苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题36和反比例函数有关的最值问题(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题36和反比例函数有关的最值问题(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了【阅读理解】对于任意正实数、，阅读下列材料，回答问题，用“＞”、“＝”、“＜”填空等内容，欢迎下载使用。
1．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形，则三角形面积的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
2．（2021春·江苏扬州·八年级统考期末）对于反比例函数，如果当≤≤时有最大值，则当≥8时，有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值=D．最小值=
3．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则______．
4．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，点A（a，2）、B（﹣2，b）都在双曲线y=上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是y=x+，则k=__．
5．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，B两点，点C在x轴上运动，连接AC，点Q为AC中点，若点C运动过程中，的最小值为2，则_______________．
6．（2021春·江苏常州·八年级统考期末）已知函数与函数的部分图像如图所示，有以下结论：
①当时，都随x的增大而增大；
②当时， ；
③的图像的两个交点之间的距离是2；
④函数的最小值为2；
则所有正确的结论是_________．
三、解答题
7．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）（1）【阅读理解】对于任意正实数、．
∵，
∴，
∴，只有当时，．
结论：在均为正实数中，若为定值，则只有当时，有最小值，根据上述内容，回答下列问题：
问题：若，当______时，有最小值为______．
问题：若函数，则当______时，函数有最小值为______．
（2）【探索应用】如图，已知、，为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．
8．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）阅读下列材料，回答问题：
对任意的实数a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．
易知当a＝b时，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．
若a≠b，则（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．
[类比论证]
对于任意正实数a、b，∵≥0，∴a+b______2（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”）
[结论应用]
若a＞0，则当a＝_____时，代数式a+有最小值为_____
[问题解决]
①某汽车零件生产公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共3600元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元（元），三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？
②如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y＝（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．则四边形ABCD面积的最小值为____．
9．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：
_________，_________，_________
（2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数a、b，a＋b_________（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”），并说明理由；
（3）结论应用：
若a＞0，则当a＝_________时，有最小值；若b＞0，有最小值，最小值为_________；
（4）问题解决：如图，已知点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，且AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C．四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点A的坐标；若不存在，说明理由
10．（2022春·江苏泰州·八年级校考期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+2及双曲线y＝（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m＞0）．
(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．
(2)如图②过C、D两点分别作轴交直线AB于C'，D'，当CDAB时，
①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．
②若k＝6，且满足m＝a﹣4+，求d的最大值．
11．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x＞0）和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1）．在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：
(1)设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为 （1＜x＜9）；
(2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象：
①列表：
表中m＝ ，n＝ ；
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点．
③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，当x＝ 时，y的最大值为 ．
(3)应用：①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长．
②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值．
12．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）通过构造适当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
(1)【理解】如图①，，垂足分别为是的中点，连接，已知，（）．
①已知可以用表示，请用含的代数式表示CE的长；
②比较大小： （填“”“”或“”），并用①中的结论证明该大小关系．
(2)【应用】如图②，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图像上，横坐标分别为．设，，记．
①当时， ，当时， ；
②通过归纳猜想，可得的最小值是 ．请利用图②构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
13．（2021春·江苏扬州·八年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为原点，点的坐标为，正方形的顶点在轴的负半轴上，点在第二象限．现将正方形绕点顺时针旋转角得到正方形．
(1)如图2，若，求直线的函数表达式．
(2)若，当取得最小值时，求过正方形的顶点的反比例函数解析式．
14．（2021春·江苏宿迁·八年级校考期中）【阅读理解】对于任意正实数a、b，
∵， ∴，
∴，只有当时，等号成立．
【数学认识】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则，只有当时，有最小值
(1)【解决问题】若时，有最小值为___________，此时x＝___________
(2)如图，已知点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，轴，过点A作AD上y轴于点D，过点B作BC上y轴于点C，求四边形ABCD周长的最小值．
15．（2021春·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期末）[阅读理解]对于任意正实数a、b．
,只有当a=b时，等号成立．
[数学认识]
在（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则，只有当a=b时，a+b有最小值．
[解决问题]
（1）若, 有最小值为___，此时x= ．
（2）如图，已知直线:与x轴交于点A，过点A的另一直线与双曲线（x>0）相交于B（2，m），若点C为双曲线上任意一点，作CD//y轴交直线于式求当线段CD最短时，△ACD面积．
x
1
2
3
4
6
9
y
0
m
4
n
0
专题36 和反比例函数有关的最值问题
1．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形，则三角形面积的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形性质得出S△OAB＝OA•OB＝OA²，先求得OA取最小值时A的坐标，即可求得OA的长，从而求得△OAB面积的最小值．
【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝OB，
∴S△OAB＝OA•OB＝OA²，
∴OA取最小值时，△OAB面积的值最小，
∵当直线OA为y＝x时，OA最小，
解得或，
∴此时A的坐标为（1，1），
∴OA＝，
∴S△OAB＝OA²＝＝1，
∴△OAB面积的最小值为1，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
2．（2021春·江苏扬州·八年级统考期末）对于反比例函数，如果当≤≤时有最大值，则当≥8时，有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值=D．最小值=
【答案】D
【详解】解：由当时有最大值，得时，，，
反比例函数解析式为，
当时，图象位于第四象限，随的增大而增大，
当时，最小值为
故选D．
3．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则______．
【答案】-6
【分析】根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．
【详解】解：当k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
∴，解得k=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数的增减性要在其图象的每一象限内解答．
4．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，点A（a，2）、B（﹣2，b）都在双曲线y=上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是y=x+，则k=__．
【答案】-7
【详解】解：作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点坐标为(a，−2)，D点坐标为(2，b)，
连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，
把C点的坐标代入 得到：，
解得 ，
则k=2a=−7
故答案是：−7．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式和轴对称之最短距离问题，要求k的值，只要求出a或b的值代入到反比例函数关系式就行了．而要求a或b的值就得利用轴对称之最短距离去解决，同过作A和B关于x轴和y轴的对称点，把对称点的坐标代入到，就可求出a或b的值，从而求出k的值．
5．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，B两点，点C在x轴上运动，连接AC，点Q为AC中点，若点C运动过程中，的最小值为2，则_______________．
【答案】
【分析】如图（见解析），先根据一次函数与反比例函数的性质可得点是的中点，再根据三角形中位线定理可得，从而可得的最小值为4，然后根据垂线段最短可得当轴时，取得最小值，从而可得此时点的纵坐标为，最后代入一次函数的解析式可得点的坐标，将其代入反比例函数的解析式即可得．
【详解】如图，连接，
由题意得：点是的中点，
点为的中点，
是的中位线，
，
点C运动过程中，的最小值为2，
点C运动过程中，的最小值为4，
由垂线段最短得：当轴时，取得最小值，
此时点的纵坐标为，
将代入一次函数得：，解得，
即，
将代入反比例函数得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
6．（2021春·江苏常州·八年级统考期末）已知函数与函数的部分图像如图所示，有以下结论：
①当时，都随x的增大而增大；
②当时， ；
③的图像的两个交点之间的距离是2；
④函数的最小值为2；
则所有正确的结论是_________．
【答案】②③④
【分析】先补充完整两个函数的图象，再根据函数图象的增减性、对称性、交点问题可判断结论①②③，然后根据完全平方公式、偶次方的非负性可判断结论④．
【详解】当时，，
当时，，
画出两个函数的图象如下所示：
则当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大，结论①错误
当时，函数的图象位于函数的图象的上方，则，结论②正确
当时，
即的图象位于第一象限的交点坐标为
由对称性可知，的图象位于第二象限的交点坐标为
因此，的图象的两个交点之间的距离是，结论③正确
又，当且仅当，即时，等号成立
即函数的最小值为2，结论④正确
综上，所有正确的结论是②③④
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题关键．
三、解答题
7．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）（1）【阅读理解】对于任意正实数、．
∵，
∴，
∴，只有当时，．
结论：在均为正实数中，若为定值，则只有当时，有最小值，根据上述内容，回答下列问题：
问题：若，当______时，有最小值为______．
问题：若函数，则当______时，函数有最小值为______．
（2）【探索应用】如图，已知、，为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．
【答案】（1）4；8；5；8；（2）12；菱形
【分析】（1）问题：当时，计算即可．
问题： 根据，当时，计算即可．
（2）设点P（n，），根据题意，==，运用所学到不等式结论计算即可．
【详解】解：问题：当时，，
解得m=4，m=-4(舍去)，
故当m=4时，有最小值为8，
故答案为：4，8．
问题： 根据题意变形为，
当时，，
解得x=5，x=-1(舍去)，
故当x=5时，函数有最小值为8，
故答案为：5，8．
设点P（n，），根据题意，得
==，
当时，，
解得n=2，n=-2(舍去)，
故当n=2时，四边形ABCD的面积有最小值为12，
当时，，，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形．
【点睛】本题考查了不等式的性质，菱形的判定，反比例函数的性质，熟练掌握给出的不等式的性质是解题的关键．
8．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）阅读下列材料，回答问题：
对任意的实数a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．
易知当a＝b时，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．
若a≠b，则（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．
[类比论证]
对于任意正实数a、b，∵≥0，∴a+b______2（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”）
[结论应用]
若a＞0，则当a＝_____时，代数式a+有最小值为_____
[问题解决]
①某汽车零件生产公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共3600元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元（元），三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？
②如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y＝（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．则四边形ABCD面积的最小值为____．
【答案】[类比论证]≥；[结论应用]2，4；[问题解决]①当x为6000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是6.2元；②24．
【分析】[类比论证]利用完全平方公式可求解；
[结论应用]利用材料的结论，可求解；
[问题解决]①设设备每生产一个零件的运营成本为y元，由题意可得，即可求解；
②先求出点A，点B坐标，设点M（x，），由可求CA，BD，由四边形ABCD面积＝×AC×BD＝×（x+3）（+4）＝2（x+）+12，即可求解．
【详解】解：类比论证a+b≥2；
结论应用若a＞0，则当a＝2时，代数式a+有最小值为4
问题解决①设设备每生产一个零件的运营成本为元，
由题意可得：，
，
，
当时，即时，有最小值为1.2，
的最小值为6.2元，
答：当为6000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是6.2元；
②直线与坐标轴分别交于点、，
点，点，
设点，
，点，
，，
四边形面积，
，
，
当时，即当时，有最小值为6，
四边形面积的最小值为24，
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了完全平方公式，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容．
9．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：
_________，_________，_________
（2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数a、b，a＋b_________（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”），并说明理由；
（3）结论应用：
若a＞0，则当a＝_________时，有最小值；若b＞0，有最小值，最小值为_________；
（4）问题解决：如图，已知点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，且AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C．四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点A的坐标；若不存在，说明理由
【答案】（1）＞，＝，＞；（2），理由见解析；（3）2，5；（4）存在，最小值16，
【分析】（1）分别计算出左右两边，即可比较大小；
（2）利用完全平方公式可得，即可得出答案；
（3）直接代入（2）中结论可得答案；
（4）设，，，根据矩形的性质表示出矩形的周长为，再利用（2）中的结论可得答案．
【详解】解：（1），，
，
，，
，
，，
，
故答案为：，，；
（2），
，
故答案为：；
（3）当时，即时，有最小值；
，
当时，即时，有最小值为，
故答案为：2，5；
（4）四边形的周长存在最小值，理由如下：
设，，，
轴，轴，
，，
四边形的周长为，
，
，
当时，即时，
四边形的周长最小值为16，此时，．
【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力和分析、解决问题的能力，是近几年中考的热点问题，解题的关键是利用前面推出的结论解决后面问题．
10．（2022春·江苏泰州·八年级校考期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+2及双曲线y＝（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m＞0）．
(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．
(2)如图②过C、D两点分别作轴交直线AB于C'，D'，当CDAB时，
①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．
②若k＝6，且满足m＝a﹣4+，求d的最大值．
【答案】(1)k＝6
(2)①见解析；②当a＝1时，d的最大值为14
【分析】（1）先求出点，点坐标，由平行四边形的性质列出方程组，即可求解；
（2）①先证四边形是平行四边形，可得，列出方程可求解；
②将和代入，再利用二次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：直线交轴于点，交轴于点，
点，点，
、为双曲线上的两点，
点，点，
四边形为平行四边形，
与互相平分，
，，
解得：，；
（2）证明：∵轴，CDAB，
四边形是平行四边形，
，
、为双曲线上的两点，
点，点，
∵轴，
点的横坐标为，点的横坐标为，
点，点，
，
，
当为定值时，为定值；
②解：，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为14．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，二次函数的性质等知识，利用参数表示点的坐标是解题的关键．
11．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x＞0）和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1）．在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：
(1)设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为 （1＜x＜9）；
(2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象：
①列表：
表中m＝ ，n＝ ；
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点．
③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，当x＝ 时，y的最大值为 ．
(3)应用：①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长．
②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值．
【答案】(1)
(2)①，；②见解析；③图见解析，3，4
(3)①；②12
【分析】（1）表示出点P、Q的坐标，从而得出y与x的函数解析式；
（2）①将x=2和x=6分别代入（1）中函数解析式即可；
②③通过描点、连线，观察图象可得答案；
（3）①将W=2（m+n）代入W=-+30中，得出m关于n的函数解析式，再根据（2）中结论求出最大值，从而解决问题．
②先求出点A，点B坐标，设点M（x，），可求CA，BD，由四边形ABCD面积=列式，即可求解．
（1）
解：∵点P的横坐标为x，
∴P（x，-x+10），Q（x，），
∴y=-x+10-，
故答案为：y=-x+10-；
（2）
解：①当x=2时，m=-2+10-=，
当x=6，n=-6+10-=，
故答案为：，；
②③如图所示，
观察函数图象，当x=3，时，y有最大值为4，
故答案为：3，4；
（3）
解：①根据题意可得W=2（m+n）代入中，可以得到m=-n+15-，
即m=（-n+10-）+5，
由（2）可知函数y=-n+10-在n=3时，y取得最大值为4，
∴当n=3时，m=4+5=9，即m取得最大值9，
∵，
∴在m取得最大值9时，矩形的对角线长为．
②∵直线y=-x-2与坐标轴分别交于点A、B，
∴点A（-3，0），点B（0，-2），
设点M（x， ），
∴C（x，0），点D（0，），
∴CA=x+3，DB=+2，
∵四边形ABCD面积=，
由（2）得，当x=3时，y=-x+10-有最大值为4，即有最小值-4，
∴四边形ABCD面积的最小值为=12．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了函数的图象与性质，函数图象的画法等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
12．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）通过构造适当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
(1)【理解】如图①，，垂足分别为是的中点，连接，已知，（）．
①已知可以用表示，请用含的代数式表示CE的长；
②比较大小： （填“”“”或“”），并用①中的结论证明该大小关系．
(2)【应用】如图②，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图像上，横坐标分别为．设，，记．
①当时， ，当时， ；
②通过归纳猜想，可得的最小值是 ．请利用图②构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】(1)①；②，理由见解析
(2)①，；②，理由见解析
【分析】（1）①利用直角三角形斜边中线的性质求出．
②根据垂线段最短，可得结论，根据完全平方公式进行证明即可求解．
（2）①根据，的值代入计算即可．
②如图2中，过点作轴于，轴于，过点作轴于，轴于，连接，取的中点，过点作轴于，轴于，则，，根据反比例函数的几何意义，求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，为的中点，
∴，，
，
②，
根据垂线段最短可知，，
∵，
∴
即
∴
∵，，
∴
故答案为：；
（2）解：①当时，，；
当时，，；
故答案为： ，1；
②猜想：的最小值为1．
故答案为：1．
理由：如图2中，过点作轴于，轴于，过点作轴于，轴于，连接，取的中点，过点作轴于，轴于，则，，
当时，点在反比例函数图象的上方，
矩形的面积，
当时，点落在反比例函数的图象上，矩形的面积，
矩形的面积，
，
即，
的最小值为1．
【点睛】本题考查了考查了反比例函数的性质，直角三角形斜边中线的性质、二次根式的混合运算等知识，解题的关键是理解反比例函数的几何意义．
13．（2021春·江苏扬州·八年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为原点，点的坐标为，正方形的顶点在轴的负半轴上，点在第二象限．现将正方形绕点顺时针旋转角得到正方形．
(1)如图2，若，求直线的函数表达式．
(2)若，当取得最小值时，求过正方形的顶点的反比例函数解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先判断出为正三角形，再根据锐角三角函数求出即可；
（2）判断出当轴时，线段的长最小，过点作轴于点，用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：过点作于点，设与轴的交点为．如图2，
，，
为正三角形，
，，
，，
，
，
在中，
，
即，
．
，．
设直线的函数表达式为，
该直线过点，，
，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）解：过点作轴于点，如图3，
由题意可知，，
当时，线段的长最小．
在中，，则．
故设，则，
，解得，（舍去），
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在中，设，则，
，
，
，
设过正方形的顶点的反比例函数的解析式为，
，
，
过正方形的顶点的反比例函数解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．（2021春·江苏宿迁·八年级校考期中）【阅读理解】对于任意正实数a、b，
∵， ∴，
∴，只有当时，等号成立．
【数学认识】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则，只有当时，有最小值
(1)【解决问题】若时，有最小值为___________，此时x＝___________
(2)如图，已知点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，轴，过点A作AD上y轴于点D，过点B作BC上y轴于点C，求四边形ABCD周长的最小值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由，可得，再求出方程的解；
（2）设点，则，表示周长利用求解；
（1）
解：由题意得：，
即，
当时，等号成立，
所以最小值为，
解，
，
，
，
经检验，是原分式方程的解
故答案为：；．
（2）
解：设，则，
∴四边形ABCD周长，
，
∴四边形ABCD周长的最小值为．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了几何不等式的应用，理解在(均为正实数)中，若为定值，则，只有当时，有最小值是关键．
15．（2021春·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期末）[阅读理解]对于任意正实数a、b．
,只有当a=b时，等号成立．
[数学认识]
在（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则，只有当a=b时，a+b有最小值．
[解决问题]
（1）若, 有最小值为___，此时x= ．
（2）如图，已知直线:与x轴交于点A，过点A的另一直线与双曲线（x>0）相交于B（2，m），若点C为双曲线上任意一点，作CD//y轴交直线于式求当线段CD最短时，△ACD面积．
【答案】（1），．（2）S△ACD=15．
【分析】（1）模仿例题，解决问题即可．
（2）设C（n，-），则：D（n，n+1），求出CD，转化为例题的模型解决问题即可．
【详解】解：（1）由题意，∵x＞0，
，
即，
∴4x+的最小值为，
此时4x=且x＞0，
解得x=，
故答案为：，．
（2）设C（n，-），则：D（n，n+1），
∴CD=n+1+≥2，当，即n=4时，CD取最小值5．
∴CD最短为5，
此时C（4，-2），D（4，3），
令，则，解得：，
∴A（-2，0），
∴S△ACD=×5×6=15．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是理解题意，学会利用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
x
1
2
3
4
6
9
y
0
m
4
n
0