北京市海淀区中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为万千米的月球．将384000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，根据科学记数法的表示方法求解即可，解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】，
故选：B．
2. 下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．由此即可求解．
【详解】解：等边三角形有三条对称轴，正方形有四条对称轴，正五边形由五条对称轴，正六边形有六条对称轴，
∴对称轴最多的是正六边形，
故选D．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的对称轴，识别轴对称图形是解题的关键．
3. 若点，都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质．由中知随的增大而增大即可判断与的大小关系．
【详解】一次函数中，
随的增大而增大
，中，
．
故选：C．
4. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是( )

A. 36B. 24C. 12D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：过点作于，
是的角平分线，，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
5. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了数轴、有理数的加减法、有理数的乘法，熟练掌握数轴的定义和有理数乘法运算法则是解题关键．
先根据数轴的定义可得，且，进一步判断、、、，再根据有理数乘法法则计算，逐项判断即可．
【详解】由数轴的定义得：，且，
、、、，
A、因为，，所以，故此选项不符合题意；
B、因为，，所以，故此选项不符合题意；
C、因为，，所以，故此选项不符合题意；
D、，，所以，故此选项符合题意；
故选：D．
6. 如果，那么代数式的值为（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】先化简分式，然后将代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴原式，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
7. 《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宜有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宜，一宜半的角叫做欘……”．即：宜矩，欘宜（其中，矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握“三角形内角和是”是解题的关键．
根据题意，求出和的度数，根据三角形内角和是进行计算即可求解．
【详解】解：∵宜矩，欘宜，矩，矩，欘，
∴，，
∴．
故选：B．
8. 如图，在正方形中，P为边上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，交延长线于点F．给出下面三个结论：
①；
②；
③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. 仅有②B. 仅有③C. ②③D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
根据正方形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形三边关系即可推出，进而得出，据此即可判断①；过点D作交于点N，利用证明，根据全等三角形的性质推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的判定与性质推出，根据勾股定理求出，根据三角形三边关系得出，根据不等式的性质推出，据此即可判断②；过点A作交的延长线于点M，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理及线段的和差推出，据此即可判断③．
【详解】解：∵四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
故①错误，不符合题意；
，
，
，
，
，
过点D作交于点N，
则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，故②正确，符合题意；
过点A作交延长线于点M，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故③正确，符合题意；
故选：C．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不能为零求解即可．
【详解】解：要使代数式有意义，
，
则实数x的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解答的关键．
10. 把直线y=﹣2x+1沿y轴向上平移2个单位，所得直线的函数关系式为_________
【答案】y=-2x+3
【解析】
【详解】试题分析：由题意得：平移后的解析式为：y=﹣2x+1+2=﹣2x+3．
故答案是y=﹣2x+3．
考点：一次函数图象与几何变换．
11. 不等式组的解集为________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法．可先求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可．
【详解】
解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组的解集为．
故答案为：．
12. 如图，在中，，，．若，分别为，的中点，则的长为________

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的中位线的定义和性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．
根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线等于三角形第三边一半即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，分别为，中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
13. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，先证明△COE≌△OAF，推出CE＝OF，OE＝AF，由此即可解决问题．
【详解】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COE＝∠OAF，
在△COE和△OAF中，
，
∴△COE≌△OAF，
∴CE＝OF，OE＝AF，
∵A（1，），
∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，
∴点C坐标，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②，③不等式的解集是；④当时，．其中正确的是_______

【答案】④
【解析】
【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．根据正比例函数和一次函数的图像与性质判断即可．
【详解】解：①因为正比例函数经过二、四象限，所以，①错误；
②一次函数经过一、二、三象限，所以，即②错误；
③由图象可得：不等式的解集是，③错误；
④当时，，④正确；
故答案为：④．
15. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是________
图1 图2
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，
设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：．
16. 某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校56人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房．其中男生27人，女生29人．若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满．
（1）要想使花费最少，需要________间两人间；
（2）现旅店对二人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要________间三人间．
【答案】 ①. 1 ②. 10
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出租住的两人间越少，花费越少；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）利用每个房间的人均费用=该房间的收费÷房间可住人数，可分别求出两人间及三人间的人均费用，比较后可得出三人间的人均费用低，进而可得出租住的两人间越少，花费越少，再结合男、女生人数，即可找出当租住1间两人间时总花费最少；
（2）同（1），可找出租住的两人间越多，花费越少，设男生租住a间两人间，b间三人间，女生租住m间两人间，n间三人间，根据男、女生的人数及男女不能混住且所有租住房间必须住满，可得出关于的二元一次方程，结合均为非负整数，可得出的值，再结合，即可得出的最大值，以及此时的值，此题得解．
【详解】解：（1）依题意，∵（元/人），（元/人），，
∴三人间的人均费用低，
∴租住的两人间越少，花费越少．
∵（间），（间）（人），（间），
∴要想使花费最少，需要租住1间两人间．
故答案为：1；
（2）∵（元/人），，
∴两人间的人均费用低，
∴租住的两人间越多，花费越少．
设男生租住a间两人间，b间三人间，女生租住m间两人间，n间三人间，
根据题意得：
∴，
又∵均为非负整数，
∴或或或或；或或
又∵，
∴的最大值为13，此时的值为10，
∴要想花费最少，需要租住10间三人间．
故答案为：10．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、绝对值的性质、负整数指数幂、实数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
根据二次根式的混合运算、绝对值的性质、负整数指数幂、实数的混合运算进行计算即可．
【详解】解：原式
．
18. 解方程：．
【答案】x1=1，x2=3
【解析】
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】解：∵x2+3=4x，
∴x2-4x+3=0，
则（x-1）（x-3）=0，
∴x-1=0或x-3=0，
解得x1=1，x2=3．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19. 已知：．
求作：边上的高．
作法：如图，
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P（不同于点A）；
③作直线交于点D．
线段就是所求作的边上的高．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
________，________，
点A、点P均为线段垂直平分线上的点（________）（填推理的依据），
是线段的垂直平分线，
于点D．
即线段就是所求作的的边上的高．
【答案】（1）画图见解析
（2），，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的判定：
（1）根据过已知点作已知直线的垂线的作法画出图形，即可求解；
（2）连接，根据线段垂直平分线的判定可得是线段的垂直平分线，即可．
【小问1详解】
解：如图，线段就是所求；
【小问2详解】
解：证明：连接．
，，
点A、点P均为线段垂直平分线上的点（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
是线段的垂直平分线，
于点D．
即线段就是所求作的的边上的高．
故答案为：，，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若是该方程的根，求代数式的值．
【答案】（1）详见解析
（2）8
【解析】
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）先根据一元二次方程根的定义得到，再把展开得到，然后利用整体代入的方法计算．
【小问1详解】
证明：∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：把代入方程得，
即，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式和整体代入是解题的关键．
21. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【答案】方法一，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．由已知可先证明四边形为平行四边形，得到，，再证明四边形为平行四边形，之后就不难得出结论．
【详解】方法一，证明如下：
是的中点
四边形为平行四边形
，
又为中点
且
四边形为平行四边形
且
，．
22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于点，．
（1）求一次函数解析式；
（2）若抛物线与轴存在交点，且当时，对于x每一个值，函数的值大于函数的值，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、抛物线与x轴的交点、二次函数与不等式等知识点．
（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）先利用待定系数法求得抛物线的解析式为，再根据题意列出不等式组，即可求得答案．
【小问1详解】
（1）解：点，在函数的图象上，

解得
一次函数解析式为．
【小问2详解】
解：将点代入
得，
解得：，
∵抛物线与轴存在交点，且当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，
解得：．
23. 第届亚运会将于今年月日在杭州开幕，中国将再次因体育盛会引来全球目光，同时也掀起了运动热潮．某校举办了一场游泳比赛，年级初选出名学生代表．将名学生代表米自由泳所用时间数据整理如下：
a．名学生代表米自由泳所用时间（单位：秒）：
，，，，，，，，，
b．名学生代表米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）；
（1）写出表中，的值；
（2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若次日常训练的平均用时低于名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．
①甲乙两位同学次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是________（填“甲”或“乙”）；
②丙同学前次训练的用时为，，，，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角度考虑，则第次训练的用时的要求为：________．
【答案】（1），
（2）①乙，②
【解析】
【分析】本题考查了算术平均数，中位数，众数以及方差，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据中位数，众数的定义即可求解；
（2）①分别计算两人次训练的用时平均值和方差，平均值小于，且方差更小的更有可能加入代表团；②令其次训练的用时平均值小于，列不等式即可求解．
【小问1详解】
解：，
；
【小问2详解】
①甲同学次训练的用时平均值为：
，
方差为：，
乙同学次训练的用时平均值为：
，
方差为：
，
，
乙发挥的更稳定，
故答案为：乙；
②根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
24. 如图，中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形；
（2）由勾股定理求得，设，则，在中，，代入数据解答即可得解．
【小问1详解】
解：证明：平分，
，
，
，
，且，
，且，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形；
【小问2详解】
，，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
的长为3．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键．
25. 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以过点的水平线为轴，水平线与电缆的另一个交点为原建立平面直角坐标系，如图所示经测量，米，斜坡高度米（即 、 两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：

（1）若以米为一个单位长度，则点坐标为
（2）求出下垂电缆的抛物线表达式
（3）若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 轴分别交直线 和抛物线于点 、．点距离坡面的铅直高度为的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）这种电缆的架设符合安全要求，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用．
（1）由题意可求出米，米，即得出．又可求出米，即得出．
（2）结合，利用待定系数法求解即可；
（3）利用待定系数法可求出斜坡解析式为，即可求出电缆与坡面的铅直高度．再根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
由题意得：米，米，米，米，轴，轴，
∴米，米，
∴．
故答案为
【小问2详解】
∵米，
∴
∵，
∴设下垂电缆的抛物线表达式为：，
∴，
解得：，
∴下垂电缆的抛物线表达式为：．
【小问3详解】
这种电缆的架设符合安全要求，理由如下：
由（1）可知：，，，
设斜坡解析式为，
∴，解得：
∴斜坡解析式为，
则电缆与坡面的铅直高度．
∵，
∴当时，有最小值为18，即，
∴这种电缆的架设符合安全要求．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，且经过点，已知点横坐标为：．
（1）当时，抛物线的对称轴为________，顶点为________；
（2）记二次函数图象在点、点之间的部分（包括、）为图形．
当时，若图形与轴有且只有一个交点，求的取值范围；
当时，记图形上点的纵坐标的最大值与最小值的差为，直接写出关于的函数解析式（用表示）．
【答案】（1），；
（2）或或； ．
【解析】
【分析】（）将代入抛物线的解析式，配方后可得结论；
（）分别计算点和的坐标，根据图形与轴有且只有一个交点分三种情况列不等式组和方程可解答；
先根据配方法可确定抛物线的最大值是，根据图形上点的纵坐标的最大值与最小值的差为，分三种情况可列式；
本题考查了配方法确定其二次函数的最大值和对称轴，二次函数图象上点的坐标的特征，一元一次不等式组等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及分类讨论思想的运用．
【小问1详解】
当时，抛物线，
∴抛物线的对称轴为：直线，顶点为，
故答案为：直线，；
【小问2详解】
由，
∴抛物线的对称轴是：直线，
当时，对称轴在轴的右则，
当时，
，
∴，
当时，，
∴，
分三种情况：）由题意得：，解得：；
）由题意得：，此不等式组无解；
）由题意得：，解得：或；
∴图形与轴有且只有一个交点时，取值范围是：或或；
当时，对称轴在轴的左则，
∵，
∴抛物线的最大值是，
当时，，
，，
）当时，
此时，
∴，
）当时，，此时点在对称轴和轴之间的抛物线上，
∴；
）当时，，
∴，
综上，关于的函数解析式为：
．
27. 在中，，，D为上一点，连结．

（1）如图1，点D不与B、C重合，用等式表示之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，延长至E使得，若，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】（1），证明见解析．
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识：
（1）过A作且，连接，可证明．可得，，进而得到．再根据勾股定理，即可解答；
（2）过A作且，连接．可证明，从而得到
，．进而得到．然后根据三角形外角的性质可得．过A作且，连接DN，CN．与（1）同理，．结合，可得为的垂直平分线，可得，从而得到为的平分线，然后根据，可得．从而得到．过A作于点Q，则，根据直角三角形的性质可得，．在等腰中，，即可得到．在中，根据勾股定理，即可解答．
【小问1详解】
解：线段之间的数量关系为：．证明如下：
过A作且，连接．

，
．
又，
∴．
，．
在中，，
．
在中，，
又在等腰中，，
．
【小问2详解】
解：线段与的数量关系为：．证明如下：
过A作且，连接．

与（1）同理得，
，．
∴．
在等腰，等腰中，
，
．
过A作且，连接DN，CN．
与（1）同理，．
又，
，
为的垂直平分线．
，
为的平分线，
，
．
．
过A作于点Q，则，
在中，
∴，
∴．
在等腰中，，
．
在中，．
28. 对于平面直角坐标系中的点P和矩形M．给出如下定义：若矩形 M各边分别与坐标轴平行，且在矩形M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，则称P为矩形M的“近距点”．

（1）如图，若矩形对角线交点与坐标原点O重合，且顶点．
①在点中，矩形的“近距点”是______；
②点P在直线上，若P为矩形的“近距点”，求点P横坐标m的取值范围；
（2）将（1）中的矩形沿着x轴平移得到矩形，矩形对角线交点为，直线与x轴、y轴分别交于点E、F．若线段上的所有点都是矩形的“近距点”，真接写出n的取值范围．
【答案】（1）①；②或
（2）
【解析】
【分析】（1）①分别计算各点与矩形各边的最小距离，从而根据定义得出结果；②在上取点P，点P在矩形的内部时，作于Q，计算当时，的长，从而求得临界时点P的横坐标，当点P在矩形的外部时，时，此时点P的横坐标，从而得出m的范围，根据对称性求得点P在第三象限时m的范围；
（2）先求得，当时，轴，设交x轴于点R，此时，，可求得；当C'在y轴上时，当在y轴上时，设交x轴于点V，同理，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：∵矩形对角线交点与坐标原点O重合，且顶点，
∴，
①∵在矩形M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，
∴即在M上至少找到一点到P的距离小于1．
当时，P到M上最小距离为，成立，
∴为近距点．
当时，最小距离为，不成立，
∴不是近距点．
当时，最小距离为，不成立，
∴不是近距点．
故答案为： P1．
②如图1，在上取点P，作于点Q，

当时，
∵点P在直线上，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴或；
【小问2详解】
解：如图2，

∵直线与x轴、y轴分别交于点E、F．
∴点，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
当时，轴，设交x轴于点R，此时，，
∴，
∴，
∴点，
当在y轴上时，设交x轴于点V，
同理，
∴，
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，直观观察和数形结合．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，中，，分别是的边，的中点．
求证：，．
方法一 证明：如图，延长到点，使，连接，，．
方法二 证明：如图，过作交于点，过作交直线于点．
平均数
中位数
众数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲同学日常训练用时
乙同学日常训练用时