北师大版八年级下册第一章 三角形的证明2 直角三角形综合训练题

这是一份北师大版八年级下册第一章 三角形的证明2 直角三角形综合训练题，共28页。
掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.
【知识点梳理】
知识点 1 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
理解勾股定理的一些变式：
，， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为的线段
知识点2 勾股定理证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.
知识点3 勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点4 直角三角形的判定（直角边、斜边）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。
知识点5 命题
【典例分析】
【考点1：勾股定理】
【典例1】（2020秋•温江区期末）如图是一个直角三角形，它的未知边的长x等于（ ）
A．13B．C．5D．
【变式1-1】（2020春•东莞市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则BC的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（春•长白县期中）直角三角形的两直角边是6和8，则第三边是（ ）
A．7B．10C．2D．10或2
【变式1-3】（春•新化县期末）若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为（ ）
A．3B．C．3或D．不确定
【典例2】（2020春•雨花区期末）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，则S3＝（ ）
A．8B．10C．80D．100
【变式2-1】（2020秋•卢龙县期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6B．36C．64D．8
【变式2-2】（2020春•新乡期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（ ）
A．13B．C．47D．
【变式2-3】（2021春•甘井子区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【考点2 勾股定理证明】
【典例3】勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．
【变式3-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．148B．100C．196D．144
【变式3-3】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【考点3： 勾股定理逆定理】
【典例4】在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝6，b＝8，c＝10B．a＝5，b＝5，c＝5
C．a：b：c＝3：4：5D．a＝4，b＝5，c＝6
【变式4-1】（2020春•甘井子区期末）下列各组数中，不可能成为直角三角形的三条边长的是（ ）
A．1，2，3B．1，C．3，4，5D．1，1，
【变式4-2】（2020春•朝阳区校级月考）以下列长度的线段为边能组成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8B．7，8，9C．，1，2D．8，9，10
【变式4-3】（2021春•红谷滩区校级期末）△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c）B．a：b：c＝1：：2
C．∠C＝∠A﹣∠BD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【典例5】（2021秋•拱墅区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝24，BC＝7，CD＝15，AD＝20，∠B＝90°，求四边形的面积．
【变式5-1】（2020秋•太平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【变式5-2】（2020春•东昌府区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
【变式5-3】（2021春•长沙县期末）如图，小方格都是边长为1的正方形．
（1）求四边形ABCD的边AB与BC的长；
（2）用勾股定理逆定理的知识证明：∠ABC＝90°．
【考点4 ：判定全等角形（HL）】
【典例6】（2021秋•信都区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．
【变式6-1】（2021秋•阳江期末）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．
【变式6-2】（2021春•华容县期末）如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
【变式6-3】（2019秋•铁东区期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
明：试题解析著作权属所有，未经书
【考点5 ：四种命题及其关系】
【典例7】（2022春•鹿城区校级期中）用反证法证明命题“若|a|＜3，则a2＜9”时，应假设（ ）
A．a＞3B．a≥3C．a2≥9D．a2＞9
【变式7-1】（2022春•滨江区校级期中）用反证法证明“在△MBC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（ ）
A．∠A＝60°B．∠A＜60°C．∠A≠60°D．∠A≤60°
【变式7-2】（2022春•顺德区校级期中）用反证法证明：若abc＝0，则a，b，c至少有一个为0，应该假设（ ）
A．a，b，c没有一个为0B．a，b，c只有一个为0
C．a，b，c至多一个为0D．a，b，c三个都为0
【典例8】（2021秋•港南区期末）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°．”
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
【变式8】（2021秋•襄汾县月考）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．
求证：∠1+∠2＝180°．
证明：假设∠1+∠2 180°．
∵l1∥l2，
∴∠1 ∠3．
∵∠1+∠2 180°，
∴∠3+∠2≠180°，这和 矛盾，
∴假设∠1+∠2 180°不成立，即∠1+∠2＝180°．
内容
定义
能判断一件事情的语句，叫做命题。
组成
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项
表达形式
通常可以写成“如果,那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
分类
题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。
专题1.3 直角三角形（知识解读）
【学习目标】
掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.
【知识点梳理】
知识点 1 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
理解勾股定理的一些变式：
，， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为的线段
知识点2 勾股定理证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.
知识点3 勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点4 直角三角形的判定（直角边、斜边）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。
知识点5 命题
【典例分析】
【考点1：勾股定理】
【典例1】（2020秋•温江区期末）如图是一个直角三角形，它的未知边的长x等于（ ）
A．13B．C．5D．
【答案】B
【解答】解：∵x＝＝，
故选：B．
【变式1-1】（2020春•东莞市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则BC的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，
∴BC＝＝＝．
故选：A．
【变式1-2】（春•长白县期中）直角三角形的两直角边是6和8，则第三边是（ ）
A．7B．10C．2D．10或2
【答案】B
【解答】解：∵两直角边是6和8，
∴第三边＝＝10．
故选：B．
【变式1-3】（春•新化县期末）若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为（ ）
A．3B．C．3或D．不确定
【答案】C
【解答】解：当5是直角边时，则第三边＝＝；
当5是斜边时，则第三边＝＝3．
综上所述，第三边的长是或3．
故选：C．
【典例2】（2020春•雨花区期末）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，则S3＝（ ）
A．8B．10C．80D．100
【答案】D
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
又由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∴S3＝S1+S2＝36+64＝100．
故选：D．
【变式2-1】（2020秋•卢龙县期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6B．36C．64D．8
【答案】A
【解答】解：如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，
∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，
∴正方形A的面积为6，
故选：A．
【变式2-2】（2020春•新乡期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（ ）
A．13B．C．47D．
【答案】B
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：
x2＝32+52＝34；
y2＝22+32＝13；
z2＝x2+y2＝47；
即最大正方形E的面积为：z2＝47，边长为z＝．
故选：B．
【变式2-3】（2021春•甘井子区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【解答】解：因为在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝4，
所以AC＝＝2，
所以这个正方形的面积为＝8，
故选：C．
【考点2 勾股定理证明】
【典例3】勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．
【解答】证明：方法一：由（1）图可知：S正方形ABCD＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，
又∵S正方形ABCD＝，
∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，
方法二：由（2）图可知：S正方形ABCD＝c2，
又∵S正方形ABCD＝＝2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，
方法三：由（3）图可知：S梯形ABCD＝＝+ab，
又∵s梯形ABCD＝，
∴，
∴a2+b2＝c2．
【变式3-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．
B、梯形的面积为：＝；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
【变式3-2】如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．148B．100C．196D．144
【答案】A
【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，
∵∠BCD＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，
∴BD＝25，
∴AD+BD＝12+25＝37，
∴这个风车的外围周长是37×4＝148．
故选：A．
【变式3-3】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【解答】证明：用两种方法求梯形的面积：
S梯形ABCD＝2×ab+c2，
S梯形ABCD＝（a+b）2，
∴2×ab+c2＝（a+b）2，
化简得a2+b2＝c2．
【考点3： 勾股定理逆定理】
【典例4】在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝6，b＝8，c＝10B．a＝5，b＝5，c＝5
C．a：b：c＝3：4：5D．a＝4，b＝5，c＝6
【答案】D
【解答】解：A、∵62+82＝102，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
B、∵52+52＝（5）2，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
C、∵32+42＝52，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
D、∵42+25≠62，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
【变式4-1】（2020春•甘井子区期末）下列各组数中，不可能成为直角三角形的三条边长的是（ ）
A．1，2，3B．1，C．3，4，5D．1，1，
【答案】A
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、（）2+12＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式4-2】（2020春•朝阳区校级月考）以下列长度的线段为边能组成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8B．7，8，9C．，1，2D．8，9，10
【答案】C
【解答】解：A．∵62+72≠82，
∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵72+82≠92，
∴以7，8，9为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵12+（）2＝22，
∴以，1，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵82+92≠102，
∴以8，9，10为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式4-3】（2021春•红谷滩区校级期末）△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c）B．a：b：c＝1：：2
C．∠C＝∠A﹣∠BD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【解答】解：A、由b2＝（a+c）（a﹣c）可得：c2+b2＝a2，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、12+（）2＝22，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，可得：∠A＝90°，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°，∴不能构成直角三角形，故选项符合题意；
故选：D．
【典例5】（2021秋•拱墅区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝24，BC＝7，CD＝15，AD＝20，∠B＝90°，求四边形的面积．
【答案】234
【解答】解：∵AB＝24，BC＝7，∠B＝90°，
由勾股定理得AC2＝242+72＝625．
又∵CD＝15，AD＝20，
∴CD2十AD2＝152+202＝625，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝×24×7+×15×20＝234．
【变式5-1】（2020秋•太平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
【变式5-2】（2020春•东昌府区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
【答案】24
【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC＝＝5，
∵52+122＝132，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝×5×12﹣×3×4＝24．
【变式5-3】（2021春•长沙县期末）如图，小方格都是边长为1的正方形．
（1）求四边形ABCD的边AB与BC的长；
（2）用勾股定理逆定理的知识证明：∠ABC＝90°．
【答案】（1），， （2）∠ABC＝90°
【解答】解：（1），，
（2）如图，连接AC，
在Rt△ACG中，AG＝5，CG＝1，
∴AC＝，
由（1）可得AB2+BC2＝＝26＝AC2，
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠ABC＝90°．
【考点4 ：判定全等角形（HL）】
【典例6】（2021秋•信都区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．
【答案】略
【解答】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC与△ACD为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∵AB＝AD，AC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠1＝∠2．
【变式6-1】（2021秋•阳江期末）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．
【答案】略
【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
∴BC＝EF．
∴BC﹣BE＝EF﹣BE．
即：CE＝BF．
【变式6-2】（2021春•华容县期末）如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
【答案】略
【解答】证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．
【变式6-3】（2019秋•铁东区期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
【答案】略
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝FC+EC，即BC＝EF，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）明：试题解析著作权属所有，未经书
【考点5 ：四种命题及其关系】
【典例7】（2022春•鹿城区校级期中）用反证法证明命题“若|a|＜3，则a2＜9”时，应假设（ ）
A．a＞3B．a≥3C．a2≥9D．a2＞9
【答案】C
【解答】解：反证法证明命题“若|a|＜3，则a2＜9”时，
应假设a2≥9，
故选：C．
【变式7-1】（2022春•滨江区校级期中）用反证法证明“在△MBC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（ ）
A．∠A＝60°B．∠A＜60°C．∠A≠60°D．∠A≤60°
【答案】D
【解答】解：反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°，
故选：D．
【变式7-2】（2022春•顺德区校级期中）用反证法证明：若abc＝0，则a，b，c至少有一个为0，应该假设（ ）
A．a，b，c没有一个为0B．a，b，c只有一个为0
C．a，b，c至多一个为0D．a，b，c三个都为0
【答案】A
【解答】解：反证法证明：若abc＝0，则a，b，c至少有一个为0，
应该假设a，b，c没有一个为0，
故选：A
【典例8】（2021秋•港南区期末）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°．”
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形的三内角和为180°相矛盾．
∴假设不成立，
∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
【变式8】（2021秋•襄汾县月考）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．
求证：∠1+∠2＝180°．
证明：假设∠1+∠2 180°．
∵l1∥l2，
∴∠1 ∠3．
∵∠1+∠2 180°，
∴∠3+∠2≠180°，这和 矛盾，
∴假设∠1+∠2 180°不成立，即∠1+∠2＝180°．
【解答】证明：假设∠1+∠2≠180°．
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3．
∵∠1+∠2≠180°，
∴∠3+∠2≠180°，这与平角为180°矛盾，
∴假设∠1+∠2≠180°不成立，即∠1+∠2＝180°．
故答案为：≠；＝；≠；平角为180°；≠．
内容
定义
能判断一件事情的语句，叫做命题。
组成
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项
表达形式
通常可以写成“如果,那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
分类
题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。