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人教版七年级数学下册同步精讲精练专题：在平面直角坐标系中求图形面积(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练专题：在平面直角坐标系中求图形面积(原卷版+解析)，共36页。
题型一 直接利用面积公式求图形的面积
【例题1】如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C（﹣4，4）．则三角形ABC的面积是（ ）
A．4B．6C．12D．24
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）则△ABC的面积为 ；
【变式1-2】（2022春•巴音郭楞州期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）将三角形ABC向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形A1B1C1，画出平移后的图形，并写出点A1的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．
【变式1-3】如图所示，将图中的点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2），（﹣4，2），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣4，3）做如下变化：
（1）横坐标不变，纵坐标分别减4，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？
（2）纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？
（3）求出以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积？
题型二 利用割补法求三角形的面积
【例题2】如图，A（3，0），B（0，3），C（1，4），求△ABC的面积．
【变式2-1】如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积．
【变式2-2】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．
（1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标．
（2）求出此三角形的面积．
【变式2-3】（2022春•雷州市期末）如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标；
（2）求出S△ABC．
【变式2-4】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）请把三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，在图中画出三角形A′B′C′；
（3）求三角形ABC的面积．
题型三 利用割补法求四边形的面积
【例题3】（2022春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），则四边形ABCO的面积为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【变式3-1】（2022春•商南县期末）如图，有一块不规则的四边形图形ABCD，各个顶点的坐标分别为A（﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），D（0，0）（比例尺为1：100），现在想对这块地皮进行规划，需要确定它的面积．
（1）确定这个四边形的面积
（2）如果把原来四边形ABCD的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标加2，所得的四边形面积又是多少？
【变式3-2】（2022秋•高明区月考）已知：A（﹣5，﹣2），B（﹣1，2），C（5，4），D（6，﹣2）．
（1）在坐标系中描出各点，画出四边形ABCD；
（2）求四边形ABCD的面积．
【变式3-3】如图，面积为12cm2的△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，相应的坐标如图所示（a，b为常数），
（1）求点D、E的坐标；
（2）求四边形ACED的面积．
【变式3-4】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，4），B（6，6），C（8，2），求四边形OABC的面积．
题型四 与图形面积相关的点的存在性问题
【例题4】（2021秋•围场县期末）已知点O（0，0），点A（﹣3，2），点B在y轴上，若△AOB的面积为12，则点B的坐标为（ ）
A．（0，8）B．（0，4）
C．（8，0）D．（0，﹣8）或（0，8）
【变式4-1】已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，﹣8）C．（﹣4，0）D．（6，0）
【变式4-2】（2022春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．
（1）求S四边形ABCO；
（2）连接AC，求S△ABC；
（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB＝8？若存在，请求点P坐标．
【变式4-4】（2022•天津模拟）如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．
（1）求点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-5】（2022•天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；
（3）在（2）条件下，当m=−32时，在x轴上是否存在点P（不与点A重合），使得S三角形PBM＝S三角形ABM，若存在请求出点P的坐标，不存在说明理由．
专 题 难 点 突 破 练
1．（2022春•湖北期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）在图中画出△A′B′C′；
（2）写出点A′、B′的坐标；
（3）连接A′A、C′C，求四边形A′ACC′的面积．
2．已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积．
3．（2022春•黄石期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣3），把线段AB先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到线段CD（其中点A与点D、点B与点C是对应点）
（1）画出平移后的线段CD，写出点C的坐标为（ ， ）．
（2）连接AD、BC，四边形ABCD的面积为 ．
（3）点E在线段AD上，CE＝6，点F是线段CE上一动点，线段BF的最小值为 ．
4．（2022春•船营区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+c−4=0．
（1）求a、b、c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，12），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积等于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2022春•青羊区校级月考）在外面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）如图1，△ABC的面积为 ；
（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求△ACD的面积；
②已知点P（1，m）是一动点，若△PAC的面积等于△ACD的面积，请求出点P的坐标．
6．（2022春•梁平区期中）如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）．
（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的16，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，P点的横坐标为6﹣2t，此时
①CP＝ ，AQ＝ （用含t的式子表示）．
②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
解题技巧提炼
当三角形的三边中有一条边落在坐标轴上，或者有一边与坐标轴平行时，可以直接求出边和其对应的高的长度，就直接利用三角形的面积公式求三角形的面积.
解题技巧提炼
1.当三角形的三边不与坐标轴平行时，无法直接求出边和高的长度，就不能直接利用三角形的面积公式求三角形的面积，可把图形补成一个边与坐标轴平行的长方形或直角梯形来求解.
2.由图形中一些点的坐标求面积时，需要过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3.利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的关系，同时运用面积的和差计算不规则的图形的面积．
解题技巧提炼
1、当四边形的其中有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以用分割法；
2、当四边形没有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以补形法；
3、不规则四边形面积的求法是利用割补法把其分割成规则且容易求的面积的图形，从而求出整个图形的面积．
解题技巧提炼
1.上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
2.由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论.
七年级下册数学《第七章 平面直角坐标系》
专题 在平面直角坐标系中求图形的面积
题型一 直接利用面积公式求图形的面积
【例题1】如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C（﹣4，4）．则三角形ABC的面积是（ ）
A．4B．6C．12D．24
【分析】根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：由图象可知，A（﹣2，0），B（4，0），
∴AB＝2+4＝6，
∵C（﹣4，4），
∴S△ABC=12×6×4=12，
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）则△ABC的面积为 ；
【分析】利用△ABC的面积为：12×3×5求出即可；
【解答】解：利用A，B，C的坐标得出：△ABC的面积为：12×3×5＝7.5；
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化以及三角形面积求法，根据已知得出对应点坐标是解题关键．
【变式1-2】（2022春•巴音郭楞州期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）将三角形ABC向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形A1B1C1，画出平移后的图形，并写出点A1的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图，三角形A1B1C1，即为所求，点A1的坐标（0，﹣1）；
（2）三角形ABC的面积=12×3×4＝6．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
【变式1-3】如图所示，将图中的点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2），（﹣4，2），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣4，3）做如下变化：
（1）横坐标不变，纵坐标分别减4，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？
（2）纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？
（3）求出以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积？
【分析】（1）根据点的坐标平移特征得到每个点向下平移了4个单位；
（2）根据点的坐标平移特征得到每个点向右平移了6个单位；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结果．
【解答】解：（1）如图1，横坐标不变，纵坐标分别减4，所得图案向下平移4个单位；
（2）如图2，纵坐标不变，横坐标分别加6，所得图案向右平移6个单位；
（3）以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积=12×4×2＝4．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，根据点的坐标计算出相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系是解题的关键．
题型二 利用割补法求三角形的面积
【例题2】如图，A（3，0），B（0，3），C（1，4），求△ABC的面积．
【分析】过点C作DE垂直于y轴，作AE垂直于x轴，AE与DE相交于点E，这样就将△ABC就处于矩形OAED的内部，只要算出矩形OAED的面积，再求出△DBC，△CAE，△BOD的面积，就可以求得△ABC的面积．
【解答】解：如下图，过点C作DE垂直于y轴，作AE垂直于x轴，AE与DE相交于点E．
∵A（3，0），B（0，3），C（1，4）．
∴点D为（0，4），E为（3，4）．
∴BD＝1，CE＝2，CD＝1，AE＝4，OA＝3，OB＝3．
∴S矩形OAED＝OA•AE＝3×4＝12，
S△BOA=12OA⋅OB=12×3×3=92，
S△DBC=12DB⋅DC=12×1×1=12，
S△ACE=12AE⋅CE=12×4×2=4，
∴S△ABC＝S矩形OAED﹣S△BOA﹣S△DBC−S△ACE=12−92−12−4=3．
【点评】本题考查三角形的面积，关键是在平面直角坐标系中，如何将三角形面积通过转化的数学思想，放在一个大的矩形之中，根据各点坐标，求出组成矩形的各个三角形的面积，从而求得我们所要求的三角形的面积．
【变式2-1】如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积．
【分析】根据S△AOE＝S△AOB﹣S△BOE计算即可．
【解答】解：由题意，得：S△AOE＝S△AOB﹣S△BOE=12×5×2−12×5×1=52．
【点评】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积．
【变式2-2】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．
（1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标．
（2）求出此三角形的面积．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点写出各点的坐标即可；
（2）根据△ABC的面积＝S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△AFC﹣S△ADB，即可解答．
【解答】解：（1）A（3，3），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣3）；
（2）如图所示：
S△ABC＝S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△ADB﹣S△AFC
=6×6−12×6×1−12×5×5−12×6×1
=352．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系的坐标的特点是解题的关键．
【变式2-3】（2022春•雷州市期末）如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标；
（2）求出S△ABC．
【分析】（1）根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标；
（2）S△ABC＝边长为4，5的长方形的面积减去直角边长为2，4的直角三角形的面积，减去直角边长为3，5的直角三角形的面积，减去边长为1，3的直角三角形面积．
【解答】解：（1）A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）；
（2）S△ABC＝4×5−12×2×4−12×1×3−12×3×5=7．
【点评】本题考查了图形与性质，解决本题的关键是格点中的三角形的面积通常整理为长方形的面积与几个三角形的面积的差．
【变式2-4】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）请把三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，在图中画出三角形A′B′C′；
（3）求三角形ABC的面积．
【分析】（1）根据A点坐标确定原点位置，然后再画出坐标系即可；
（2）首先确定A、B、C三点先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后对应点的位置，再连接即可；
（3）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）三角形ABC的面积：3×4−12×2×3−12×2×1−12×2×4＝12﹣3﹣1﹣4＝4．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是掌握图形是有点组成的，平移图形时，只要找出组成图形的关键点平移后的位置即可．
题型三 利用割补法求四边形的面积
【例题3】（2022春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），则四边形ABCO的面积为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】连接OB，然后把四边形ABCD的面积转化为△OAB和△OBC的面积和，列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OB，
∴S四边形OABC＝S△OAB+S△OBC
=12OA⋅yB+12OC⋅xB
=12×4×4+12×2×3
＝11．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，把四边形分解成规则的三角形和梯形是解题的关键，作出图形更形象直观．
【变式3-1】（2022春•商南县期末）如图，有一块不规则的四边形图形ABCD，各个顶点的坐标分别为A（﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），D（0，0）（比例尺为1：100），现在想对这块地皮进行规划，需要确定它的面积．
（1）确定这个四边形的面积
（2）如果把原来四边形ABCD的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标加2，所得的四边形面积又是多少？
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，把四边形ABCD的面积分成两个三角形的面积与梯形的面积的和，然后列式求解即可；
（2）横坐标增加2，纵坐标不变，就是把四边形ABCD向右平移2个单位，根据平移的性质，四边形的面积不变．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
则四边形ABCD的面积=12×（14﹣11）×6+12×（6+8）×（11﹣2）+12×2×8＝9+63+8＝80，
因为比例尺为1：100，所以实际面积为80×100×100＝800000；
（2）所得的四边形面积不变，因为原来四边形ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，
就是把四边形ABCD向右平移2个单位，所以，所得的四边形面积不变．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，平移变换的性质，不规则四边形的面积的求解，作辅助线把四边形分成两个三角形与一个梯形是求面积的关键．
【变式3-2】（2022秋•高明区月考）已知：A（﹣5，﹣2），B（﹣1，2），C（5，4），D（6，﹣2）．
（1）在坐标系中描出各点，画出四边形ABCD；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据各点的坐标描点再连线即可．
（2）利用割补法求四边形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求．
（2）四边形ABCD的面积为12×4×4+12×(4+6)×6+12×1×6=41．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、四边形的面积，能够利用割补法求四边形的面积是解答本题的关键．
【变式3-3】如图，面积为12cm2的△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，相应的坐标如图所示（a，b为常数），
（1）求点D、E的坐标；
（2）求四边形ACED的面积．
【分析】（1）根据对应点C、F确定出平移距离，再求出CE的长，然后根据平面直角坐标系写出点D、E的坐标即可；
（2）根据梯形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，
∴平移距离＝CF＝﹣2a，
∴CE＝﹣2a+a＝﹣a，
∴点D（﹣2a，b），E（﹣a，0）；
（2）由平移性质得，AD∥CE，
所以四边形ACED的面积=12（﹣a﹣2a）b=−32ab．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质并求出CE的长是解题的关键．
【变式3-4】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，4），B（6，6），C（8，2），求四边形OABC的面积．
【分析】分别过A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用四边形OABC的面积＝S△AOD+S梯形ABED+S梯形BCFE﹣S△COF进行计算即可．
【解答】解：分别过A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，
四边形OABC的面积＝S△AOD+S梯形ABED+S梯形BCFE﹣S△COF
=12×2×4+12×（4+6）×（6﹣2）+12×（2+6）×（8﹣6）−12×8×2
＝24．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系．若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
题型四 与图形面积相关的点的存在性问题
【例题4】（2021秋•围场县期末）已知点O（0，0），点A（﹣3，2），点B在y轴上，若△AOB的面积为12，则点B的坐标为（ ）
A．（0，8）B．（0，4）
C．（8，0）D．（0，﹣8）或（0，8）
【分析】分情况考虑，首先当B在y轴的正半轴上时，根据图形可知，三角形AOB以OB为底，则高点A的横坐标的绝对值，根据面积为12，可求出OB的长，即求出B点的坐标，再由点B在y轴，确定点B的坐标．
【解答】解：如图当B在y轴的正半轴上时，
∵三角形AOB的面积为12，
∴OB＝12×2÷3＝8，
∵点B在y轴上，
则点B的坐标为（0，﹣8）或（0，8）．
故选：D．
【点评】本题考查平面直角坐标系，将点的坐标转化为线段的长，是解决问题的关键．
【变式4-1】已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，﹣8）C．（﹣4，0）D．（6，0）
【分析】根据B点的坐标可知AP边上的高为2，而△PAB的面积为5，点P在x轴上，说明AP＝5，可求P点坐标．
【解答】解：∵A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，
∴AP边上的高为2，
又△PAB的面积为5，
∴AP＝5，
而点P在x轴的负半轴上，
∴P（﹣4，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了直角坐标系中，利用三角形的面积公式来求出三角形的底边．
【变式4-2】（2022春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；
（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；
（3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以12×6×|x−3|=6，即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），
∴|﹣3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3；
（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6，
∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18．
（3）设点P的坐标为（0，y），
∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），
∴12×6×|y﹣3|＝6，
∴|y﹣3|＝2，
∴y＝1或y＝5，
∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）．
【点评】本题考查了坐标与图形，解决本题的关键是利用数形结合的思想．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．
（1）求S四边形ABCO；
（2）连接AC，求S△ABC；
（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB＝8？若存在，请求点P坐标．
【分析】（1）把四边形ABCO的面积看成△BOC，△ABO的面积和即可．
（2）根据S△ABC＝S四边形ABCO﹣S△AOC，求解即可．
（3）设P（m，0），构建方程求出m即可．
【解答】解：（1）连接OB．
∵S四边形ABCO＝S△OBC+S△AOB=12×2×3+12×4×4＝11．
（2）S△ABC＝S四边形ABCO﹣S△AOC＝11−12×2×4＝7．
（3）设P（m，0），则有12×|m﹣4|×4＝8，
∴m＝0或8，
∴P（0，0）或（8，0）．
【点评】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求四边形面积，学会利用参数构建方程解决问题．
【变式4-4】（2022•天津模拟）如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．
（1）求点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分点B在点A的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可．
【解答】解：（1）点B在点A的右边时，﹣1+3＝2，
点B在点A的左边时，﹣1﹣3＝﹣4，
所以，B的坐标为（2，0）或（﹣4，0）；
（2）△ABC的面积=12×3×4＝6；
（3）设点P到x轴的距离为h，
则12×3h＝10，
解得h=203，
点P在y轴正半轴时，P（0，203），
点P在y轴负半轴时，P（0，−203），
综上所述，点P的坐标为（0，203）或（0，−203）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论．
【变式4-5】（2022•天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；
（3）在（2）条件下，当m=−32时，在x轴上是否存在点P（不与点A重合），使得S三角形PBM＝S三角形ABM，若存在请求出点P的坐标，不存在说明理由．
【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值；
（2）根据三角形面积公式列式整理即可；
（3）先根据（2）计算S△ABM，根据S△PBM＝S△ABM列方程求解可得．
【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0且b﹣3＝0，
解得：a＝﹣1，b＝3，
故答案为：﹣1，3；
（2）过点M作MN⊥x轴于点N，
由（1）得：A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝1+3＝4，
又∵点M（﹣2，m）在第三象限，
∴MN＝|m|＝﹣m，
∴S△ABM=12AB•MN=12×4×（﹣m）＝﹣2m；
（3）当m=−32时，M（﹣2，−32），
∴S△ABM＝﹣2×（−32）＝3，S△PBM=12×PB×32，
由题意得12×PB×32=3，
解得PB＝4，
∵P不与A重合
∴P（7，0）．
【点评】本题主要考查非负数的性质，坐标与图形的性质，第3问根据题意建立方程是解题的关键．
专 题 难 点 突 破 练
1．（2022春•湖北期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）在图中画出△A′B′C′；
（2）写出点A′、B′的坐标；
（3）连接A′A、C′C，求四边形A′ACC′的面积．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出点A′、B′的坐标；
（3）根据三角形的面积公式即可求出结果．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由图可知，A′（0，4），B′（﹣1，1）；
（3）四边形A′ACC′的面积＝S△A′AC′+S△ACC′=12×5×3+12×3×5=15．
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
2．已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积．
【分析】由图可得：四边形ABCD的面积＝矩形EFGH的面积﹣△AEB的面积﹣△AHD的面积﹣△BFC的面积﹣△CGD的面积，即可解答．
【解答】解：如图，
S四边形ABCD＝S矩形EFGH﹣S△AEB﹣S△AHD﹣S△BFC﹣S△CDG
=8×6−12×4×3−12×4×4−12×2×3−12×2×6
＝25．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是结合图形四边形ABCD的面积＝矩形EFGH的面积﹣△AEB的面积﹣△AHD的面积﹣△BFC的面积﹣△CGD的面积．
3．（2022春•黄石期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣3），把线段AB先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到线段CD（其中点A与点D、点B与点C是对应点）
（1）画出平移后的线段CD，写出点C的坐标为（ ， ）．
（2）连接AD、BC，四边形ABCD的面积为 ．
（3）点E在线段AD上，CE＝6，点F是线段CE上一动点，线段BF的最小值为 ．
【分析】（1）根据平移变换的性质作出图形即可．
（2）利用分割法求四边形面积即可．
（3）连接BE，当BF⊥CE时，BF的值最小，利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．C（4，1）．
故答案为4，1．
（2）四边形ABCD的面积＝8×8﹣2×12×4×5﹣2×12×3×4＝32．
故答案为32．
（3）连接BE，当BF⊥CE时，BF的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△BCE=12S平行四边形ABCD＝16，
∴12×CE×BF＝16，
∴BF=163．
故答案为163．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2022春•船营区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+c−4=0．
（1）求a、b、c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，12），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积等于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据几个非负数和的性质得到a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，分别解一元一次方程得到a＝2，b＝3，b＝4；
（2）根据三角形的面积公式和四边形ABOP的面积＝S△AOP+S△AOB进行计算；
（3）若S四边形ABOP＝2S△AOP，则﹣m+3＝2•12•2•（﹣m），解得m＝﹣3，然后写出P点的坐标．
【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）2+c−4=0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，
∴a＝2，b＝3，b＝4；
（2）A点坐标为（0，2），B点坐标为（3，0），
四边形ABOP的面积＝S△AOP+S△AOB
=12•2•（﹣m）+12•2•3
＝﹣m+3；
（3）存在．理由如下：
∵S四边形ABOP＝2S△AOP，
∴﹣m+3＝2•12•2•（﹣m），
∴m＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，12）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．
5．（2022春•青羊区校级月考）在外面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）如图1，△ABC的面积为 ；
（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求△ACD的面积；
②已知点P（1，m）是一动点，若△PAC的面积等于△ACD的面积，请求出点P的坐标．
【分析】（1）求出OA，OB，OC，可得结论．
（2）①连接OD，根据S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC，求解即可．
②分两种情形，根据面积关系构建方程，求出m即可．
【解答】解：（1）∵点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），
∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，
∴S△ABC=12×（2+4）×2＝6，
故答案为：6．
（2）①连接OD．
由题意D（5，4），
S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC=12×2×5+12×4×4−12×2×4＝9．
②当点P在AC的上方时，S△PAC＝S△PAO+S△POC﹣S△AOC，
∴12×2×1+12×4×m−12×2×4＝9．
∴m＝6，
∴P（1，6）．
当点P在AC的下方时，S△PAC＝S△POC+S△AOC﹣S△AOC，
∴12×4×（﹣m）+12×2×4−12×2×1，
∴m＝﹣3，
∴P（1，﹣3）
∴点P的坐标为（1，6）或（1，﹣3）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
6．（2022春•梁平区期中）如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）．
（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的16，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，P点的横坐标为6﹣2t，此时
①CP＝ ，AQ＝ （用含t的式子表示）．
②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
【分析】（1）利用矩形的性质和对称性，由点D的坐标直接得出答案即可；
（2）得出E点的坐标为（0，3），设出M点的坐标，根据△CME的面积是长方形ABCD面积的16，列出方程解答即可；
（3）由B点的横坐标为6﹣2t＝﹣6，得出t＝6，求得点P的运动速度为2，点Q的运动速度为1，利用面积差表示出四边形PBQD的面积比较得出答案即可．
【解答】解：（1）A、B、C的坐标分别为（﹣6，3）、（﹣6，﹣3）、（6，﹣3）；
（2）由题意得E点的坐标为（0，3），设M点坐标为（0，a），
则12×|a﹣3|×6=16×12×6
解得：a＝﹣1或a＝7，
M点坐标为（0，﹣1）或（0，7）．
（3）∵B点的横坐标为6﹣2t＝﹣6，
∴t＝6，
则点P的运动速度为12÷6＝2，点Q的运动速度为2÷2＝1，
①CP＝2t，AQ＝6﹣t；
②不变．
理由：∵四边形PBQD的面积＝12×6−12（6﹣t）×12−12×2t×6＝36，
∴四边形PBQD的面积不发生变化．
【点评】此题考查坐标与图形的性质，三角形的面积，矩形的性质与面积，掌握矩形的对称性是解决问题的关键．
解题技巧提炼
当三角形的三边中有一条边落在坐标轴上，或者有一边与坐标轴平行时，可以直接求出边和其对应的高的长度，就直接利用三角形的面积公式求三角形的面积.
解题技巧提炼
1.当三角形的三边不与坐标轴平行时，无法直接求出边和高的长度，就不能直接利用三角形的面积公式求三角形的面积，可把图形补成一个边与坐标轴平行的长方形或直角梯形来求解.
2.由图形中一些点的坐标求面积时，需要过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3.利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的关系，同时运用面积的和差计算不规则的图形的面积．
解题技巧提炼
1、当四边形的其中有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以用分割法；
2、当四边形没有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以补形法；
3、不规则四边形面积的求法是利用割补法把其分割成规则且容易求的面积的图形，从而求出整个图形的面积．
解题技巧提炼
1.上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
2.由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论.
题型一 直接利用面积公式求图形的面积
【例题1】如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C（﹣4，4）．则三角形ABC的面积是（ ）
A．4B．6C．12D．24
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）则△ABC的面积为 ；
【变式1-2】（2022春•巴音郭楞州期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）将三角形ABC向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形A1B1C1，画出平移后的图形，并写出点A1的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．
【变式1-3】如图所示，将图中的点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2），（﹣4，2），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣4，3）做如下变化：
（1）横坐标不变，纵坐标分别减4，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？
（2）纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？
（3）求出以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积？
题型二 利用割补法求三角形的面积
【例题2】如图，A（3，0），B（0，3），C（1，4），求△ABC的面积．
【变式2-1】如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积．
【变式2-2】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．
（1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标．
（2）求出此三角形的面积．
【变式2-3】（2022春•雷州市期末）如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标；
（2）求出S△ABC．
【变式2-4】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）请把三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，在图中画出三角形A′B′C′；
（3）求三角形ABC的面积．
题型三 利用割补法求四边形的面积
【例题3】（2022春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），则四边形ABCO的面积为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【变式3-1】（2022春•商南县期末）如图，有一块不规则的四边形图形ABCD，各个顶点的坐标分别为A（﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），D（0，0）（比例尺为1：100），现在想对这块地皮进行规划，需要确定它的面积．
（1）确定这个四边形的面积
（2）如果把原来四边形ABCD的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标加2，所得的四边形面积又是多少？
【变式3-2】（2022秋•高明区月考）已知：A（﹣5，﹣2），B（﹣1，2），C（5，4），D（6，﹣2）．
（1）在坐标系中描出各点，画出四边形ABCD；
（2）求四边形ABCD的面积．
【变式3-3】如图，面积为12cm2的△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，相应的坐标如图所示（a，b为常数），
（1）求点D、E的坐标；
（2）求四边形ACED的面积．
【变式3-4】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，4），B（6，6），C（8，2），求四边形OABC的面积．
题型四 与图形面积相关的点的存在性问题
【例题4】（2021秋•围场县期末）已知点O（0，0），点A（﹣3，2），点B在y轴上，若△AOB的面积为12，则点B的坐标为（ ）
A．（0，8）B．（0，4）
C．（8，0）D．（0，﹣8）或（0，8）
【变式4-1】已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，﹣8）C．（﹣4，0）D．（6，0）
【变式4-2】（2022春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．
（1）求S四边形ABCO；
（2）连接AC，求S△ABC；
（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB＝8？若存在，请求点P坐标．
【变式4-4】（2022•天津模拟）如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．
（1）求点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-5】（2022•天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；
（3）在（2）条件下，当m=−32时，在x轴上是否存在点P（不与点A重合），使得S三角形PBM＝S三角形ABM，若存在请求出点P的坐标，不存在说明理由．
专 题 难 点 突 破 练
1．（2022春•湖北期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）在图中画出△A′B′C′；
（2）写出点A′、B′的坐标；
（3）连接A′A、C′C，求四边形A′ACC′的面积．
2．已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积．
3．（2022春•黄石期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣3），把线段AB先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到线段CD（其中点A与点D、点B与点C是对应点）
（1）画出平移后的线段CD，写出点C的坐标为（ ， ）．
（2）连接AD、BC，四边形ABCD的面积为 ．
（3）点E在线段AD上，CE＝6，点F是线段CE上一动点，线段BF的最小值为 ．
4．（2022春•船营区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+c−4=0．
（1）求a、b、c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，12），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积等于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2022春•青羊区校级月考）在外面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）如图1，△ABC的面积为 ；
（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求△ACD的面积；
②已知点P（1，m）是一动点，若△PAC的面积等于△ACD的面积，请求出点P的坐标．
6．（2022春•梁平区期中）如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）．
（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的16，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，P点的横坐标为6﹣2t，此时
①CP＝ ，AQ＝ （用含t的式子表示）．
②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
解题技巧提炼
当三角形的三边中有一条边落在坐标轴上，或者有一边与坐标轴平行时，可以直接求出边和其对应的高的长度，就直接利用三角形的面积公式求三角形的面积.
解题技巧提炼
1.当三角形的三边不与坐标轴平行时，无法直接求出边和高的长度，就不能直接利用三角形的面积公式求三角形的面积，可把图形补成一个边与坐标轴平行的长方形或直角梯形来求解.
2.由图形中一些点的坐标求面积时，需要过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3.利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的关系，同时运用面积的和差计算不规则的图形的面积．
解题技巧提炼
1、当四边形的其中有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以用分割法；
2、当四边形没有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以补形法；
3、不规则四边形面积的求法是利用割补法把其分割成规则且容易求的面积的图形，从而求出整个图形的面积．
解题技巧提炼
1.上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
2.由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论.
七年级下册数学《第七章 平面直角坐标系》
专题 在平面直角坐标系中求图形的面积
题型一 直接利用面积公式求图形的面积
【例题1】如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C（﹣4，4）．则三角形ABC的面积是（ ）
A．4B．6C．12D．24
【分析】根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：由图象可知，A（﹣2，0），B（4，0），
∴AB＝2+4＝6，
∵C（﹣4，4），
∴S△ABC=12×6×4=12，
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）则△ABC的面积为 ；
【分析】利用△ABC的面积为：12×3×5求出即可；
【解答】解：利用A，B，C的坐标得出：△ABC的面积为：12×3×5＝7.5；
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化以及三角形面积求法，根据已知得出对应点坐标是解题关键．
【变式1-2】（2022春•巴音郭楞州期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）将三角形ABC向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形A1B1C1，画出平移后的图形，并写出点A1的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图，三角形A1B1C1，即为所求，点A1的坐标（0，﹣1）；
（2）三角形ABC的面积=12×3×4＝6．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
【变式1-3】如图所示，将图中的点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2），（﹣4，2），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣4，3）做如下变化：
（1）横坐标不变，纵坐标分别减4，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？
（2）纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？
（3）求出以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积？
【分析】（1）根据点的坐标平移特征得到每个点向下平移了4个单位；
（2）根据点的坐标平移特征得到每个点向右平移了6个单位；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结果．
【解答】解：（1）如图1，横坐标不变，纵坐标分别减4，所得图案向下平移4个单位；
（2）如图2，纵坐标不变，横坐标分别加6，所得图案向右平移6个单位；
（3）以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积=12×4×2＝4．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，根据点的坐标计算出相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系是解题的关键．
题型二 利用割补法求三角形的面积
【例题2】如图，A（3，0），B（0，3），C（1，4），求△ABC的面积．
【分析】过点C作DE垂直于y轴，作AE垂直于x轴，AE与DE相交于点E，这样就将△ABC就处于矩形OAED的内部，只要算出矩形OAED的面积，再求出△DBC，△CAE，△BOD的面积，就可以求得△ABC的面积．
【解答】解：如下图，过点C作DE垂直于y轴，作AE垂直于x轴，AE与DE相交于点E．
∵A（3，0），B（0，3），C（1，4）．
∴点D为（0，4），E为（3，4）．
∴BD＝1，CE＝2，CD＝1，AE＝4，OA＝3，OB＝3．
∴S矩形OAED＝OA•AE＝3×4＝12，
S△BOA=12OA⋅OB=12×3×3=92，
S△DBC=12DB⋅DC=12×1×1=12，
S△ACE=12AE⋅CE=12×4×2=4，
∴S△ABC＝S矩形OAED﹣S△BOA﹣S△DBC−S△ACE=12−92−12−4=3．
【点评】本题考查三角形的面积，关键是在平面直角坐标系中，如何将三角形面积通过转化的数学思想，放在一个大的矩形之中，根据各点坐标，求出组成矩形的各个三角形的面积，从而求得我们所要求的三角形的面积．
【变式2-1】如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积．
【分析】根据S△AOE＝S△AOB﹣S△BOE计算即可．
【解答】解：由题意，得：S△AOE＝S△AOB﹣S△BOE=12×5×2−12×5×1=52．
【点评】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积．
【变式2-2】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．
（1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标．
（2）求出此三角形的面积．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点写出各点的坐标即可；
（2）根据△ABC的面积＝S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△AFC﹣S△ADB，即可解答．
【解答】解：（1）A（3，3），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣3）；
（2）如图所示：
S△ABC＝S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△ADB﹣S△AFC
=6×6−12×6×1−12×5×5−12×6×1
=352．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系的坐标的特点是解题的关键．
【变式2-3】（2022春•雷州市期末）如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标；
（2）求出S△ABC．
【分析】（1）根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标；
（2）S△ABC＝边长为4，5的长方形的面积减去直角边长为2，4的直角三角形的面积，减去直角边长为3，5的直角三角形的面积，减去边长为1，3的直角三角形面积．
【解答】解：（1）A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）；
（2）S△ABC＝4×5−12×2×4−12×1×3−12×3×5=7．
【点评】本题考查了图形与性质，解决本题的关键是格点中的三角形的面积通常整理为长方形的面积与几个三角形的面积的差．
【变式2-4】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）请把三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，在图中画出三角形A′B′C′；
（3）求三角形ABC的面积．
【分析】（1）根据A点坐标确定原点位置，然后再画出坐标系即可；
（2）首先确定A、B、C三点先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后对应点的位置，再连接即可；
（3）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）三角形ABC的面积：3×4−12×2×3−12×2×1−12×2×4＝12﹣3﹣1﹣4＝4．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是掌握图形是有点组成的，平移图形时，只要找出组成图形的关键点平移后的位置即可．
题型三 利用割补法求四边形的面积
【例题3】（2022春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），则四边形ABCO的面积为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】连接OB，然后把四边形ABCD的面积转化为△OAB和△OBC的面积和，列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OB，
∴S四边形OABC＝S△OAB+S△OBC
=12OA⋅yB+12OC⋅xB
=12×4×4+12×2×3
＝11．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，把四边形分解成规则的三角形和梯形是解题的关键，作出图形更形象直观．
【变式3-1】（2022春•商南县期末）如图，有一块不规则的四边形图形ABCD，各个顶点的坐标分别为A（﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），D（0，0）（比例尺为1：100），现在想对这块地皮进行规划，需要确定它的面积．
（1）确定这个四边形的面积
（2）如果把原来四边形ABCD的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标加2，所得的四边形面积又是多少？
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，把四边形ABCD的面积分成两个三角形的面积与梯形的面积的和，然后列式求解即可；
（2）横坐标增加2，纵坐标不变，就是把四边形ABCD向右平移2个单位，根据平移的性质，四边形的面积不变．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
则四边形ABCD的面积=12×（14﹣11）×6+12×（6+8）×（11﹣2）+12×2×8＝9+63+8＝80，
因为比例尺为1：100，所以实际面积为80×100×100＝800000；
（2）所得的四边形面积不变，因为原来四边形ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，
就是把四边形ABCD向右平移2个单位，所以，所得的四边形面积不变．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，平移变换的性质，不规则四边形的面积的求解，作辅助线把四边形分成两个三角形与一个梯形是求面积的关键．
【变式3-2】（2022秋•高明区月考）已知：A（﹣5，﹣2），B（﹣1，2），C（5，4），D（6，﹣2）．
（1）在坐标系中描出各点，画出四边形ABCD；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据各点的坐标描点再连线即可．
（2）利用割补法求四边形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求．
（2）四边形ABCD的面积为12×4×4+12×(4+6)×6+12×1×6=41．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、四边形的面积，能够利用割补法求四边形的面积是解答本题的关键．
【变式3-3】如图，面积为12cm2的△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，相应的坐标如图所示（a，b为常数），
（1）求点D、E的坐标；
（2）求四边形ACED的面积．
【分析】（1）根据对应点C、F确定出平移距离，再求出CE的长，然后根据平面直角坐标系写出点D、E的坐标即可；
（2）根据梯形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，
∴平移距离＝CF＝﹣2a，
∴CE＝﹣2a+a＝﹣a，
∴点D（﹣2a，b），E（﹣a，0）；
（2）由平移性质得，AD∥CE，
所以四边形ACED的面积=12（﹣a﹣2a）b=−32ab．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质并求出CE的长是解题的关键．
【变式3-4】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，4），B（6，6），C（8，2），求四边形OABC的面积．
【分析】分别过A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用四边形OABC的面积＝S△AOD+S梯形ABED+S梯形BCFE﹣S△COF进行计算即可．
【解答】解：分别过A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，
四边形OABC的面积＝S△AOD+S梯形ABED+S梯形BCFE﹣S△COF
=12×2×4+12×（4+6）×（6﹣2）+12×（2+6）×（8﹣6）−12×8×2
＝24．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系．若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
题型四 与图形面积相关的点的存在性问题
【例题4】（2021秋•围场县期末）已知点O（0，0），点A（﹣3，2），点B在y轴上，若△AOB的面积为12，则点B的坐标为（ ）
A．（0，8）B．（0，4）
C．（8，0）D．（0，﹣8）或（0，8）
【分析】分情况考虑，首先当B在y轴的正半轴上时，根据图形可知，三角形AOB以OB为底，则高点A的横坐标的绝对值，根据面积为12，可求出OB的长，即求出B点的坐标，再由点B在y轴，确定点B的坐标．
【解答】解：如图当B在y轴的正半轴上时，
∵三角形AOB的面积为12，
∴OB＝12×2÷3＝8，
∵点B在y轴上，
则点B的坐标为（0，﹣8）或（0，8）．
故选：D．
【点评】本题考查平面直角坐标系，将点的坐标转化为线段的长，是解决问题的关键．
【变式4-1】已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，﹣8）C．（﹣4，0）D．（6，0）
【分析】根据B点的坐标可知AP边上的高为2，而△PAB的面积为5，点P在x轴上，说明AP＝5，可求P点坐标．
【解答】解：∵A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，
∴AP边上的高为2，
又△PAB的面积为5，
∴AP＝5，
而点P在x轴的负半轴上，
∴P（﹣4，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了直角坐标系中，利用三角形的面积公式来求出三角形的底边．
【变式4-2】（2022春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；
（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；
（3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以12×6×|x−3|=6，即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），
∴|﹣3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3；
（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6，
∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18．
（3）设点P的坐标为（0，y），
∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），
∴12×6×|y﹣3|＝6，
∴|y﹣3|＝2，
∴y＝1或y＝5，
∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）．
【点评】本题考查了坐标与图形，解决本题的关键是利用数形结合的思想．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．
（1）求S四边形ABCO；
（2）连接AC，求S△ABC；
（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB＝8？若存在，请求点P坐标．
【分析】（1）把四边形ABCO的面积看成△BOC，△ABO的面积和即可．
（2）根据S△ABC＝S四边形ABCO﹣S△AOC，求解即可．
（3）设P（m，0），构建方程求出m即可．
【解答】解：（1）连接OB．
∵S四边形ABCO＝S△OBC+S△AOB=12×2×3+12×4×4＝11．
（2）S△ABC＝S四边形ABCO﹣S△AOC＝11−12×2×4＝7．
（3）设P（m，0），则有12×|m﹣4|×4＝8，
∴m＝0或8，
∴P（0，0）或（8，0）．
【点评】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求四边形面积，学会利用参数构建方程解决问题．
【变式4-4】（2022•天津模拟）如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．
（1）求点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分点B在点A的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可．
【解答】解：（1）点B在点A的右边时，﹣1+3＝2，
点B在点A的左边时，﹣1﹣3＝﹣4，
所以，B的坐标为（2，0）或（﹣4，0）；
（2）△ABC的面积=12×3×4＝6；
（3）设点P到x轴的距离为h，
则12×3h＝10，
解得h=203，
点P在y轴正半轴时，P（0，203），
点P在y轴负半轴时，P（0，−203），
综上所述，点P的坐标为（0，203）或（0，−203）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论．
【变式4-5】（2022•天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；
（3）在（2）条件下，当m=−32时，在x轴上是否存在点P（不与点A重合），使得S三角形PBM＝S三角形ABM，若存在请求出点P的坐标，不存在说明理由．
【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值；
（2）根据三角形面积公式列式整理即可；
（3）先根据（2）计算S△ABM，根据S△PBM＝S△ABM列方程求解可得．
【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0且b﹣3＝0，
解得：a＝﹣1，b＝3，
故答案为：﹣1，3；
（2）过点M作MN⊥x轴于点N，
由（1）得：A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝1+3＝4，
又∵点M（﹣2，m）在第三象限，
∴MN＝|m|＝﹣m，
∴S△ABM=12AB•MN=12×4×（﹣m）＝﹣2m；
（3）当m=−32时，M（﹣2，−32），
∴S△ABM＝﹣2×（−32）＝3，S△PBM=12×PB×32，
由题意得12×PB×32=3，
解得PB＝4，
∵P不与A重合
∴P（7，0）．
【点评】本题主要考查非负数的性质，坐标与图形的性质，第3问根据题意建立方程是解题的关键．
专 题 难 点 突 破 练
1．（2022春•湖北期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）在图中画出△A′B′C′；
（2）写出点A′、B′的坐标；
（3）连接A′A、C′C，求四边形A′ACC′的面积．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出点A′、B′的坐标；
（3）根据三角形的面积公式即可求出结果．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由图可知，A′（0，4），B′（﹣1，1）；
（3）四边形A′ACC′的面积＝S△A′AC′+S△ACC′=12×5×3+12×3×5=15．
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
2．已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积．
【分析】由图可得：四边形ABCD的面积＝矩形EFGH的面积﹣△AEB的面积﹣△AHD的面积﹣△BFC的面积﹣△CGD的面积，即可解答．
【解答】解：如图，
S四边形ABCD＝S矩形EFGH﹣S△AEB﹣S△AHD﹣S△BFC﹣S△CDG
=8×6−12×4×3−12×4×4−12×2×3−12×2×6
＝25．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是结合图形四边形ABCD的面积＝矩形EFGH的面积﹣△AEB的面积﹣△AHD的面积﹣△BFC的面积﹣△CGD的面积．
3．（2022春•黄石期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣3），把线段AB先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到线段CD（其中点A与点D、点B与点C是对应点）
（1）画出平移后的线段CD，写出点C的坐标为（ ， ）．
（2）连接AD、BC，四边形ABCD的面积为 ．
（3）点E在线段AD上，CE＝6，点F是线段CE上一动点，线段BF的最小值为 ．
【分析】（1）根据平移变换的性质作出图形即可．
（2）利用分割法求四边形面积即可．
（3）连接BE，当BF⊥CE时，BF的值最小，利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．C（4，1）．
故答案为4，1．
（2）四边形ABCD的面积＝8×8﹣2×12×4×5﹣2×12×3×4＝32．
故答案为32．
（3）连接BE，当BF⊥CE时，BF的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△BCE=12S平行四边形ABCD＝16，
∴12×CE×BF＝16，
∴BF=163．
故答案为163．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2022春•船营区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+c−4=0．
（1）求a、b、c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，12），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积等于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据几个非负数和的性质得到a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，分别解一元一次方程得到a＝2，b＝3，b＝4；
（2）根据三角形的面积公式和四边形ABOP的面积＝S△AOP+S△AOB进行计算；
（3）若S四边形ABOP＝2S△AOP，则﹣m+3＝2•12•2•（﹣m），解得m＝﹣3，然后写出P点的坐标．
【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）2+c−4=0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，
∴a＝2，b＝3，b＝4；
（2）A点坐标为（0，2），B点坐标为（3，0），
四边形ABOP的面积＝S△AOP+S△AOB
=12•2•（﹣m）+12•2•3
＝﹣m+3；
（3）存在．理由如下：
∵S四边形ABOP＝2S△AOP，
∴﹣m+3＝2•12•2•（﹣m），
∴m＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，12）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式．
5．（2022春•青羊区校级月考）在外面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）如图1，△ABC的面积为 ；
（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求△ACD的面积；
②已知点P（1，m）是一动点，若△PAC的面积等于△ACD的面积，请求出点P的坐标．
【分析】（1）求出OA，OB，OC，可得结论．
（2）①连接OD，根据S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC，求解即可．
②分两种情形，根据面积关系构建方程，求出m即可．
【解答】解：（1）∵点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），
∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，
∴S△ABC=12×（2+4）×2＝6，
故答案为：6．
（2）①连接OD．
由题意D（5，4），
S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC=12×2×5+12×4×4−12×2×4＝9．
②当点P在AC的上方时，S△PAC＝S△PAO+S△POC﹣S△AOC，
∴12×2×1+12×4×m−12×2×4＝9．
∴m＝6，
∴P（1，6）．
当点P在AC的下方时，S△PAC＝S△POC+S△AOC﹣S△AOC，
∴12×4×（﹣m）+12×2×4−12×2×1，
∴m＝﹣3，
∴P（1，﹣3）
∴点P的坐标为（1，6）或（1，﹣3）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
6．（2022春•梁平区期中）如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）．
（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的16，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，P点的横坐标为6﹣2t，此时
①CP＝ ，AQ＝ （用含t的式子表示）．
②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
【分析】（1）利用矩形的性质和对称性，由点D的坐标直接得出答案即可；
（2）得出E点的坐标为（0，3），设出M点的坐标，根据△CME的面积是长方形ABCD面积的16，列出方程解答即可；
（3）由B点的横坐标为6﹣2t＝﹣6，得出t＝6，求得点P的运动速度为2，点Q的运动速度为1，利用面积差表示出四边形PBQD的面积比较得出答案即可．
【解答】解：（1）A、B、C的坐标分别为（﹣6，3）、（﹣6，﹣3）、（6，﹣3）；
（2）由题意得E点的坐标为（0，3），设M点坐标为（0，a），
则12×|a﹣3|×6=16×12×6
解得：a＝﹣1或a＝7，
M点坐标为（0，﹣1）或（0，7）．
（3）∵B点的横坐标为6﹣2t＝﹣6，
∴t＝6，
则点P的运动速度为12÷6＝2，点Q的运动速度为2÷2＝1，
①CP＝2t，AQ＝6﹣t；
②不变．
理由：∵四边形PBQD的面积＝12×6−12（6﹣t）×12−12×2t×6＝36，
∴四边形PBQD的面积不发生变化．
【点评】此题考查坐标与图形的性质，三角形的面积，矩形的性质与面积，掌握矩形的对称性是解决问题的关键．
解题技巧提炼
当三角形的三边中有一条边落在坐标轴上，或者有一边与坐标轴平行时，可以直接求出边和其对应的高的长度，就直接利用三角形的面积公式求三角形的面积.
解题技巧提炼
1.当三角形的三边不与坐标轴平行时，无法直接求出边和高的长度，就不能直接利用三角形的面积公式求三角形的面积，可把图形补成一个边与坐标轴平行的长方形或直角梯形来求解.
2.由图形中一些点的坐标求面积时，需要过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3.利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的关系，同时运用面积的和差计算不规则的图形的面积．
解题技巧提炼
1、当四边形的其中有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以用分割法；
2、当四边形没有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以补形法；
3、不规则四边形面积的求法是利用割补法把其分割成规则且容易求的面积的图形，从而求出整个图形的面积．
解题技巧提炼
1.上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
2.由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论.
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