高中数学6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理达标测试

这是一份高中数学6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理达标测试，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )
A．24种 B．16种 C．12种 D．10种
2．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( )
A．15B．12
C．5D．4
3．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．30个B．42个
C．36个D．35个
4．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有( )
A．18条B．20条
C．25条D．10条
5．(多选)如图所示，从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则( )
A．从A地到D地不同走法有6种
B．从C地到B地不同走法有6种
C．从A地到B地不同走法有9种
D．从A地到B地不同走法有24种
二、填空题
6．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后．已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有________个不同的编号．(用数字作答)
7．在如图1的电路中，若只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，若合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．
8．设I＝{1，2，3，4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1，2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有________个．
三、解答题
9．某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会(任一人都可主持)．
(1)如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？
(2)如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？
10．(多选)设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条路，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法可能为( )
A．20B．27
C．32D．30
11．(多选)已知集合A＝{－1，2，3，4}，m，n∈A，则对于方程＝1的说法正确的是( )
A．可表示3个不同的圆
B．可表示6个不同的椭圆
C．可表示3个不同的双曲线
D．表示焦点在x轴上的椭圆有3个
12．如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )
A．26B．24
C．20D．19
13．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_________________．
14．如图所示，从A地到B地有3条不同的道路，从B地到C地有4条不同的道路，从A地不经过B地直接到C地有2条不同的道路．
(1)从A地到C地有多少种不同的走法？
(2)从A地到C地再回到A地有多少种不同的走法？
(3)从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时不同的道路，有多少种不同的走法？
(4)从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时完全不同的道路，有多少种不同的走法？
15．用1，2，3，4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项；
(2)这个数列共有多少项？
(3)若an＝341，求n．
课时分层作业(一)
1．C [完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个、第3个、第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得，共有3＋3＋3＋3＝12(种)不同的行车路线，故选C．]
2．A [分三类情况讨论：第一类，当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；
第二类，当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；
第三类，当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．
由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15．]
3．C [要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数．]
4．A [第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)不同的直线．]
5．AD [根据分步乘法计数原理得，从A地到D地不同走法有3×2＝6(种)，从C地到B地不同走法有2×4＝8(种)，从A地到B地不同走法有3×2×4＝24(种)．]
6．45 [对于英文字母来说，共有5种可能；对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法计数原理，可知共有5×9＝45(个)不同的编号．]
7．5 6 [对于题图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．对于题图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6(种)不同的方法．]
8．9 [对子集A分类讨论：
A是二元集{1，2}时，B可以为{1，2，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，{1，2}，共4种情况；
A是三元集{1，2，3}时，B可以为{1，2，4}，{1，2}，共2种情况；
A是三元集{1，2，4}时，B可以为{1，2，3}，{1，2}，共2种情况；
A是四元集{1，2，3，4}时，此时B为{1，2}，有1种情况．
根据分类加法计数原理知，共有4＋2＋2＋1＝9(种)结果，即符合此条件的“理想配集”有9个．]
9．解：(1)从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会，结果可分为3类：
第一类，选一名教师主持，有3种选法；
第二类，选一名男同学主持，有4种选法；
第三类，选一名女同学主持，有5种选法．
根据分类加法计数原理，共有
3＋4＋5＝(12)种不同的选法．
(2)从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分3步：
第一步，选出一名教师，有3种选法；
第二步，选出一名男同学，有4种选法；
第三步，选出一名女同学，有5种选法．
以上3个步骤依次完成后，事情才算完成．根据分步乘法计数原理，共有3×4×5＝60(种)不同的选法．
10．ABC [东面上山的种数为：2×(3＋3＋4)＝20，
西面上山的种数为：3×(2＋3＋4)＝27，
南面上山的种数为：3×(2＋3＋4)＝27，
北面上山的种数为：4×(2＋3＋3)＝32，
故只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法可能为20，27，32．]
11．ABD [当m＝n>0时，方程＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当m≠n且m，n>0时，方程＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，选项B正确，D正确；当mn<0时，方程＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6(个)，选项C错误．]
12．D [因信息可以分开沿不同的路线同时传递，
由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3，12→6→4，12→6→7，12→8→6，
故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19．]
13．13 [当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故有序数对(a，b)的个数为4．
当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1，分以下情况：
若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，故有序数对(a，b)的个数为4；
若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，故有序数对(a，b)的个数为3；
若a＝2，则b的值可以是－1，0，故有序数对(a，b)的个数为2．
由分类加法计数原理可知，有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13．]
14．解：(1)从A地到C地的走法分为两类：第一类经过B地，第二类不经过B地．
在第一类中分两步完成：第一步，从A地到B地；第二步，从B地到C地．
故从A地到C地的不同走法总数是3×4＋2＝14(种)．
(2)该事件发生的过程可以分为两步：第一步是去，第二步是回．
由(1)可知这两步的走法都是14种，
所以去后又回来的走法总数是14×14＝196．
(3)该事件发生的过程与(2)一样，可分为两步，但不同的是第二步(即回来时)的走法比去时少一种，所以走法总数为14×13＝182．
(4)该事件同样分去与回两步，但需对去时的各类走法分别讨论．
若去时用第一类走法，则回来时用第二类走法或用第一类中的部分走法，即第一类中的两步各去掉1种走法后的走法，这样的走法总数为3×4×(2＋3×2)＝96．
若去时用第二类走法，则回来时可用第一类走法或用第二类中的另一种走法，这样的走法总数为2×(4×3＋1)＝26．故走法总数为96＋26＝122．
15．解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133．
(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项)．
(3)比an＝341小的数有两类：
①
②
共有2×4×4＋1×3×4＝44(项)．
所以n＝44＋1＝45(项)．
1
×
×
2
×
×
3
1
×
3
2
×
3
3
×