黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1.
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“关于x函数（）的图像过一、三象限”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若函数且在上是增函数，那么大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（ ）
A 4B. C. D. 8
6. 若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
7. 设，，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
8. 已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列结论正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
11. 已知是定义在R上的函数，且满足，当时，，则下列命题正确的是（ ）
A. 是周期为2的函数B. 当时，
C. 是偶函数D.
12. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上的两个零点
B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递增
D. 将的图象向右平移个单位长度，可得的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知幂函数的图像过点，则___________.
14. 已知函数（且）的图象恒过定点，则________.
15. 定义：，若，则函数的最大值与最小值之和是______
16. 已知是上的增函数，则a的取值范围为_________
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）
（2）
18. 已知是二次函数，且满足，
（1）求的解析式.
（2）当，求的值域.
19. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20. 已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值.
21. 已知函数，．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，求在区间上的值域．
22. 已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为π.
（1）求的解析式；
（2）若方程在上有实数解，求实数a的取值范围.
双鸭山市第一中学2023-2024学年度高一（下）学期
数学开学考试试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式和两角和公式得即为所求.
【详解】.
故选C.
【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角和正弦公式，属于基础题.
2 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集定义可得.
【详解】由交集定义可知，.
故选：C
3. “”是“关于x的函数（）的图像过一、三象限”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
本题先根据所过象限判断充分性满足，再根据单调性判断必要性满足，最后给出答案
【详解】解：充分性：因为，所以关于x的函数（）的图像过一、二、三象限或关于x的函数（）的图像过一、三、四象限，所以关于x的函数（）的图像过一、三象限，故充分性满足；
必要性：因为关于x的函数（）的图像过一、三象限，所以函数单调递增，所以，故必要性满足；
所以“”是“关于x的函数（）的图像过一、三象限”的充要条件.
故选：C
【点睛】本题考查充要条件的判断，是基础题.
4. 若函数且在上是增函数，那么的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数复合函数的单调性确定a的范围，再由对数函数的性质判断所过的点及其单调性.
【详解】由函数在上递增，
当时在上递增且在上递减，故；
由得：过原点，
且时，在定义域上递增.
故选：A
5. 若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（ ）
A. 4B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的最大值.
【详解】已知正数、满足，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，
.
因此，实数的最大值为.
故选：A.
6. 若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造特殊函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论
【详解】构造特殊函数f（x）＝﹣x2+1，
当x＞0时，0，得﹣x2+1＜0，即x＞1，
当x＜0时，得﹣x2+1＞0，﹣1＜x＜0，
故解集为：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的解法，构造特殊函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
7. 设，，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，根据对数函数的性质，可得，，又由指数函数的性质，可得，即可得到答案.
【详解】由题意，根据对数函数的性质，可得，，
又由指数函数的性质，可得，
所以.故选A.
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中合理利用对数函数与指数函数的图象与性质，得出的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
8. 已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意，函数的图象与直线有4个交点，作出函数图象，通过图象分析找到临界情况，即可得解．
【详解】函数，
函数有4个零点，即有四个不同交点.
画出函数图像如下图所示：
由图可知，当时，设对应二次函数顶点为，则，，
当时，设对应二次函数的顶点为，则，.
所以.
当直线与时的函数图像相切时与函数图像有三个交点，此时，化简可得.
，解得(舍)；
当直线与时的函数图像相切时与函数图像有五个交点，此时，化简可得.
，解得(舍)；
故当有四个不同交点时.
故选：B.
【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断可得；
【详解】解：对于A：为偶函数，但是在上不具有单调性，故A错误；
对于B：为偶函数，且在单调递增，故B正确；
对于C：为奇函数，故C错误；
对于D：，定义域为，，所以为偶函数，当时，单调递增，故D正确；
故选：BD
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】A. 取特殊值，，，显然不满足结论；
B. 由可知，，由不等式性质可得，结论正确；
C. 由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；
D. 取，满足条件，显然不成立，结论错误.
故选：BC.
11. 已知是定义在R上的函数，且满足，当时，，则下列命题正确的是（ ）
A. 是周期为2的函数B. 当时，
C. 是偶函数D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项：根据得到，然后两式相减得到，即可得到的周期；
B选项：根据和时的解析式求时的解析式即可；
C选项：利用特殊值的思路和奇偶性的定义判断即可；
D选项：利用周期求函数值即可.
【详解】A选项：由得，两式相减可得，即可得到，所以得周期为2，故A正确；
B选项：令，则，，所以，故B正确；
C选项：，，，所以不是偶函数，故C错；
D选项：，故D正确.
故选：ABD
12. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上的两个零点
B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递增
D. 将的图象向右平移个单位长度，可得的图象
【答案】BD
【解析】
【分析】根据为对称轴，可求得值，进而可得的解析式，逐一检验选项，即可判断A、B、C的正误；由三角函数的平移变换即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】依题意可得，，即，
因为，所以，故.
令，所以，
令；；，
故在上的一个零点，故A不正确；
因为，故选项B正确；
由，，得，，
所以在，上单调递减，
因为，所以在上单调递减，故选项C不正确；
将的图象向右平移个单位长度，可得的图象，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知幂函数的图像过点，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】先设幂函数解析式，再将代入即可求出的解析式，进而求得.
【详解】设，
幂函数的图像过点，，，，
故答案为：
14. 已知函数（且）的图象恒过定点，则________.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据指数函数图像过定点的知识，求得的值，进而求得的值.
【详解】根据指数函数过定点的知识可知，解得，所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点问题，属于基础题.
15. 定义：，若，则函数的最大值与最小值之和是______
【答案】
【解析】
【分析】
根据正余弦函数的关系，数形结合分析求最值即可.
【详解】由题，.
画出的图像，
易得的最大值为1，最小值为.
故最大最小值之和为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了数形结合求解三角函数的最值问题，需要根据三角函数平移的以及对称的性质求解.属于中档题.
16. 已知是上的增函数，则a的取值范围为_________
【答案】
【解析】
【分析】
根据在上单调递增，列出不等式组，求解即可.
【详解】解：在上单调递增，
即 ，
解得：，
即，
故答案为：.
【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时，要注意上下段端点值的问题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）
（2）
【答案】(1)7；(2)
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算法则、换底公式进行求值，即可得答案；
（2）利用指数幂的运算法则求值，即可得答案.
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查对数运算法则、指数运算法求多项式的值，考查基本运算求解能力，求解过程中要注意符号的正负.
18. 已知是二次函数，且满足，
（1）求的解析式.
（2）当，求的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）设，通过，可求函数的解析式；
（2）利用二次函数的性质求解函数的最值即可．
【详解】（1）设 ，因为，所以c=2
又，
∴即，
∴，
∴，
∴.
(2)∵在区间单调递减，在区间单调递增，
又因为，所以当时，的最小值是
又因为，当时， ，，
所以的值域是.
19. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，结合奇函数的定义进行求解即可；
（2）根据函数单调性的性质，结合奇函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
因为定义域为的函数是奇函数，
所以有，即，
因为，
所以该函数是奇函数，故；
【小问2详解】
，由函数的单调性的性质可知：该函数是实数集上的减函数，而该函数是奇函数，于是有：
，可得：
，因此有，
即实数的取值范围为.
20. 已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式化简即可．（2）由题意得，又由题意得到，根据与的关系求解．
【详解】（1）由题意得.
（2）由（1）知．
∵，
∴，
∴.
又，
∴，
∴.
∴.
【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
21. 已知函数，．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，求在区间上的值域．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）将函数化为的形式，求单调递增区间即可；
（2）利用函数图象变换的规则，求得函数的解析式，进而求出在区间上的值域.
【小问1详解】
由已知，
得：，
即，，
由正弦函数的单调性，令，
解之；
所以的单调递增区间为；
【小问2详解】
由（1）知，
函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，
只需将函数中的换为，得到：，
由，得，
当时，取得最小值；当时，取得最大值；
所以的值域为．
22. 已知点，是函数图象上任意两点，，且当时，的最小值为π.
（1）求的解析式；
（2）若方程在上有实数解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先代入，求，再由条件求得函数的最小正周期，即可求，求得函数的解析式；
（2）首先整理方程为，再通过换元，设，并求得的取值范围，参变分离，转化为在区间上有解，利用基本不等式求实数的取值范围.
【小问1详解】
由，得，
又因为当时，的最小值为π，
所以，即，
所以.
【小问2详解】
方程在上有实数解，
即在上有实数解，
令，所以，
由，所以，
所以，则，
同时，所以，
所以在上有实数解，
等价于在上有解，即在上有解，
①时，方程无解；
②时，有解，即在有解
令，，则，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的值域为，
所以，在有解等价于.
综上：实数a的取值范围为.