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苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练难点特训(四)选填压轴50道(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练难点特训(四)选填压轴50道(原卷版+解析)，共75页。
A．2022.5B．2021.5C．2023D．2022
2．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在中，，，．分别以点B、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN分别与AD、BC相交于点E、F，则EF的长为（ ）
A．B．4C．D．
3．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，在△AOB中，OA=AB，顶点A的坐标（3，4），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
4．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（ ）
A．50B．50C．100D．100
5．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）矩形 ABCD中，O为 AC 的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接 BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM=CM；④四边形 EBFD 是菱形；⑤MB：OE=3：2其中正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
6．（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．2
7．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（ ）
A．B．C．D．2
8．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点为对角线和的交点，延长至，使，以为边向右侧作矩形，点在上，若，过点的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交、于点、，则的值为（ ）
A．39B．40C．41D．42
9．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）把一副三角板如图1放置，其中，斜边．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到（如图2），此时AB与交于点O，则线段的长度为（ ）
A．4B．C．5D．
10．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（ ）
A．12B．24C．10D．20
11．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（ ）
A．8 cm 2B．8.5 cm 2C．9 cm 2D．9.5 cm 2
12．（2022春·江苏南京·八年级统考期中）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A．且B．且
C．D．
13．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，，，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作于点E，于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．3D．2.5
14．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，若BE+DF＝5，则△AEF的面积为（ ）
A．30B．15C．11D．5.5
15．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形：
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 （ ）
A．①B．②③C．①②③D．①②③④
17．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．
18．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积与正方形的面积相等．其中正确的结论为（ ）
A．①②③④B．①②C．①②③D．①③④
19．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，、、．规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，的顶点D的坐标变为（ ）
A．B．C．D．
20．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①④C．①②④D．①③④
21．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．45°
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
22．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为_____．
23．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形瓷砖图案中的阴影部分是四个全等且顶角为45°的等腰三角形．已知该瓷砖的面积是，则中间小正方形的面积为____________．
24．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，点P，Q分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为8，则菱形的边长为________．
25．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图．在正方形的边上有一点，连接．点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象．
（1）正方形的边长为______．
（2）当时，的值为______．
26．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____
27．（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）正方形ABCD的边长为12，点E在BC上，且BE=5，点P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值是______．
28．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为________．
29．（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，在中，，BD为AC边上的中线，过点C作于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取，连接BG、DF．若，，则CF的长为______________．
30．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点P是AB边上的中点，将AD沿DP翻折到DE，延长PE交BC于点Q，连接DQ、BE，下列结论中：①∠PDQ=45°；②△BPQ的周长为2a；③连接AE，．正确的是___________（填正确的序号）．
31．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形 AB′C′D′，AB′交CD于点E，且DE＝B′E，则CE的长为______．
32．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，正方形的边长为6，E为DC的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若DG＝2，，则GF的长为______．
33．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A是直线y=-3x上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边向左侧作正方形ABCD，若点D在直线y=kx上，则k的值为_______．
34．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则EF的最小值为_____．
35．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值等于________．
36．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为______．
37．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 上一点，且AE=3 ，F 为BC 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，连接AG ，则AG 的最小值为________________．
38．（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是_____．
39．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积=_____．
40．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是_____．
41．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在正方形中，在上，在的延长线上，，连接、、，交对角线于点，为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的有______．
42．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，平面直角坐标系中正方形ABCD的顶点A（0，12），B（5，0），过D作DF⊥x轴交AC于点E，连接BE，则△BEF的周长是________．
43．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为_____．
44．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．
45．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝4，过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC内（不包括各边）的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝m，OE＝n，则m＋2n的取值范围是___．
46．（2022春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝3，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为__．
47．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，四边形是矩形，点是边上的一动点，连接，点与点关于对称，连接、、，若，，则的最小值为________．
48．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，和都是等边三角形，若点，，点在第二象限内．将沿翻折得，当点在轴上运动时，设点的坐标为，则与的函数关系式为________．
49．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，以的斜边BC为边，向外作正方形，设正方形的对角线BD与CE的交点为O，连接AO，若，，则AB的值是________．
50．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ___．
难点特训（四）选填压轴50道
1．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如果记，并且表示当时代数式的值．即，表示当时代数式的值，，那么的值为（ ）
A．2022.5B．2021.5C．2023D．2022
【答案】B
【分析】通过计算的值得到，，从而得到规格，然后利用此规律得到．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
2．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在中，，，．分别以点B、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN分别与AD、BC相交于点E、F，则EF的长为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】由作法得垂直平分，连接交于点，过点作于，连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，，，再根据平行四边形的性质得到，，，所以，接着分别计算出，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解得，再计算出，，然后证明得到，从而得到的长．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
连接交于点，过点作于，连接，如图，则，，
四边形为平行四边形，
，，，
，
在中，，
，
设，则，，
在中，，解得，
在中，，
，
在中，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段）．也考查了平行四边形的性质．
3．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，在△AOB中，OA=AB，顶点A的坐标（3，4），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
【答案】A
【分析】过点A作AC⊥OB于C，过点O'作O'D⊥A'B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO'＝OB，A'B=AB=5，然后利用三角形面积公式求出O'D、BD，再求出OD，然后写出点O'的坐标即可．
【详解】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O'作O'D⊥A'B于D，
∵A（3，4），
∴OC＝3，AC＝4，
由勾股定理得，OA＝＝5=AB，
∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，
∴OB＝2OC＝2×3＝6，
由旋转的性质得，BO'＝OB＝6，A'B=AB=5，
∵
∴
∴O'D＝，
∴BD＝，
∴OD＝OB＋BD＝6＋＝，
∴点O'的坐标为（，）．
故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
4．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（ ）
A．50B．50C．100D．100
【答案】B
【分析】根据题意过D作DN⊥BF于N，连接DI，进而结合全等三角形的判定与性质得出S1+S2+S3+S4+S5＝Rt△ABC的面积×4进行分析计算即可.
【详解】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，
∴BC＝AB＝5，AC＝＝5，
过D作DN⊥BF于N，连接DI，
在△ACB和△BND中，
，
∴△ACB≌△BND（AAS），
同理，Rt△MND≌Rt△OCB，
∴MD＝OB，∠DMN＝∠BOC，
∴EM＝DO，
∴DN＝BC＝CI，
∵DN∥CI，
∴四边形DNCI是平行四边形，
∵∠NCI＝90°，
∴四边形DNCI是矩形，
∴∠DIC＝90°，
∴D、I、H三点共线，
∵∠F＝∠DIO＝90°，∠EMF＝∠DMN＝∠BOC＝∠DOI，
∴△FME≌△DOI（AAS），
∵图中S2＝SRt△DOI，S△BOC＝S△MND，
∴S2+S4＝SRt△ABC．S3＝S△ABC，
在Rt△AGE和Rt△ABC中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△ACB（HL），
同理，Rt△DNB≌Rt△BHD，
∴S1+S2+S3+S4+S5
＝S1+S3+（S2+S4）+S5
＝Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积
＝Rt△ABC的面积×4
＝5×5÷2×4
＝50．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，解题的关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
5．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）矩形 ABCD中，O为 AC 的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接 BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM=CM；④四边形 EBFD 是菱形；⑤MB：OE=3：2其中正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】作辅助线找全等三角形和特殊的直角三角形解题,见详解.
【详解】解：连接BD
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，AC、BD互相平分
∵O为AC中点
∴BD也过O点
∴OB=OC
∵∠COB=60°，OB=OC
∴△OBC是等边三角形
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°
∵FO=FC，BF=BF
∴△OBF≌△CBF（SSS）
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称
∴FB⊥OC，OM=CM.故③正确
∵∠OBC=60°
∴∠ABO=30°
∵△OBF≌△CBF
∴∠OBM=∠CBM=30°
∴∠ABO=∠OBF
∵AB∥CD
∴∠OCF=∠OAE
∵OA=OC
可得△AOE≌△COF,故①正确
∴OE=OF
则四边形EBFD是平行四边形，又可知OB⊥EF
∴四边形EBFD是菱形.故④正确
∴△EOB≌△FOB≌△FCB.则②△EOB≌△CMB错误
∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°,
设MB=a,则OM=a,OB=2a,
OF=OM,
∵OE=OF
∴MB：OE=3：2.则⑤正确
综上一共有4个正确的,
故选B.
【点睛】本题考查了四边形的综合应用,特殊的直角三角形,三角形的全等,菱形的判定,综合性强,难度大,认真审题,证明全等找到边长之间的关系是解题关键.
6．（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．2
【答案】C
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当BP⊥时，PB取得最小值，由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【详解】如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴∥CE且=，
当点F在EC上除点C、E的位置处时有DP=FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P= ,
∴当点P的运动轨迹是线段，
∴当BP⊥时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=1，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，
∴∠DP2P1=90°，
∴∠DP1P2=45°，
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥，
∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC=1，
∴BP1=,
∴PB的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
7．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】首先根据矩形的性质，得出，，，然后再根据折叠的性质，得出，进而得出，利用勾股定理，得出的长，再由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果．
【详解】解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由第一次折叠得：，，
∴，
∴，
在中，
根据勾股定理得，，
由第二次折叠可知，，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键．
8．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点为对角线和的交点，延长至，使，以为边向右侧作矩形，点在上，若，过点的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交、于点、，则的值为（ ）
A．39B．40C．41D．42
【答案】B
【分析】根据题意可得PQ必过矩形EFGA的对角线交点，连接AF，EG交于点H，取AE的中点M，AB的中点N，连接HM，ON，过点H作HT⊥ON于T，设PQ与AD的交点为S，根据三角形中位线定理可得，∠ANO=∠ABC=90°，，∠AMH=90°，再由勾股定理可得OH的长，再证明△ASO≌△CQO，可得SO=OQ，即可求解．
【详解】解：∵过点O的一条直线平分该组合图形的面积，
∴PQ必过矩形EFGA的对角线交点，
连接AF，EG交于点H，取AE的中点M，AB的中点N，连接HM，ON，过点H作HT⊥ON于T，设PQ与AD的交点为S，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，
又∵点N是AB的中点，
∴，ON∥BC，
∴∠ANO=∠ABC=90°，
同理：，∠AMH=90°，
∵HT⊥NO，
∴四边形MHTN为矩形，
∴MH=NT=2，MT=MN=3，
∴TO=1，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠ASO=∠CQO，
在△ASO和△CQO中，
∵，
∴△ASO≌△CQO（AAS），
∴SO=OQ，
同理PH=SH，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
9．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）把一副三角板如图1放置，其中，斜边．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到（如图2），此时AB与交于点O，则线段的长度为（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】D
【分析】过点D1作D1H⊥CA，交CA的延长线于点H，在△ACD1中，易求得AC、CD1、∠ACD1这三个量，通过解三角形即可解决．
【详解】解：如图2，过点D1作D1H⊥CA，交CA的延长线于点H，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=45°，
∴AC=BC，
∴2AC2=AB2，
∴AB=AC，
∴AC=
∵将三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，
∴∠ACD1=30°+15°=45°，CD1=CD=8，
∴CH=D1H=，
∴AH=CH-AC=，
在Rt△AHD1中，由勾股定理得：
AD1=，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、以及勾股定理等知识，作出辅助线，将AD1放到直角三角形中是解题的关键．
10．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（ ）
A．12B．24C．10D．20
【答案】D
【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形 ABCD的面积为BC×AQ即可求出.
【详解】解：由图2，得BP=6，S△ABP=12
∴AQ=4
由翻折可知，AQ⊥BP
由勾股定理，得BC=AB==5
∴菱形 ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20
故选：D
【点睛】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.
11．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（ ）
A．8 cm 2B．8.5 cm 2C．9 cm 2D．9.5 cm 2
【答案】B
【分析】先连接FH，求出，再将求的面积转化为求的面积即可．
【详解】解：如图，连接FH，
∵菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，
∴，
∴，
∴，
∴和同底等高，
∴，
∵菱形ABCD面积为9 cm2，△BCF的面积为4cm2，
∴（cm2），
∴（cm2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形性质及其应用，解决本题的关键是利用同底等高将求的面积转化为求的面积，考查了学生的分析和推理的能力，运用了转化的思想方法．
12．（2022春·江苏南京·八年级统考期中）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A．且B．且
C．D．
【答案】A
【分析】先求解分式方程，再利用方程的解为负数得到m的不等式，解不等式即可确定m的取值范围．
【详解】解：去分母，得：2x－m=3x+6，
解得：x=－m－6，
∵方程的解是负数，
∴－m－6＜0，且－m－6≠－2，
∴且，
故选：A．
【点睛】本题考查解分式方程和分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握分式方程和一元一次不等式的解法，注意x≠－2是解答的关键．
13．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，，，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作于点E，于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．3D．2.5
【答案】B
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP且MP=OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【详解】连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴∠FOE=∠PEO=∠PFO=90°
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S＝OB⋅OC＝BC⋅OP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
∴MP的最小值=．
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
14．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，若BE+DF＝5，则△AEF的面积为（ ）
A．30B．15C．11D．5.5
【答案】B
【分析】延长EB到点H，使得BH=DF，连接AH，根据正方形的性质可得△ABH≌△ADF（SAS），可得∠HAB=∠FAD，AH=AF，进一步可证△HAE≌△FAE（SAS），根据已知条件求出△AHE的面积，即△AEF的面积．
【详解】解：延长EB到点H，使得BH=DF，连接AH，如图所示：
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABE=∠D=∠BAD=90°，
∴∠ABH=∠D，
在△ABH和△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴∠HAB=∠FAD，AH=AF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠HAB=45°，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EH=EF，
∵BE+DF=5，
∴BE+BH=5，
∴HE=5，
∵AB=6，
∴S△AHE=HE•AB=15，
∴△AEF的面积为15，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，作辅助线构△ABH≌△ADF（SAS）是解题的关键．
15．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点D作于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．
【详解】解：过点D作于点E，连接BD，如图所示：
四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
是等边三角形，
，
，
，
，
根据垂线段最短，此时DE最短，即最小，
菱形的边长为6，
，
，
的最小值是，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
16．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形：
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 （ ）
A．①B．②③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
∴OA=OB=OC=OD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠OBM=∠ODP，∠OAQ=∠OCN，
过点O的直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
∴∠BOM=∠DOP，∠AOQ=∠CON，
所以△BOM≌△DOP（ASA），△AOQ≌△CON（ASA），
所以OM=OP，OQ=ON，
则四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；
③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
④当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ，
则△AMQ≌△DQP，
∴AM=QD，AQ=PD，
∵PD=BM，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；
故正确结论的序号是①②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
17．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】D
【分析】在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，则当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠EAC，
∴∠EAP＝∠CAQ，
又∵AE＝AC，AP＝AQ，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ＝EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF，
在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝，
∴AB＝，
∵AE＝AC＝，
∴BE＝AB−AE＝，
在Rt△BFE中，∠B＝30°，
∴EF＝BE＝，
故线段CQ长度的最小值是，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．
18．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积与正方形的面积相等．其中正确的结论为（ ）
A．①②③④B．①②C．①②③D．①③④
【答案】A
【分析】过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，根据四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，可得∠COD=45°，判断①正确，证明△AOD≌△COF（SAS），可得∠ADO=∠CFO，又∠DKS=∠FKO，可得∠DSK=∠FOK=90°，判断②正确；利用勾股定理求出AD，得到CF，再求出BD，可判断③正确；求出S△BCD=S△CDO，可得S四边形ABDO=S正方形ABCO，判断④正确．
【详解】解：如图：过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，
∵四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，
∴∠AOC=90°=∠COE，∠DOE=45°，
∴∠COD=45°，故①正确，
∵∠AOC=90°=∠FOD，
∴∠AOD=135°=∠COF，
又OA=OC，OD=OF，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴∠ADO=∠CFO，AD=CF，
∵∠DKS=∠FKO，
∴∠DSK=∠FOK=90°，
∴AD⊥CF，故②正确；
∵四边形DEFO是正方形，
∴△DON是等腰直角三角形，
∵EF==DO，
∴DN=ON=DO=1，
在Rt△ADN中，AD=，
∴CF=，
∵∠MNO=∠NOC=∠OCM=90°，
∴四边形NOCM是矩形，
∴MN=OC=AB=2，CM=ON=1
∴DM=MN-DM=1，BM=BC+CM=3，
在Rt△BDM中，BD=，
∴CF=BD=，故③正确；
∵S△BCD=BC•DM=×2×1=1，S△CDO=OC•ON=×2×1=1，
∴S△BCD=S△CDO，
∴S△DTO=S△BCT，
∴S四边形ABDO=S正方形ABCO，故④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用及三角形面积等，解题的关键是掌握正方形性质，证明△AOD≌△COF．
19．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，、、．规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，的顶点D的坐标变为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用平行四边形的性质求出点D的坐标，再将前几次变换后D点的坐标求出来，观察规律即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（-1，3）、B（1，1）、C（5，1），
∴D（3，3），
把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，
∴D（2，-3），
观察，发现规律：D0（3，3），D1（2，-3），D2（1，3），D3（0，-3），D4（-1，3）
……
∴对于横坐标，每次变换减一，对于纵坐标，奇数次变换为-3，偶数次变换为3.
∴经过2022次变换后，D（-2019，3）．
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换，点的坐标——规律性，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是先求出D的坐标，再利用变换的规律求解．
20．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①④C．①②④D．①③④
【答案】D
【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；由菱形的性质可得∠ECH＝∠FCH，由点C落在AD上的一点H处，∠ECD不一定等于30°，可判断②；当点H与点A重合时，BF有最小值，由勾股定理可求BF的最小值，若CD与AD重合时，BF有最大值，由正方形的性质可求BF的最大值，可判断③；如图，过点H作HM⊥BC于M，由勾股定理可求EF的长，可判断④；即可求解．
【详解】解：∵，
∴∠HEF＝∠EFC，
∵∠EFC＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴HE＝HF，
∵FC＝FH，
∴HE＝CF，
∵，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
∵四边形CFHE是菱形，
∴∠ECH＝∠FCH，
若EC平分∠DCH，
∴∠ECD＝∠ECH，
∴∠ECD＝∠ECH＝∠FCH＝30°，
∵点C落在AD上的一点H处，
∴∠ECD不一定等于30°
∴EC不一定平分∠DCH，故②错误；
当点H与点A重合时，BF有最小值，
设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴BF＝3，
若CD落在AD上时，BF有最大值，
∴四边形CDHF是正方形，
∴CF＝4，
∴BF最大值为4，
∴3≤BF≤4，故③正确；
如图，过点F作FM⊥BC于M，
∴四边形HMFB是矩形，
∴AB＝MF＝4，AM＝BF＝3，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AE＝AF＝5，
∴ME＝2，
∴EF＝，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
21．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．45°
【答案】B
【分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°-2y，∠BAD=2x-45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，
∵AD=DE=CE，
∴AD=DE=CE=BC，
∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，
∵∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，
∴∠ADE=180°-2x，∠BCE=180°-2y，
∴∠ADC=180°-2x+45°=225°-2x，∠BCD=225°-2y，
∴∠BAD=180°-（225°-2x）=2x-45°，
∴2x-45°=225°-2y，
∴x+y=135°，
∴∠AEB=360°-135°-90°=135°；
故选B．
【点睛】考点：1．平行四边形的性质；2．等腰三角形的性质；3．等腰直角三角形．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
22．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为_____．
【答案】+1
【分析】如图，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N．首先说明点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为），根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为.
【详解】解：如图，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N．
∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，AB＝BC＝2，
∵AD＝DC．DM∥AB，
∴DM＝AB＝，BM＝CM＝1，
易证四边形BMJN是矩形，
∴JN＝BM＝1，
∵∠FDJ+∠EDM＝90°，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠FDJ＝∠DEM，∵∠FJD＝∠DME＝90°，
∴△FJD≌△DME(AAS)，
∴FJ＝DM＝，
∴FN＝FJ+JN＝1+，
∴点F在直线l上运动(直线l与直线AB之间的距离为+1)，
根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为：+1，
故答案为+1．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
23．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形瓷砖图案中的阴影部分是四个全等且顶角为45°的等腰三角形．已知该瓷砖的面积是，则中间小正方形的面积为____________．
【答案】
【分析】作大正方形的对角线，作一条小正方形的对角线并延长交大正方形各边于中点，由图形可知，小正方形的边长加对角线的长度刚好等于大正方形的边长，列方程求解小正方形边长即可求解．
【详解】解：如图，作大正方形的对角线，作小正方形的对角线并延长交大正方形各边于中点，
设小正方形的边长为，
则大正方形的边长为，
瓷砖的面积是，
大正方形的边长为，
即，
解得，
中间小正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形和等腰三角形的性质，根据题意得出小正方形边长和大正方形边长之间的关系是解题的关键．
24．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，点P，Q分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为8，则菱形的边长为________．
【答案】10
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH=8，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，
∵S菱形ABCD=AD×8=AB×CH，
∴CH=8，
∴，
∵BC2=CH2+BH2，
∴BC2=（16-BC）2+64，
∴BC=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
25．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图．在正方形的边上有一点，连接．点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象．
（1）正方形的边长为______．
（2）当时，的值为______．
【答案】
【分析】（1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得△APE的最大面积为8，此时P、D重合，y＝AD•AB＝8，即可求解；
（2）先抓住关键点，知道点P到终点时，△APE的面积是6，此时P、C重合，y＝EC•AB＝6，得EC＝3，根据图象分析当x＝7时，点P在CD上，且PD＝3，再求△APE的面积．
【详解】解：（1）设正方形的边长为a，
由图象可知，当P、D重合时，△APE的面积为8，
∴y＝AD•AB＝8，
∴a2＝8，
解得：a＝4（−4舍去），
∴正方形的边长为4，
故答案为：4；
（2）当点在点时，，
解得：，即，，
当x＝7时，点P在CD边上，如图，
y＝S正方形ABCD−S△ABE−S△PEC−S△APD
＝4×4−×4×1−×3×1−×4×3＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解．
26．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____
【答案】3或
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质．
27．（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）正方形ABCD的边长为12，点E在BC上，且BE=5，点P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值是______．
【答案】13
【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
【详解】如图连接AE交BD于P点，
则AE就是PE+PC的最小值，
∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，
∵AB=12，
∴AE==13，
∴PE+PC的最小值是13．
故答案为13．
【点睛】本题主要考查的是轴对称--路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当点A、P、E在一条直线上时，PE+PA有最小值是解题的关键．
28．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为________．
【答案】
【分析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB=CD=BC=，ABCD，∠C=90°，证得△AEM≌GDM，得到AM=MG，AE=DG=AB，根据三角形中位线定理得到MN=FG，由勾股定理求出FG即可得到MN．
【详解】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=，AB∥CD，∠C=90°，
∴∠AEM=∠GDM，∠EAM=∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME=MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM=MG，AE=DG=AB=CD，
∴CG=CD=，
∵点N为AF的中点，
∴MN=FG，
∵F为BC的中点，
∴CF=BC=，
∴FG=，
∴MN= ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM=MG是解决问题的关键．
29．（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，在中，，BD为AC边上的中线，过点C作于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取，连接BG、DF．若，，则CF的长为______________．
【答案】
【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，则GF=5，则AF=8，AC=10，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出CF的值．
【详解】解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵BD为AC边上的中线，∠ABC=90°，
∴BD=DF=AC，
∴四边形BGFD是菱形，
∴BD=DF=GF=BG=4，则AF=AG-GF=10-4=6，AC=2BD=8，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF2+CF2=AC2，即62+CF2=82，
解得：CF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．
30．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点P是AB边上的中点，将AD沿DP翻折到DE，延长PE交BC于点Q，连接DQ、BE，下列结论中：①∠PDQ=45°；②△BPQ的周长为2a；③连接AE，．正确的是___________（填正确的序号）．
【答案】①②③
【分析】先根据正方形中的翻折得到，由全等三角形的性质得，再由题意用HL证明，根据对应角相等进行角的等量代换即可证明结论①正确；由①中已证的两组全等进行线段的等量代换即可证明结论②正确；根据翻折的性质可知垂直且平分，再利用中点与全等，得出，由等边对等角证明，再根据外角的性质，利用同位角相等证出，从而可证，继而可得，证出结论③正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为a，将AD沿DP翻折到DE，
∴，
∴．
∵点Q在PE的延长线上，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故结论①正确；
由和可知，，
∴△BPQ的周长．
故结论②正确；
连接AE，如图所示，
∵，
∴垂直且平分．
∵点P是AB边上的中点，
∴，
∴．
又∵是的外角，
∴，
且，
∴，
∴，
∴，
∴．
故结论③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】本题是一道几何综合题，考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，以及等边对等角、外角、平行线等知识，解题的关键是要熟练掌握几何相关的性质与判定定理，并能够灵活应用，找到相等的线段进行转化．
31．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形 AB′C′D′，AB′交CD于点E，且DE＝B′E，则CE的长为______．
【答案】5
【分析】根据旋转的性质得到AB'=AB=5，设AE=CE=x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB'C'D′，
∴AB'=AB=8，
∵DE=B'E，
∴AE=CE，
设AE=CE=x，则DE=5-x，
∵∠D=90°，
∴，
即，
解得：x=5，即CE的长为5．
故答案为：5
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质及勾股定理解直角三角形是解题的关键．
32．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，正方形的边长为6，E为DC的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若DG＝2，，则GF的长为______．
【答案】
【分析】由已知及勾股定理可求得GE的长，延长GE交BC的延长线于点H，易得△GDE≌△HCE，由全等三角形的性质可得HE=GE，CH=DG，则由垂直平分线的性质定理得GF=HF；由勾股定理建立方程可求得CF的长，从而可求得GF的长．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCD=90°，CD=6，
∴∠D=∠ECH=90°，
∵E为DC的中点，
∴，
在Rt△GDE中，由勾股定理得：，
如图，延长GE交BC的延长线于点H，
在△GDE和△HCE中，
，
∴△GDE≌△HCE，
∴，CH=DG=2，
即点E是GH的中点，
∵
∴由垂直平分线的性质定理得GF=HF=CF+CH=CF+2，
在Rt△HEF中，由勾股定理得：，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：，
由上可得方程：，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质定理等知识，其中构造辅助线得到全等三角形是本题的关键及难点．
33．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A是直线y=-3x上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边向左侧作正方形ABCD，若点D在直线y=kx上，则k的值为_______．
【答案】或-
【分析】设A（m，-3m），根据正方形的性质，可得D（m-|3m|，-3m），分两种情况：m＞0，m＜0，将点D坐标代入y=kx，即可求出k的值．
【详解】解：设A（m，-3m），
根据题意，得正方形ABCD的边长为|3m|，
∴D（m-|3m|，-3m），
当m＞0时，D（-2m，-3m），
将点D（-2m，-3m）代入y=kx，
得-2mk=-3m，
解得k=；
当m＜0时，D（4m，-3m），
将点D坐标代入y=kx，
得4mk=-3m，
解得k=-，
故答案为：或-．
【点睛】本题考查了一次函数，涉及一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，注意分情况讨论是关键．
34．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则EF的最小值为_____．
【答案】4.8
【分析】连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝AC＝8，BD＝BD＝6，根据勾股定理得到AB＝10，证明四边形OEPF是矩形，根据矩形的性质得到EF＝OP，则当OP⊥AB时，OP最小，EF的值最小，然后根据三角形的面积公式求出此时OP的长即可．
【详解】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝8，BO＝BD＝6，
∴AB＝，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∴当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴＝OA•OB＝AB•OP，
∴OP＝，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
35．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值等于________．
【答案】10
【分析】连接BP，则PC＋QD的最小值转化为PC＋PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE、CE，则PC＋QD＝PC＋PB＝PC＋PECE，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，ADBC，AD＝BC＝6，
∵AP＝CQ，
∴AD−AP＝BC−CQ，
∴DP＝QB，DPBQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴，PB＝DQ，
则PC＋QD＝PC＋PB，则PC＋QD的最小值转化为PC＋PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，
则BE＝2AB＝8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC＋PB＝PC＋PE，
连接CE，则PC＋QD＝PC＋PB＝PC＋PECE，
∴，
∴PC＋PB的最小值为10，
即PC＋QD的最小值为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC＋QD＝PC＋PB＝PC＋PECE是解题的关键．
36．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为______．
【答案】
【分析】如图，根据正方形的性质和全等三角形的判定证明△A1CF≌△A1BE，则可证明每一个重叠部分的面积都是正方形面积的四分之一，进而可求解．
【详解】解：如图，
由正方形的性质得：A1C=A1B，∠A1CF=∠A1BE=45°，∠EA1F=∠BA1C=90°，
∴∠CA1F+∠CA1E=∠BA1E+∠CA1E=90°，
∴∠CA1F=∠BA1E，
∴△A1CF≌△A1BE（ASA），
∴,
∴，
同理，每两个正方形的重叠部分的面积都等于
则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查图形类变化规律探究，涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等，会添加辅助线构造全等求解一个阴影部分面积是解答的关键．
37．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 上一点，且AE=3 ，F 为BC 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，连接AG ，则AG 的最小值为________________．
【答案】1
【分析】过点G作GM⊥AB于点M，由AAS可证：∆MGE ≅∆BEF，得GM=1，即：点G与直线AB的距离为1，进而即可得到答案．
【详解】过点G作GM⊥AB于点M，
∵以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，
∴∠MGE+∠MEG=∠MEG+∠BEF=90°，
∴∠MGE=∠BEF，
∵正方形ABCD中，∠B=∠GME=90°，
∴∆MGE ≅∆BEF（AAS），
∴GM=EB=AB-AE=4-3=1，
∴点G与直线AB的距离为1，
∴当AG⊥AB时，AG 有最小值，最小值为1．
故答案是：1．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质以及三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
38．（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是_____．
【答案】4
【分析】连接，过点作交延长线于点，通过证明，确定点在的射线上运动；作点关于的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在的延长线上；当、、三点共线时，最小，在中，，，求出即可．
【详解】解：连接，过点作交延长线于点，
，
∴ ，
∵ ，
∴∠EDA=∠FEG，
在△AED和△GFE中，
，
，
点在射线上运动，
作点关于的对称点，
，，
，
，
，
，
点在的延长线上，
当、、三点共线时，最小，
在中，，，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称求最短路径．能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
39．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积=_____．
【答案】
【分析】设，，根据折叠的性质表示出各边，利用勾股定理列出方程，解之即可得到AE，利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：由折叠可得图象，
∵ABCD是正方形，EC，FC平分，
∴．
设，，
由折叠性质可得：，
∵，，
∴．
由折叠性质可得，，在同一水平上，
∴，
∴，且，，
∴，
在中，，
，，，
∴，
解出（舍去），，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，一元二次方程，解题的关键是熟练运用折叠的性质得到相应边的关系．
40．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是_____．
【答案】
【分析】作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：MK＝FK＝1，NP＝3，PF＝2，利用勾股定理可得MN的长．
【详解】过M作MK⊥CD于K，过N作NP⊥CD于P，过M作MH⊥PN于H，
则MK∥EF∥NP，
∵∠MKP＝∠MHP＝∠HPK＝90°，
∴四边形MHPK是矩形，
∴MK＝PH，MH＝KP，
∵NP∥EF，N是EC的中点，
∴
∴PF＝FC＝BE＝2，NP＝EF＝3，
同理得：FK＝DK＝1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴△MKD是等腰直角三角形，
∴MK＝DK＝1，NH＝NP﹣HP＝3﹣1＝2，
∴MH＝2+1＝3，
在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN＝
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；本题的关键是构造直角三角形MNH，根据勾股定理计算．
41．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在正方形中，在上，在的延长线上，，连接、、，交对角线于点，为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的有______．
【答案】①②③④
【分析】根据正方形的性质可得AD＝CD，然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，然后求出∠EDF＝∠ADC＝90°，判断出△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；由△DEF是等腰直角三角形和正方形的性质可得∠NBE＝∠DFE＝45°，利用三角形内角和为180°即可判断②正确；连接BM、DM．根据直角三角形的性质可得BM＝EF＝MD．由垂直平分线的判定推知MC垂直平分BD，故③成立；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，根据三角形中位线定理得到MH＝BF＝1，求得，故④正确．
【详解】解：正方形ABCD中，AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，
∴∠EDF＝∠FDC＋∠CDE＝∠FDC＋∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∴∠DFE＝45°，
∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠NBE＝45°，
∵∠FDN＋∠DFN＋∠DNF＝∠NBE＋∠BNE＋∠NEB＝180°，
∠NBE＝∠DFE＝45°，∠DNF＝∠BNE，
∴∠FDB＝∠FEB，故②正确；
连接BM、DM，如图所示：
∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形，
∴BM＝DM＝EF，
又∵BC＝CD，
∴直线CM是BD的垂直平分线，故③正确；
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴MH＝BF＝1，
∴，故④正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键．
42．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，平面直角坐标系中正方形ABCD的顶点A（0，12），B（5，0），过D作DF⊥x轴交AC于点E，连接BE，则△BEF的周长是________．
【答案】24
【分析】过点D作DM⊥y轴于点M，证明△DMA≌△AOB（AAS），由全等三角形的性质得出DM=OA=12，AM=OB=5，求出D（12，17），证明△DAE≌△BAE（SAS），由全等三角形的性质得出DE=BE，则可得出△BEF的周长=BF+DF=24．
【详解】解：过点D作DM⊥y轴于点M，
∵A（0，12），B（5，0），
∴AO=12，OB=5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAM+∠OAB=90°，
又∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠DAM=∠OBA，
又∵∠DMA=∠AOB，
∴△DMA≌△AOB（AAS），
∴DM=OA=12，AM=OB=5，
∴OM=17，
∴D（12，17），
∵DF⊥x轴，
∴四边形DMOF为矩形，
∴DM=OF=12，
∴BF=OF-OB=12-5=7，
∵DA=AB，∠DAE=∠BAE=45°，AE=AE，
∴△DAE≌△BAE（SAS），
∴DE=BE，
∴△BEF的周长为BE+BF+EF=DE+BF+EF=DF+BF=17+7=24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
43．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为_____．
【答案】
【分析】如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．首先证明B，A，T共线，求出TC，证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE＝CG，推出EC＋CG＝EC＋ED＝EC＋TE，根据TE＋EC≥TC即可解决问题．
【详解】解：如图，连接DE，AE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．
∵∠A＝90°，AB＝AD＝1，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，再将△ABD沿射线BD翻折，得到△CBD，
∴AB＝BC═AD＝1，∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，
∵AE//BD，
∴∠EAD＝∠ABD＝45°，
∵D，T关于AE对称，
∴AD＝AT＝1，∠TAE＝∠EAD＝45°，
∴∠TAD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴B，A，T共线，
∴CT＝，
∵EG＝CD，EG//CD，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴CG＝DE，
∴EC＋CG＝EC＋ED＝EC＋TE，
∵TE＋EC≥TC，
∴GC＋EC≥，
∴GC＋EC的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
44．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．
【答案】k＞2或k＜0且k≠﹣
【分析】设BC与y轴交于点M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E点不在AD边上，即k≠0，分k＞0与k＜0两种情况进行讨论．
【详解】解：如图，设BC与y轴交于点M，
∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，
∴E点不在AD边上，
∴k≠0，
①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上，
当点E在AB边且OE＝3时，
由勾股定理得，
∴AE＝，
∴E（1，），
当直线y＝kx经过点（1，）时，k＝，
∵，
∴OB=＜5，
当点E在线段BM上时，OE＜OB=＜5，
∴k＞，符合题意；
②如果k＜0，那么点E在CD边或线段CM上，
当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合；
当OE＝5时，由勾股定理得 ，
∴DE＝4，
∴E（﹣3，4），此时E与C重合，
当直线y＝kx经过点（﹣3，4）时，k=，
当点E在线段CM上时，OE＜OC＝5，
∴k＜0且k，符合题意；
综上，当3＜OE＜5时，k的取值范围是k＞或k＜0且k≠．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．
45．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝4，过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC内（不包括各边）的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝m，OE＝n，则m＋2n的取值范围是___．
【答案】4【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP= OD= m，在Rt△HEP中，∠EPH = 30°，可得EH的长，计算m+ 2n = 2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．
【详解】解：如图1，过P作PH⊥OY交于点H，
图1
∵PD∥OY， PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY = 60°，
∴EP= OD= m，
在Rt△HEP中，∠EPH = 30°，
∴，
∴ ，
当P在AC边上时，H与C重合，
此时OH的最小值=OC=OA=2，
即m+ 2n的最小值是4；
当P在点B时，如图2所示：
图2
∵， ，
在Rt△CHP中，∠HCP= 30°，
∴，，
则OH的最大值是：
，
即m+ 2n的最大值是10，
∴m+ 2n的取值范围是4故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认m+ 2n的最值就是确认OH最值的范围是解题的关键．
46．（2022春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝3，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为__．
【答案】或3
【分析】当△为直角三角形时，存在两种情况：
①当时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：，根据直角三角形斜边中线的性质得：，最后利用勾股定理可得的长；
②当时，如图2，证明是等腰直角三角形，可得．
【详解】解：当△为直角三角形时，存在两种情况：
①当时，如图1，
△与关于所在直线对称，
，，
点，分别为，的中点，
、是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
△中，是斜边的中点，
，
由勾股定理得：，
；
②当时，如图2，
，
，
△与关于所在直线对称，
，
是等腰直角三角形，
；
综上所述，的长为或3．
故答案为：或3．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
47．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，四边形是矩形，点是边上的一动点，连接，点与点关于对称，连接、、，若，，则的最小值为________．
【答案】1
【分析】根据点、的关系可知，点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆弧，所以当点、、三点在一条直线时，最短．
【详解】如图所示，以点为圆心，为半径画圆弧
∴
由图可知，当点运动到时最短
∴
∵四边形是矩形
∴
∴
故答案为：1．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．
48．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，和都是等边三角形，若点，，点在第二象限内．将沿翻折得，当点在轴上运动时，设点的坐标为，则与的函数关系式为________．
【答案】
【分析】过D作DF⊥x轴于F，连接AD，BE，由（1）中的△ABD≌△OBC结合等边三角形的性质即可得出点D的坐标，由△AOB为等边三角形结合点A、O的坐标即可得出点B的坐标，由翻折的性质可得出四边形BCED是菱形，再根据菱形的性质结合点B、C、D的坐标即可得出点E的坐标，根据点E坐标的横纵坐标之间的关系即可得出结论；
【详解】解：如图，连接BE，过D作DF⊥x轴于F，
∵△AOB和△BCD是等边三角形，
∴∠ABO=∠CBD=60°，AB=OB，BD=BC，∠AOB=60°，
∴∠ABO+∠OBD=∠CBD+∠OBD，即：∠ABD=∠OBC，
∴△ABD≌△OBC（SAS），
∴AD=OC=m，∠BAD=∠BOC=30°，
∴∠DAF=∠BAO-∠BAD=∠BAO-∠BOC=30°，
∴DF=AD=m，AF=DF=m，
∵A（-2，0），
∴D（m-2，m），
∵将△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等边三角形，
∴四边形BCED是菱形，
∴BE、CD互相平分，
∵△AOB是等边三角形，点A（-2，0），
过点B作BG⊥x轴，垂足为G，
∴AG=1，BG=，
∴B（-1，），
∴E（m-2+1，m+m-），即（m-1，m-），
设m-1=x，m-=y，
∴m=，m=，
∴=，
化简得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，熟练的掌握等边三角形和菱形的性质是解题的关键．
49．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，以的斜边BC为边，向外作正方形，设正方形的对角线BD与CE的交点为O，连接AO，若，，则AB的值是________．
【答案】4
【分析】如详解图：作OF⊥AB于点F，OG⊥AC交AC的延长线于点G，可证△OFB≌△OGC，可得四边形AFOG为正方形，BF=CG，AF=AG=3，进而可求得答案．
【详解】解：如图所示：
作OF⊥AB于点F，OG⊥AC交AC的延长线于点G，
又∵中，
∴四边形AFOG为矩形，
∴．
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠COG+∠COF=90°，∠BOF+∠COF=90°，
∴∠BOF=∠COG
又∵∠OFB=∠OGC，OB=OC，
∴△OFB≌△OGC，
∴OF=OG，
∴四边形AFOG为正方形．
∵，
∴AF=AG=3，
∵AC=2，
∴CG=AG−AC=3−2=1．
∵BF=CG，
∴AB=AF+BF=AG+CG=3+1=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造△OFB≌△OGC是解题的关键．
50．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ___．
【答案】0＜S≤2
【分析】过点M作ME⊥PN于E，根据三角形的中位线定理得出PM=PN=AB=CD=2，再根据三角形的面积公式得出S==ME，结合已知和垂线段最短得出S的范围；
【详解】解：过点M作ME⊥PN于E，
∵P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，AB＝CD＝4，
∴PM=PN=AB=CD=2，
∴△PMN的面积S==ME，
∵AB与CD不平行，∴四边形ABCD不是平行四边形，
∴M、N不重合，
∴ME＞0，
∵ ME≤MP=2，
∴0＜S≤2
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理以及三角形的面积，掌握三角形的中位线平行第三边，等于第三边的一半是解题的关键
A．2022.5B．2021.5C．2023D．2022
2．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在中，，，．分别以点B、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN分别与AD、BC相交于点E、F，则EF的长为（ ）
A．B．4C．D．
3．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，在△AOB中，OA=AB，顶点A的坐标（3，4），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
4．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（ ）
A．50B．50C．100D．100
5．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）矩形 ABCD中，O为 AC 的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接 BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM=CM；④四边形 EBFD 是菱形；⑤MB：OE=3：2其中正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
6．（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．2
7．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（ ）
A．B．C．D．2
8．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点为对角线和的交点，延长至，使，以为边向右侧作矩形，点在上，若，过点的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交、于点、，则的值为（ ）
A．39B．40C．41D．42
9．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）把一副三角板如图1放置，其中，斜边．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到（如图2），此时AB与交于点O，则线段的长度为（ ）
A．4B．C．5D．
10．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（ ）
A．12B．24C．10D．20
11．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（ ）
A．8 cm 2B．8.5 cm 2C．9 cm 2D．9.5 cm 2
12．（2022春·江苏南京·八年级统考期中）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A．且B．且
C．D．
13．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，，，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作于点E，于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．3D．2.5
14．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，若BE+DF＝5，则△AEF的面积为（ ）
A．30B．15C．11D．5.5
15．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形：
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 （ ）
A．①B．②③C．①②③D．①②③④
17．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．
18．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积与正方形的面积相等．其中正确的结论为（ ）
A．①②③④B．①②C．①②③D．①③④
19．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，、、．规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，的顶点D的坐标变为（ ）
A．B．C．D．
20．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①④C．①②④D．①③④
21．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．45°
第II卷（非选择题）
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二、填空题
22．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为_____．
23．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形瓷砖图案中的阴影部分是四个全等且顶角为45°的等腰三角形．已知该瓷砖的面积是，则中间小正方形的面积为____________．
24．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，点P，Q分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为8，则菱形的边长为________．
25．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图．在正方形的边上有一点，连接．点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象．
（1）正方形的边长为______．
（2）当时，的值为______．
26．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____
27．（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）正方形ABCD的边长为12，点E在BC上，且BE=5，点P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值是______．
28．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为________．
29．（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，在中，，BD为AC边上的中线，过点C作于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取，连接BG、DF．若，，则CF的长为______________．
30．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点P是AB边上的中点，将AD沿DP翻折到DE，延长PE交BC于点Q，连接DQ、BE，下列结论中：①∠PDQ=45°；②△BPQ的周长为2a；③连接AE，．正确的是___________（填正确的序号）．
31．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形 AB′C′D′，AB′交CD于点E，且DE＝B′E，则CE的长为______．
32．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，正方形的边长为6，E为DC的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若DG＝2，，则GF的长为______．
33．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A是直线y=-3x上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边向左侧作正方形ABCD，若点D在直线y=kx上，则k的值为_______．
34．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则EF的最小值为_____．
35．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值等于________．
36．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为______．
37．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 上一点，且AE=3 ，F 为BC 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，连接AG ，则AG 的最小值为________________．
38．（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是_____．
39．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积=_____．
40．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是_____．
41．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在正方形中，在上，在的延长线上，，连接、、，交对角线于点，为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的有______．
42．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，平面直角坐标系中正方形ABCD的顶点A（0，12），B（5，0），过D作DF⊥x轴交AC于点E，连接BE，则△BEF的周长是________．
43．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为_____．
44．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．
45．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝4，过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC内（不包括各边）的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝m，OE＝n，则m＋2n的取值范围是___．
46．（2022春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝3，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为__．
47．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，四边形是矩形，点是边上的一动点，连接，点与点关于对称，连接、、，若，，则的最小值为________．
48．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，和都是等边三角形，若点，，点在第二象限内．将沿翻折得，当点在轴上运动时，设点的坐标为，则与的函数关系式为________．
49．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，以的斜边BC为边，向外作正方形，设正方形的对角线BD与CE的交点为O，连接AO，若，，则AB的值是________．
50．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ___．
难点特训（四）选填压轴50道
1．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如果记，并且表示当时代数式的值．即，表示当时代数式的值，，那么的值为（ ）
A．2022.5B．2021.5C．2023D．2022
【答案】B
【分析】通过计算的值得到，，从而得到规格，然后利用此规律得到．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
2．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在中，，，．分别以点B、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN分别与AD、BC相交于点E、F，则EF的长为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】由作法得垂直平分，连接交于点，过点作于，连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，，，再根据平行四边形的性质得到，，，所以，接着分别计算出，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解得，再计算出，，然后证明得到，从而得到的长．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
连接交于点，过点作于，连接，如图，则，，
四边形为平行四边形，
，，，
，
在中，，
，
设，则，，
在中，，解得，
在中，，
，
在中，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段）．也考查了平行四边形的性质．
3．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，在△AOB中，OA=AB，顶点A的坐标（3，4），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
【答案】A
【分析】过点A作AC⊥OB于C，过点O'作O'D⊥A'B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO'＝OB，A'B=AB=5，然后利用三角形面积公式求出O'D、BD，再求出OD，然后写出点O'的坐标即可．
【详解】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O'作O'D⊥A'B于D，
∵A（3，4），
∴OC＝3，AC＝4，
由勾股定理得，OA＝＝5=AB，
∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，
∴OB＝2OC＝2×3＝6，
由旋转的性质得，BO'＝OB＝6，A'B=AB=5，
∵
∴
∴O'D＝，
∴BD＝，
∴OD＝OB＋BD＝6＋＝，
∴点O'的坐标为（，）．
故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
4．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（ ）
A．50B．50C．100D．100
【答案】B
【分析】根据题意过D作DN⊥BF于N，连接DI，进而结合全等三角形的判定与性质得出S1+S2+S3+S4+S5＝Rt△ABC的面积×4进行分析计算即可.
【详解】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，
∴BC＝AB＝5，AC＝＝5，
过D作DN⊥BF于N，连接DI，
在△ACB和△BND中，
，
∴△ACB≌△BND（AAS），
同理，Rt△MND≌Rt△OCB，
∴MD＝OB，∠DMN＝∠BOC，
∴EM＝DO，
∴DN＝BC＝CI，
∵DN∥CI，
∴四边形DNCI是平行四边形，
∵∠NCI＝90°，
∴四边形DNCI是矩形，
∴∠DIC＝90°，
∴D、I、H三点共线，
∵∠F＝∠DIO＝90°，∠EMF＝∠DMN＝∠BOC＝∠DOI，
∴△FME≌△DOI（AAS），
∵图中S2＝SRt△DOI，S△BOC＝S△MND，
∴S2+S4＝SRt△ABC．S3＝S△ABC，
在Rt△AGE和Rt△ABC中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△ACB（HL），
同理，Rt△DNB≌Rt△BHD，
∴S1+S2+S3+S4+S5
＝S1+S3+（S2+S4）+S5
＝Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积
＝Rt△ABC的面积×4
＝5×5÷2×4
＝50．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，解题的关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
5．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）矩形 ABCD中，O为 AC 的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接 BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM=CM；④四边形 EBFD 是菱形；⑤MB：OE=3：2其中正确结论的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】作辅助线找全等三角形和特殊的直角三角形解题,见详解.
【详解】解：连接BD
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，AC、BD互相平分
∵O为AC中点
∴BD也过O点
∴OB=OC
∵∠COB=60°，OB=OC
∴△OBC是等边三角形
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°
∵FO=FC，BF=BF
∴△OBF≌△CBF（SSS）
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称
∴FB⊥OC，OM=CM.故③正确
∵∠OBC=60°
∴∠ABO=30°
∵△OBF≌△CBF
∴∠OBM=∠CBM=30°
∴∠ABO=∠OBF
∵AB∥CD
∴∠OCF=∠OAE
∵OA=OC
可得△AOE≌△COF,故①正确
∴OE=OF
则四边形EBFD是平行四边形，又可知OB⊥EF
∴四边形EBFD是菱形.故④正确
∴△EOB≌△FOB≌△FCB.则②△EOB≌△CMB错误
∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°,
设MB=a,则OM=a,OB=2a,
OF=OM,
∵OE=OF
∴MB：OE=3：2.则⑤正确
综上一共有4个正确的,
故选B.
【点睛】本题考查了四边形的综合应用,特殊的直角三角形,三角形的全等,菱形的判定,综合性强,难度大,认真审题,证明全等找到边长之间的关系是解题关键.
6．（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．2
【答案】C
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当BP⊥时，PB取得最小值，由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【详解】如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴∥CE且=，
当点F在EC上除点C、E的位置处时有DP=FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P= ,
∴当点P的运动轨迹是线段，
∴当BP⊥时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=1，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，
∴∠DP2P1=90°，
∴∠DP1P2=45°，
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥，
∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC=1，
∴BP1=,
∴PB的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
7．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】首先根据矩形的性质，得出，，，然后再根据折叠的性质，得出，进而得出，利用勾股定理，得出的长，再由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果．
【详解】解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由第一次折叠得：，，
∴，
∴，
在中，
根据勾股定理得，，
由第二次折叠可知，，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键．
8．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点为对角线和的交点，延长至，使，以为边向右侧作矩形，点在上，若，过点的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交、于点、，则的值为（ ）
A．39B．40C．41D．42
【答案】B
【分析】根据题意可得PQ必过矩形EFGA的对角线交点，连接AF，EG交于点H，取AE的中点M，AB的中点N，连接HM，ON，过点H作HT⊥ON于T，设PQ与AD的交点为S，根据三角形中位线定理可得，∠ANO=∠ABC=90°，，∠AMH=90°，再由勾股定理可得OH的长，再证明△ASO≌△CQO，可得SO=OQ，即可求解．
【详解】解：∵过点O的一条直线平分该组合图形的面积，
∴PQ必过矩形EFGA的对角线交点，
连接AF，EG交于点H，取AE的中点M，AB的中点N，连接HM，ON，过点H作HT⊥ON于T，设PQ与AD的交点为S，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，
又∵点N是AB的中点，
∴，ON∥BC，
∴∠ANO=∠ABC=90°，
同理：，∠AMH=90°，
∵HT⊥NO，
∴四边形MHTN为矩形，
∴MH=NT=2，MT=MN=3，
∴TO=1，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠ASO=∠CQO，
在△ASO和△CQO中，
∵，
∴△ASO≌△CQO（AAS），
∴SO=OQ，
同理PH=SH，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
9．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）把一副三角板如图1放置，其中，斜边．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到（如图2），此时AB与交于点O，则线段的长度为（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】D
【分析】过点D1作D1H⊥CA，交CA的延长线于点H，在△ACD1中，易求得AC、CD1、∠ACD1这三个量，通过解三角形即可解决．
【详解】解：如图2，过点D1作D1H⊥CA，交CA的延长线于点H，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=45°，
∴AC=BC，
∴2AC2=AB2，
∴AB=AC，
∴AC=
∵将三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，
∴∠ACD1=30°+15°=45°，CD1=CD=8，
∴CH=D1H=，
∴AH=CH-AC=，
在Rt△AHD1中，由勾股定理得：
AD1=，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、以及勾股定理等知识，作出辅助线，将AD1放到直角三角形中是解题的关键．
10．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（ ）
A．12B．24C．10D．20
【答案】D
【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形 ABCD的面积为BC×AQ即可求出.
【详解】解：由图2，得BP=6，S△ABP=12
∴AQ=4
由翻折可知，AQ⊥BP
由勾股定理，得BC=AB==5
∴菱形 ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20
故选：D
【点睛】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.
11．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（ ）
A．8 cm 2B．8.5 cm 2C．9 cm 2D．9.5 cm 2
【答案】B
【分析】先连接FH，求出，再将求的面积转化为求的面积即可．
【详解】解：如图，连接FH，
∵菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，
∴，
∴，
∴，
∴和同底等高，
∴，
∵菱形ABCD面积为9 cm2，△BCF的面积为4cm2，
∴（cm2），
∴（cm2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形性质及其应用，解决本题的关键是利用同底等高将求的面积转化为求的面积，考查了学生的分析和推理的能力，运用了转化的思想方法．
12．（2022春·江苏南京·八年级统考期中）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A．且B．且
C．D．
【答案】A
【分析】先求解分式方程，再利用方程的解为负数得到m的不等式，解不等式即可确定m的取值范围．
【详解】解：去分母，得：2x－m=3x+6，
解得：x=－m－6，
∵方程的解是负数，
∴－m－6＜0，且－m－6≠－2，
∴且，
故选：A．
【点睛】本题考查解分式方程和分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握分式方程和一元一次不等式的解法，注意x≠－2是解答的关键．
13．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，，，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作于点E，于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．3D．2.5
【答案】B
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP且MP=OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【详解】连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴∠FOE=∠PEO=∠PFO=90°
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S＝OB⋅OC＝BC⋅OP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
∴MP的最小值=．
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
14．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，若BE+DF＝5，则△AEF的面积为（ ）
A．30B．15C．11D．5.5
【答案】B
【分析】延长EB到点H，使得BH=DF，连接AH，根据正方形的性质可得△ABH≌△ADF（SAS），可得∠HAB=∠FAD，AH=AF，进一步可证△HAE≌△FAE（SAS），根据已知条件求出△AHE的面积，即△AEF的面积．
【详解】解：延长EB到点H，使得BH=DF，连接AH，如图所示：
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABE=∠D=∠BAD=90°，
∴∠ABH=∠D，
在△ABH和△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴∠HAB=∠FAD，AH=AF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠HAB=45°，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EH=EF，
∵BE+DF=5，
∴BE+BH=5，
∴HE=5，
∵AB=6，
∴S△AHE=HE•AB=15，
∴△AEF的面积为15，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，作辅助线构△ABH≌△ADF（SAS）是解题的关键．
15．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点D作于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．
【详解】解：过点D作于点E，连接BD，如图所示：
四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
是等边三角形，
，
，
，
，
根据垂线段最短，此时DE最短，即最小，
菱形的边长为6，
，
，
的最小值是，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
16．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形：
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 （ ）
A．①B．②③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
∴OA=OB=OC=OD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠OBM=∠ODP，∠OAQ=∠OCN，
过点O的直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
∴∠BOM=∠DOP，∠AOQ=∠CON，
所以△BOM≌△DOP（ASA），△AOQ≌△CON（ASA），
所以OM=OP，OQ=ON，
则四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；
③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
④当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ，
则△AMQ≌△DQP，
∴AM=QD，AQ=PD，
∵PD=BM，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；
故正确结论的序号是①②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
17．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】D
【分析】在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，则当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠EAC，
∴∠EAP＝∠CAQ，
又∵AE＝AC，AP＝AQ，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ＝EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF，
在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝，
∴AB＝，
∵AE＝AC＝，
∴BE＝AB−AE＝，
在Rt△BFE中，∠B＝30°，
∴EF＝BE＝，
故线段CQ长度的最小值是，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．
18．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积与正方形的面积相等．其中正确的结论为（ ）
A．①②③④B．①②C．①②③D．①③④
【答案】A
【分析】过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，根据四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，可得∠COD=45°，判断①正确，证明△AOD≌△COF（SAS），可得∠ADO=∠CFO，又∠DKS=∠FKO，可得∠DSK=∠FOK=90°，判断②正确；利用勾股定理求出AD，得到CF，再求出BD，可判断③正确；求出S△BCD=S△CDO，可得S四边形ABDO=S正方形ABCO，判断④正确．
【详解】解：如图：过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，
∵四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，
∴∠AOC=90°=∠COE，∠DOE=45°，
∴∠COD=45°，故①正确，
∵∠AOC=90°=∠FOD，
∴∠AOD=135°=∠COF，
又OA=OC，OD=OF，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴∠ADO=∠CFO，AD=CF，
∵∠DKS=∠FKO，
∴∠DSK=∠FOK=90°，
∴AD⊥CF，故②正确；
∵四边形DEFO是正方形，
∴△DON是等腰直角三角形，
∵EF==DO，
∴DN=ON=DO=1，
在Rt△ADN中，AD=，
∴CF=，
∵∠MNO=∠NOC=∠OCM=90°，
∴四边形NOCM是矩形，
∴MN=OC=AB=2，CM=ON=1
∴DM=MN-DM=1，BM=BC+CM=3，
在Rt△BDM中，BD=，
∴CF=BD=，故③正确；
∵S△BCD=BC•DM=×2×1=1，S△CDO=OC•ON=×2×1=1，
∴S△BCD=S△CDO，
∴S△DTO=S△BCT，
∴S四边形ABDO=S正方形ABCO，故④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用及三角形面积等，解题的关键是掌握正方形性质，证明△AOD≌△COF．
19．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，、、．规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，的顶点D的坐标变为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用平行四边形的性质求出点D的坐标，再将前几次变换后D点的坐标求出来，观察规律即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（-1，3）、B（1，1）、C（5，1），
∴D（3，3），
把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，
∴D（2，-3），
观察，发现规律：D0（3，3），D1（2，-3），D2（1，3），D3（0，-3），D4（-1，3）
……
∴对于横坐标，每次变换减一，对于纵坐标，奇数次变换为-3，偶数次变换为3.
∴经过2022次变换后，D（-2019，3）．
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换，点的坐标——规律性，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是先求出D的坐标，再利用变换的规律求解．
20．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①④C．①②④D．①③④
【答案】D
【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；由菱形的性质可得∠ECH＝∠FCH，由点C落在AD上的一点H处，∠ECD不一定等于30°，可判断②；当点H与点A重合时，BF有最小值，由勾股定理可求BF的最小值，若CD与AD重合时，BF有最大值，由正方形的性质可求BF的最大值，可判断③；如图，过点H作HM⊥BC于M，由勾股定理可求EF的长，可判断④；即可求解．
【详解】解：∵，
∴∠HEF＝∠EFC，
∵∠EFC＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴HE＝HF，
∵FC＝FH，
∴HE＝CF，
∵，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
∵四边形CFHE是菱形，
∴∠ECH＝∠FCH，
若EC平分∠DCH，
∴∠ECD＝∠ECH，
∴∠ECD＝∠ECH＝∠FCH＝30°，
∵点C落在AD上的一点H处，
∴∠ECD不一定等于30°
∴EC不一定平分∠DCH，故②错误；
当点H与点A重合时，BF有最小值，
设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴BF＝3，
若CD落在AD上时，BF有最大值，
∴四边形CDHF是正方形，
∴CF＝4，
∴BF最大值为4，
∴3≤BF≤4，故③正确；
如图，过点F作FM⊥BC于M，
∴四边形HMFB是矩形，
∴AB＝MF＝4，AM＝BF＝3，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AE＝AF＝5，
∴ME＝2，
∴EF＝，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
21．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．45°
【答案】B
【分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°-2y，∠BAD=2x-45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，
∵AD=DE=CE，
∴AD=DE=CE=BC，
∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，
∵∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，
∴∠ADE=180°-2x，∠BCE=180°-2y，
∴∠ADC=180°-2x+45°=225°-2x，∠BCD=225°-2y，
∴∠BAD=180°-（225°-2x）=2x-45°，
∴2x-45°=225°-2y，
∴x+y=135°，
∴∠AEB=360°-135°-90°=135°；
故选B．
【点睛】考点：1．平行四边形的性质；2．等腰三角形的性质；3．等腰直角三角形．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
22．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为_____．
【答案】+1
【分析】如图，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N．首先说明点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为），根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为.
【详解】解：如图，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N．
∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，AB＝BC＝2，
∵AD＝DC．DM∥AB，
∴DM＝AB＝，BM＝CM＝1，
易证四边形BMJN是矩形，
∴JN＝BM＝1，
∵∠FDJ+∠EDM＝90°，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠FDJ＝∠DEM，∵∠FJD＝∠DME＝90°，
∴△FJD≌△DME(AAS)，
∴FJ＝DM＝，
∴FN＝FJ+JN＝1+，
∴点F在直线l上运动(直线l与直线AB之间的距离为+1)，
根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为：+1，
故答案为+1．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
23．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形瓷砖图案中的阴影部分是四个全等且顶角为45°的等腰三角形．已知该瓷砖的面积是，则中间小正方形的面积为____________．
【答案】
【分析】作大正方形的对角线，作一条小正方形的对角线并延长交大正方形各边于中点，由图形可知，小正方形的边长加对角线的长度刚好等于大正方形的边长，列方程求解小正方形边长即可求解．
【详解】解：如图，作大正方形的对角线，作小正方形的对角线并延长交大正方形各边于中点，
设小正方形的边长为，
则大正方形的边长为，
瓷砖的面积是，
大正方形的边长为，
即，
解得，
中间小正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形和等腰三角形的性质，根据题意得出小正方形边长和大正方形边长之间的关系是解题的关键．
24．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，点P，Q分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为8，则菱形的边长为________．
【答案】10
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH=8，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，
∵S菱形ABCD=AD×8=AB×CH，
∴CH=8，
∴，
∵BC2=CH2+BH2，
∴BC2=（16-BC）2+64，
∴BC=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
25．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）如图．在正方形的边上有一点，连接．点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象．
（1）正方形的边长为______．
（2）当时，的值为______．
【答案】
【分析】（1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得△APE的最大面积为8，此时P、D重合，y＝AD•AB＝8，即可求解；
（2）先抓住关键点，知道点P到终点时，△APE的面积是6，此时P、C重合，y＝EC•AB＝6，得EC＝3，根据图象分析当x＝7时，点P在CD上，且PD＝3，再求△APE的面积．
【详解】解：（1）设正方形的边长为a，
由图象可知，当P、D重合时，△APE的面积为8，
∴y＝AD•AB＝8，
∴a2＝8，
解得：a＝4（−4舍去），
∴正方形的边长为4，
故答案为：4；
（2）当点在点时，，
解得：，即，，
当x＝7时，点P在CD边上，如图，
y＝S正方形ABCD−S△ABE−S△PEC−S△APD
＝4×4−×4×1−×3×1−×4×3＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解．
26．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____
【答案】3或
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质．
27．（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）正方形ABCD的边长为12，点E在BC上，且BE=5，点P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值是______．
【答案】13
【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
【详解】如图连接AE交BD于P点，
则AE就是PE+PC的最小值，
∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，
∵AB=12，
∴AE==13，
∴PE+PC的最小值是13．
故答案为13．
【点睛】本题主要考查的是轴对称--路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当点A、P、E在一条直线上时，PE+PA有最小值是解题的关键．
28．（2022春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为________．
【答案】
【分析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB=CD=BC=，ABCD，∠C=90°，证得△AEM≌GDM，得到AM=MG，AE=DG=AB，根据三角形中位线定理得到MN=FG，由勾股定理求出FG即可得到MN．
【详解】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=，AB∥CD，∠C=90°，
∴∠AEM=∠GDM，∠EAM=∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME=MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM=MG，AE=DG=AB=CD，
∴CG=CD=，
∵点N为AF的中点，
∴MN=FG，
∵F为BC的中点，
∴CF=BC=，
∴FG=，
∴MN= ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM=MG是解决问题的关键．
29．（2022春·江苏南通·八年级校考期中）如图，在中，，BD为AC边上的中线，过点C作于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取，连接BG、DF．若，，则CF的长为______________．
【答案】
【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，则GF=5，则AF=8，AC=10，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出CF的值．
【详解】解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵BD为AC边上的中线，∠ABC=90°，
∴BD=DF=AC，
∴四边形BGFD是菱形，
∴BD=DF=GF=BG=4，则AF=AG-GF=10-4=6，AC=2BD=8，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF2+CF2=AC2，即62+CF2=82，
解得：CF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．
30．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点P是AB边上的中点，将AD沿DP翻折到DE，延长PE交BC于点Q，连接DQ、BE，下列结论中：①∠PDQ=45°；②△BPQ的周长为2a；③连接AE，．正确的是___________（填正确的序号）．
【答案】①②③
【分析】先根据正方形中的翻折得到，由全等三角形的性质得，再由题意用HL证明，根据对应角相等进行角的等量代换即可证明结论①正确；由①中已证的两组全等进行线段的等量代换即可证明结论②正确；根据翻折的性质可知垂直且平分，再利用中点与全等，得出，由等边对等角证明，再根据外角的性质，利用同位角相等证出，从而可证，继而可得，证出结论③正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为a，将AD沿DP翻折到DE，
∴，
∴．
∵点Q在PE的延长线上，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故结论①正确；
由和可知，，
∴△BPQ的周长．
故结论②正确；
连接AE，如图所示，
∵，
∴垂直且平分．
∵点P是AB边上的中点，
∴，
∴．
又∵是的外角，
∴，
且，
∴，
∴，
∴，
∴．
故结论③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】本题是一道几何综合题，考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，以及等边对等角、外角、平行线等知识，解题的关键是要熟练掌握几何相关的性质与判定定理，并能够灵活应用，找到相等的线段进行转化．
31．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形 AB′C′D′，AB′交CD于点E，且DE＝B′E，则CE的长为______．
【答案】5
【分析】根据旋转的性质得到AB'=AB=5，设AE=CE=x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB'C'D′，
∴AB'=AB=8，
∵DE=B'E，
∴AE=CE，
设AE=CE=x，则DE=5-x，
∵∠D=90°，
∴，
即，
解得：x=5，即CE的长为5．
故答案为：5
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质及勾股定理解直角三角形是解题的关键．
32．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，正方形的边长为6，E为DC的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若DG＝2，，则GF的长为______．
【答案】
【分析】由已知及勾股定理可求得GE的长，延长GE交BC的延长线于点H，易得△GDE≌△HCE，由全等三角形的性质可得HE=GE，CH=DG，则由垂直平分线的性质定理得GF=HF；由勾股定理建立方程可求得CF的长，从而可求得GF的长．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCD=90°，CD=6，
∴∠D=∠ECH=90°，
∵E为DC的中点，
∴，
在Rt△GDE中，由勾股定理得：，
如图，延长GE交BC的延长线于点H，
在△GDE和△HCE中，
，
∴△GDE≌△HCE，
∴，CH=DG=2，
即点E是GH的中点，
∵
∴由垂直平分线的性质定理得GF=HF=CF+CH=CF+2，
在Rt△HEF中，由勾股定理得：，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：，
由上可得方程：，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质定理等知识，其中构造辅助线得到全等三角形是本题的关键及难点．
33．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A是直线y=-3x上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边向左侧作正方形ABCD，若点D在直线y=kx上，则k的值为_______．
【答案】或-
【分析】设A（m，-3m），根据正方形的性质，可得D（m-|3m|，-3m），分两种情况：m＞0，m＜0，将点D坐标代入y=kx，即可求出k的值．
【详解】解：设A（m，-3m），
根据题意，得正方形ABCD的边长为|3m|，
∴D（m-|3m|，-3m），
当m＞0时，D（-2m，-3m），
将点D（-2m，-3m）代入y=kx，
得-2mk=-3m，
解得k=；
当m＜0时，D（4m，-3m），
将点D坐标代入y=kx，
得4mk=-3m，
解得k=-，
故答案为：或-．
【点睛】本题考查了一次函数，涉及一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，注意分情况讨论是关键．
34．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则EF的最小值为_____．
【答案】4.8
【分析】连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝AC＝8，BD＝BD＝6，根据勾股定理得到AB＝10，证明四边形OEPF是矩形，根据矩形的性质得到EF＝OP，则当OP⊥AB时，OP最小，EF的值最小，然后根据三角形的面积公式求出此时OP的长即可．
【详解】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝8，BO＝BD＝6，
∴AB＝，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∴当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴＝OA•OB＝AB•OP，
∴OP＝，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
35．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值等于________．
【答案】10
【分析】连接BP，则PC＋QD的最小值转化为PC＋PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE、CE，则PC＋QD＝PC＋PB＝PC＋PECE，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，ADBC，AD＝BC＝6，
∵AP＝CQ，
∴AD−AP＝BC−CQ，
∴DP＝QB，DPBQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴，PB＝DQ，
则PC＋QD＝PC＋PB，则PC＋QD的最小值转化为PC＋PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，
则BE＝2AB＝8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC＋PB＝PC＋PE，
连接CE，则PC＋QD＝PC＋PB＝PC＋PECE，
∴，
∴PC＋PB的最小值为10，
即PC＋QD的最小值为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC＋QD＝PC＋PB＝PC＋PECE是解题的关键．
36．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为______．
【答案】
【分析】如图，根据正方形的性质和全等三角形的判定证明△A1CF≌△A1BE，则可证明每一个重叠部分的面积都是正方形面积的四分之一，进而可求解．
【详解】解：如图，
由正方形的性质得：A1C=A1B，∠A1CF=∠A1BE=45°，∠EA1F=∠BA1C=90°，
∴∠CA1F+∠CA1E=∠BA1E+∠CA1E=90°，
∴∠CA1F=∠BA1E，
∴△A1CF≌△A1BE（ASA），
∴,
∴，
同理，每两个正方形的重叠部分的面积都等于
则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查图形类变化规律探究，涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等，会添加辅助线构造全等求解一个阴影部分面积是解答的关键．
37．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 上一点，且AE=3 ，F 为BC 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，连接AG ，则AG 的最小值为________________．
【答案】1
【分析】过点G作GM⊥AB于点M，由AAS可证：∆MGE ≅∆BEF，得GM=1，即：点G与直线AB的距离为1，进而即可得到答案．
【详解】过点G作GM⊥AB于点M，
∵以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，
∴∠MGE+∠MEG=∠MEG+∠BEF=90°，
∴∠MGE=∠BEF，
∵正方形ABCD中，∠B=∠GME=90°，
∴∆MGE ≅∆BEF（AAS），
∴GM=EB=AB-AE=4-3=1，
∴点G与直线AB的距离为1，
∴当AG⊥AB时，AG 有最小值，最小值为1．
故答案是：1．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质以及三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
38．（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是_____．
【答案】4
【分析】连接，过点作交延长线于点，通过证明，确定点在的射线上运动；作点关于的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在的延长线上；当、、三点共线时，最小，在中，，，求出即可．
【详解】解：连接，过点作交延长线于点，
，
∴ ，
∵ ，
∴∠EDA=∠FEG，
在△AED和△GFE中，
，
，
点在射线上运动，
作点关于的对称点，
，，
，
，
，
，
点在的延长线上，
当、、三点共线时，最小，
在中，，，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称求最短路径．能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
39．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将边沿折叠，点的对应点为，再将沿折叠，使得点恰好落在边上的处折痕与边交于．若正方形边长为，连接，则的面积=_____．
【答案】
【分析】设，，根据折叠的性质表示出各边，利用勾股定理列出方程，解之即可得到AE，利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：由折叠可得图象，
∵ABCD是正方形，EC，FC平分，
∴．
设，，
由折叠性质可得：，
∵，，
∴．
由折叠性质可得，，在同一水平上，
∴，
∴，且，，
∴，
在中，，
，，，
∴，
解出（舍去），，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，一元二次方程，解题的关键是熟练运用折叠的性质得到相应边的关系．
40．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是_____．
【答案】
【分析】作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：MK＝FK＝1，NP＝3，PF＝2，利用勾股定理可得MN的长．
【详解】过M作MK⊥CD于K，过N作NP⊥CD于P，过M作MH⊥PN于H，
则MK∥EF∥NP，
∵∠MKP＝∠MHP＝∠HPK＝90°，
∴四边形MHPK是矩形，
∴MK＝PH，MH＝KP，
∵NP∥EF，N是EC的中点，
∴
∴PF＝FC＝BE＝2，NP＝EF＝3，
同理得：FK＝DK＝1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴△MKD是等腰直角三角形，
∴MK＝DK＝1，NH＝NP﹣HP＝3﹣1＝2，
∴MH＝2+1＝3，
在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN＝
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；本题的关键是构造直角三角形MNH，根据勾股定理计算．
41．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在正方形中，在上，在的延长线上，，连接、、，交对角线于点，为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的有______．
【答案】①②③④
【分析】根据正方形的性质可得AD＝CD，然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，然后求出∠EDF＝∠ADC＝90°，判断出△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；由△DEF是等腰直角三角形和正方形的性质可得∠NBE＝∠DFE＝45°，利用三角形内角和为180°即可判断②正确；连接BM、DM．根据直角三角形的性质可得BM＝EF＝MD．由垂直平分线的判定推知MC垂直平分BD，故③成立；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，根据三角形中位线定理得到MH＝BF＝1，求得，故④正确．
【详解】解：正方形ABCD中，AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，
∴∠EDF＝∠FDC＋∠CDE＝∠FDC＋∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∴∠DFE＝45°，
∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠NBE＝45°，
∵∠FDN＋∠DFN＋∠DNF＝∠NBE＋∠BNE＋∠NEB＝180°，
∠NBE＝∠DFE＝45°，∠DNF＝∠BNE，
∴∠FDB＝∠FEB，故②正确；
连接BM、DM，如图所示：
∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形，
∴BM＝DM＝EF，
又∵BC＝CD，
∴直线CM是BD的垂直平分线，故③正确；
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴MH＝BF＝1，
∴，故④正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键．
42．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，平面直角坐标系中正方形ABCD的顶点A（0，12），B（5，0），过D作DF⊥x轴交AC于点E，连接BE，则△BEF的周长是________．
【答案】24
【分析】过点D作DM⊥y轴于点M，证明△DMA≌△AOB（AAS），由全等三角形的性质得出DM=OA=12，AM=OB=5，求出D（12，17），证明△DAE≌△BAE（SAS），由全等三角形的性质得出DE=BE，则可得出△BEF的周长=BF+DF=24．
【详解】解：过点D作DM⊥y轴于点M，
∵A（0，12），B（5，0），
∴AO=12，OB=5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAM+∠OAB=90°，
又∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠DAM=∠OBA，
又∵∠DMA=∠AOB，
∴△DMA≌△AOB（AAS），
∴DM=OA=12，AM=OB=5，
∴OM=17，
∴D（12，17），
∵DF⊥x轴，
∴四边形DMOF为矩形，
∴DM=OF=12，
∴BF=OF-OB=12-5=7，
∵DA=AB，∠DAE=∠BAE=45°，AE=AE，
∴△DAE≌△BAE（SAS），
∴DE=BE，
∴△BEF的周长为BE+BF+EF=DE+BF+EF=DF+BF=17+7=24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
43．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为_____．
【答案】
【分析】如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．首先证明B，A，T共线，求出TC，证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE＝CG，推出EC＋CG＝EC＋ED＝EC＋TE，根据TE＋EC≥TC即可解决问题．
【详解】解：如图，连接DE，AE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．
∵∠A＝90°，AB＝AD＝1，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，再将△ABD沿射线BD翻折，得到△CBD，
∴AB＝BC═AD＝1，∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，
∵AE//BD，
∴∠EAD＝∠ABD＝45°，
∵D，T关于AE对称，
∴AD＝AT＝1，∠TAE＝∠EAD＝45°，
∴∠TAD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴B，A，T共线，
∴CT＝，
∵EG＝CD，EG//CD，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴CG＝DE，
∴EC＋CG＝EC＋ED＝EC＋TE，
∵TE＋EC≥TC，
∴GC＋EC≥，
∴GC＋EC的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
44．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．
【答案】k＞2或k＜0且k≠﹣
【分析】设BC与y轴交于点M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E点不在AD边上，即k≠0，分k＞0与k＜0两种情况进行讨论．
【详解】解：如图，设BC与y轴交于点M，
∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，
∴E点不在AD边上，
∴k≠0，
①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上，
当点E在AB边且OE＝3时，
由勾股定理得，
∴AE＝，
∴E（1，），
当直线y＝kx经过点（1，）时，k＝，
∵，
∴OB=＜5，
当点E在线段BM上时，OE＜OB=＜5，
∴k＞，符合题意；
②如果k＜0，那么点E在CD边或线段CM上，
当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合；
当OE＝5时，由勾股定理得 ，
∴DE＝4，
∴E（﹣3，4），此时E与C重合，
当直线y＝kx经过点（﹣3，4）时，k=，
当点E在线段CM上时，OE＜OC＝5，
∴k＜0且k，符合题意；
综上，当3＜OE＜5时，k的取值范围是k＞或k＜0且k≠．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．
45．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝4，过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC内（不包括各边）的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝m，OE＝n，则m＋2n的取值范围是___．
【答案】4
【详解】解：如图1，过P作PH⊥OY交于点H，
图1
∵PD∥OY， PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY = 60°，
∴EP= OD= m，
在Rt△HEP中，∠EPH = 30°，
∴，
∴ ，
当P在AC边上时，H与C重合，
此时OH的最小值=OC=OA=2，
即m+ 2n的最小值是4；
当P在点B时，如图2所示：
图2
∵， ，
在Rt△CHP中，∠HCP= 30°，
∴，，
则OH的最大值是：
，
即m+ 2n的最大值是10，
∴m+ 2n的取值范围是4
46．（2022春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝3，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为__．
【答案】或3
【分析】当△为直角三角形时，存在两种情况：
①当时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：，根据直角三角形斜边中线的性质得：，最后利用勾股定理可得的长；
②当时，如图2，证明是等腰直角三角形，可得．
【详解】解：当△为直角三角形时，存在两种情况：
①当时，如图1，
△与关于所在直线对称，
，，
点，分别为，的中点，
、是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
△中，是斜边的中点，
，
由勾股定理得：，
；
②当时，如图2，
，
，
△与关于所在直线对称，
，
是等腰直角三角形，
；
综上所述，的长为或3．
故答案为：或3．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
47．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，四边形是矩形，点是边上的一动点，连接，点与点关于对称，连接、、，若，，则的最小值为________．
【答案】1
【分析】根据点、的关系可知，点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆弧，所以当点、、三点在一条直线时，最短．
【详解】如图所示，以点为圆心，为半径画圆弧
∴
由图可知，当点运动到时最短
∴
∵四边形是矩形
∴
∴
故答案为：1．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．
48．（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，和都是等边三角形，若点，，点在第二象限内．将沿翻折得，当点在轴上运动时，设点的坐标为，则与的函数关系式为________．
【答案】
【分析】过D作DF⊥x轴于F，连接AD，BE，由（1）中的△ABD≌△OBC结合等边三角形的性质即可得出点D的坐标，由△AOB为等边三角形结合点A、O的坐标即可得出点B的坐标，由翻折的性质可得出四边形BCED是菱形，再根据菱形的性质结合点B、C、D的坐标即可得出点E的坐标，根据点E坐标的横纵坐标之间的关系即可得出结论；
【详解】解：如图，连接BE，过D作DF⊥x轴于F，
∵△AOB和△BCD是等边三角形，
∴∠ABO=∠CBD=60°，AB=OB，BD=BC，∠AOB=60°，
∴∠ABO+∠OBD=∠CBD+∠OBD，即：∠ABD=∠OBC，
∴△ABD≌△OBC（SAS），
∴AD=OC=m，∠BAD=∠BOC=30°，
∴∠DAF=∠BAO-∠BAD=∠BAO-∠BOC=30°，
∴DF=AD=m，AF=DF=m，
∵A（-2，0），
∴D（m-2，m），
∵将△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等边三角形，
∴四边形BCED是菱形，
∴BE、CD互相平分，
∵△AOB是等边三角形，点A（-2，0），
过点B作BG⊥x轴，垂足为G，
∴AG=1，BG=，
∴B（-1，），
∴E（m-2+1，m+m-），即（m-1，m-），
设m-1=x，m-=y，
∴m=，m=，
∴=，
化简得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，熟练的掌握等边三角形和菱形的性质是解题的关键．
49．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，以的斜边BC为边，向外作正方形，设正方形的对角线BD与CE的交点为O，连接AO，若，，则AB的值是________．
【答案】4
【分析】如详解图：作OF⊥AB于点F，OG⊥AC交AC的延长线于点G，可证△OFB≌△OGC，可得四边形AFOG为正方形，BF=CG，AF=AG=3，进而可求得答案．
【详解】解：如图所示：
作OF⊥AB于点F，OG⊥AC交AC的延长线于点G，
又∵中，
∴四边形AFOG为矩形，
∴．
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠COG+∠COF=90°，∠BOF+∠COF=90°，
∴∠BOF=∠COG
又∵∠OFB=∠OGC，OB=OC，
∴△OFB≌△OGC，
∴OF=OG，
∴四边形AFOG为正方形．
∵，
∴AF=AG=3，
∵AC=2，
∴CG=AG−AC=3−2=1．
∵BF=CG，
∴AB=AF+BF=AG+CG=3+1=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造△OFB≌△OGC是解题的关键．
50．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ___．
【答案】0＜S≤2
【分析】过点M作ME⊥PN于E，根据三角形的中位线定理得出PM=PN=AB=CD=2，再根据三角形的面积公式得出S==ME，结合已知和垂线段最短得出S的范围；
【详解】解：过点M作ME⊥PN于E，
∵P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，AB＝CD＝4，
∴PM=PN=AB=CD=2，
∴△PMN的面积S==ME，
∵AB与CD不平行，∴四边形ABCD不是平行四边形，
∴M、N不重合，
∴ME＞0，
∵ ME≤MP=2，
∴0＜S≤2
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理以及三角形的面积，掌握三角形的中位线平行第三边，等于第三边的一半是解题的关键
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