2023-2024学年湖南省衡阳市衡东县七年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市衡东县七年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−5的相反数是( )
A. −5B. 5C. 15D. −15
2.下列式子：0，−2xy3,1a,−b,12(a+b)中，单项式的个数有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
3.网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，我国2023年“双十一”狂欢购物节电商总成交额高达2434亿元.将数据“2434亿”用科学记数法表示为( )
A. 2.434×103B. 2.434×1012C. 2.434×1011D. 2.434×107
4.下列各式中运算正确的是( )
A. 6a−5a=1B. a2+a2=a4
C. 3a2+2a3=5a5D. 4a2b−5ba2=−a2b
5.若(3−m)2+|n+2|=0，则m+n的值为( )
A. 1B. −1C. 5D. 不确定
6.如果锐角α的余角是48∘，那么锐角α的补角是( )
A. 132∘B. 42∘C. 48∘D. 138∘
7.若−3a2bx与−3ayb3是同类项，则yx的值是( )
A. 3B. 2C. 8D. 4
8.小红家分了一套住房，她想在自己的房间的墙上钉一根细木条，挂上自己喜欢的装饰物，那么小红至少需要几根钉子使细木条固定( )
A. 1根B. 2根C. 3根D. 4根
9.如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“强“相对的面上的汉字是( )
A. 主B. 文C. 民D. 富
10.一个动点P从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动，已知点P每秒前进或后退1个单位.设xn表示第n秒点P在数轴上的位置所对应的数，如x2=2，x4=4，x5=3，则x2023为( )
A. 673B. 674C. 675D. 676
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.把多项式3x−x2−1按x的降幂排列为______.
12.钟表上8点30分时，时针与分针所夹的锐角是______度．
13.计算：70∘−27∘18′37′′=______.
14.当x=1时，代数式ax3+bx+1的值为2023，当x=−1时，代数式ax3+bx+1的值为______.
15.如图，已知：∠B+∠DAB=180∘，AC平分∠DAB，如果∠C=50∘，那么∠B=______.
16.如图，AD//BC，CE平分∠BCF，∠FCE=∠FEC，∠DAC=3∠BCF，∠ACF=20∘，则∠FEC的度数是______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：−22−[3−(−1)2023]÷(−25)×52.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：2x2y−[x2y2−3(xy−23x2y)]−3xy，其中x=2，y=−12.
19.(本小题6分)
如图是由若干个形状大小相同的正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置正方体的个数，请画出该几何体的主视图、左视图.
20.(本小题8分)
如图，点E、F是线段AB上的两点，点E、F分别是AC、BD的中点.
(1)若AB=14cm，CD=6cm，求线段EF的长；
(2)若AB=m，CD=n，请用含m，n的式子表示线段EF的长.
21.(本小题8分)
有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示；
(1)用“>”或“<”填空：c−a______0；a−b______0；b+c______0.
(2)化简：|c−a|+|a−b|−|b+c|.
22.(本小题9分)
如图，已知FG⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为点G、D，∠CED+∠ACB=180∘.
求证：∠1=∠2.
23.(本小题9分)
某超市在“元旦”期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：少于200元，不予优惠；高于200元但低于500元时，九折优惠；消费500元或超过500元时，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠.根据优惠方案解决下列问题：
(1)李阿姨一次性购物650元，她实际付款多少元？
(2)李阿姨在该超市一次性购物x元(x>500)，她实际付款多少元？(用含x的代数式表示)
(3)如果李阿姨两次购物货款合计880元，第一次购物的货款为a元(20024.(本小题10分)
定义一种新的运算⊗：已知a，b为有理数，规定a⊗b=ab−b+1.
(1)计算(−2)⊗3的值.
(2)已知x2⊗a与3⊗x2的差中不含x2项，求a的值.
(3)如图，数轴上有三点A，B，C，点A在数轴上表示的数是(−6)⊗1，点C在数轴上表示的数是18⊗(−8)点B在点A的右侧，距点A两个单位长度.若点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时点C以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，问运动多少秒时，BC=4？
25.(本小题10分)
【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系.
(1)如图1，AB//CD，M是AB、CD之间的一点，连接BM，DM，则有∠B+∠D=∠BMD.请你证明这个结论.
(2)【运用】如图2，AB//CD，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M=3∠N，请你利用(1)中“猪蹄模型”的结论，找出∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系，并说明理由.
(3)【延伸】如图3，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM，且EN//MG.如果∠EMF=α，那么∠MGF等于多少？(用含α的代数式表示，请直接写出结论，无需证明)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.
根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】
解：−5的相反数是5.
故选：B.
2.【答案】B
【解析】解：单项式有：0，−2xy3，−b，共3个，
故选：B.
数字与字母的积是单项式，单独的一个数或字母也是单项式，据此判断即可．
本题考查了单项式和多项式，熟知单项式的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵2434亿=243400000000，
∴2434亿用科学记数法表示为2.434×1011.
故选：C.
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、6a−5a=a，故A错误；
B、a2+a2=2a2，故B错误；
C、3a2+2a3=3a2+2a3，故C错误；
D、4a2b−5ba2=−a2b，故D正确．
故选：D.
根据同类项的定义及合并同类项法则解答．
此题考查的是合并同类项，合并同类项的方法是：字母和字母的指数不变，只把系数相加减．注意不是同类项的一定不能合并．
5.【答案】A
【解析】解：∵(3−m)2+|n+2|=0，
∴3−m=0，n+2=0，
解得m=3，n=−2，
∴m+n=3−2=1.
故选：A.
先根据非负数的性质求出m，n的值，进而可得出结论．
本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵锐角α的余角是48∘，
∴α=90∘−48∘=42∘，
∴锐角α的补角是180∘−42∘=138∘，
故选：D.
根据余角和补角的定义求解即可．
本题考查了余角和补角，熟记余角和补角的定义是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵−3a2bx与−3ayb3是同类项，
∴x=3，y=2，
∴yx=23=8.
故选：C.
根据同类项的概念求出x、y的值，再代入所求式子计算即可．
本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．
8.【答案】B
【解析】【分析】
考查直线的性质．经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线．
根据直线的性质，两点确定一条直线，即可求解判定正确选项．
【解答】
解：根据直线的性质，小红至少需要2根钉子使细木条固定．只有B符合．
故选B.
9.【答案】A
【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则：
“富”与“明”是相对面，
“强”与“主”是相对面，
“民”与“文”是相对面．
故选A.
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题知，
因为点P从原点出发，且每秒前进或后退1个单位，
所以x1=1，
x2=2，
x3=3，
x4=4，
x5=3，
x6=2，
x7=3，
x8=4，
x9=5，
x10=6，
x11=5，
x12=4，
…，
由此可见，x6n=2n(n为正整数)，
又因为6×337=2022，
则337×2=674，
所以x2022=674，
则x2023=675.
故选：C.
根据点P的运动方式，依次求出x1，x2，x3，…，发现规律即可解决问题．
本题考查数字变化的规律，能通过计算发现x6n=2n(n为正整数)是解题的关键．
11.【答案】−x2+3x−1
【解析】解：多项式3x−x2−1的各项为−1，−x2，3x，
按x的降幂排列为−x2+3x−1.
故答案为：−x2+3x−1.
先分清多项式的各项，然后按多项式中x的降幂排列．
本题考查了多项式的降幂排列．解题的关键是掌握多项式的降幂排列的方法．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
12.【答案】75
【解析】【分析】
用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30∘.
画出草图，利用钟表表盘的特征解答．
【解答】
解：8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30∘，
∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30∘=75∘.
故答案为：75.
13.【答案】42∘41′23′′
【解析】解：70∘−27∘18′37′′
=69∘59′60′′−27∘18′37′′
=42∘41′23′′，
故答案为：42∘41′23′′.
根据度分秒的进制进行计算，即可解答．
本题考查了度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】−2021
【解析】解：∵当x=1时，ax3+bx+1=a+b+1=2023，即a+b=2022，
∴当x=−1时，代数式ax3+bx+1=−a−b+1=−2022+1=−2021.
故答案为：−2021.
根据x=1时代数式值为2023，列出关系式，将x=−1代入所求式子中变形，把得出的关系式代入计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
15.【答案】80∘
【解析】解：∵∠B+∠DAB=180∘，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠C=50∘，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAB=2∠DAC=100∘，
∵∠B+∠DAB=180∘，
∴∠B=180∘−100∘=80∘，
故答案为：80∘.
由∠B+∠DAB=180∘判定AD//BC，再由平行线的性质得∠DAC=∠C=50∘，然后由角平分线定义得∠DAB=2∠DAC=100∘，即可得出结论．
本题主要考查了平行线的判定与性质以及角平分线定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】20∘
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠DAC+∠ACB=180∘，
∴∠DAC+∠ACF+∠BCF=180∘，
∵∠DAC=3∠BCF，∠ACF=20∘，
∴3∠BCF+20∘+∠BCF=180∘，
解得：∠BCF=40∘，
∵CE平分∠BCF，
∴∠FCE=12∠BCF=20∘，
∵∠FCE=∠FEC，
∴∠FCE=∠FEC=20∘，
故答案为：20∘.
先利用平行线的性质可得∠DAC+∠ACB=180∘，从而可得∠DAC+∠ACF+∠BCF=180∘，进而可得3∠BCF+20∘+∠BCF=180∘，然后求出：∠BCF=40∘，再利用角平分线的定义可得∠FCE=20∘，从而可得∠FCE=∠FEC=20∘，即可解答．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
17.【答案】解：原式=−4−(3+1)×(−52)×52
=−4−4×(−52)×52
=−4+25
=21.
【解析】先算乘方及括号里面的，再算乘除，最后算减法即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：2x2y−[x2y2−3(xy−23x2y)]−3xy
=2x2y−(x2y2−3xy+2x2y)−3xy
=2x2y−x2y2+3xy−2x2y−3xy
=−x2y2，
当x=2，y=−12时，原式=−22×(−12)2=−4×14=−1.
【解析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示．

【解析】根据三视图的定义画图即可．
本题考查作图-三视图、由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，难度不大．
20.【答案】解：(1)∵点E、F分别是AC、BD的中点，
∴CE=12AC，DF=12BD，
∵AB=14cm，CD=6cm，
∴AC+BD=8cm，
∴CE+DF=4cm，
∵EF=CE+DF+CD，
∴EF=10cm；
(2)∵点E、F分别是AC、BD的中点，
∴CE=12AC，DF=12BD，
∵AB=m，CD=n，
∴AC+BD=m−n，
∴CE+DF=12(m−n)，
∵EF=CE+DF+CD，
∴EF=12(m+n).
【解析】(1)因为点E、F分别是AC、BD的中点，即CE=12AC，DF=12BD，已知AB=14cm，CD=6cm，可得CE+DF，因为EF=CE+DF+CD，可得EF的长；
(2)因为点E、F分别是AC、BD的中点，即CE=12AC，DF=12BD，已知AB=m，CD=n，可得CE+DF，因为EF=CE+DF+CD，可得EF的长．
本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义．
21.【答案】<><
【解析】解：(1)∵从数轴可知：b<0|b|>|c|，
∴c−a<0，a−b>0，b+c<0，
故答案为：<，>，<；
(2)∵c−a<0，a−b>0，b+c<0，
∴|c−a|+|a−b|−|b+c|
=a−c+a−b−(−b−c)
=a−c+a−b+b+c
=2a.
(1)根据数轴得出b<0|b|>|c|，求出c−a<0，a−b>0，b+c<0即可；
(2)先去掉绝对值符号，再合并即可．
本题考查了绝对值，数轴和有理数的大小比较，能根据数轴得出b<0|b|>|c|是解此题的关键．
22.【答案】证明：∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴FG//CD，
∴∠2=∠BCD，
∵∠CED+∠ACB=180∘，
∴DE//BC，
∴∠1=∠BCD，
∴∠1=∠2.
【解析】先根据FG⊥AB，CD⊥AB可知FG//CD，故可得出∠2=∠BCD，再由∠CED+∠ACB=180∘可知DE//BC，故∠1=∠BCD，由此得出结论．
本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题得，500×90%+150×80%=570，
∴她实际付款570元；
(2)由题得，500×90%+80%(x−500)=0.8x+50，
∴她实际付款(0.8x+50)元；
(3)∵第一次购物的货款为a元(200∴第二次购物的货款超过500元，
0.9a+450+0.8(880−a−500)
=0.1a+754，
李阿姨两次购物实际付款(0.1a+754)元．
【解析】(1)分两段依次求出方案中的钱数，再相加即可；
(2)分两段依次求出方案中的钱数，再相加即可；
(3)分析出第二次购物的货款超过500元，分求出第一次购物的钱数，再分两段求出第二次购物的钱数，再相加即可；
本题考查了列代数式，分析题意并列出代数式是解题关键．
24.【答案】(1)解：(−2)⊗3=(−2)×3−3+1=−8，
∴(−2)⊗3的值为−8；
(2)解：x2⊗a=ax2−a+1，3⊗x2=3x2−x2+1=2x2+1，
∴x2⊗a−3⊗x2=(ax2−a+1)−(2x2+1)，
整理得x2⊗a−3⊗x2=(a−2)x2−a，
∵x2⊗a与3⊗x2的差中不含x2项，
∴a−2=0，
∴a=2；
(3)解：∵点A在数轴上表示的数是(−6)⊗1，
∴运动前点A表示的数为−6，
∵点C在数轴上表示的数是18⊗(−8)，
∴运动前点C表示的数为8，
∵点B在点A的右侧，距点A两个单位长度，
∴运动前点B表示的数为−4，
设运动时间为t秒，则点B表示的数为−4+3t，点C表示的数为8−t，
∴BC=|(−4+3t)−(8−t)|=|4t−12|，
∵BC=4，
∴|4t−12|=4，
解得t=4或t=2，
∴运动为2或4秒时，BC=4.
【解析】(1)根据新定义运算即可得到结果；
(2)根据新定义运算得到x2⊗a=ax2−a+1，3⊗x2=2x2+1，从而得到x2⊗a−3⊗x2=(a−2)x2−a，根据x2⊗a与3⊗x2的差中不含x2项即可求出a的值；
(3)根据题意求出运动前点A、B、C表示的数，设运动时间为t秒，则点B表示的数为−4+3t，点C表示的数为8−t，从而得到BC，根据BC=4即可求出t的值．
本题考查了新定义运算，整式加减中的与某项无关的问题，数轴上两点间的距离问题，一元一次方程的应用，本题的关键是清楚数轴上动点的特点，表示出点所表示的数，从而列方程解题．
25.【答案】(1)证明：如图，过M作MN//AB.
∵AB//CD，
∴AB//MN//CD，
∴∠B=∠BMN，∠D=∠BMN，
∴∠B+∠D=∠BMN+∠DMN=∠BMD.
(2)解：∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系：13∠BMN=∠B−∠C.
理由如下：
如图：延长NM交AB于E，延长MN交CD于F.
∵AB//CD，
∴∠BEM=∠NFC，
∵∠BMN=∠BEM+∠B，
∴∠BMN=∠NFC+∠B，
∵∠NFC=∠MNC−∠C，
∴∠BMN=∠MNC−∠C+∠B，
∵2∠BMN=3∠MNC，
∴∠MNC=23∠BMN，
∴∠BMN=23∠BMN−∠C+∠B，
∴13∠BMN=∠B−∠C.
答：∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系：13∠BMN=∠B−∠C.
(3)证明：∵EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM，
∴∠MEN=∠BEN=x，∠CFG=∠MFG=y，
由(1)结论得：∠AEM+∠MFC=∠EMF，
∴180∘−2x+2y=α，
∴x−y=90∘−12α.
∵MG//EN，
∴∠GMF+∠EMF+∠MEN=180∘，
∴∠GMF=180∘−α−x，
由三角形内角和得：
∠MGF=180∘−∠GMF−∠GFM=180∘−(180∘−α−x)−y=α+x−y=α+(90∘−12α)=90∘+12α.
答：∠MGF等于90∘+12α.
【解析】(1)如图，过M作MN//AB.得AB//MN//CD，故∠B=∠BMN，∠D=∠BMN，因此∠B+∠D=∠BMN+∠DMN=∠BMD.
(2)延长NM交AB于E，延长MN交CD于F.利用三角形外角∠BMN=∠MNC−∠C+∠B，由2∠BMN=3∠MNC，得∠MNC=23∠BMN，再计算即可．
(3)由角平分线得∠MEN=∠BEN=x，∠CFG=∠MFG=y，由“猪蹄模型”得∠AEM+∠MFC=∠EMF，再利用平行线和三角形内角和计算即可．
本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键．