人教版七年级数学下册同步精讲精练专题：巧解平行线中的拐点问题(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练专题：巧解平行线中的拐点问题(原卷版+解析)，共44页。


题型一 过一个拐点作平行线求角度
【例题1】（2022春•内乡县期末）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．55°B．75°C．80°D．105°
【变式1-1】（2022春•香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 度．
【变式1-2】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【变式1-3】（2022春•信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC＝ ．
【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数．
【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．
【变式1-6】（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题：
下面提供三种思路：
思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；
思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；
思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．
解答下列问题：
（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 ；
（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；
（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．
题型二 过多个拐点作平行线求角度
【例题2】如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2等于（ ）
A．40°B．35°C．36°D．30°
【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【变式2-2】如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 ．
【变式2-3】（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝ °．
【变式2-4】（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ ；
（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 ．（用含n的式子表示）
【变式2-5】（1）填空：
如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ °．
如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ °．
如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ °．
如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ °．
（2）归纳：如图5，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝ °．
（3）应用：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度数．
题型三 过拐点作平行线的证明题
【例题3】小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：
（1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程；
（2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；
（3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．
【变式3-1】如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD.
【变式3-2】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.
【变式3-3】（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
【变式3-4】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【变式3-5】阅读下面内容，并解答问题
在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ ”，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 题，并写出解答过程．
A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．
B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．
题型四 与拐点有关的综合探究题
【例题4】（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点P作PE∥AB
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ ），
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（ ），
∴∠A+∠C＝ + （等式的性质）．
即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是 ．
（2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，则∠AEC＝ ．
（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系 ．
【变式4-1】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，
猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【变式4-2】（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
【变式4-3】（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”
请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．
（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；
②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．
请在①②任选一个问题进行解答．
（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．
【变式4-4】（2022春•兴国县期末）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．
小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．
解：如图①，过点P作PM∥AB，
【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数；
【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
（4）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
解题技巧提炼
当两条平行线不是被第三条直线所截,而是被一条折线所截时，平行线的性质则不能直接应用，遇到一个拐点时，只需过折线的“拐点”作一条平行线,利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题.
解题技巧提炼
题型一中的题平行线间有个一折点，只需过折点处作一条辅助平行线即可，若有个多个折点，则需要过每一个折点作辅助平行线，再利用平行线的判定和性质解决问题即可.
解题技巧提炼
对于两条平行线间“折线”与“拐点”的证明题，一般都是在拐点处作平行线，使问题转化，从而构造一些相等的角或互补的角，使已知和未知一目了然，达到解题的目的，具体步骤是：
①作辅助线（过拐点处作平行线）；
②找特殊角（找相等的角或互补的角）；
③解决问题（找到数量关系）.
解题技巧提炼
综合运用平行线的性质和判定解决与拐点有关的探究题，作辅助线是解题的关键，有时要用到分类讨论的数学思想方法，是学生的难点突破.
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
专题 巧解平行线中的拐点问题
题型一 过一个拐点作平行线求角度
【例题1】（2022春•内乡县期末）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．55°B．75°C．80°D．105°
【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质得出∠3＝∠1+∠2＝75°．
【解答】解：过点E作EM∥AB，如图所示，
∵AB∥EM．
∴∠HEM＝∠1＝45°．
∵AB∥CD．
∴EM∥CD．
∴∠GEM＝∠2＝30°．
∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解题的关键．
【变式1-1】（2022春•香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 度．
【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥ED．
AB∥CF⇒∠1＝180°﹣∠B＝30°，
CF∥ED⇒∠2＝180°﹣∠D＝35°，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．
故填65°．
【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．
【变式1-2】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【分析】先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．
【变式1-3】（2022春•信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC＝ ．
【分析】根据平行公理推论得到EF∥AB，再根据平行线的x性质求解即可．
【解答】解：过E点作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠EAB+∠AEF＝180°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF+∠ECD＝180°，
∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，
∴∠AEF＝100°，∠CEF＝70°，
∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝30°．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数．
【分析】过C作CF∥AB，得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质推出∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，求出∠ACF、∠DCF的度数，根据∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，即可求出答案．
【解答】解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，
∵∠1＝120°，∠2＝110°，
∴∠ACF＝60°，∠DCF＝70°，
∴∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，
＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
答：∠3的度数是50°．
【点评】本题主要考查对平行线的性质平行公理及推论，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．
【分析】过点C作CF∥AB，由平行公理的推论得出CF∥DE，再由平行线的性质求得∠4的度数为70°，再根据CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度数即可．
【解答】解：如图：过点C作CF∥AB，
∵CF∥AB
∴∠3＝∠1＝25°
∵AB∥DE，
∴DF∥CE，
∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
【变式1-6】（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题：
下面提供三种思路：
思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；
思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；
思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．
解答下列问题：
（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 ；
（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；
（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．
【分析】（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；
（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；
（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．
【解答】解：（1）如图（1），过F作MN∥CD，
∵MN∥CD，∠1＝30°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN，
∵AB⊥EF，
∴∠3＝∠4＝90°，
∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．
故答案为：120°；
（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；
（3）若选择思路二，理由如下：
如图（2），过P作PN∥EF，
∵PN∥EF，EF⊥AB，
∴∠ONP＝∠EOB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠NPD＝∠ONP＝90°，
又∵∠1＝30°，
∴∠NPG＝90°+30°＝120°，
∵PN∥EF，
∴∠EFG＝∠NPG＝120°；
若选择思路三，理由如下：
如图（3），过O作ON∥FG，
∵ON∥FG，∠1＝30°，
∴∠PNO＝∠1＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠BON＝∠PNO＝30°，
又∵EF⊥AB，
∴∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°，
∵ON∥FG，
∴∠EFG＝∠EON＝120°．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键．
题型二 过多个拐点作平行线求角度
【例题2】如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2等于（ ）
A．40°B．35°C．36°D．30°
【分析】过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算即可得解．
【解答】解：如图，过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，
则∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∵l1∥l2，
∴AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD＝180°，
∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，
∴∠1+∠2＝30°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．
【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．
【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH＝∠DCG，
∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目难点在于过拐点作平行线．
【变式2-2】如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 ．
【分析】过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：如图1，
过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，
∵CD∥AB，
∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，
∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．
故答案为：900°.
【点评】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
【变式2-3】（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝ °．
【分析】过点G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠AEG+∠EGM＝180°，再结合已知可得CD∥GM，然后利用平行线的性质可得∠CFG+∠MGF＝180°，从而可得∠AEG+∠CFG＝250°，再利用角平分线的定义可得∠HEG+∠GFH＝125°，最后利用四边形的内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：过点G作GM∥AB，
∴∠AEG+∠EGM＝180°，
∵AB∥CD，
∴CD∥GM，
∴∠CFG+∠MGF＝180°，
∴∠AEG+∠EGM+∠CFG+∠MGF＝360°，
∵∠EGF＝∠EGM+∠MGF＝110°，
∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣∠EGF＝250°，
∵EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线，
∴∠HEG=12∠AEG，∠GFH=12∠CFG，
∴∠HEG+∠GFH=12∠AEG+12∠CFG＝125°，
∴∠H＝360°﹣∠HEG﹣∠HFG﹣∠EGF＝125°，
故答案为：125．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式2-4】（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ ；
（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 ．（用含n的式子表示）
【分析】（1）过点M作MP∥AB，则AB∥CD∥MP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；
（2）过点N作NQ∥AB，则AB∥CD∥NQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．
【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MP，
∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，
∵∠M＝∠1+∠2＝90°，
∴∠MEB+∠MFD＝90°，
∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，
∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．
故答案为：270°；
（2）过点N作NQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥NQ，
∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，
∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，
∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，
∵∠NEB=12∠MEB，∠DFN=12∠MFD，
∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN=12（∠MEB+∠MFD），
由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，
∴∠ENF=12∠EMF=12n°．
故答案为：12n°．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．
【变式2-5】（1）填空：
如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ °．
如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ °．
如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ °．
如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ °．
（2）归纳：如图5，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝ °．
（3）应用：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度数．
【分析】（1）①根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论；
②根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论；
③在上题的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；
④在③的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；
（2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1×180°，三个A点时，结论是2×180°，
四个A点时，结论是3×180°，所以n个A点时，即可得结论．
（3）运用上述结论和角平分线定义可得结论．
【解答】解：（1）如图1，
∵MA1∥NA2，
∴∠A1+∠A2＝180°．
如图2，过点A2作A2C1∥A1M，
∵MA1∥NA3，
∴A2C1∥A1M∥NA3，
∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．
如图3，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，
∵MA1∥NA4，
∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA4，
∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．
如图4，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，过点A4作A4C3∥A1M，
∵MA1∥NA5，
∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，
∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．
故答案为：180；360；540；720；
（2）∵∠A1+∠A2＝180°＝1×180°
∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°
∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°
∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝180（n﹣1）°．
故答案为：180（n﹣1）；
（3）根据上述结论得：
∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴2∠ABF+∠E+2∠CDF＝360°，
即2（∠ABF+∠CDF）+∠E＝360°，
∴2（∠ABF+∠CDF）＝360°﹣∠E＝360°﹣80°＝280°，
∴∠ABF+∠CDF=12×280°＝140°，
即∠BFD＝140°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程．
题型三 过拐点作平行线的证明题
【例题3】小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：
（1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程；
（2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；
（3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．
【分析】（1）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；
（2）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；
（3）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可．
【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，
理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，
∴AB∥CD∥OM，
∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，
∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；
（2）∠B＝∠BOD+∠D，
理由是：如图：过O作OM∥CD，
∵AB∥CD，OM∥CD，
∴AB∥CD∥OM，
∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，
∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；
（3）∠D＝∠DOB+∠B，
理由是：如图：过O作OM∥CD，
∵AB∥CD，OM∥CD，
∴AB∥CD∥OM，
∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，
∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，证明过程类似．
【变式3-1】如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD.
【分析】先过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，求出∠BME的度数，根据角平分线求出∠BEC的度数，从而求出∠CEM的度数，然后根据∠CEM=∠2，利用内错角相等，两直线平行得出EM∥AB.
【解答】证明：如图，过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，
∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,
∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，
∵EM//AB,
∴∠BEM=∠1=70°，
∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，
∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.
∴EM∥CD,又∵EM∥AB
∴AB∥CD.
【点评】本题考查平行线的性质，角平分线等知识，解题的关键是过点E在∠BEC的内部作EM//AB．
【变式3-2】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.
【分析】过点E在∠BED的内部作EM∥AB，先根据平行线的性质得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根据∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，从而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可证明BE⊥DE.
【解答】证明：过点E在∠BED的内部作EM∥AB，则∠B=∠BEM，
∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，
又∵AB∥CD，EM∥CD，
∴∠D=∠DEM，
∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，
∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，
∴∠BEM+∠DEM=90°,
即∠BED=90，
∴BE⊥DE.
【点评】本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式3-3】（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
【分析】（1）作OM∥AB，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，由于AB∥CD，根据平行线的传递性得OM∥CD，根据平行线的性质得∠2＝∠DFO，所以∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO；
（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．
【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，
∴∠1＝∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2＝∠DFO，
∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，
即：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：
作OM∥AB，PN∥CD，如图2，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，
∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，
∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【变式3-4】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．
【解答】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，
∴∠APC＝45°+55°＝100°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
【变式3-5】阅读下面内容，并解答问题
在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ ”，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 题，并写出解答过程．
A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．
B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．
【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．
B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．
【解答】解：（1）结论：EG⊥FG；
理由：如图1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEF=12∠BEF，∠GFE=12∠DFE，
∴∠GEF+∠GFE=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=12×180°=90°，
在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，
∴EG⊥FG．
故答案为：EG⊥GF；
（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD=12（∠BEG+∠DFG）＝45°，
∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，
B．结论：∠EOF＝2∠EPF．
理由：如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，
∴∠EOF＝2∠EPF，
故答案为：A或B．
【点评】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型四 与拐点有关的综合探究题
【例题4】（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点P作PE∥AB
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ ），
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（ ），
∴∠A+∠C＝ + （等式的性质）．
即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是 ．
（2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，则∠AEC＝ ．
（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系 ．
【分析】（1）利用题干中的思路，依据两条直线平行的判定，平行线的性质和等式的性质解答即可；
（2）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法解答即可；
（3）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法分别计算∠BFD与∠AEC，观察结论即可得出结论．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），
∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．
即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；
（2）过点E作EP∥AB，如图，
∵AB∥CD（已知），
∴∠ADC＝∠BAD＝78°，
∴PE∥CD，
∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，
∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，
故答案为：119°；
（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，
∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，
∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．
过点F作FP∥AB，如图，
则∠ABF＝∠BFP，
∵AB∥CD，
∴FP∥CD，
∴∠PFD＝∠FDC，
∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，
∴2∠BFD＝∠AEC，
故答案为：2∠BFD＝∠AEC．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，利用类比的方法解答是解题的关键．
【变式4-1】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，
猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【分析】猜想：过点P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，从而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度数；
拓展：分情况讨论，当点P在线段CD上时，当点P在射线DF上时，当点P在射线CE上时，然后过点P作PH∥AC，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系．
【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，
∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，
∴∠APB＝15°+40°＝55°．
拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，
由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；
②如图2，当点P在射线DP上时，
过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；
③如图3，当点P在射线CE上时，
过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；
综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等．
【变式4-2】（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
【分析】（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；
（2）过点O作OT∥AB，则OT∥CD，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根据平行线的性质求得α+β＝80°，进而根据3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．
【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，
∴∠BEG＝∠EGN，
∵AB∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；
∴∠BEP=12∠BEG，∠PFD=12∠GFD，
∴∠EPF=12（∠BEG+∠GFD）=12∠EGF＝45°，
故答案为：45°；
②如图，过点Q作QR∥CD，
∵∠BEG＝40°，
∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，
∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
设∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
∵CD∥QR，
∴∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；
（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．
理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，
∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，
∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，
∴∠EOF＝β﹣2α，
∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
∵∠EOF+∠EGF＝100°，
∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，
∴α+β＝80°，
∴12∠OEA+∠OFC＝80°，
∴∠OEA+2∠PFC＝160°．
【点评】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式4-3】（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”
请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．
（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；
②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．
请在①②任选一个问题进行解答．
（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．
【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+CPE＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，即可得出答案；
（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，∠BAP+∠APE＝180°，∠EPQ+∠PQF＝180°，∠FQC+∠QCD＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，即可得出答案；
（3）如图4，根据平行线模型﹣锯齿模型定理，朝向左边的角的和＝朝向右边的角的和，根据邻补角的定义，120°角的邻补角为60°，所以可列x+48°＝60°+30°+30°，求出x即可得出答案．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥PE，
∴∠BAP+∠APE＝180°，
∵CD∥PE，
∴∠DCP+CPE＝180°，
∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，
∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；
（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，
∵PE∥AB，
∴∠BAP+∠APE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PE∥QF，
∴∠EPQ+∠PQF＝180°，
∵QF∥CD，
∴∠FQC+∠QCD＝180°，
∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，
∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；
（3）x＝72°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
【变式4-4】（2022春•兴国县期末）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．
小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．
解：如图①，过点P作PM∥AB，
【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数；
【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
（4）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数；
（3）如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数；
（4）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，
∴PM∥CD（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠PFD＝130°，
∴∠2＝180°﹣130°＝50°，
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，即∠EPF＝90°；
（2）如图②，过点P作PM∥AB，
∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．
（3）如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG=12∠AEP＝25°，∠GFC=12∠PFC＝60°，
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等），
∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°；
（4）当点A在B左侧时，
如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，
∴∠ABE＝∠BEF=12α，∠CDE＝∠DEF=12β，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=α+β2，
当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB上方时，
如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠DEF＝∠CDE，∠ABG＝∠BEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，
∴∠DEF＝∠CDE=12β，∠ABG＝∠BEF=12α，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=α−β2，
当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB下方时，
同理可求∠BED=β−α2，
当点A在B右侧时，点E在AB和CD内时，
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠DEF+∠CDE＝180°，∠ABE＝∠BEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，
∴∠CDE=12β，∠ABE＝∠BEF=12α，
∴∠DEF＝180°−12β，
∴∠BED＝∠DEF+∠BEF＝180°−12β+12α，或∠BED＝360°﹣（∠DEF+∠BEF）＝180°+12β−12α，
综上，∠BED的度数为α+β2或α−β2或180°−12β+12α或180°+12β−12α．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
解题技巧提炼
当两条平行线不是被第三条直线所截,而是被一条折线所截时，平行线的性质则不能直接应用，遇到一个拐点时，只需过折线的“拐点”作一条平行线,利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题.
解题技巧提炼
题型一中的题平行线间有个一折点，只需过折点处作一条辅助平行线即可，若有个多个折点，则需要过每一个折点作辅助平行线，再利用平行线的判定和性质解决问题即可.
解题技巧提炼
对于两条平行线间“折线”与“拐点”的证明题，一般都是在拐点处作平行线，使问题转化，从而构造一些相等的角或互补的角，使已知和未知一目了然，达到解题的目的，具体步骤是：
①作辅助线（过拐点处作平行线）；
②找特殊角（找相等的角或互补的角）；
③解决问题（找到数量关系）.
解题技巧提炼
综合运用平行线的性质和判定解决与拐点有关的探究题，作辅助线是解题的关键，有时要用到分类讨论的数学思想方法，是学生的难点突破.