2024春高中数学微专题强化练2离散型随机变量均值与方差的实际应用练习及解析（人教A版选择性必修第三册）

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微专题强化练(二)　离散型随机变量均值与方差的实际应用1．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益(即X的均值)；(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．2．某人欲投资10万元，有两种方案可供选择，设X表示方案一所得收益(单位：万元)，Y表示方案二所得收益(单位：万元)，其分布列分别为假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？3．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1和X2的分布列分别为(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f (x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f (x)的最小值，并指出x为何值时，f (x)取到最小值．4．某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000，6 000，2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：已知A，B，C三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)求保险公司在该业务所获利润的均值；(2)现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．微专题强化练(二)1．解：(1)设下周一无雨的概率为p，由题意得，p2＝0.36，则p＝0.6，基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，所以基地收益X的分布列为基地的预期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)，所以基地的预期收益为14.4万元．(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝(16－a)万元，E(Y)－E(X)＝1.6－a，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．2．解：由期望和方差的计算公式，得E(X)＝－2×0.7＋8×0.3＝1，E(Y)＝－3×0.7＋12×0.3＝1.5，D(X)＝(－2－1)2×0.7＋(8－1)2×0.3＝21，D(Y)＝(－3－1.5)2×0.7＋(12－1.5)2×0.3＝47.25．由于同期银行利率为1.75%，所以若将10万元存入银行，可得利息(无风险收益)10×1.75%＝0.175(万元)．从期望收益的角度来看，两种投资方案都可以带来额外的收益，但都需要冒一定的风险．方案一的期望收益小于方案二，但方案一的风险小于方案二．所以，如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行；如果想多赚点又不想风险太大就选择方案一；如果想多赚又不怕风险就选择方案二．3．解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12．(2)f (x)＝D＋D＝D(Y1)＋D(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋3×1002)．所以当x＝＝75时，f(x)取最小值3．4．解：(1)设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X，Y，Z，则X，Y，Z的分布列分别为所以E(X)＝25×＋(25－100×104)×＝15，E(Y)＝25×＋(25－100×104)×＝5，E(Z)＝40×＋(40－50×104)×＝－10，保险公司所获利润的均值为12 000×15＋6 000×5－2 000×10－100 000＝90 000，所以保险公司在该业务所获利润的均值为9万元．(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为12 000×100×104×＋6 000×100×104×＋2 000×50×104×＋12×104＝46×104＝4.6×105(元)；方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为(12 000×25＋6 000×25＋2 000×40)×0.7＝37.1×104＝3.71×105(元)．因为4.6×105>3.71×105，所以建议企业选择方案2．周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元X－28P0.70.3Y－312P0.70.3X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3工种类别ABC赔付频率X2015107.5P0.360.240.240.16Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3X2525－100×104P1－Y2525－100×104P1－Z4040－50×104P1－