青海省西宁市海湖中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：刘发青 审题人：田燕
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：
1. 已知直线，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】直线l的斜率，由于，所以，
的倾斜角为.
故选：A.
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线方程可知焦点位置和a，b的值，然后可得.
【详解】由题知，双曲线C的焦点在x轴上，且，
所以，渐近线方程为，即.
故选：A
3. 已知直线，若，则实数 （ ）
A. 1B. 3C. 1或3D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行公式求出参数m的值，验证是否重合.
【详解】因为，所以，
解得：或，
当时，，，两直线平行，满足题意，
当时，，，两直线重合，舍，
所以.
故选：A.
4. 棱长为1的正方体的八个顶点都在球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题知该球为正方体外接球，利用正方体的棱长求出球的半径，进而求出球的表面积即可.
【详解】由题知该球为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径，
设球的半径为，
则，，
所以该球的表面积为.
故选：A.
5. 若方程表示一个圆，则m可取的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】将题设中的一般式方程经配方化成标准方程，依题须使右式大于零，求得的范围，对选项进行判断即可.
【详解】由方程分别对进行配方得：，
依题意它表示一个圆，须使，解得：或，选项中只有D项满足.
故选：D.
6. 记为等差数列的前n项和，已知，．若，则（ ）
A 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式和前项和公式列方程组，解方程求出，即可求出，代入即可得出答案.
【详解】设等差数列的公差为．由条件可知解得
所以，．
由，得，即，解得（舍去）．
故选：B．
7. 在空间四边形中，若，且，分别是，的中点，则异面直线与所成角为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】设空间四边形的边长为2，作的中点，连结，，在中利用边角关系进行分析求解即可．
【详解】解：因为在空间四边形中，，
所以空间四边形是一个正四面体，
在图1中，连结，，因为为等腰三角形，设空间四边形的边长为2，
(图1)
在中，，，可得，
在图2中，取的中点，连结，，
（图2）
因为，分别是，的中点，所以，，
是异面直线与所成的角，
在中，，故为等腰直角三角形，
所以，
故异面直线与所成角的大小为．
故选：．
8. 已知为椭圆：上一点，，是的两个焦点，椭圆的离心率为，且的周长为16，若为等腰三角形，则的取值不可能为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆的离心率为，可得，由的周长为16可得：，联立
即得，的值，，分类讨论 ， ，即可得解.
【详解】由椭圆的离心率为，即，
由的周长为16，即，
可得：，
若， ，
若，，
若，，只有不可能，
故选：D
【点睛】本题考查了椭圆的离心率和椭圆定义，考查了分类讨论思想，属于中档题.
二、多项选择题：
9. 下列数列是等差数列的是（ ）
A. 0，0，0，0，0，…
B. 1，11，111，1111，…
C. -5，-3，-1，1，3，…
D. 1，2，3，5，8，…
【答案】AC
【解析】
【分析】由等差数列的概念判断
【详解】根据等差数列的定义可知A，C是等差数列．
故选：AC
10. 已知正项等比数列的前n项和为，公比为q，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】因为为等比数列，所以也构成等比数列.根据条件给出的值，求得及公比.
【详解】因为为等比数列，所以也构成等比数列.
因为，所以，
得.
因为，所以，解得.
因为，
所以，，故A错误，B正确；
因为，且，所以，故C正确，D错误.
故选：BC
11. 已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在圆M内B. 圆M关于对称
C. 半径为1D. 直线与圆M相切
【答案】CD
【解析】
【分析】化出圆的标准方程后，再逐项验证.
【详解】解：圆的标准方程为：，
圆心为，半径为1，
A.因为，所以点在圆M外，故错误；
B.因为，即圆心不在直线上，故错误；
C.由圆的标准方程知，半径为1，故正确；
D.因为圆心为到直线的距离为，与圆M的半径相等，故直线与圆M相切，故正确；
故选：CD
12. 已知双曲线C：的左焦点为F，P为C右支上的动点，过P作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点F到C的一条渐近线的距离为2
B. 双曲线C的离心率为
C. 则P到C的两条渐近线的距离之积大于4
D. 当最小时，则的周长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由点到直线的距离公式，可判断A项；根据离心率，可判断B项；设点，根据点到直线的距离公式，可判断C项；设双曲线的右焦点，由双曲线定义可知最小时，则只需最小即可，过作垂直渐近线与点，交双曲线右支与点，此时最小，再由距离公式即可判断D项.
【详解】双曲线的渐近线为，左焦点，所以点到C的一条渐近线的距离为，所以A错误；
由双曲线方程可得，，所以离心率，所以B正确；
设点，则，即，
点到两渐近线距离分别为和，
则，所以C正确；
设双曲线的右焦点，则，所以，
若最小，则只需最小即可，
过作垂直渐近线与点，交双曲线右支与点，此时最小，
，由勾股定理得，所以，所以，
所以的周长为，所以D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．
13. 若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离______．
【答案】14
【解析】
【分析】借助椭圆定义即可得.
【详解】由，则，由在椭圆上，故有,
又，所以.
故答案为：.
14 已知空间向量，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量的加法运算及模的坐标表示即可得解.
【详解】因为，，
所以，则.
故答案为：.
15. 已知为等差数列，，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】法一：根据等差数列的通项公式，将条件和待求式都以表示，由此可求结果；
法二：根据等差数列的下标和性质求解出的值，然后分析待求式与的关系可得结果.
【详解】法一 根据等差数列通项公式得:
,
∴,
∴，
故答案为：.
法二 ∵，
由等差数列的性质知：，
∴，∴，
∴，
故答案为：.
16. 已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为_________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据两圆内切求出圆的半径，再求圆心到直线距离d 即可得解.
【详解】根据题意，圆：化为标准方程为，
其圆心为，半径，，
又由圆与圆内切，且圆的半径小于6，则有，解得，
圆心到的距离，
点是圆上一个动点，则点到直线：距离的最大值为.
故答案为：2
四、解答题：
17. 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）求经过点A且与直线BC平行的直线方程；
（2）在中，求BC边上的高线所在的直线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，求得边上的高线斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【小问1详解】
解：由的三个顶点的坐标分别为，，，
可得直线的斜率，
所以过点且与直线平行的直线方程为，即.
【小问2详解】
解：由直线的斜率，可得边上的高线斜率，
所以边上的高线方程为，
即边上的高线所在的直线方程为.
18. 已知圆的圆心坐标为，且经过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线：与圆交于、两点，求线段的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出圆D的半径，即可得圆的标准方程；
（2）利用圆的弦长公式即可得出答案.
【小问1详解】
由题意可得：圆D的半径，
所以圆D标准方程为；
【小问2详解】
由（1）可知圆心，半径，
则圆心到直线l：的距离，
所以.
19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的性质即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求解.
【小问1详解】
由，得，
∴椭圆方程为
【小问2详解】
由题意可知直线的方程为：，
由得，
解得．
∴．
20. 为数列的前项和.已知，.
（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和.
【答案】20. 证明见解析；
21. .
【解析】
【分析】（1）利用题中的递推公式构造出，从而可证求解.
（2）利用错位相减法，即可求解.
【小问1详解】
证明：依题意，由两边同时加上，
可得，
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
，
则当时，，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为：.
【小问2详解】
由（1）可得，
则，
，
两式相减，
可得
所以.
21. 正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．
（1）求证：平面；
（2）求四面体的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，则与交于点，由正四棱锥的性质得到，平面，则，即可得证；
（2）首先求出，再由为上靠近的三等分点，得到，所以.
【小问1详解】
在正四棱锥中为底面中心，连接，，
则与交于点，且，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为，，所以，
又为上靠近的三等分点，所以，
则.
22. 已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的A、两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）如果，证明直线过定点，并求定点坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点
【解析】
【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线方程求得即得；
（2）设，，设，代入抛物线方程应用韦达定理得，，代入可求得，从而得定点坐标.
【小问1详解】
由题意可知，将点代入抛物线方程，
可得，解得，则抛物线方程为．
【小问2详解】
因为直线与抛物线相交于不同的A、两点，
所以直线不与x轴平行，可设，与联立，得，
设，，∴，．，
由
，解得，
∴过定点．