数，A：___________，B：___________．

13．（2021·上海市文来中学阶段练习）当时，_______．
14．（2021·上海·新中初级中学期中）写出数轴上点A、B、C所表示的分数并数轴上画出，所表示的点．
15．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）从下列数中选择适当的数填入相应的圈内．
-200、17、-6、0、1.23、、2006、-19.6、9、
16．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）把下列各数分别填入相应的大括号内：
自然数集合｛ …｝；
整数集合｛ …｝；
正分数集合｛ …｝；
非正数集合｛ …｝；
17．（2018·上海市娄山中学七年级单元测试）请在数轴上分别描出表示数 ， ， ，， 的点，并用“”连接：______．
22．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）某司机在东西路上开车接送乘客，他早晨从A地出发，（去向东的方向正方向），到晚上送走最后一位客人为止，他一天行驶的的里程记录如下（单位：㎞）
+10 ，— 5， —15 ，+ 30 ，—20 ，—16 ，+ 14
（1） 若该车每百公里耗油 3 L ，则这车今天共耗油 多少升？
（2） 据记录的情况，你能否知道该车送完最后一个乘客是，他在A地的什么方向？距A地多远？
小杰
小丽
小磊
小明
时间
20秒
30秒
23秒
25秒
距离
68米
100米
64米
80米
有理数
理解有理数的意义及分类，能判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意义的量；
理解数轴的意义，能在数轴上表示出任意一个有理数，并理解任何一个有理数都可以在数轴上表示出来；
理解绝对值的意义，理解互为相反数的两个数的绝对值有什么关系，理解两个负数，绝对值大的那个数反而小．
教法说明：根据以下三个问题，要求学生之间讨论合作完成．
问题1：有理数的分类：

问题2：相反数：
相反数的几何定义：
相反数的代数定义：
问题3：绝对值：
绝对值的几何定义：
绝对值的代数定义：
问题1：有理数的分类：
问题2：相反数：
相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数．
相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0．
问题3：绝对值：
绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“”
绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
即
例题1：把下列各数填入相应集合的括号内：
29，﹣5.5，2002，，﹣1，90%，3.14，0，，﹣0.01，﹣2，1
（1）整数：{ }
（2）分数：{ }
（3）正数：{ }
（4）负数：{ }
参考答案：
（1）整数集合：{29，2002，﹣1，0，﹣2，1 }
（2）分数集合：{﹣5.5，，90%，3.14，，﹣0．01}
（3）正数集合：{29，2002，，90%，3.14，1}
（4）负数集合：{﹣5.5，﹣1，，﹣0.01，﹣2}
试一试1：下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是负数？哪些是有理数？
7，﹣2，，，69，0，0.33，，﹣3.1
（1）整数：{ }
（2）正数：{ }
（3）负数：{ }
（4）有理数：{ }
参考答案：
（1）整数：7，﹣2，69，0
（2）正数：7，，69，0.33
（3）负数：﹣2，，，﹣3.1
（4）有理数：7，﹣2，，，69，0，0.33，，﹣3.1
例题2：（1）在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“＜”号连接起来．
，，，，，，，
（2）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_________．
教法说明：首先要学生理解数轴的定义，可以通过提问方式进行．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．数轴的三个要素缺一不可，其中正方向只有一个，一般规定向右的方向为正方向，且数轴无端点．标数字时，通常把数字标在数轴的下方，而表示点的字母写在数轴的上方．
参考答案：（1）
即：
（2）
试一试2：（1）已知在数轴上的位置如图所示，则为（ ）
A、负数 B、正数 C、非负数 D、非正数
（2）如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点对应的数分别为整数，并且，那么数轴的原点对应点为（ ）
A、A点 B、B点 C、C点 D、D点
参考答案：（1）A；（2）C
例题3：若在数轴上所示：化简：
参考答案：
试一试3：已知有理数、、在数轴上对应的点如图所示，试化简：．
参考答案：
例题4：检修小组从A地出发，在东西路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下（单位：千米）： ﹣4，＋7，﹣9，＋8，＋6，﹣4，﹣3．
（1）求收工时距A地多远？
（2）距A地最远的是哪一次？
（3）若每千米耗油0.3升，从出发到收工时共耗油多少升?
参考答案：（1） (﹣4)＋(＋7)＋(﹣9)＋(＋8)＋(＋6)＋(﹣4)＋(﹣3) = 1 （千米）
答：收工时在A地东面1千米
（2）第五次
（3）0.3×(4＋7＋9＋8＋6＋4＋3) = 0.3×41 =12.3 (升)
试一试4：一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了
9.5km到达小明家，最后回到超市，
（1）超市为原点，向东作为正方向，用个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置；
（2）小明家距离小彬家多远？
（3）货车一共行驶了多少千米？
参考答案：（1）如图所示：
（2）小明距离小彬家
（3）货车共行驶了
案例讨论：
阅读下列解题过程，然后答题：
已知如果两个数互为相反数，则这两个数的和为0，例如，若x和y互为相反数，则必有x＋y＝0．
现已知：｜a｜＋a＝0，求a的取值范围．
解：因为｜a｜＋a＝0，所以｜a｜与a互为相反数，
所以｜a｜＝﹣a ，
所以a的取值范围是
阅读以上解题过程，解答下题：
已知：｜a﹣1｜＋（a﹣1）＝0，求a的取值范围．
参考答案：
1．（2021·上海·期中）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据有理数比较大小的法则对各选项进行比较即可．
【详解】
解：A、因为，，而，所以，故本选项符合题意；
B、，，故，故本选项不合题意；
C、，故，故本选项不合题意；
D、，，故，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是有理数的大小比较，即正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．（2021·上海普陀·期中）在15，﹣0.23，0，5，﹣0.65，2，﹣，316%这几个数中，非负数的个数是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【分析】
根据非负数的定义（通常把正数和0统称为非负数）进行判断即可．
【详解】
解：在15，﹣0.23，0，，﹣0.65，2，，316%这几个数中，非负数有15，0，，2，316%，共5个．
故选：B．
【点睛】
题目主要考查非负数的定义，理解非负数的定义是解题关键．
3．（2021·上海市嘉定区金鹤学校期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．0不是有理数B．只有0的绝对值等于它本身
C．有理数可以分为正有理数和负有理数D．任何有理数都有相反数
【答案】D
【分析】
根据有理数的分类、相反数的定义逐项分析即可．
【详解】
A.0是有理数，故不正确；
B. 0和正数的绝对值等于它本身，故不正确；
C.有理数可以分为零，正有理数和负有理数，故不正确；
D.任何有理数都有相反数，正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相反数的定义，以及有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数．
4．（2021·上海·期中）下列说法正确的是（ ）
A．当为有理数时，一定表示负数或0
B．在10和14之间只有三个数：11，12，13
C．与互为相反数
D．在数轴上表示2的点到原点的距离为2
【答案】D
【分析】
熟练掌握有理数的基本概念，正确运算绝对值、相反数即可选出正确答案．
【详解】
解：A．若为负数，则表示正数．故A错误，
B．在10和14之间有无数个数，而整数只有三个．故B错误，
C．，，它们表示同一个数．故C错误，
D．在数轴上表示2的点到原点的距离为2，即．故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查有理数的概念，绝对值，相反数的基本概念，熟练掌握绝对值的含义，相反数的基本概念与运算是解决本题的关键．
5．（2021·上海·期末）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣B．C．2D．﹣2
【答案】C
【分析】
首先根据相反数的意义得出-（-2），再化简多重符号即可．
【详解】
解：∵-（-2）=2，
∴﹣2的相反数是2．
故选C．
【点睛】
本题考查相反数的意义、求法及有理数多重符号的化简，熟练掌握有关法则和意义是解题关键．
6．（2021·上海奉贤·期末）在数轴上，位于﹣2和2之间的点表示的有理数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．无数个
【答案】D
【分析】
根据有理数的定义解答问题即可．
【详解】
解：∵有理数包括整数和分数，
∴在﹣2和2之间的有理数有无数个，如﹣1，0，1，，等等．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了有理数的定义，能够掌握有理数所指的数的范围是解答问题的关键．
7．（2021·上海·青教院附中期中）若是最简分数，则a可取的正整数有______．
【答案】1、3、5、7
【分析】
根据最简分数的意义，分子、分母互质来求解，还要考虑是真分数，即分子比分母小．即可得解．
【详解】
解：若是真分数，则a可取的正整数有：1、2、3、4、5、6、7；
其中2、4、6和8不互质，能约分，即＝，＝，＝，约分后分母不再是8；
所以a可取的正整数只有1、3、5、7．
故答案为：1、3、5、7．
【点睛】
此题考查了有理数，关键是熟练掌握最简真分数的意义．
8．（2021·上海静安·七年级期末）在实数3，，，，﹣，0，，π，3.14、，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有 ___个．
【答案】5
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：在实数3，，，，，0，，π，3.14、，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，是无理数的有，，，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零），
∴无理数有5个，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001……，等有这样规律的数．
9．（2021·上海·青教院附中期中）在8、2.5、0、、10中，自然数有________个．
【答案】3
【分析】
根据零和正整数是自然数，去判断即可．
【详解】
∵8，0，10是自然数，有3个，
故答案为：3个．
【点睛】
本题考查了自然数即零和正整数统称自然数，熟记定义是解题的关键．
10．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）的最小值为__________．
【答案】4
【分析】
由绝对值的几何意义可知的值最小表示的就是数轴上的点到1，2，3，4这四个点的距离和最小，然后利用数轴进行讨论求解即可．
【详解】
解：由绝对值的几何意义可知的值最小表示的就是数轴上的点到1，2，3，4这四个点的距离和最小，
如图当x在1的左边时，此时四个距离的和大于1+2+3=6，
同理当x在4的右边时，会得到相同的结论；
如图当x在1和2之间时，此时四个距离的和大于1+1+2=4，
同理当x在3和4之间时，会得到相同的结论；
如图当x在2和3之间时，此时四个距离的和等于1+3=4，
∴综上所述，的值最小为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
11．（2021·上海杨浦·七年级期中）已知数轴上A、B两点间的距离为，如果点A所表示的数是﹣1，那么点B所表示的数是________________．
【答案】﹣1
【分析】
与点A距离为的数有2个．
【详解】
解：已知数轴上A、B两点间的距离为，如果点A所表示的数是﹣1，则点B表示的数是：﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题主要考查了数轴上点的表示，准确计算是解题的关键．
12．（2021·上海市复旦初级中学期中）如图，写出数轴上点A、点B所表示的分数，A：___________，B：___________．

【答案】
【分析】
数轴上原点（0点）左边的数表示负数，右边的数表示正数，首先判断单位长度，在看整点，再查分点即可．
【详解】
点A表示原点左边0与1整点之间，个单位长度，表示的数就是；
点B在原点右边2与3整点之间个单位长度，表示的数就是
故答案为：，．
【点睛】
本题主要考查了对数轴知识的掌握，关键是能读懂数轴，能从数轴上找出各数．
13．（2021·上海市文来中学阶段练习）当时，_______．
【答案】-1
【分析】
由绝对值的意义，则，然后即可求出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义进行解题．
14．（2021·上海·新中初级中学期中）写出数轴上点A、B、C所表示的分数并数轴上画出，所表示的点．
【答案】见解析
【分析】
数轴上原点（0点）左边的数表示负数，右边的数表示正数，点A表示原点原右边 个单位长，表示的数就是；点B在原点右边表示1 个单位长，表示的数就是1，点C在原点右边表示2个单位长，表示的数就是2；化成带分数是1，就表示原点右边1 个单位长，3就表示原点右边3个单位长．据此解答即可．
【详解】
解：由数轴可知：
点A表示；
点B表示或1；
点C表示2或；
化成带分数是1，就表示原点右边1 个单位长，
3就表示原点右边3个单位长，据此描点如图：
．
【点睛】
本题主要考查了对数轴知识的掌握，关键是能读懂数轴，能从数轴上找出各数．
15．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）从下列数中选择适当的数填入相应的圈内．
-200、17、-6、0、1.23、、2006、-19.6、9、
【答案】-200、-6； 17、0、2006、9；-200、17、-6、0、2006、9．
【分析】
根据整数、负整数、自然数的概念进行分类即可．
【详解】
负整数：-200、-6；
自然数：17、0、2006、9；
整数：-200、17、-6、0、2006、9．
【点睛】
本题考查了整数、自然数、负整数的概念，解答的关键是明确整数、负整数和自然数的意义，要注意0是整数也是自然数，但0不是正数也负数．
16．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）把下列各数分别填入相应的大括号内：
自然数集合｛ …｝；
整数集合｛ …｝；
正分数集合｛ …｝；
非正数集合｛ …｝；
【答案】0，10；
－7，0，10，；
3.5，，0.03；
－7，－3.1415，0，，.
【分析】
先化简，再根据自然数，整数，正分数，非正数的定义可得出答案．
【详解】
自然数集合：0，10；
整数集合：－7，0，10，；
正分数集合：3.5，，0.03；
非正数集合：－7，－3.1415，0，，.
故答案为0，10；
－7，0，10，；
3.5，，0.03；
－7，－3.1415，0，，.
【点睛】
本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、自然数、整数、分数、正数、负数、非正数的定义与特点，注意整数和自然数的区别，注意0是整数，但不是正数．
17．（2018·上海市娄山中学七年级单元测试）请在数轴上分别描出表示数 ， ， ，， 的点，并用“”连接：______．
【答案】图见解析；2>>0.875>
【分析】
在数轴上表示出相应的数，再根据数轴上的点表示的数，右边的数总比左边的大即可比较大小．
【详解】
解：如图所示：
根据数轴上右边的数总比左边的大得：2>>0.875>．
故答案为：2>>0.875>．
【点睛】
本题主要考查了数轴，数轴上的点与实数是一一对应的关系，要注意数轴上的点比较大小的方法是左边的数总是小于右边的数．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
22．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）某司机在东西路上开车接送乘客，他早晨从A地出发，（去向东的方向正方向），到晚上送走最后一位客人为止，他一天行驶的的里程记录如下（单位：㎞）
+10 ，— 5， —15 ，+ 30 ，—20 ，—16 ，+ 14
（1） 若该车每百公里耗油 3 L ，则这车今天共耗油 多少升？
（2） 据记录的情况，你能否知道该车送完最后一个乘客是，他在A地的什么方向？距A地多远？
【答案】（1）3.3L,（2）正西方向上, 2千米
【分析】
本题分别考查了绝对值的定义、有理数的加法、正数和负数的意义.
（1）首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以即可求解；
（2）首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定结果.
【详解】
（1）该天共耗油升；
（2）千米
∴他在A地的正西方向，距A地2千米.
小杰
小丽
小磊
小明
时间
20秒
30秒
23秒
25秒
距离
68米
100米
64米
80米