云南省昭通市教研联盟2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合，根据交集含义即可.
【详解】集合，
则，
故选：C.
2. 的终边在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用终边相同角表达方式求解即可.
【详解】易知，而的终边在第二象限，故的终边在第二象限，即B正确.
故选：B
3. 函数 的定义域为（ ）
A. 或B.
C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，解不等式可得解.
【详解】由题知，解得或，
即函数的定义域为{或}.
故选：A.
4. 设，则“是合数”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由合数、充分不必要条件的概念即可得解.
【详解】由是合数知，能得出，但由不一定能得出是合数，故“是合数”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 不等式的解集是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得，，和是方程的根，然后结合方程的根与系数关系即可求解．
【详解】因为不等式的解集是，
所以，和是方程的根，
所以，即，，则．
故选：D．
6. 2021年，安徽省广德市王氏制扇技艺被列人第五批国家级非遗代表性项目名录. 如图是王氏明德折扇一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为 内弧长为 则连接外弧与内弧的两端的线段长均为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由扇形的弧长公式求解即可.
【详解】由题知，内弧对应扇形的半径为，
设连接外弧与内弧的两端的线段长均为，则，所以，
连接外弧与内弧的两端的线段长均为
故选：
7. 已知函数的图象在 上连续，则 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先由分段函数的图象在上连续可得，再分类讨论解不等式即可.
【详解】由题知，，解得，所以，
易知单调递增，，即 ，
令得，
令，得，
所以，即的解集为，
故选：
8. 已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意求出的值，进而可得，的值，以此类推即可得出结果。
【详解】令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
，
依次类推可得。
故选：C
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，，则下列不等式中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用不等式性质一一判定即可.
【详解】因为，所以，所以，则A错误；
由可得，，则B错误；
由，可得，则C正确；
由可知，，
故，则D正确．
故选：AB．
10. 若函数 是定义在 上的偶函数，当 时，，则（ ）
A. B. 当时，
C. D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由时，可得，则A可判断；当时，，，再结合奇偶性可得的解析式，则B可判断；结合B选项的解析即可求，则C可判断；当时，由，得，再由奇偶性可得的解集，则D可判断.
【详解】是上的偶函数，
当 时，，所以，故A错误；
当时，，，故正确；
，故正确；
当时，由，得，
又函数的图象关于轴对称，所以的解集为，故D正确；
故选：.
11. 已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用幂函数的单调性判断ABC；利用作差法判断D.
【详解】幂函数的定义域为，
，，
∵函数在单调递增，，
∴，即，故A正确；
，，
∵函数在单调递减，，即，
∴，即，故B错误；
∵幂函数在上单调递增，，
∴，，即，∴，故C正确；
，
∵，
∴，即，故D正确.
故选：ACD.
12. 对于任意两个正数，记曲线直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨 最早发现.关于，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据确定出的结果，然后分类讨论、、、或时的结果，由此确定出的解析式，再根据解析式逐项分析即可.
【详解】由题意，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当或时，也成立，
综上所述，；
对于A：，
所以，故A正确；
对于B：，
且，所以，故B正确；
对于C：如图，因为曲边梯形的面积总小于对应梯形的面积，
所以，
即，故C错误；
对于D：取，则，故D错误；
故选 .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，对学生分析与总结问题的能力要求较高，难度较大.解答本题的关键在于能通过所给的关系式结合图形中的面积转化关系推导出函数的解析式.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题“”的否定是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据特称命题的否定形式求解即可．
【详解】命题“”的否定是：“”．
故答案为：．
14. 已知实数，，且，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据基本不等式在最值求解中的应用计算即可．
【详解】因为实数，，，
则，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
15. 艾宾浩斯遗忘曲线是1885年由艾宾浩斯 提出的，其描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响. 设初次记忆后经过了 小时，那么记忆率 近似的满足，. 某学生学习一段课文，若在学习后不复习，1天后记忆率为 ，6天后记忆率为 ，则该学生在学习后不复习，4小时后记忆率约为______（保留两位小数）
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知条件确定，满足的条件，再求目标函数的值.
【详解】由题可 ，所以.
故4小时后的记忆率约为 .
故答案为：
16. 若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.已知函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分类讨论，时，其中有部分具有偶函数性质，不符合题意；时，根据分段函数的解析式通过方程的解，确定的范围．
【详解】根据题意，函数是“2阶准偶函数”，
则集合中恰有2个元素，
当时，函数一段部分为，
注意到函数本身具有偶函数性质，
故集合中不止有两个元素；
当时，根据“2阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，
为，，故，方程无解，
当 ，解得或，
故要使得集合中恰有2个元素，
则需要满足，即，
当时，函数的取值为，为，
根据题意得：，
解得或，满足恰有两个元素，故满足条件.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （1）计算；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂的运算、对数运算，特殊角的三角函数值求解出结果；
（2）先计算出的值，然后通过立方和公式求解出结果.
【详解】（1）原式
；
（2）因为，
所以，
所以，
所以.
18. （1）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值；
（2）若，求值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据三角函数定义求解出的值，然后利用诱导公式化简原式并求解出结果；
（2）先根据诱导公式化简原式，然后根据齐次式的运算结合的值求解出结果.
【详解】（1）由题意知，
；
（2）原式，
又，
原式.
19. 已知一次函数满足.
（1）求的解析式；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）直接由待定系数法列出方程组即可求解.
（2）所求式子为对称结构，通过验证发现，由此通过分组求和即可求解.
【小问1详解】
设.
则，
于是有，解得，.
【小问2详解】
由（1）知，则，.
，，
.
20. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值．
（2）判断的单调性（不必证明）．
（3）若存在，使成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）函数在上是减函数
（3）
【解析】
【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出．
（2）将表达式变形为，根据复合函数单调性即可判断．
（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意问题等价于，由此即可得解．
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，所以，又因为，
所以，将代入，整理得，
当时，有，即，
又因为当时，有，所以，所以．
经检验符合题意，所以．
【小问2详解】
由（1）知：函数，
函数在上是减函数．
【小问3详解】
因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，
所以，所以，令，
由题意可知：问题等价转化为，又因为，
所以，即的取值范围为．
21. 《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其它总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）当投入的肥料费用为6元时，该单株农作物获得的利润最大，最大利润为52元
【解析】
【分析】（1）根据利润毛收入成本可得结果；
（2）分段求出最大值，再两者中的更大的为最大值.
【小问1详解】
由题意可得，
所以函数的函数关系式为
【小问2详解】
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
当时， ，
当且仅当，即时等号成立，此时
综上：当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大为52元.
22. 已知函数，其中a为常数.
（1）若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）已知，若函数在上有且仅有一个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复合函数单调性的判断方法确定出的单调性，由此列出不等式求解出结果；
（2）先化简函数得到，然后根据的范围进行分类讨论，结合函数的单调性以及零点的存在性定理求解出的取值范围.
【小问1详解】
令，因为为定义域内的单调递减函数，
若满足在区间上单调递减，则在上单调递增即可，
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，为开口向下的二次函数，所以不可能在上单调递增；
当时，只需满足，解得，
综上所述，实数a的取值范围为；
小问2详解】
因为在上有且仅有一个零点，
所以上有且仅有一个零点，
记，
当时，，且均在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以在上有唯一零点，符合条件；
当时，，
的对称轴为，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
若满足题意只需，所以，解得；
当时， ，
的对称轴为，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
若满足题意只需，所以，解得；
综上所述，的取值范围是.