2024春高中数学模块综合测评试卷及解析（人教A版选择性必修第三册）

这是一份2024春高中数学模块综合测评试卷及解析（人教A版选择性必修第三册），共12页。
模块综合测评(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知随机变量X～B(10，0.6)，则D(2X＋1)＝(　　)A．4.8　　　B．5.8　　　C．9.6　　　D．10.62．(x2＋2)(x－1)10的展开式中的常数项为(　　)A．8 B．4C．3 D．23．为考察某种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：则下列说法正确的是(　　)附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．A．有95%的把握认为药物有效B．有95%的把握认为药物无效C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物无效D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效4．已知盒子中装有形状，大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为(　　)A．5．某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x(单位：万千米)对应维修保养费用y(单位：万元)的四组数据，这四组数据如表：若用最小二乘法求得经验回归直线方程为＝0.58x＋，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是(　　)A．3.34万元 B．3.62万元C．3.82万元 D．4.02万元6．已知某校高三理科学生参加“成都一诊”考试的数学成绩X服从正态分布N(95，σ2)，则下列结论中不正确的是(　　)附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．A．σ越大，学生数学成绩在(90，100)内的概率就越大B．当σ＝20时，P(75≤X≤135)≈0.818 6C．无论σ为何值，学生数学成绩大于95的概率为0.5D．无论σ为何值，学生数学成绩小于75与大于115的概率相等7．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为(　　)A．0.75 B．0.7C．0.56 D．0.388．从5名女教师和3名男教师中选出一位主考和两位监考参加某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为(　　)A．105　　B．210　　C．240　　D．630二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知变量x，y之间的经验回归方程为＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是(　　)A．变量x，y之间呈现负相关关系B．m＝4C．可以预测，当x＝11时，y约为2.6D．由表格数据知，该回归直线必过点(9，4)10．(2023·江苏模拟)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则下列说法正确的有(　　)A．a8＝45B．a1＋a2＋a3＋…＋a10＝210C．x8项的系数为45D．2a1＋22a2＋23a3＋…＋210a10＝－21011．(2023·辽宁凌源高二开学考)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是(　　)A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种C．课程“礼”“书”排在相邻两天的不同排法共有240种D．课程“乐”“射”“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种12．给出下列命题，其中正确的命题是(　　)A．设具有相关关系的两个变量x，y的样本相关系数为r，则|r|越接近0，x，y之间的线性相关程度越强B．随机变量X～N(3，22)，若X＝2Y＋3，则D(Y)＝1C．随机变量X服从两点分布，若P(X＝0)＝，则D(X)＝D．某人在10次射击中击中目标的次数为X，若X～B(10，0.8)，则当X＝8时概率最大三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．13．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝xi＋＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei＝0，则R2为________．14．(2023·辽宁锦州高二期中)学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的女教师的人数为X，则P(X≤1)＝________．15．将4名大学生分配到3个乡镇，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．16．(2023·重庆八中月考)测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X服从正态分布N(20，102)，若独立测量三次，则至少有一次测量误差在[0，30]内的概率是________．附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，0.181 43≈0.006．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断药物处理跟发生青花病是否有关系．附：χ2独立性检验中常用小概率值和相应的临界值：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．18．(本小题满分12分)袋中装有4个白棋子，3个黑棋子，从袋中随机地取出棋子，若取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，现从袋中任取4个棋子．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6的概率．19．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得(1)求家庭的月储蓄对月收入x的经验回归方程＝x＋；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．20．(本小题满分12分)已知(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1．(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．21．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．22．(本小题满分12分)某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8 000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩(百分制)作为样本，得到频率分布直方图，如图所示．(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求恰有1人预赛成绩为优良的概率．(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛的学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且σ2＝362．利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于91分的人数．(3)预赛成绩高于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.1k；③每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为0.7，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？参考数据：≈19；若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3．模块综合测评1．C　[∵随机变量X~B(10，0.6)，∴D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，∴D(2X＋1)＝22D(X)＝4×2.4＝9.6．故选C．]2．D　[(x－1)10的展开式的通项为Tr+1＝(－1)rx10-r，0≤r≤10，r∈N，令10－r＝0，解得r＝10，故(x2＋2)(x－1)10的展开式中的常数项为2××(－1)10＝2，故选D．]3．A　[根据题中列联表，计算得χ2＝≈6.109，由6.109>3.841＝x0.05且6.1097.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的．18．解：(1)由题意知，设取到的白棋子的个数为Y，则Y的可能取值为1，2，3，4，对应的得分X为5，6，7，8．由Y服从参数为N＝7，M＝4，n＝4的超几何分布及X与Y的对应关系知，P(X＝5)＝；P(X＝6)＝；P(X＝7)＝；P(X＝8)＝．故X的分布列为(2)根据(1)中的分布列，可知得分大于6的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝．19．解：(1)由题意知n＝10，＝720－10×82＝80，∴＝2－0.3×8＝－0.4．∴所求经验回归方程为＝0.3x－0.4．(2)∵＝0.3>0，∴x与y之间是正相关．(3)当x＝7时，＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)，故当该家庭的月收入为7千元时，可预测该家庭的月储蓄为1.7千元．20．解：由题意知，第5项系数为·(－2)4，第3项的系数为·(－2)2，则＝10，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)当x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1．(2)通项公式Tr+1＝)8-r＝(－2)r·，令－2r＝，则r＝1．故展开式中含的项为T2＝－16．(3)设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为·2r-1，·2r，·2r+1，若第r＋1项的系数绝对值最大，则解得5≤r≤6．又T6的系数为负，所以系数最大的项为T7＝1792x-11．由n＝8知第5项二项式系数最大，此时T5＝1120x-6．21．解：(1)记事件A1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”，事件A2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”，事件B1为“顾客抽奖1次获一等奖”，事件B2为“顾客抽奖1次获二等奖”，事件C为“顾客抽奖1次能获奖”．由题意可知，A1与A2相互独立，A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2，C＝B1＋B2．因为P(A1)＝，P(A2)＝，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×，P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝P(A1)·P()＋P()P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)＝＝．故所求概率P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝．(2)顾客抽奖3次可视为3重伯努利试验．由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B．于是P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝．故X的分布列为数学期望为E(X)＝3×．22．解：(1)由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有(0.0125＋0.0075)×20×100＝40(人)，其中成绩优良的人数为0.0075×20×100＝15．记C：从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，恰有1人预赛成绩为优良．则P(C)＝．(2)由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值＝10×0.1＋30×0.2＋50×0.3＋70×0.25＋90×0.15＝53，则μ＝53．又σ2＝362，∴σ≈19，∴P(Z>91)＝P(Z>μ＋2σ)＝[1－P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)]≈0.02275，∴估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于91分的人数为8000×0.02275＝182．(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数，则ξ~B(n，0.7)，且E(ξ)＝0.7n，记甲答完n题后所加的分数为随机变量X，则X＝1.5ξ，∴E(X)＝1.5E(ξ)＝1.05n．为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为0.1×(1＋2＋3＋…＋n)＝0.05(n2＋n)．设甲答完n题的分数为M(n)，则M(n)＝100－0.05(n2＋n)＋1.05n＝－0.05(n－10)2＋105，由于n∈N*，∴当n＝10时，M(n)取最大值105．∴若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该是10．是否服药是否患病合计患病未患病服药104555未服药203050合计3075105α0.050.01xα3.8416.635行驶里程x/万千米1245维修保养费用y/万元0.500.902.302.70x681012y6m32α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828青花病药物合计药物处理未经药物处理青花病25185210无青花病60200260合计85385470X5678PX0123P