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初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形巩固练习
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这是一份初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形巩固练习，共25页。
1. 了解等腰三角形的概念.
2. 探索并证明等腰三角形的性质定理.
3. 探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等.
4. 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
【知识点梳理】
知识点1 等腰三角形的概念与性质
等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
知识点2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
【典例分析】
【考点1： 等腰三角形的性质】
【典例1】（东莞市）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17B．15C．13D．13或17
【变式1-1】（陆川县期末）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（ ）
A．18cmB．19cmC．23cmD．19cm或23cm
【变式1-2】（秋•惠安县期末）若等腰△ABC的周长为20，AB＝8，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．8B．6C．4D．8或6
【变式1-3】（2021•海口）等腰三角形ABC的周长为20cm，AB＝8cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．8cmB．6cmC．4cmD．8cm或6cm
【典例2】（2019秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（ ）
A．70°B．71°C．74°D．76°
【变式2-1】（2021秋•祥云县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【变式2-2】（2021秋•浉河区期末）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，连接BD，则△BDC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【典例3】（2021秋•河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【变式3-1】（2019秋•铜山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，且AD＝BD．
（1）求证：∠ADB＝∠BAC；
（2）求∠B的度数．
【典例4】（2022秋•长沙期中）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？
【变式4】（2022秋•南岗区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
【考点2 等腰三角形的判定】
【典例5】（2020•河北模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
【变式5-1】（2016秋•肥城市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
【变式5-2】（宜宾期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，则图中等腰三角形共有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
【典例6】（蒙阴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【变式6-1】（2021秋•西工区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式6-2】（2019秋•河东区期末）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【考点3：等腰三角形的判定与性质】
【典例7】（苍溪县期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，
分别交AB、AC于点D、E．
（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．
（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长．
【变式7-1】（2021秋•集贤县期末）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．求证：
（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF＝BE+CF．
【变式7-2】（2021秋•长垣市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【变式7-3】（2022春•雁塔区校级期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的长．
专题1.1 等腰三角形（知识解读）
【学习目标】
1. 了解等腰三角形的概念.
2. 探索并证明等腰三角形的性质定理.
3. 探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等.
4. 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
【知识点梳理】
知识点1 等腰三角形的概念与性质
等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
知识点2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
【典例分析】
【考点1： 等腰三角形的性质】
【典例1】（东莞市）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17B．15C．13D．13或17
【答案】A
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7＝17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
【变式1-1】（陆川县期末）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（ ）
A．18cmB．19cmC．23cmD．19cm或23cm
【答案】D
【解答】解：当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为9cm时，
∵5+5＞9，9﹣5＜5，
∴能够成三角形，
∴三角形的周长＝5+5+9＝19cm；
当等腰三角形的腰长为9cm，底边长为5cm时，
∵9+5＞9，9﹣5＜5，
∴能够成三角形，
∴三角形的周长＝9+9+5＝23cm；
∴该三角形的周长是19cm或23cm．
故选：D．
【变式1-2】（秋•惠安县期末）若等腰△ABC的周长为20，AB＝8，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．8B．6C．4D．8或6
【答案】D
【解答】解：（1）当AB＝8为底边时，BC为腰，
由等腰三角形的性质，得BC＝（20﹣AB）＝6；
（2）当AB＝8为腰时，
①若BC为腰，则BC＝AB＝8；
②若BC为底，则BC＝20﹣2AB＝4，
综上，该等腰三角形的腰长为8或6，
故选：D．
【变式1-3】（2021•海口）等腰三角形ABC的周长为20cm，AB＝8cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．8cmB．6cmC．4cmD．8cm或6cm
【答案】D
【解答】解：（1）当AB＝8cm为底边时，BC为腰，
由等腰三角形的性质，得BC＝（20﹣AB）＝6cm；
（2）当AB＝8cm为腰时，
①若BC为腰，则BC＝AB＝8cm；
②若BC为底，则BC＝20﹣2AB＝4cm，
故选：D．
【典例2】（2019秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（ ）
A．70°B．71°C．74°D．76°
【答案】B
【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝∠BEC＝×76°＝38°，
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝＝71°；
故选：B．
【变式2-1】（2021秋•祥云县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【答案】C
【解答】解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，
∴AE＝BE，
∵AD＝3，
∴AB＝6，
∴AE+EC＝AC＝AB＝6，
∵BC＝5，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；
故选：C．
【变式2-2】（2021秋•浉河区期末）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，连接BD，则△BDC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【答案】D
【解答】解：根据作图过程可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC＝AB+BC＝8+5＝13．
故选：D．
【典例3】（2021秋•河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【解答】解：设∠A＝x．
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x；
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x，
∴∠DBC＝x；
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．
【变式3-1】（2019秋•铜山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，且AD＝BD．
（1）求证：∠ADB＝∠BAC；
（2）求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝BD
∴∠B＝∠C，∠B＝∠1，
∴∠C＝∠1，
∵∠ADB＝∠2+∠C，∠BAC＝∠2+∠1
∴∠ADB＝∠BAC；
（2）∵AC＝CD，
∴∠2＝∠ADC，
又∵∠ADC＝∠B+∠1，
∴∠2＝2∠B，
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C＝5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【典例4】（2022秋•长沙期中）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？
【解答】解：（1）由题意得：AB＝15×2＝30（海里）．
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．
∴∠ACB＝∠NAC．
∴AB＝BC＝30 （海里）．
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．
（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P．
∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°．
又∵∠NBC＝60°，
∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．
在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，
∴（海里），
∴AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里）．
∴航行的时间为45÷15＝3（时）．
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【变式4】（2022秋•南岗区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
【解答】解：由题意得：
AB＝（11﹣8）×15＝3×15＝45（海里），
∵∠NBC是△ABC的一个外角，∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝40°，
∴∠C＝∠NAC＝40°，
∴AB＝BC＝45海里，
∴从海岛B到灯塔C的距离为45海里．
【考点2 等腰三角形的判定】
【典例5】（2020•河北模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝×72°＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形．
故选：D．
【变式5-1】（2016秋•肥城市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°∴△ABC是等腰三角形，
∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC＝36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°，
∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
所以共有5个等腰三角形．
故选：D．
【变式5-2】（宜宾期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，则图中等腰三角形共有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵AD＝AE，∠DAE＝36°，
∴∠ADE＝∠AED＝72°，
∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EAC，
∴∠BAD＝∠EAC＝36°，
∴∠BAE＝∠DAC＝72°，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDA＝∠CAD，∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC，
∴△ABD，△AEC，△BAE，△ADC，△ABC，△ADE都是等腰三角形，
故选：D．
【典例6】（蒙阴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【解答】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个．
故选：C．
【变式6-1】（2021秋•西工区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：如图所示：
点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个，
故选：C．
【变式6-2】（2019秋•河东区期末）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解答】解：①以AB为底边，符合点C的有5个； ②以AB为腰，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：C．
【考点3：等腰三角形的判定与性质】
【典例7】（苍溪县期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，
分别交AB、AC于点D、E．
（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．
（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长．
【解答】解：（1）△BDO是等腰三角形．
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO＝∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠CBO＝∠DOB，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴BD＝DO，
∴△BDO是等腰三角形．
（2）同理△CEO是等腰三角形，
∵BD＝OD，CE＝OE，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝10+6＝16．
【变式7-1】（2021秋•集贤县期末）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．求证：
（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF＝BE+CF．
【解答】证明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠BCD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴DF＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
由（1）得，DF＝FC，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF．
【变式7-2】（2021秋•长垣市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
【变式7-3】（2022春•雁塔区校级期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵BE＝CF，
∴AE+BE＝AF+CD，
即AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）可知△ABC是等腰三角形，
又∵AD是△ABC的角平分线，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，AD⊥BC，
∵AB＝5，AD＝，
∴AD＝＝4，
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴S△ABD＝BD•AD＝AB•DE，
∴DE＝＝＝2.4．
1. 了解等腰三角形的概念.
2. 探索并证明等腰三角形的性质定理.
3. 探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等.
4. 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
【知识点梳理】
知识点1 等腰三角形的概念与性质
等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
知识点2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
【典例分析】
【考点1： 等腰三角形的性质】
【典例1】（东莞市）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17B．15C．13D．13或17
【变式1-1】（陆川县期末）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（ ）
A．18cmB．19cmC．23cmD．19cm或23cm
【变式1-2】（秋•惠安县期末）若等腰△ABC的周长为20，AB＝8，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．8B．6C．4D．8或6
【变式1-3】（2021•海口）等腰三角形ABC的周长为20cm，AB＝8cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．8cmB．6cmC．4cmD．8cm或6cm
【典例2】（2019秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（ ）
A．70°B．71°C．74°D．76°
【变式2-1】（2021秋•祥云县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【变式2-2】（2021秋•浉河区期末）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，连接BD，则△BDC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【典例3】（2021秋•河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【变式3-1】（2019秋•铜山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，且AD＝BD．
（1）求证：∠ADB＝∠BAC；
（2）求∠B的度数．
【典例4】（2022秋•长沙期中）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？
【变式4】（2022秋•南岗区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
【考点2 等腰三角形的判定】
【典例5】（2020•河北模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
【变式5-1】（2016秋•肥城市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
【变式5-2】（宜宾期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，则图中等腰三角形共有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
【典例6】（蒙阴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【变式6-1】（2021秋•西工区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式6-2】（2019秋•河东区期末）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【考点3：等腰三角形的判定与性质】
【典例7】（苍溪县期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，
分别交AB、AC于点D、E．
（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．
（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长．
【变式7-1】（2021秋•集贤县期末）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．求证：
（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF＝BE+CF．
【变式7-2】（2021秋•长垣市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【变式7-3】（2022春•雁塔区校级期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的长．
专题1.1 等腰三角形（知识解读）
【学习目标】
1. 了解等腰三角形的概念.
2. 探索并证明等腰三角形的性质定理.
3. 探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等.
4. 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
【知识点梳理】
知识点1 等腰三角形的概念与性质
等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
知识点2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
【典例分析】
【考点1： 等腰三角形的性质】
【典例1】（东莞市）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17B．15C．13D．13或17
【答案】A
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7＝17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
【变式1-1】（陆川县期末）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（ ）
A．18cmB．19cmC．23cmD．19cm或23cm
【答案】D
【解答】解：当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为9cm时，
∵5+5＞9，9﹣5＜5，
∴能够成三角形，
∴三角形的周长＝5+5+9＝19cm；
当等腰三角形的腰长为9cm，底边长为5cm时，
∵9+5＞9，9﹣5＜5，
∴能够成三角形，
∴三角形的周长＝9+9+5＝23cm；
∴该三角形的周长是19cm或23cm．
故选：D．
【变式1-2】（秋•惠安县期末）若等腰△ABC的周长为20，AB＝8，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．8B．6C．4D．8或6
【答案】D
【解答】解：（1）当AB＝8为底边时，BC为腰，
由等腰三角形的性质，得BC＝（20﹣AB）＝6；
（2）当AB＝8为腰时，
①若BC为腰，则BC＝AB＝8；
②若BC为底，则BC＝20﹣2AB＝4，
综上，该等腰三角形的腰长为8或6，
故选：D．
【变式1-3】（2021•海口）等腰三角形ABC的周长为20cm，AB＝8cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．8cmB．6cmC．4cmD．8cm或6cm
【答案】D
【解答】解：（1）当AB＝8cm为底边时，BC为腰，
由等腰三角形的性质，得BC＝（20﹣AB）＝6cm；
（2）当AB＝8cm为腰时，
①若BC为腰，则BC＝AB＝8cm；
②若BC为底，则BC＝20﹣2AB＝4cm，
故选：D．
【典例2】（2019秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（ ）
A．70°B．71°C．74°D．76°
【答案】B
【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝∠BEC＝×76°＝38°，
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝＝71°；
故选：B．
【变式2-1】（2021秋•祥云县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【答案】C
【解答】解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，
∴AE＝BE，
∵AD＝3，
∴AB＝6，
∴AE+EC＝AC＝AB＝6，
∵BC＝5，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；
故选：C．
【变式2-2】（2021秋•浉河区期末）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，连接BD，则△BDC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【答案】D
【解答】解：根据作图过程可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC＝AB+BC＝8+5＝13．
故选：D．
【典例3】（2021秋•河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【解答】解：设∠A＝x．
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x；
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x，
∴∠DBC＝x；
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．
【变式3-1】（2019秋•铜山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，且AD＝BD．
（1）求证：∠ADB＝∠BAC；
（2）求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝BD
∴∠B＝∠C，∠B＝∠1，
∴∠C＝∠1，
∵∠ADB＝∠2+∠C，∠BAC＝∠2+∠1
∴∠ADB＝∠BAC；
（2）∵AC＝CD，
∴∠2＝∠ADC，
又∵∠ADC＝∠B+∠1，
∴∠2＝2∠B，
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C＝5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【典例4】（2022秋•长沙期中）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？
【解答】解：（1）由题意得：AB＝15×2＝30（海里）．
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．
∴∠ACB＝∠NAC．
∴AB＝BC＝30 （海里）．
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．
（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P．
∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°．
又∵∠NBC＝60°，
∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．
在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，
∴（海里），
∴AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里）．
∴航行的时间为45÷15＝3（时）．
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【变式4】（2022秋•南岗区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
【解答】解：由题意得：
AB＝（11﹣8）×15＝3×15＝45（海里），
∵∠NBC是△ABC的一个外角，∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝40°，
∴∠C＝∠NAC＝40°，
∴AB＝BC＝45海里，
∴从海岛B到灯塔C的距离为45海里．
【考点2 等腰三角形的判定】
【典例5】（2020•河北模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝×72°＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形．
故选：D．
【变式5-1】（2016秋•肥城市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（ ）
A．1个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°∴△ABC是等腰三角形，
∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC＝36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°，
∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
所以共有5个等腰三角形．
故选：D．
【变式5-2】（宜宾期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，则图中等腰三角形共有（ ）个．
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵AD＝AE，∠DAE＝36°，
∴∠ADE＝∠AED＝72°，
∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EAC，
∴∠BAD＝∠EAC＝36°，
∴∠BAE＝∠DAC＝72°，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDA＝∠CAD，∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC，
∴△ABD，△AEC，△BAE，△ADC，△ABC，△ADE都是等腰三角形，
故选：D．
【典例6】（蒙阴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【解答】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个．
故选：C．
【变式6-1】（2021秋•西工区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：如图所示：
点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个，
故选：C．
【变式6-2】（2019秋•河东区期末）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解答】解：①以AB为底边，符合点C的有5个； ②以AB为腰，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：C．
【考点3：等腰三角形的判定与性质】
【典例7】（苍溪县期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，
分别交AB、AC于点D、E．
（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．
（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长．
【解答】解：（1）△BDO是等腰三角形．
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO＝∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠CBO＝∠DOB，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴BD＝DO，
∴△BDO是等腰三角形．
（2）同理△CEO是等腰三角形，
∵BD＝OD，CE＝OE，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝10+6＝16．
【变式7-1】（2021秋•集贤县期末）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．求证：
（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF＝BE+CF．
【解答】证明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠BCD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴DF＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
由（1）得，DF＝FC，
∴EF＝DE+DF＝BE+CF．
【变式7-2】（2021秋•长垣市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
【变式7-3】（2022春•雁塔区校级期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵BE＝CF，
∴AE+BE＝AF+CD，
即AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）可知△ABC是等腰三角形，
又∵AD是△ABC的角平分线，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，AD⊥BC，
∵AB＝5，AD＝，
∴AD＝＝4，
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴S△ABD＝BD•AD＝AB•DE，
∴DE＝＝＝2.4．
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