高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
2．如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3，则m＝( )
A．40 B．50 C．34 D．32
3．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是( )
A．14 B．15 C．16 D．17
4．(2023·辽宁沈阳二中期末)杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画有一张表示二项式展开后的二项式系数构成的三角形数阵(如图所示)，称为“开方作法本源”，现简称为“杨辉三角”．若用A(m，n)表示三角形数阵中的第m行第n个数，m，n∈N*，则A(100，3)＝( )
A．5 050 B．4 851
C．4 950 D．5 000
5．(多选)“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，…，则( )
A．在第n(n5)条斜线上，各数自左往右先增大后减小
B．在第9条斜线上，各数之和为55
C．在第11条斜线上，最大的数是
D．在第n条斜线上，共有个数
二、填空题
6．(2023·福建福州高级中学期中)在如图所示的杨辉三角中，按图中箭头所指的前n个数字之和为________．
7．(2023·辽宁沈阳大东质检)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n∈N*，n2)，每个数是它下一行左、右相邻两数的和，如，……，则第10行第4个数字(从左往右数)为________．
8．(2023·江苏连云港期中)在杨辉三角中，三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第3个数是 ________；若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为，则n＝________．
三、解答题
9．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5个数为35．显然，1＋3＋6＋10＋15＝35．事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．
试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明．
课时分层作业(十)
1．B [由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，即a＝6．]
2．C [由题意，得第m行从左到右第n个数为，n∈N*，m∈N且n－1≤m，
∵第m行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3，
∴，∴m＝34．
故选C．]
3．B [由杨辉三角知：第1行：；第2行：；第3行：；第4行：，由此可知第n行，第r(1≤r≤n＋1)个数为，所以第15行第15个数是＝15．故选B．]
4．B [由二项展开式中各二项式系数可知，第m行第n个数应为，
所以第100行第3个数为＝4851，即A(100，3)＝4851．故选B．]
5．AC [对于A，由题意及题图中规律可知，在第n(n≥5)条斜线上，各数都是自左往右先增大后减小，∴A正确；
对于B，根据杨辉三角定义继续往下写三行，得
172135352171
18285670562881
193684126126843691
结合题图知，第九条斜线上，各数之和为1＋10＋15＋7＋1＝34，∴B错误．
对于C，第11条斜线上，最大的数为35＝，∴C正确．
对于D，由题图，可知每条斜线上数的个数为1，1，2，2，3，3，…，代入，不符合，∴D不正确．
故选AC．]
6．(或) [由题图可知，
按图中箭头所指的前n个数字之和为
＋…＋
＝＋…＋
＝＋…＋
＝…
＝
＝．]
7． [将杨辉三角中的每一个数即可得到“莱布尼茨调和三角形”，杨辉三角中，第10行第4个数字为＝84，所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行第4个数字为．]
8．36 27 [依题意，得第9行从左到右的第3个数是＝36．
∵第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为，
∴，解得n＝27．]
9．解：(1)＝1140．
(2)＋…＋．
证明如下：
左边＝＋…＋
＝＋…＋
＝…＝＝右边．