初中数学北师大版八年级下册1 因式分解测试题

这是一份初中数学北师大版八年级下册1 因式分解测试题，共13页。

1. 使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法之间的联系．
2. 了解公因式和提公因式的方法，会用提公因式法分解因式．
3. 理解因式分解的最后结果是每个因式都不能分解．
4. 在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法．
【知识点梳理】
考点1：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
考点2：公因式
像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
考点3：提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
【典例分析】
【考点1 因式分解定义】
【典例1】（2023•明水县校级开学）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．2a（b+c）﹣3（b+c）＝（2a﹣3）（b+c）
C．15x5＝3x2•5x3
D．a2+2a+1＝a（a+2）+1
【变式1-1】（2022秋•临西县期末）下列各式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣9B．9x﹣9C．x2﹣6x+9D．x2+9
【变式1-2】（2022秋•洪山区期末）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．6x2y3＝2x2•3y3B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2D．
【变式1-3】（2022秋•新华区校级期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的（ ）
A．3x+2x﹣1＝5x﹣1 B．2x2﹣8y2＝2（x+2y）（x﹣2 y）
C．x2+x＝x（1+） D．（3a+2b）（3a﹣2b）＝9a2﹣4b2
【考点2 公因式】
【典例2】（2022春•清城区校级期中）多项式12ab2c+8a3b的公因式是（ ）
A．4a2B．4abcC．2a2D．4ab
【变式2-1】（2022秋•朔城区校级期末）多项式a2b3+3abc中各项的公因式是（ ）
A．abB．a2bC．3abD．abc
【变式2-2】（2022春•乐安县期中）多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是 ．
【典例3】（2022春•桂平市期中）多项式x2﹣4y2与x2+4xy+4y2的公因式是（ ）
A．x﹣4yB．x+4yC．x﹣2yD．x+2y
【变式3-1】（2022秋•乳山市期中）多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是（ ）
A．yB．x+2C．x﹣2D．y（x+2）
【变式3-2】（2022秋•海兴县期末）多项式ax2﹣4a与多项式2x2﹣8x+8的公因式是（ ）
A．x﹣2B．x+2C．x2﹣2D．x﹣4
【考点3 提公因式】
【典例4】（2022春•乐安县期中）分解因式：
（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
【变式4-1】（2022秋•番禺区校级期末）因式分解：
（1）8abc﹣2bc2； （2）2x（x+y）﹣6（x+y）．
【变式4-2】（2022秋•阳江期末）分解因式：x2﹣4x．
【变式4-3】（2022春•南海区校级月考）因式分解：2（a﹣b）2+4（b﹣a）．
【典例5】（2022春•济阳区期末）边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（ ）
A．15B．30C．60D．120
【变式5】（2022春•永年区校级期末）如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为（ ）
A．100B．120C．48D．140
专题4.1 因式分解-提公因式（知识解读）
【学习目标】
1. 使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法之间的联系．
2. 了解公因式和提公因式的方法，会用提公因式法分解因式．
3. 理解因式分解的最后结果是每个因式都不能分解．
4. 在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法．
【知识点梳理】
考点1：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
考点2：公因式
像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
考点3：提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
【典例分析】
【考点1 因式分解定义】
【典例1】（2023•明水县校级开学）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．2a（b+c）﹣3（b+c）＝（2a﹣3）（b+c）
C．15x5＝3x2•5x3
D．a2+2a+1＝a（a+2）+1
【答案】B
【解答】解：A．a（x+y）＝ax+ay，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
B．2a（b+c）﹣3（b+c）＝（2a﹣3）（b+c），符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
C．15x5＝3x2•x5，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不合题意；
D．a2+2a+1＝a（a+2）+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意．
故选：B．
【变式1-1】（2022秋•临西县期末）下列各式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣9B．9x﹣9C．x2﹣6x+9D．x2+9
【答案】D
【解答】解：A、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），可以因式分解，不符合题意；
B、9x﹣9＝9（x﹣1），可以因式分解，不符合题意；
C、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，可以因式分解，不符合题意；
D、x2+9不可以因式分解，符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（2022秋•洪山区期末）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．6x2y3＝2x2•3y3B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2D．
【答案】C
【解答】解：A、6x2y3＝2x2⋅3y3，此选项为单项式的变形，非因式分解，故本选项不合题意；
B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，此选项是整式乘法运算，非因式分解，故本选项不合题意；
C、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，此选项为公式法因式分解，属于因式分解，故本选项符合题意；
D、，此选项未将一个多项式化成几个整式乘积的形式，故本选项不合题意；
故选：C．
【变式1-3】（2022秋•新华区校级期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的（ ）
A．3x+2x﹣1＝5x﹣1 B．2x2﹣8y2＝2（x+2y）（x﹣2 y）
C．x2+x＝x（1+） D．（3a+2b）（3a﹣2b）＝9a2﹣4b2
【答案】B
【解答】解：A．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故错误，不合题意；
B．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故正确，符合题意；
C．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故错误，不合题意；
D．是整式的乘法，故错误，不符合题意；
故选：B．
【考点2 公因式】
【典例2】（2022春•清城区校级期中）多项式12ab2c+8a3b的公因式是（ ）
A．4a2B．4abcC．2a2D．4ab
【答案】D
【解答】解：12ab2c+8a3b＝4ab（3bc+2a2），
4ab是公因式，
故选：D．
【变式2-1】（2022秋•朔城区校级期末）多项式a2b3+3abc中各项的公因式是（ ）
A．abB．a2bC．3abD．abc
【答案】A
【解答】解：多项式a2b3+3abc中各项的公因式为ab．
故选：A．
【变式2-2】（2022春•乐安县期中）多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是 ．
【答案】2（m﹣n）
【解答】解：4x（m﹣n）+2y（n﹣m）2的公因式是2（m﹣n）．
故答案为：2（m﹣n）．
【典例3】（2022春•桂平市期中）多项式x2﹣4y2与x2+4xy+4y2的公因式是（ ）
A．x﹣4yB．x+4yC．x﹣2yD．x+2y
【答案】D
【解答】解：∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），x2+4xy+4y2＝（x+2y）2，
∴多项式x2﹣4y2与x2+4xy+4y2的公因式是x+2y．
故选：D．
【变式3-1】（2022秋•乳山市期中）多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是（ ）
A．yB．x+2C．x﹣2D．y（x+2）
【答案】D
【解答】解：x2y+2xy＝xy（x+2），x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2），
∴多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是y（x+2）．
故选：D．
【变式3-2】（2022秋•海兴县期末）多项式ax2﹣4a与多项式2x2﹣8x+8的公因式是（ ）
A．x﹣2B．x+2C．x2﹣2D．x﹣4
【答案】A
【解答】．解：ax2﹣4a＝a（x2﹣4）＝a（x+2）（x﹣2）
2x2﹣8x+8＝2（x2﹣4x+4）＝2（x﹣2）2，
∴公因式是（x﹣2）．
故选：A
【考点3 提公因式】
【典例4】（2022春•乐安县期中）分解因式：
（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
【解答】解：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）
＝a（x﹣2y）+b（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（a+b）；
（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
＝x（x+y）[x﹣y﹣（x+y）]
＝x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y）
＝﹣2xy（x+y）．
【变式4-1】（2022秋•番禺区校级期末）因式分解：
（1）8abc﹣2bc2；
（2）2x（x+y）﹣6（x+y）．
【解答】解：（1）8abc﹣2bc2＝2bc（4a﹣c）；
（2）2x（x+y）﹣6（x+y）＝2（x+y）（x﹣3）．
【变式4-2】（2022秋•阳江期末）分解因式：x2﹣4x．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
【变式4-3】（2022春•南海区校级月考）因式分解：2（a﹣b）2+4（b﹣a）．
【解答】解：2（a﹣b）2+4（b﹣a）
＝2（a﹣b）2﹣4（a﹣b）
＝2（a﹣b）（a﹣b﹣2）．
【典例5】（2022春•济阳区期末）边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（ ）
A．15B．30C．60D．120
【答案】B
【解答】解：由题意得：2（a+b）＝10，ab＝6，
∴a+b＝5，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝6×5
＝30，
故选：B．
【变式5】（2022春•永年区校级期末）如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为（ ）
A．100B．120C．48D．140
【答案】B
【解答】解：由题意知，ab＝15，2（a+b）＝16．
∴a+b＝8．
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝15×8＝120．
故选：B．