初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形一课一练

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形一课一练，共22页。

A．12B．15
C．12或15D．条件不够无法计算
2．若（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．8或10
3．若一个等腰三角形有一个内角为82°，则它的底角为（ ）
A．82°B．16°C．82°或49°D．82°或36°
4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的角平分线，则∠ADB的度数等于（ ）
A．70°B．100°C．105°D．120°
5．木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．角平分线定理B．等腰三角形的三线合一
C．线段垂直平分线定理D．两直线垂直的性质
6．如图，AB∥CD，∠GFD＝32°，EG＝EF，则∠EFG的度数等于（ ）
A．64°B．32°C．62°D．96°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，∠C＝70°，则∠BDC＝（ ）
A．30°B．40°C．70°D．75°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，DA⊥AB．设∠CAD＝38°，则∠ADB＝（ ）
A．60°B．62°C．64°D．66°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AC边的垂直平分线DE分别交AC、AB边于点D、E，连接CE，则∠ECB的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
10．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
11．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．5B．6C．8D．9
12．如图所示，点E、F为网格中的格点，△DEF为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（ ）
A．4个B．6个C．9个D．10个
13．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，则△AMN的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
14．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（ ）
A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来
15．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．③④
16．如图，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，且DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝36°，AB＝AC，求∠BEC的度数．
17．（2022秋•江宁区校级月考）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明．
已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点．
求证：△ABC是等腰三角形．（用两种不同的方法证明）
方法一：
方法二：
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
19．在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．
（1）求证：△BCD是等腰三角形．
（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．
21．（2021秋•上城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．
专题1.1 等腰三角形（专项训练）
1．等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长为（ ）
A．12B．15
C．12或15D．条件不够无法计算
【答案】B
【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15．
故选：B．
2．若（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．8或10
【答案】C
【解答】解：根据题意得，a﹣2＝0，b﹣4＝0，
解得a＝2，b＝4，
①a＝4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，
∵4、4、2能组成三角形，
∴三角形的周长为10，
②a＝2是腰长时，三角形的三边分别为4、2、2，
不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为10．
故选：C．
3．若一个等腰三角形有一个内角为82°，则它的底角为（ ）
A．82°B．16°C．82°或49°D．82°或36°
【答案】C
【解答】解：有两种情况：①底角是82°，
②顶角是82°，则底角是×（180°﹣82°）＝49°，
所以底角为82°或49°，
故选：C．
4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的角平分线，则∠ADB的度数等于（ ）
A．70°B．100°C．105°D．120°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝35°，
∴∠ADB＝180°﹣（40°+35°）＝105°．
故∠ADB的度数为105°．
故选：C．
5．木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．角平分线定理B．等腰三角形的三线合一
C．线段垂直平分线定理D．两直线垂直的性质
【答案】B
【解答】解：木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，
当重锤经过等腰三角形的底边的中点时，就能检查出这根横梁水平，否则就不水平，
所以解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一，
故选：B．
6．如图，AB∥CD，∠GFD＝32°，EG＝EF，则∠EFG的度数等于（ ）
A．64°B．32°C．62°D．96°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，∠GFD＝32°，
∴∠EGF＝∠GFD＝32°，
∵EG＝EF，
∴∠EFG＝∠EGF＝32°．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，∠C＝70°，则∠BDC＝（ ）
A．30°B．40°C．70°D．75°
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝35°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
故选：D．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，DA⊥AB．设∠CAD＝38°，则∠ADB＝（ ）
A．60°B．62°C．64°D．66°
【答案】C
【解答】解：∵DA⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∵∠CAD＝38°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝128°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝26°，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝64°，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AC边的垂直平分线DE分别交AC、AB边于点D、E，连接CE，则∠ECB的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠ACE＝∠A＝40°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
10．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴△ABC是等腰三角形．
∴∠C＝∠ABC＝72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°＝∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
即共有3个等腰三角形．
故选：B．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．5B．6C．8D．9
【答案】C
【解答】解：如图所示，分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的6个交点即为所求；
作OA的垂直平分线，与坐标轴的2个交点即为所求；
综上所述，满足条件的点P有8个．
故选：C．
12．如图所示，点E、F为网格中的格点，△DEF为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（ ）
A．4个B．6个C．9个D．10个
【答案】C
【解答】解：P点位置如图所示：
故符合条件的P点有9个，
故选：C．
13．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，则△AMN的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】B
【解答】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝14．
故选：B．
14．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（ ）
A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来
【答案】C
【解答】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），
∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝30海里．
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选：C．
15．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．③④
【答案】B
【解答】解：由AB＝AC，∠A＝36°知∠ABC＝∠C＝72°，
∵MN是AB的中垂线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝36°，
∴∠C＝∠CDB＝72°，
∴△CDB是等腰三角形，
∴①正确，
又∵∠ABC＝72°，
∴∠ABD＝36°，
∴线段BD是△ACB的角平分线，
∵三角形的角平分线是线段，
∴②错误，
由AD＝BD，AB＝AC知，△BCD的周长＝BC+CD+BD＝AC+BC，
∴③正确，
∵AM⊥MD，而△BCD为锐角三角形，
∴④错误，
∴正确的为：①③．
故选：B．
16．如图，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，且DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝36°，AB＝AC，求∠BEC的度数．
【解答】（1）证明：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠EBC＝∠DEB，
∴DE∥BC；
（2）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝×72°＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠DBE＝36°+36°＝72°，
即∠BEC的度数为72°．
17．（2022秋•江宁区校级月考）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明．
已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点．
求证：△ABC是等腰三角形．（用两种不同的方法证明）
方法一：
方法二：
【解答】证明：方法一：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
方法二：延长AD，使DE＝AD，连接BE，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴∠CAD＝∠BED，AC＝EB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BED＝∠BAD，
∴AB＝EB，
∵AC＝EB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，
∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∴∠B＝∠DEF，
∵∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠B＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DEF＝65°．
19．在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．
（1）求证：△BCD是等腰三角形．
（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．
【解答】（1）证明：∵AE＝AF，∠A＝∠A，∠ABE＝∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AB＝AC，∠ABE＝∠ACF，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACF，
即∠DBC＝∠DCB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵∠DBC＝∠DCB，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠ABE＝10°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∵AB＝10cm，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t；
（2）∵△AMN是以MN为底的等腰三角形，
∴AM＝AN，即10﹣2t＝t，
∴当t＝时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形；
（3）当MN⊥AC时，MN∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵MN∥BC，
∴∠NMA＝30°
∴AN＝AM，
∴t＝（10﹣2t），解得t＝，
∴当t＝时，MN∥BC，
CN＝5﹣×1＝．
21．（2021秋•上城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵AB＝AC，AC＝10，
∴AB＝10，
∵F为AB中点，
∴AF＝BF＝AB＝5，
在Rt△BFE中，BE＝3，
∴EF＝＝＝4，
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴GF＝EF＝4，
∵AD＝AF，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8．