湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考（七）数学试卷

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考（七）数学试卷，共11页。试卷主要包含了求值等内容，欢迎下载使用。

数 学
命题人：匡铀龄 审题人：卿 科 陈朝阳
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={2,4,6,8,10,12},M={4,6,8},N={8,10},则集合{2,12}=
A. MUN B. M∩N C. Cu(MUN) D. Cu(M∩N)
2.下列命题正确的是
A.“ln mB.命题: ∀x>0,lnx≤x-1的否定是: ∃x₀>0,lnx₀≥x₀-1
C.sinx+5π2=-csx
D. 函数 y=x+2x+1在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数
3.若复数z满足|z+2i|+|z-2i|=8，则复数z在复平面内所对应点的轨迹是
A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.线段
4.已知D是△ABC所在平面内一点， AD=35AB+25AC,则
A.BD=32BC B.BD=23BC
C.BD=35BC D.BD=25BC
5.我们把由0和1组成的数列称为0-1数列，0-1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列 FₙF₁=F₂=1Fₙ₊₂=Fₙ+Fₙ₊₁中的奇数换成0.，偶数换成1 可得到0-1数列{an},记数列{an}的前n项和为Sn,则 S₁₀₀的值为
A.32 B.33 C.34 D.35
数学试题(雅礼版) 第1页(6.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密，碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4 厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为(单位：平方厘米)
A.34π B.27π C.20π D.18π
7.已知椭圆 x2a2+y2b2=1ab>0)与双曲线 x2m2-y2n2=1m0,n>0)有共同的焦点. F₁,F₂,且在第一象限内相交于点 P，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂.若 e₁,e₂, ∠F1PF2=π3,则 e₁⋅e₂的最小值是
A. 12 B.22 C.32 D.32
8.求值: 2cs40∘+cs80∘sin80∘=
A. 3 B.33 C.-3 D.-33
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量(单位：套)与日成交量(单位：套)的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是
A.日认购量与日期正相关
B.日成交量的中位数是26
C.日成交量超过日平均成交量的有2天
D.10月7 日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量
10.抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设 A，B 是抛物线C x²=4y上两个不同的点，以 Ax₁y₁,Bx₂y₂为切点的切线交于 P 点.若弦AB过点 F(0，1)，则下列说法正确的有
A.x₁x₂=-4
B.若 x₁=2,则A 点处的切线方程为 x-y-1=0
C.存在点 P,使得 PA⋅PB>0
D.△PAB 面积的最小值为4
数学试题(雅礼版) 第 2页(共5页)11.已知函数. fx=x+1eᵗ-x-1,，则下列说法正确的有
A. f(x)有唯一零点 B. f(x)无最大值
C. f(x)在区间(1,+∞)上单调递增 D. x=0为f(x)的一个极小值点
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共 15 分.
12.雅礼中学将5 名学生志愿者分配到街舞社、戏剧社、魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团，每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 种.
13.已知圆 C₁:x²+y-2²=1与圆( C₂:x-2²+y-1²=4相交于A，B两点，则 C1C2⋅(C1A +C1B)=¯.
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为 2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.
(1)若AB=3,则sin∠PAC= ;
(2)若AC:AB:BC=6:5:4,则 PA+PB+PC的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI 开发的人工智能划时代的标志 ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对 130人的样本人群就“广泛使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响”进行调查，其数据的统计结果如下表所示：
(1)根据小概率值α=0.01 的独立性检验，是否有99%的把握认为 ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关?
(2)现从“服务业就业人数会减少”的 100人中按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5 人，再从这5 人中随机抽取3 人，记抽取的 3 人中有 X 人认为ChatGPT会在服务业中广泛应用，求 X 的分布列和均值.
数学试题(雅礼版) 第3页(共5页)ChatGPT应用的广泛性
服务业就业人数
合计
减少
增加
广泛应用
60
10
70
没广泛应用
40
20
60
合计
100
30
130
附: χ=nad-bc2a+bc+da+cb+d,其中 n=a+b+c+d.
16.(本小题满分15分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=BC=2,AD=CD,∠ABC =120°.
(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBD;
(2)若点 M为PB 的中点，线段 PC上是否存在点N，使得直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值为 22..若存在，求 PNPC的值；若不存在，请说明理由.
17.(本小题满分 15 分)
如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点 M在点 N 的下方)，且|MN|=3.
(1)求圆C的方程;
(2)过点 M任作一条直线与椭圆 x28+y24=1相交于 A,B两点,连接 AN,BN,求证: ∠ANM=∠BNM.
数学试题(雅礼版) 第4页(共5页α
0.1
0.05
0.01
x。
2.706
3.841
6.635
18.(本小题满分 17 分)
已知函数 fx=xlnx-ax²-3xa∈R.
(1)若 x=1是函数f(x)的一个极值点，求实数a 的值；
(2)若函数 f(x)有两个极值点. x₁,x₂,其中 x₁①求实数a的取值范围；
②若不等式 2ax₁+klnx₂>3k+1恒成立，求实数 k 的取值范围.
19.(本小题满分 17分)
对于无穷数列 cₙ,，若对任意m， n∈N*,且 m≠n,存在 k∈N*,使得 cₘ+cₙ=cₖ成立，则称 cₙ为“G数列”.
(1)若数列 bₙ的通项公式为 bₙ=2n,试判断数列 bₙ}是否为“G数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若 aₙ是 “G数列”,( a1=8,a2∈N*,且 a₂>a₁,求a₂所有可能的取值；
②若对任意 n∈N*,存在 k∈N*,使得 aₖ=Sₙ成立，求证：数列 aₙ为“G数列”.，雅礼中学2024届高三月考试卷(七)
数学参考答案
一、二、选择题
1. C【解析】M∪N={4,6,8,10},M∩N={8}, Cv(M∪N)={2,12}, Cv(M∩N)={2,4,6,10,12},故选 C.
2. A 【解析】对于 A 中,由函数y=ln x为单调递增函数,因为 ln m又因为函数y=cˣ为单调递增函数，可得( eᵐ反之:由e"对于B,命题:∀x>0, ln x≤x-1的否定是： ∃x₀>0,lnx₀>x₀-1,故B不正确；
对于 いこ故C不正确；
对于D:当x=-2时y=0,当x=0时y=2,但-2<0,可得0<2,
所以函数 y=x+2x+1在(-∞,-1)∪(-1,+∞).上不是减函数，故D不正确；故选 A.
3. A 【解析】设P(x,y),F₁(0,2),F₂(0,-2),复数z 对应点P，由题意复数z满足 |z+2i|+|z-2i|=8,即 PF₂|+|PF₁|=8=2a>|F₁F₂|=4=2c可知复数z满足椭圆的定义.故选 A.
4. D 【解析】由 AD=35AB+25AC,得 AB+BD=35AB+25AC,得 BD=-25AB+25AC,得 BD=25(-AB+ AC)=25BC,故选 D.
5. B 【解析】因为 F₁=F₂=1,Fₙ₊₂=Fₙ+Fₙ₊₁,所以 F3=2,F4=3,F5=5,F6=8,F7=13,F8=21,F9=34,所以数列{an}的前若干 ∅为任意常数a1=a2=0,a3=1,a4=0,a5=0,a6=1,a7=0,a8=0,a9=1,,则 a1+a2+a3=a4+a5+a6=a7+a8+a9=⋯=1所以 S₁₀₀=33×1+0=33.故选 B.
6. B 【解析】设该圆台的上底面、下底面的半径分别为R，r，
若当2R=9,2r=3时,则圆台的母线长 l=42+4.5-1.52=5,
所以其侧面积为π×(4.5+1.5)×5=30π,
若当2R=8,2r=2时,则圆台的母线长 l=42+4-12=5,
所以其侧面积为π×(4+1)×5=25π,所以其侧面积S满足25π7. C 【解析】设共同的焦点为(-c,0),(c,0),设 |PF₁|=s,|PF₂|=t,
由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a,s-t=2m,解得.s=a+m,t=a-m,
在△PF₁F₂中, ∠F1PF2=π3,可得 |F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|⋅|PF₂|⋅cs∠F₁PF₂,
即为 c²=a+m²+a-m²-a+ma-m=a²+3m² 9
即有 a2c2+3m2c2=4,即 1e12+3e22=4,
由 1e12+3e22≥23e12e22,可得 e1⋅e2≥32,当且仅当 e2=3e1 时，取得最小值 32,故选 C.
数学参考答案(雅礼版)-1题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答 案
C
A
A
D
B
B
C
A
BD
ABD
BCD
8. A 【解析】2cs4s°+8cs80° 2cs(120°-s80°)+cs80° 2(cs120°cs80°+sin120°sin80°)+cs80° 3sin80sin80∘=3.故选 A.
9. BD 【解析】由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以 A错；将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以B对；日平均成交量为 13+8+32+16+26+38+1667≈42.7,超过 42.7 的只有一天，所以C错;10月7日认购量的增量为276-112=164,成交量的增量为 166-38=128,所以D对,故选 BD.
10. ABD 【解析】对于 A,由题意,设直线 AB:y=kx+1,
联立 y=kx+1,x2=4y,消去 y整理得：. x²-4kx-4=0,又 Ax₁y₁,Bx₂y₂,
则 x₁+x₂=4k,x₁⋅x₂=-4,所以 A正确；
对于B，由抛物线 x²=4y.可得 y=14x2,则 y'=12x,
则过点A 的切线斜率为 12x1,易知 y=14x12,即 Ax114x12,
则切线方程为： y-14x12=12x1x-x1,即 y=12x1x-14x12,
若 x₁=2时，则过点A的切线方程为：x-y-1=0，所以B正确；
对于C，由选项B可得：直线AP的斜率为 12x1,直线 BP的斜率为 12x2,因为 12x1⋅12x2=14x1x2=-1,所以AP⊥BP,即 PA⋅PB=0,所以C错误；
对于D，由选项B可知，过点B的切线方程为 y=12x2x-14x22,联立直线PA,PB的方程可得P(2k,-1),kPF =-1k,kPF⋅kAB=-1,PF⟂AB,所以 SABP=12|AB|⋅|PF|,
1/ B|=1+k2|x1-x2|=1+k2x1+x22-4x1⋅x2=1+k216k2+16=4(1+k2),
|P F|=2k-02+-1-12=4k2+4=21+k2,
则 SABP=41+k232,当k=0时,S△ABP有最小值为4,D正确.故选 ABD.
11. BCD 【解析】由题可知f(-1)=f(0)=0,即x=-1和x=0是函数 fx=x+1eˣ-x-1的零点，A 不正确；
当x>0时,令 ux=eˣ-x-1,求导得 u'x=eʳ-1>0,,函数u(x)在(0,+∞)上递增,当x≥2时, ux≥ e²-3>1,
而y=x+1在(0,+∞)上递增,值域为(1,+∞),因此当x≥2时,f(x)>x+1,所以f(x)无最大值,B正确; f'x=x+2eʳ-2x-2,令 gx=x+2eˣ-2x-2,，求导得 g'x=x+3eˣ-2,
当x>0时,令 hx=x+3eˣ-2,则 h'x=x+4eˣ>0,
即 g'x=hx在(0,+∞)上递增, g'x>g'0=1>0,则 f'x=gx在(0,+∞)上递增, f'x>f'0=0,因此f(x)在(0,+∞)上递增,即f(x)在(1,+∞)上单调递增,C正确;
当-1而 '-1=1e-2<0,'0=12>0,则存在 x₀∈-10,使得 φ'x₀=0,
当x∈(x₀,0)时, φ'x>0,函数φ(x)在(x₀,0)上单调递增,当x∈(x₀,0)时, φx<φ0=0,
即当x∈(x₀,0)时, er<2x+2x+2,则 f'x=x+2eˣ-2x-2<0,又 f'0=0,因此x=0为 f(x)的一个极小值点,D正确,故选BCD.
数学参考答案(雅礼版)-2三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12.240 【解析】根据题意,分2步进行分析:
①将5名学生志愿者分为4组，有 C52=10种分组方法，
②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有 A:=24种情况，
则有10×24=240种分配方案.
13.2 【解析】由题意可知两圆公共弦AB 所在的直线方程为 2x-y+1=0,C₁02,C₂21,所以点 C₁到直线2x-y+1=0的距离为 d=15,|C1C2|=5,又 C₁C₂⊥AB,所以向量 C1A在向量 C1C2方向上的投影为 d= 15,所 则C1C2⋅C1A=5×15=1,同理可得 C1C2⋅C1B=1,所以 C1C2⋅C1A+C1B=2.
14.74;234 【解析】设外接圆半径为R，则R=2，由正弦定理，可知 ABsin∠ACB=3sin∠ACB=2R=4,即 sin∠ACB=34,由于∠ACB是锐角，故 cs∠ACB=74,
又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即AP⊥BC，故 ∠PAC=π2-∠ACB,所以 sin∠PAC=cs∠ACB=74.
连接AP并延长交BC于D,连接CP并延长交AB 于E,连接BP 并延长交AC 于F,设∠CAB=θ,∠CBA=α,∠ACB=β,
则 ∠PAC=π2-β,∠PBA=π2-θ,∠PAB=π2-α,
由于AC:AB:BC=6:5:4,不妨假设.AC=6k,AB=5k,BC=4k,
由余弦定理知 csθ=6k2+5k2-4k22×6k×5k=34,csα=4k2+5k2-6k22×4k×5k=18,
csβ=4k2+6k2-5k22×4k×6k=916,
如图所示,AD,CE,BF 为△ABC的三条高,由于 ∠ECB+∠EBC=π2,∠PCD+∠CPD=π2,
故∠EBC=∠CPD,则得∠APC=π-∠CPD=π-∠EBC=π-∠ABC,
所以 PCsinπ2-β=PAsinπ2-θ=ACsin∠APC=ACsin∠ABC=2R=4,
同理可得 PBsinπ2-α=ABsin∠APB=ABsin∠ACB=2R=4,
所以 PA+PB+PC=4csθ+csα+csβ=4×34+18+916=234.
四、解答题：本题共5小题，共 77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】(1)零假设为 H₀：ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减无关.
根据表中数据得 χ2=130×60×20-40×10270×60×100×30≈6.603<6.635=x0.01,
所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H₀不成立，因此可以认为无关……………6分
(2)由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，
有 60100×5=3人认为ChatGPT会在服务业中广泛应用，
有 40100×5=2人认为 ChatGPT不会在服务业中广泛应用，
则X的可能取值为1,2,3,
数学参考答案(雅礼版)-3又 PX=1=C31C22C33=310,PX=2=C32C21Cσ3=35,PX=3=C33C33=110,
所以X的分布列为
所以 EX=1×310+2×35+3×110=95. . .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
16.【解析】(1)设AC的中点为O,因为 AB=BC,所以. BO⊥AC,因为 AD=CD,所以 DO⊥AC,所以B，O，D三点共线，所以. BD⊥AC,因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以. BD⊥PA,因为PAC,AC⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以. BD⊥平面PAC,因为BD⊂平面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
(2)解:以OC,OD所在的直线为x 轴和y轴,
过O点作平行于AP的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则 C300,P-302,B0-10,
因为 M为PB的中点，所以 M-32-121,
设 PN=λPC0≤λ≤1,所以 N23λ-302-2λ,
所以 MN=23λ-32121-2λ,
由(1)知BD⊥平面 PAC,所以平面 PAC的一个法向量为n=(0,1,0),设直线 MN与平面PAC所成角为θ，
则 sinθ=|csMNn|=|MN⋅n||MN|!n|=12.16λ2-10λ+2=22,
即当 PC=14 或 1PC=38…时，且线 MN与平面PAC 所成角的正弦值为 ve2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
17.【解析】(1)设圆C的半径为r(r>0),依题意知,圆心C的坐标为(2,r),
因为|MN|=3,所以 r2=322+22=254,所以 r=52,
圆C的方程为 x-22+y-522=254. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2)把x=0代入方程 x-22+y-522=254,解得y=1或y=4,即点M(0,1),N(0,4).
①当AB⊥x轴时,可知∠ANM=∠BNM=0;
②当 AB与x轴不垂直时,可设直线AB的方程为y=kx+1.
联立方程 y=kx+1,x28+y24=1,消去y得 1+2k²x²+4kx-6=0.
Δ=16k²+241+2k²>0恒成立.
设直线 AB 交椭圆 x28+y24=1于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂);两点，则 x1+x2=-4k1+2k2,x1x2=-61+2k2,
所以 kN+kN=y1-4x1+y2-4x2=kx1-3x1+kxx-3x2=2kx1x2-3x1+x2x1x21-12k1+2k2+12k1+2k2=0,
数学参考答案(雅礼版)-4x
1
2
3
P
1/10
所以∠ANM=∠BNM.
综合①②知∠ANM=∠BNM.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
18.【解析】(1)f'(x)=lnx+1-2ax-3=lnx-2ax-2,又x=1是函数f(x)的一个极值点,
∴f(1)=0,即-2a-2=0,∴a=-1.
∴f'(x)=lnx+2x-2,令 hx=lnx+2x-2,h'x=1x+2>0,
∴f'(x)=h(x)在(0,+∞)上单调递增,且 f'(1)=0,
∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴x=1是f(x)的极小值点时,实数a的值为-1……………………………………………………………………5分
(2)①f'(x)=lnx+1-2ax-3=lnx-2ax-2,
由于 fx=xlnx-ax²-3xa∈R有两个极值点. x₁,x₂,
所以方程f'(x)=0在(0,+∞)上有两个不同的根,即方程lnx-2ax-2=0有两个不同的正数根,
转化为函数 gx=lnx-2x与函数.y=2a的图象在(0，+∞)上有两个不同交点，
令 g'x=3-lnxx2,令 g'x=3-lnxx2=0,解得 x=e³,
当 x>e³时,g'(x)<0,g(x)单调递减，当 00,g(x).单调递增，且当 x>c²时, gx>0,ge²=0,故作出g(x)的图象如下:
由图象可得： 2a∈01e3,即 a∈012e3. 11分
②由①知:x₁,x₂ 是lnx-2ax-2=0的两个根,
故 -2+lnx₁-2ax₁=0,-2+lnx₂-2ax₂=0,则 2a=lnx1-lnx2x1-x2,
不妨设 t=x1x2∈01,则 tx₂=x₁,则 -2+lnx2-lnx1-lnx2x1-x2x2=0⇒lnx2=lntt-1+2,故由 2ax₁+klnx₂>3k+1可得，
nx1-lnx2x1-x2x1+klnx2>3k+1=lnttx2-x2tx2+klnx2>3k+1=μlntt-1+klnx2>3k+1 tlntt-1+klntt-1+2>3k+1,化简得 lnt-t+1t-1>kt-1-lntt-1,
由于0则 F't=lnt-k+kt,
设 mt=lnt-k+kt,则 m't=1t-kt2=t-kt2,
(j)当k≤0时, m't=t-kt2>0,mt=F't单调递增，故 F'tF(1)=0,不满足,舍去;
(ii)当k≥1时, m't=t-kt2<0,mt=F't单调递减，故F'(t)>F'(1)=0,F(t)单调递增,故 F(t)(jii)当00,mx=F't单调递增,当0数学参考答案(雅礼版)-5又 F'1=0,故kF(1)=0,因此当k0,不符合题意,舍去.
综上，实数k的取值范围为[1，+∞). ………………………………………………17分
19.【解析】 J1bₙ=2n,对任意的 m， n∈N*,m≠n,bm=2m,bn=2n,bm+bn=2m+2n=2m+n,取k=m+n,则 bₘ+bₙ=bₖ,∴bₙ是“G数列”.…… …………………………4分
(2)数列 aₙ为等差数列，
①若 aₙ是“G数列”, a1=8,a2∈N*,且 a2>a1,d=a2-a1>0,d∈N*,则 aₙ=8+n-1d,
对任意的 m， n∈N*,m≠n,am=8+m-1d,an=8+n-1d,
aₘ+aₙ=8+8+m+n-2d,由题意存在 k∈N*,使得 aₘ+aₙ=aₖ,
即8+8+(m+n-2)d=8+(k-1)d,显然k≥m+n,
所以(m+n-2)d+8=(k-1)d,(k-m-n+1)d=8,
k-m-n+1∈N*.所以d是8的正约数,即d=1,2,4,8,
d=1时, a₂=9,k=m+n+7;
d=2时, a₂=10,k=m+n+3;
d=4时, a₂=12,k=m+n+1;
d=8时, a₂=16,k=m+n.
综上， a₂的可能值为9,10,12,16. ……10 分
②若对任意 n∈N*,存在 k∈N*,使得 aₖ=Sₙ成立，
所以存在 t∈N*,a1+a2=S2=at,l≥3,
设数列 aₙ公差为d，则 2a₁+d=a₁+t-1d,a₁=t-2d,
aₙ=t-2d+n-1d=t+n-3d,
对任意m ,n∈N*,m≠n,am=t+m-3d,an=t+n-3d
aₘ+aₙ=2t+m+n-6d,取 k=t+m+n-3∈N*,则 aₖ=t-3+kd=2t+m+n-6d=aₘ+aₙ所以数列 aₙ是“G数列”………………… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分