内蒙古自治区兴安盟科尔沁右翼前旗科尔沁右翼前旗第三中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共10小题，满分30分）
1. 为宣传我国非物质文化遗产创新传承与发展，我校开展了征集“二十四节气”标识活动，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形识别，熟记“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”是解题关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．
【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项错误，不符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用关于轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
，，
则．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆关于轴对称点的符号关系是解题关键．
4. 年月日，上海微电子研发的浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知为米，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．由此即可求解，确定的取值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
5. 分式的值为0，则的值为（ ）
A. 1B. C. -1D. 任意实数
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用分式的值为零的条件进而得出答案.
【详解】∵分式的值为0，
∴，≠0，
∴．
故选B．
【点睛】考查了分式有意义的条件和分式值为0的条件，解题关键是抓住：分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
6. 我市某区为万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的倍，结果提前天完成了这项工作．设原计划每天接种万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种万人，再结合结果提前天完成了这项工作，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：实际每天接种人数是原计划的倍，且原计划每天接种万人，
实际每天接种万人，
又结果提前天完成了这项工作，
．
故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7. 如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）．则∠OCD等于（ ）
A. 108°B. 114°C. 126°D. 129°
【答案】C
【解析】
【分析】按照如图所示的方法折叠,剪开,把相关字母标上,易得∠ODC和∠DOC的度数,利用三角形的内角和定理可得∠OCD的度数．
【详解】解:展开如图,五角星的每个角的度数是,
=36°.
∵∠COD=360°÷10=36°,∠ODC=36°÷2=18°,
∴∠OCD=180°-36°-18°=126°,故选C．
【点睛】本题主要考查轴对称性质,解决本题的关键是能够理解所求的角是五角星的哪个角,解题时可以结合正五边形的性质解决．
8. 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1）然后将剩余的部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项。
【详解】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余的部分面积是，
拼成的矩形面积是，
∴根据剩余的部分面积相等得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用算式表示图形的面积，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成用数学式子表示出来．
9. 若分式中a，b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A. 扩大到原来的20倍B. 扩大到原来的10倍
C. 缩小到原来的D. 不变
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质．分别用、去代换原来的a、b，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：分别用、去代换原来的a、b，
得：，
则此分式的值是原来分式值的，
故选：C．
10. 如图，在中，，、是的两条中线，，P是上一个动点，则的最小值是（ ）
A. 7B. 3.5C. 5D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形三线合一得到关于对称，根据，即可得解．
【详解】解：∵，是的中线，
∴，
∴关于对称，
∴，
∴的最小值是；
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握等腰三角形三线合一以及将军饮马问题的解题方法，是解题的关键．
二、填空题（共6小题，满分18分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
12. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52º,则该三角形的底角的度数为________.
【答案】71°或19°
【解析】
【详解】试题解析：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=52°，
∴∠A=90°-52°=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-38°）=71°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°-52°=38°，
∴∠BAC=180°-38°=142°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-142°）=19°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为19°或71°．
故答案为19°或71°．
13. 将一副直角三角板如图放置，已知，，，则________°．
【答案】105
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】，，
，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，
故答案为：105
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
14. 如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．根据折叠的性质，可得，从而，再由的周长，即可求解．
【详解】解：∵沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处，
，
，
，
的周长．
故答案为：
15. 如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm．
【答案】64
【解析】
【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出 CE , EF , DF 即可解决问题；
【详解】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB//EF，AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10（cm），
∵AE//PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），
同法可得DF＝27（cm），
∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），
故答案为64．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
16. 关于的分式方程的解是非负数，且使得关于的不等式组．有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解及根据一元一次不等式组解集求参数，利用不等式的解集及方程的解得出m的取值范围是解题关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，不等式组整理后，由有且仅有4个整数解确定出m的范围，再找出符合条件的整数求和即可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴
∴
∴，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴且，
∴且．
∵，
∴．
∴．
∵
∴
∴
∵关于y的不等式组有且仅有4个整数解，
∴
∴．
又∵且，a为整数，
∴．
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：．
三、解答题（共10小题，满分52分）
17 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握实数和整式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
（1）先化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，乘方，然后再计算；
（2）先算乘方，乘法，然后再算加减．
【小问1详解】
解：
＝
＝；
【小问2详解】
解：
＝
＝．
18 解分式方程：
【答案】无解
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键．将分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程的结果要进行检验．
【详解】解：
整理，得：，
方程左右两边同时乘得：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化1，得：
检验：当时，
∴是原分式方程的增根
∴原分式方程无解．
19. 先化简，然后从2，0，三个数中选一个你喜欢且使原式有意义的数代入求值．
【答案】当或时，原分式无意义；当时，原式．
【解析】
【分析】经计算后发现当或时，原分式中的分母为0，故原分式无意义，故只能选择代入，按照先化简再求值的步骤，即可解题．
【详解】原式，
，
，
，
或0时，原分式无意义，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
20. 如图，在正方形网格上有一个．
（1）画关于直线的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积；
（3）在直线上求作一点P，使最小（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）见解析 （2）8.5
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先找出点A、点B、点C关于直线的对称点，再依次连接对称点即可．
（2）先求出所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可．
（3）先找出点A关于直线的对称点，连接与直线相交于点P，即的最小值就是线段的长度．
【小问1详解】
解：如图，△即为所求；
【小问2详解】
解：的面积．
【小问3详解】
解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图—轴对称变化、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
21. 如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，ABCD，∠B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F．
（1）求证：ABC≌ECD；
（2）判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）AC⊥DE，见解析
【解析】
【分析】（1）由E是BC中点，BC＝2AB可证明AB＝EC，由平行线的性质得出∠B＋∠ECD＝180°，得出∠ECD＝90°＝∠B，最后由SAS证明△ABC≌△ECD即可；
（2）由全等三角形的性质得出，∠CED＝∠CAB，再由∠CAB＋∠ACB＝90°推导∠CED＋∠ACB＝90°，进而得出∠EFC＝90°，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵E是BC的中点，
∴BC＝2EC，
∵BC＝2AB，
∴AB＝EC，
∵，
∴∠B＋∠ECD＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠ECD＝90°，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）；
【小问2详解】
AC⊥DE．理由如下：
∵△ABC≌△ECD（SAS），
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠CAB＋∠ACB＝90°，
∴∠CED＋∠ACB＝90°，
∴∠EFC＝90°，
∴AC⊥DE．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
22. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子
【解析】
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
23. 阅读理解，自主探究：

（1）如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点．求证．
（2）当直线绕点旋转到图的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）（）中结论不成立，，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角洲的判定及性质是解题的．
根据三垂直得出，然后得出和全等，从而得出，，从而得到结论；
首先证明和全等，从而得出，，得出结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵于，于，
∴，，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：（）中结论不成立，，理由如下：
∵，
∴，
∵于，于，
∴，，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴．