人教版七年级数学下册同步精讲精练专题相交线与平行线之阅读理解填理由题(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练专题相交线与平行线之阅读理解填理由题(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了在下列括号中填写推理理由，如图，AD∥BC，∠1＝∠B，完成下面推理过程等内容，欢迎下载使用。

（基础题＆提升题＆压轴题）
基 础 题
1．（2022秋•东方期末）如图，∠DAE＝∠E，∠B＝∠D．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？说明理由（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）
解：直线AD与BE平行，直线AB与CD平行．理由如下：
∵∠DAE＝∠E，（已知）
∴ ∥BE，（ ）
∴∠D＝∠DCE，（ ）
又∵∠B＝∠D，（已知）
∴∠B＝ ，（等量代换）
∴ ∥DC，（ ）．
2．在下列括号中填写推理理由：如图，∠1＝∠2，DE⊥BC，AB⊥BC，
求证：∠A＝∠3．
证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知）
∴∠DEC＝∠ABC＝90°（ ）
∴DE∥AB（ ）
∴∠2＝ （ ）
∠1＝ （ ）
又∠1＝∠2（已知），
∴∠A＝∠3（等量代换）
3．（2022春•太和县期末）如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1．求证：AD平分∠BAC．
下面是部分推理过程，请你将其补充完整：
∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知）
∴∠ADC＝∠EGC＝90°
∴AD∥EG （ ）．
∴∠1＝∠2 （ ）．
＝∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E＝∠1（已知）
∴∠2＝∠3 （ ）．
∴AD平分∠BAC （ ）．
4．（2021春•吉安期中）如图，直线AD∥BC，E，F分别在线段AB，CD上，∠ADE＝∠FBC，判断直线DE与BF的位置关系，以下是解答过程，请补充完整，其中括号里填依据．
解：DE∥BF．
理由如下：延长DE交CB延长线于H
因为AD∥BC（ ）
所以∠ADE＝∠H（ ）．
又因为∠ADE＝∠FBC（已知），
所以 ＝ （ ）．
所以DE∥BF（ ）．
5．（2022秋•晋江市期末）在下列解答中，填上适当的数式或理由：
如图，AB∥CD∥EF，BC平分∠ABE，试说明：∠E＝2∠C．
解：∵AB∥CD（ ），
∴∠ABC＝∠ （ ），
∵BC平分∠ABE（已知），
∴∠ABC=12∠ （ ），
∵AB∥EF（已知），
∴∠ABE＝∠ （ ）．
∴∠C=12∠ （等量代换）
即∠E＝2∠C．
6．（2022秋•海口期末）如图，AD∥BC，∠1＝∠B．
（1）AB与DE平行吗？请说明理由；
（2）若∠A＝120°，CD⊥AD，求∠EDC的度数．
请在下面的解答过程的空格内填空或在横线上填写理由．
解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ .
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠B＝∠ .
∴ ∥ ．
（2）∵AD∥BC，（已知）
∴∠A+∠ ＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝ °．（等式的性质）
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠1＝ °．（等量代换）
∵CD⊥AD，（已知）
∴∠ADC＝ °．（垂直的定义）
∴∠EDC＝∠ ﹣∠ ＝ °﹣ °＝ °．
7．（2021秋•海口期末）如图，∠1＝85°，∠2＝134°，∠ACD＝95°．
（1）直线AB与CD平行吗？请说明理由；
（2）求∠ECD的度数．
请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由．
解：（1）∵∠CAE＝∠1＝85°，
∴∠CAE+∠ACD＝ °，
∴AB∥CD．
（2）∵∠2＝134°，
∴∠AEC＝180°﹣∠2＝ °
∵AB∥CD，（已知）
∴∠ECD＝∠AEC＝46°． ．
8．（2022秋•宛城区校级期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ ）
又，∵∠1＝∠B（已知）
∴ （ ）
∴∠AFB＝∠AOE（ ）
∴∠AFB＝90°（ ）
又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ ）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）
9．（2021春•宜春期末）完成下面推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2（ ），且∠1＝∠CGD（ ），
∴∠2＝∠CGD（等量代换），
∴CE∥BF（ ），
∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠ ＝∠B（ ），
∴AB∥CD（ ）．
10．（2021秋•南关区期末）如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．
阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解：∵AB∥DC（ ），
∴∠B+∠DCB＝180°（ ）．
∵∠B＝ （已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝ （垂直的定义）．
∴∠2＝ ．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝ （ ）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝ （角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴ +∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝ ．
11．（2021春•宜春期末）完成下面推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2（ ），且∠1＝∠CGD（ ），
∴∠2＝∠CGD（等量代换），
∴CE∥BF（ ），
∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠ ＝∠B（ ），
∴AB∥CD（ ）．
12．（2022•南京模拟）将下面证明过程补充完整，并在括号内填写理由．
如图，已知∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC且∠1＝∠2．
求证：∠A＝∠C．
证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（已知）
∴∠1=12∠ABC，∠3=12∠ADC（ ）
∵∠ABC＝∠ADC
∴∠1＝∠3 （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠3 （ ）
∴AB∥CD（ ）
∴∠A+ ＝180°，∠C+ ＝180° （ ）
∴∠A＝∠C（ ）
提 升 题
1．（2021春•麻城市校级月考）阅读下面的推理过程，在括号里填写结论或理由．
如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，求证：∠EGF＝90°．
证明：AB∥GH（已知），
∴∠1＝∠3 ，
又∵CD∥GH（已知），
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），
∴∠BEF+ ＝180°（直线平行，同旁内角互补）．
∵EG平分∠BEF（已知），
∴∠1=12∠BEF ．
又∵FG平分∠EFD ，
∴∠1+∠2=12（ +∠EFD）．
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3+∠4＝90° ，即∠EGF＝90°．
2．如图，BD⊥AC，垂足为点D，点E在BC上，EF⊥AC，垂足为点G，∠1＝∠2．
注：本题第（1）（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程．
（1）试说明：DB∥FE；
∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），
∴DB∥FE （ ）．
（2）HF与BC的位置关系如何？为什么？
HF与BC的位置关系是 ．
理由如下：
∵DB∥FE，
∴∠1＝∠ （ ）．
∵∠1＝∠2 （ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴ ∥ （ ）．
3．如图，已知AD⊥DF，EC⊥DF，∠1＝∠3，∠2＝∠4，求证：AE∥DF．（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）
证明：∵AD⊥DF，EC⊥DF，（已知）
∴∠BFD＝∠ADF＝90°．（ ）
∴EC∥（ ）
∴∠EBA＝ （两直线平行，内错角相等）
∵∠2＝∠4，（已知）
∴∠EBA＝∠4．（等量代换）
∴AB∥ ．（ ）
∴∠2+∠ADC＝180°．（ ）
∴∠2+∠ADF+∠3＝180°．
∵∠1＝∠3．（已知）
∴∠2+∠ADF+∠1＝180°．（等量代换）
∴ +∠ADF＝180°．
∴AE∥DF．（ ）
4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（ ）
∴∠1＝∠ ．（ ）
∴DF∥CE．（ ）
∴∠C＝∠ ．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ ．（等量代换）
∴AC∥BF．（ ）
∴∠A＝∠B．（ ）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（ ）
5．（2022秋•鼓楼区期末）如图，BC与AF相交于点E，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE．
证明：∵AB∥CD，（ ），
∴∠BAE＝∠4（ ）．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝ ，（等式的性质1）
即∠BAE＝∠CAD，
∴∠4＝∠CAD，（等量代换）
∵∠3＝∠4，
∴∠CAD＝∠3，（等量代换）
∴AD∥BE．（ ）．
6．完成求解过程，并写出括号里的理由：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE∥BC，DE∥AF，BE平分∠ABC，∠FAD＝40°，求∠BEC的度数．
解：（将下面的解答过程补充完整）
∵DE∥BC，DE∥AF（已知），
∴BC∥AF（ ）．
∴∠ABC＝∠FAD（ ）
∵∠FAD＝40°，
∴∠ABC＝40°．
∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠CBE=12∠ （ ）＝ °．
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°（已知），
∴∠BEC＝90°﹣∠CBE（直角三角形的两个锐角互余）＝ °．
7．（2021秋•仁寿县期末）阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．
已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC＝∠F．
求证：∠CED+∠EDF＝180°．
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
∴∠DBC=12∠ABC，∠BCE=12∠ACB（ ）
∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠DBC＝ （等式的性质）
∵∠DBC＝∠F（已知）
∴∠F＝ （等量代换）
∴EC∥DF（ ）
∴∠CED+∠EDF＝180°（ ）
8．（2022秋•封丘县校级期末）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．
证明：∵AD∥BC（ ），
∴∠DAC+ ＝180°（ ）．
∵∠DAC＝120°（ ），
∴∠ACB＝180°﹣ ＝60°（等式的性质）．
又∵∠ACF＝20°（ ），
∴∠BCF＝ ﹣∠ACF＝40°．
∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，
∴EF∥BC（ ）．
∵AD∥BC（ ），
∴EF∥AD（ ）．
9．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，AD∥BC，BD⊥CD，EF⊥CD，垂足分别是D，F，∠1＝47°，求∠2的度数．
完成下列推理过程：
解：因为AD∥BC（已知），
所以∠1＝ （ ）．
因为∠1＝47°，
所以 ＝47°（ ）．
因为BD⊥CD48．（2022春•西安期中）填写下面证明过程中的推理依据：
已知：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．
（1）∠1＝∠2吗？请说明理由
（2）BE与CF的位置关系如何？为什么？
（本题第（1）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式：第（2）小题要写出解题过程）
解：（1）∠1＝∠2，理由如下：
∵AB∥CD（ ），
∴∠ABC＝∠BCD（ ）．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），
∴∠1=12∠ （角平分线的定义），
∠2=12∠ （角平分线的定义）．
∴∠1＝∠2（ ）．
（2）
，EF⊥CD，
所以∠BDC＝∠EFC＝90°，
所以BD∥EF（ ），
所以∠2＝∠3（ ），
所以∠2＝47°（ ）．
10．（2022•宛城区校级开学）阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，AC∥DE，DF∥AE交BC于点F，AE平分∠BAC．求证：DF平分∠BDE．
证明：∵AE平分∠BAC（已知）
∴∠1＝∠2（ ）
∵AC∥DE（已知）
∴∠1＝∠3（ ）
故∠2＝∠3（ ）
∵DF∥AE（已知）
∴∠2＝∠5，（ ）
∠3＝∠4（ ）
∴∠4＝∠5（ ）
∴DF平分∠BDE（ ）
（2）若AE⊥BC，请直接写出图中所有与∠1互余的角．
11．（2022秋•沙坪坝区校级期末）完成下面推理填空：
如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；
（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．
解：（1）DE与AB的位置关系为① ．
理由如下：∵AB∥CF（已知）
∴∠ACF＝∠BAC＝② °，（③ ）
∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝④ °，
∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝⑤ °，
∴DE∥AB（⑥ ）
（2）∵AB∥CF，DE∥AB
∴DE∥CF，（⑦ ）
∴∠CED+∠ECF＝180°
∵∠CED＝71°，∴∠ECF＝180°﹣∠CED＝109°，
∵∠ACF＝80°，∴∠ACB＝∠ECF﹣∠ACF，
∴∠ACB＝⑧ °．
12．（2022秋•秀英区校级期末）如图．AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．
（1）试说明：EB∥DC；
（2）AC与ED的位置关系如何？为什么？
（3）∠BED与∠ACD相等吗？请说明理由．
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程．
解：
（1）∵AD∥BC，（已知）
∴∠B＝∠ （ ）
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠1＝∠ （等量代换）
∴ ∥ （ ）
（2）AC与ED的位置关系是： 理由如下：
∵AD∥BC，（已知）
∴∠3＝∠ （ ）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠ ＝∠ （等量代换）
∴ ∥ ．（ ）
压 轴 题
1．（2022秋•卧龙区校级期末）（1）【感知】如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整．
证明：如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1，（ ）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线作法），
∴EF∥CD，（ ）
∴∠2＝∠DCE，（ ）
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE；（ ）
（2）【探究】当点E在如图2的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°；
（3）【应用】如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，求∠MEC的度数（请直接写出答案）．
2．如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说明理由．（提示：三角形的内角和等于180°）
①填空或填写理由：
解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°．
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE＝180°（ ）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ ∥ ，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠EPD+ ＝180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．
②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
③观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不说明理由．
图（3）： ；
图（4）： ．
3．（2022秋•二道区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连结BE，CE，可以发现∠BEC＝∠B+∠C．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（ ）．
∵AB∥DC（已知），EF∥AB，
∴EF∥DC（ ）．
∴∠C＝∠CEF．
∵（ ）＝∠BEF+∠CEF，
∴∠BEC＝∠B+∠C．（等量代换）．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系．
4．（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点P作PE∥AB
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ ），
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（ ），
∴∠A+∠C＝ + （等式的性质）．
即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是 ．
（2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，则∠AEC＝ ．
（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系 ．
5．（1）阅读下列证明过程，并在括号内填写理由；
如图①，AB∥CD，E为平行线内任意一点，连接AE，CE，得到∠AEC，说明为什么∠AEC＝∠A+∠C．
小亮是这样做的：
过点 E作EF∥AB，
则有∠AEF＝∠A（ ）．
∵AB∥CD，
所以EF∥CD（ ），
所以∠FEC＝∠C（ ）．
所以∠AEF+∠FEC＝∠A+∠C（等式的性质）．
即∠AEC＝∠A+∠C．
（2）如图②，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并说明理由．
（3）如图③，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线段，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，请说明∠FG1E+∠FG2E＝180°的理由．
6．（2022秋•朝阳区校级期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴ ∥CD
∵MN∥AB，
∴∠ ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝ （ ）
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．
7．（2022秋•内乡县期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC＝∠A+∠C．
小明笔记上写出的证明过程如下：
证明：过点E作EF∥AB，
∴∠1＝∠A．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD．
∴∠2＝∠C．
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠C．
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝ ．
（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H共线，F、C、H共线，则∠H＝ ．
8．（2022春•市南区校级期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
【类比应用】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由．
（2）如图3，设∠PAB＝α、∠CDP＝β、直接写出∠α、∠β、∠P之间的数量关系为 ．
【联系拓展】如图4，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠P，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由．
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
专题 阅读理解填理由题
（基础题＆提升题＆压轴题）
基 础 题
1．（2022秋•东方期末）如图，∠DAE＝∠E，∠B＝∠D．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？说明理由（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）
解：直线AD与BE平行，直线AB与CD平行．理由如下：
∵∠DAE＝∠E，（已知）
∴ AD ∥BE，（ 内错角相等，两条直线平行 ）
∴∠D＝∠DCE，（ 两条直线平行，内错角相等 ）
又∵∠B＝∠D，（已知）
∴∠B＝ ∠DCE ，（等量代换）
∴ AB ∥DC，（ 同位角相等，两条直线平行 ）．
【分析】因为∠DAE＝∠E，所以根据内错角相等，两条直线平行，可以证明AD∥BE；根据平行线的性质，可得∠D＝∠DCE，结合已知条件，运用等量代换，可得∠B＝∠DCE，可证明AB∥DC．
【解答】解：直线AD与BE平行，直线AB与DC平行．
理由如下：
∵∠DAE＝∠E，（已知）
∴AD∥BE，（内错角相等，两条直线平行）
∴∠D＝∠DCE． （两条直线平行，内错角相等）
∵∠B＝∠D，（已知）
∴∠B＝∠DCE，（等量代换）
∴AB∥DC．（同位角相等，两条直线平行）
故答案为：AD；内错角相等，两条直线平行；两条直线平行，内错角相等；∠DCE；AB；同位角相等，两条直线平行．
【点评】此题综合运用了平行线的性质和判定，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
2．在下列括号中填写推理理由：如图，∠1＝∠2，DE⊥BC，AB⊥BC，
求证：∠A＝∠3．
证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知）
∴∠DEC＝∠ABC＝90°（ 垂直定义 ）
∴DE∥AB（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2＝ ∠3 （ 两直线平行，内错角相等 ）
∠1＝ ∠A （ 两直线平行，同位角相等 ）
又∠1＝∠2（已知），
∴∠A＝∠3（等量代换）
【分析】根据垂直的定义得到∠DEC＝∠ABC＝90°，根据同位角相等两直线平行得到DE∥AB，根据平行线的性质得到∠2＝∠3，∠1＝∠A，等量代换即可得到结论．
【解答】证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知）
∴∠DEC＝∠ABC＝90°（垂直定义）
∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）
∠1＝∠A（两直线平行，同位角相等）
又∠1＝∠2（已知），
∴∠A＝∠3（等量代换），
故答案为：垂直定义，∠3，同位角相等，两直线平行，∠A，两直线平行，同位角相等．
【点评】此题主要考查了平行的判定和性质，关键是掌握内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
3．（2022春•太和县期末）如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1．求证：AD平分∠BAC．
下面是部分推理过程，请你将其补充完整：
∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知）
∴∠ADC＝∠EGC＝90°
∴AD∥EG （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠1＝∠2 （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∠E ＝∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E＝∠1（已知）
∴∠2＝∠3 （ 等量代换 ）．
∴AD平分∠BAC （ 角平分线的定义 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G （已知）
∴∠ADC＝∠EGC＝90°
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等）．
∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E＝∠1（已知）
∴∠2＝∠3，（等量代换）．
∴AD平分∠BAC．（角平分线的定义）
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E；等量代换；角平分线的定义．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等，同位角相等．
4．（2021春•吉安期中）如图，直线AD∥BC，E，F分别在线段AB，CD上，∠ADE＝∠FBC，判断直线DE与BF的位置关系，以下是解答过程，请补充完整，其中括号里填依据．
解：DE∥BF．
理由如下：延长DE交CB延长线于H
因为AD∥BC（ 已知 ）
所以∠ADE＝∠H（ 两直线平行，内错角相等 ）．
又因为∠ADE＝∠FBC（已知），
所以 ∠H ＝ ∠FBC （ 等量代换 ）．
所以DE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的判定解答即可．
【解答】解：DE∥BF．
理由如下：延长DE交CB延长线于H
因为AD∥BC（已知）
所以∠ADE＝∠H（两直线平行，内错角相等）．
又因为∠ADE＝∠FBC（已知），
所以∠H＝∠FBC（等量代换）．
所以DE∥BF（同位角相等，两直线平行）
故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；∠H；∠FBC；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行．
5．（2022秋•晋江市期末）在下列解答中，填上适当的数式或理由：
如图，AB∥CD∥EF，BC平分∠ABE，试说明：∠E＝2∠C．
解：∵AB∥CD（ 已知 ），
∴∠ABC＝∠ C （ 两直线平行，内错角相等 ），
∵BC平分∠ABE（已知），
∴∠ABC=12∠ ABE （ 角平分线的定义 ），
∵AB∥EF（已知），
∴∠ABE＝∠ E （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∴∠C=12∠ E （等量代换）
即∠E＝2∠C．
【分析】利用平行线的性质，角平分线的定义即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵BC平分∠ABE（已知），
∴∠ABC=12∠ABE（角平分线的定义），
∵AB∥EF（已知），
∴∠ABE＝∠E（两直线平行，内错角相等）．
∴∠C=12∠E（等量代换）
即∠E＝2∠C．
故答案为：已知；C；两直线平行，内错角相等；ABE；角平分线的定义；E；两直线平行，内错角相等；E．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
6．（2022秋•海口期末）如图，AD∥BC，∠1＝∠B．
（1）AB与DE平行吗？请说明理由；
（2）若∠A＝120°，CD⊥AD，求∠EDC的度数．
请在下面的解答过程的空格内填空或在横线上填写理由．
解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ DEC . 两直线平行，内错角相等，
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠B＝∠ DEC . 等量代换，
∴ AB ∥ DE ． 同位角相等，两直线平行，
（2）∵AD∥BC，（已知）
∴∠A+∠ B ＝180°， 两直线平行，同旁内角互补
∴∠B＝180°﹣∠A＝ 60 °．（等式的性质）
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠1＝ 60 °．（等量代换）
∵CD⊥AD，（已知）
∴∠ADC＝ 90 °．（垂直的定义）
∴∠EDC＝∠ ADC ﹣∠ 1 ＝ 90 °﹣ 60 °＝ 30 °．
【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再有已知角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（2）由AD与BC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，根据∠A的度数求出∠B的度数，根据∠1＝∠B，确定出∠1度数，即可求出∠EDC的度数．
【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠1＝∠DEC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠B（已知），
∴∠B＝∠DEC（等量代换），
∴AB∥DE，（同位角相等，两直线平行），
（2）∵AD∥BC（已知），
∴∠A+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B＝180°﹣∠A＝60°（等式的性质），
又∵∠1＝∠B（已知），
∴∠1＝60°（等量代换），
∵CD⊥AD（已知），
∴∠ADC＝90°（垂直的定义），
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠1＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：（1）DEC；两直线平行，内错角相等；DEC；等量代换；AB；DE；同位角相等，两直线平行；（2）B；两直线平行，同旁内角互补；60；60；90；ADC；1；90；60；30
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
7．（2021秋•海口期末）如图，∠1＝85°，∠2＝134°，∠ACD＝95°．
（1）直线AB与CD平行吗？请说明理由；
（2）求∠ECD的度数．
请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由．
解：（1）∵∠CAE＝∠1＝85°， （对顶角相等）
∴∠CAE+∠ACD＝ 180 °，
∴AB∥CD． （同旁内角互补，两直线平行）
（2）∵∠2＝134°，
∴∠AEC＝180°﹣∠2＝ 46 °
∵AB∥CD，（已知）
∴∠ECD＝∠AEC＝46°． （两直线平行，内错角相等） ．
【分析】（1）求出∠CAE，求出∠CAE+∠ACD＝180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）求出∠AEC的度数，根据平行线的性质得出∠ECD＝∠AEC，代入求出即可．
【解答】解：（1）∵∠CAE＝∠1＝85°，（ 对顶角相等 ），
∴∠CAE+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD．（ 同旁内角互补，两直线平行 ），
故答案为：（ 对顶角相等 ），180，（ 同旁内角互补，两直线平行 ）；

（2）∵∠2＝134°，
∴∠AEC＝180°﹣∠2＝46°，
∵AB∥CD，（ 已知 ）
∴∠ECD＝∠AEC＝46°．（ 两直线平行，内错角相等 ），
故答案为：46，（两直线平行，内错角相等）．
【点评】本题考查了对平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．反之亦然．
8．（2022秋•宛城区校级期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ）
又，∵∠1＝∠B（已知）
∴ CE∥BF （同位角相等，两直线平行）
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠AFB＝90°（ 等量代换 ）
又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ 90 ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ 同角的余角相等 ）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）
【分析】先证CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．
又∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90°（等量代换）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝90°．
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；CE∥BF；已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．
9．（2021春•宜春期末）完成下面推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2（ 已知 ），且∠1＝∠CGD（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠CGD（等量代换），
∴CE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠ BFD ＝∠B（ 等量代换 ），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的性质和判定，结合图形，完成推理过程，明确推理依据．
【解答】解：∵∠1＝∠2（ 已知），且∠1＝∠CGD（对顶角相等），
∴∠2＝∠CGD（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠BFD＝∠B（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知，对顶角相等，同位角相等两直线平行，BFD，等量代换，两直线平行内错角相等．
【点评】考查平行线的性质和判定，掌握“以角定线”“以线定角”的方法是解决问题的关键，正确识别同位角、内错角、同旁内角是前提，
10．（2021秋•南关区期末）如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．
阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解：∵AB∥DC（ 已知 ），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠B＝ 50° （已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝ 90° （垂直的定义）．
∴∠2＝ 40° ．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝ 40° （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝ 80° （角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴ ∠ADC +∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝ 100° ．
【分析】根据平行线的性质两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等解答即可．
【解答】解：∵AB∥DC（ 已知），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠B＝50°（已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝90°（垂直的定义）．
∴∠2＝40°．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝40°（ 两直线平行，内错角相等）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝80°（角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴∠ADC+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝100°．
故答案为：已知；两直线平行，同旁内角互补；50°；90°；40°；40°；两直线平行，内错角相等；80°；∠ADC；100°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等解答．
11．（2021春•宜春期末）完成下面推理过程：
如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1＝∠2（ 已知 ），且∠1＝∠CGD（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠CGD（等量代换），
∴CE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠ BFD ＝∠B（ 等量代换 ），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的性质和判定，结合图形，完成推理过程，明确推理依据．
【解答】解：∵∠1＝∠2（ 已知），且∠1＝∠CGD（对顶角相等），
∴∠2＝∠CGD（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠BFD＝∠B（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知，对顶角相等，同位角相等两直线平行，BFD，等量代换，两直线平行内错角相等．
【点评】考查平行线的性质和判定，掌握“以角定线”“以线定角”的方法是解决问题的关键，正确识别同位角、内错角、同旁内角是前提.
12．（2022•南京模拟）将下面证明过程补充完整，并在括号内填写理由．
如图，已知∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC且∠1＝∠2．
求证：∠A＝∠C．
证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（已知）
∴∠1=12∠ABC，∠3=12∠ADC（ 角平分线的定义 ）
∵∠ABC＝∠ADC
∴∠1＝∠3 （ 等量代换 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠3 （ 等量代换 ）
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠A+ ∠ADC ＝180°，∠C+ ∠ABC ＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠A＝∠C（ 等角的补角相等 ）
【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ABC＝∠ADC，根据平行线的判定与性质，依据等角的补角相等即可证得．
【解答】证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（已知），
∴∠1=12∠ABC，∠3=12∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A＝∠C（等角的补角相等）．
故答案为：角平分线的定义；等量代换；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠ADC；∠ABC，两直线平行，同旁内角互补；等角的补角相等．
【点评】本题考查了角平分线的定义，以及平行线的判定与性质，补角的性质，同角的补角相等．解题时注意：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
提 升 题
1．（2021春•麻城市校级月考）阅读下面的推理过程，在括号里填写结论或理由．
如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，求证：∠EGF＝90°．
证明：AB∥GH（已知），
∴∠1＝∠3 两直线平行，内错角相等 ，
又∵CD∥GH（已知），
∴ ∠4＝∠2 （两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），
∴∠BEF+ ∠EFD ＝180°（直线平行，同旁内角互补）．
∵EG平分∠BEF（已知），
∴∠1=12∠BEF 角平分线定义 ．
又∵FG平分∠EFD 已知 ，
∴∠1+∠2=12（ ∠BEF +∠EFD）．
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3+∠4＝90° 等量代换 ，即∠EGF＝90°．
【分析】利用平行线的性质可得∠3+∠4＝∠1+∠2，然后再利用两直线平行，同旁内角互补可得∠3+∠4＝90°．
【解答】证明：∵AB∥GH（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵CD∥GH（已知），
∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴∠BEF+∠EFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵EG平分∠BEF（已知），
∴∠1=12∠BEF（角平分线定义），
又∵FG平分∠EFD（已知），
∴∠2=12∠EFD（角平分线定义），
∴∠1+∠2=12（∠BEF+∠EFD），
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3+∠4＝90°（等量代换），
即∠EGF＝90°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠4＝∠2；∠EFD；∠BEF；角平分线定义；∠BEF；等量代换．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
2．如图，BD⊥AC，垂足为点D，点E在BC上，EF⊥AC，垂足为点G，∠1＝∠2．
注：本题第（1）（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程．
（1）试说明：DB∥FE；
∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），
∴DB∥FE （ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ）．
（2）HF与BC的位置关系如何？为什么？
HF与BC的位置关系是 平行 ．
理由如下：
∵DB∥FE，
∴∠1＝∠ F （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠1＝∠2 （ 已知 ），
∴∠2＝∠ F （ 等量代换 ）．
∴ HF ∥ BC （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】（1）根据平行线的判定方法可以解答本题；
（2）先写出HF与BC的位置关系，然后根据图形，写出解答过程，并写出对应的根据即可解答本题；
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC（ 已知 ），
∴DB∥FE（ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
（2）HF与BC的位置关系是：平行，
理由如下：
∵DB∥FE，
∴∠1＝∠F（ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠1＝∠2（ 已知 ），
∴∠2＝∠F（等量代换），
∴HF∥BC（ 内错角相等，两直线平行），
故答案为：平行；F；两直线平行，同位角相等；已知；F；等量代换；HF、BC；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
3．如图，已知AD⊥DF，EC⊥DF，∠1＝∠3，∠2＝∠4，求证：AE∥DF．（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）
证明：∵AD⊥DF，EC⊥DF，（已知）
∴∠BFD＝∠ADF＝90°．（ 垂直的定义 ）
∴EC∥（ AD ）
∴∠EBA＝ ∠2 （两直线平行，内错角相等）
∵∠2＝∠4，（已知）
∴∠EBA＝∠4．（等量代换）
∴AB∥ CD ．（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2+∠ADC＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠2+∠ADF+∠3＝180°．
∵∠1＝∠3．（已知）
∴∠2+∠ADF+∠1＝180°．（等量代换）
∴ ∠EAD +∠ADF＝180°．
∴AE∥DF．（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
【分析】利用能内错角相等两直线平行，得到EC∥AD，再有两直线平行，内错角相等，得出∠EBA＝∠2，等量代换得到∠EBA＝∠4，利用同位角相等两直线平行，得到AB∥CD，再有两直线平行，同旁内角互补得到∠2+∠ADC＝180°，等量代换得到∠EAD+∠ADF＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行得到AE∥DF．
【解答】证明：∵AD⊥DF，EC⊥DF，（已知）
∴∠BFD＝∠ADF＝90°（垂直的定义），
∴EC∥AD（内错角相等，两直线平行），
∴∠EBA＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵∠2＝∠4，（已知）
∴∠EBA＝∠4．（等量代换）
∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2+∠ADC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠2+∠ADF+∠3＝180°，
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2+∠ADF+∠1＝180°（等量代换），
∴∠EAD+∠ADF＝180°，
∴AE∥DF（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：垂直的定义，AD，∠2，CD，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，∠EAD，同旁内角互补，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（ 对顶角相等 ）
∴∠1＝∠ 3 ．（ 等量代换 ）
∴DF∥CE．（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠C＝∠ ADM ．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ ADM ．（等量代换）
∴AC∥BF．（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠A＝∠B．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（ 垂直的定义 ）
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（对顶角相等）
∴∠1＝∠3．（等量代换）
∴DF∥CE．（同位角相等，两直线平行）
∴∠C＝∠ADM．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ADM．（等量代换）
∴AC∥BF．（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠B．（两直线平行，内错角相等）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（垂直的定义），
故答案为：对顶角相等，3，等量代换，同位角相等，两直线平行，ADM，ADM，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，垂直的定义．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
5．（2022秋•鼓楼区期末）如图，BC与AF相交于点E，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE．
证明：∵AB∥CD，（ 已知 ），
∴∠BAE＝∠4（ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝ ∠2+∠CAE ，（等式的性质1）
即∠BAE＝∠CAD，
∴∠4＝∠CAD，（等量代换）
∵∠3＝∠4，
∴∠CAD＝∠3，（等量代换）
∴AD∥BE．（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】先根据平行线的性质得到∠BAE＝∠4，再证明∠BAE＝CAD，得到∠4＝∠CAD，进而推出∠CAD＝∠3，由此即可证明AD∥BE．
【解答】证明：∵AB∥CD，（已知），
∴∠BAE＝∠4（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，（等式的性质1）
即∠BAE＝∠CAD，
∴∠4＝∠CAD，（等量代换）
∵∠3＝∠4，
∴∠CAD＝∠3，（等量代换）
∴AD∥BE．（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；两直线平行，同位角相等；∠2+∠CAE；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
6．完成求解过程，并写出括号里的理由：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE∥BC，DE∥AF，BE平分∠ABC，∠FAD＝40°，求∠BEC的度数．
解：（将下面的解答过程补充完整）
∵DE∥BC，DE∥AF（已知），
∴BC∥AF（ 平行于同一直线的两直线平行 ）．
∴∠ABC＝∠FAD（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠FAD＝40°，
∴∠ABC＝40°．
∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠CBE=12∠ ABC （ 角平分线的定义 ）＝ 20 °．
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°（已知），
∴∠BEC＝90°﹣∠CBE（直角三角形的两个锐角互余）＝ 70 °．
【分析】根据平行线的判定定理、性质定理、角平分线的定义以及直角三角形的两锐角互余解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，DE∥AF（已知），
∴BC∥AF（平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠ABC＝∠FAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠FAD＝40°，
∴∠ABC＝40°．
∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠CBE=12∠ABC（角平分线的定义）＝20°．
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°（已知），
∴∠BEC＝90°﹣∠CBE（直角三角形的两个锐角互余）＝70°．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；ABC；角平分线的定义；20；70．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
7．（2021秋•仁寿县期末）阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．
已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC＝∠F．
求证：∠CED+∠EDF＝180°．
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
∴∠DBC=12∠ABC，∠BCE=12∠ACB（ 角平分线的定义 ）
∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠DBC＝ ∠BCE （等式的性质）
∵∠DBC＝∠F（已知）
∴∠F＝ ∠BCE （等量代换）
∴EC∥DF（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠CED+∠EDF＝180°（ 两直线平行，同旁内角相等 ）
【分析】利用角平分线的定义和已知先说明∠F与∠BCE的关系，再利用平行线的判定说明CE与DF的关系，最后利用平行线的性质得结论．
【解答】已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC＝∠F．
求证：∠CED+∠EDF＝180°．
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC=12∠ABC，∠BCE=12∠ACB（角平分线的定义）．
∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠BCE（等式的性质）．
∵∠DBC＝∠F（已知），
∴∠F＝∠BCE（等量代换）．
∴EC∥DF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠CED+∠EDF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：角平分线的定义；∠BCE；∠BCE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质和判定，掌握角平分线的定义及“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
8．（2022秋•封丘县校级期末）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．
证明：∵AD∥BC（ 已知 ），
∴∠DAC+ ∠ACB ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠DAC＝120°（ 已知 ），
∴∠ACB＝180°﹣ 120° ＝60°（等式的性质）．
又∵∠ACF＝20°（ 已知 ），
∴∠BCF＝ ∠ACB ﹣∠ACF＝40°．
∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，
∴EF∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∵AD∥BC（ 已知 ），
∴EF∥AD（ 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）．
【分析】利用平行线的性质和平行线的判定解答即可．
【解答】证明：∵AD//BC（ 已知 ），
∴∠DAC+∠ACB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠DAC＝120° （已知），
∴∠ACB＝180°﹣120°＝60° （等式的性质）．
又∵∠ACF＝20° （已知），
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°．
∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，
∴EF//BC （同旁内角互补，两直线平行）．
∵AD∥BC （已知），
∴EF//AD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：已知；∠ACB；两直线平行，同旁内角互补；已知；120°；已知；∠ACB；同旁内角互补，两直线平行；已知；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
9．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，AD∥BC，BD⊥CD，EF⊥CD，垂足分别是D，F，∠1＝47°，求∠2的度数．
完成下列推理过程：
解：因为AD∥BC（已知），
所以∠1＝ ∠3 （ 两直线平行，内错角相等 ）．
因为∠1＝47°，
所以 ∠3 ＝47°（ 等量代换 ）．
因为BD⊥CD，EF⊥CD，
所以∠BDC＝∠EFC＝90°，
所以BD∥EF（ 同位角相等，两直线平行 ），
所以∠2＝∠3（ 两直线平行，同位角相等 ），
所以∠2＝47°（ 等量代换 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质证明．
【解答】解：因为AD∥BC（已知），
所以∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1＝47°，
所以∠3＝47°（等量代换）．
因为BD⊥CD，EF⊥CD，
所以∠BDC＝∠EFC＝90°，
所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
所以∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
所以∠2＝47°（等量代换）．
故答案为：∠3，两直线平行，内错角相等，∠3，等量代换，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，等量代换．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
10．（2022•宛城区校级开学）阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，AC∥DE，DF∥AE交BC于点F，AE平分∠BAC．求证：DF平分∠BDE．
证明：∵AE平分∠BAC（已知）
∴∠1＝∠2（ 角平分线的定义 ）
∵AC∥DE（已知）
∴∠1＝∠3（ 两直线平行，内错角相等 ）
故∠2＝∠3（ 等量代换 ）
∵DF∥AE（已知）
∴∠2＝∠5，（ 两直线平行，同位角相等 ）
∠3＝∠4（ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠4＝∠5（ 等量代换 ）
∴DF平分∠BDE（ 角平分线的定义 ）
（2）若AE⊥BC，请直接写出图中所有与∠1互余的角．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，根据平行线的性质得到∠1＝∠3，等量代换得到∠2＝∠3，根据平行线的性质得到∠2＝∠5，等量代换即可得到结论；
（2）利用余角的概念进行判断即可．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC（已知）
∴∠1＝∠2（角平分线的定义）
∵AC∥DE（已知）
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
故∠2＝∠3（等量代换）
∵DF∥AE（已知）
∴∠2＝∠5，（两直线平行，同位角相等）
∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∴∠4＝∠5（等量代换）
∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）．
故答案为：角平分线的定义，两直线平行，内错角相等，等量代换，两直线平行，同位角相等，等量代换，角平分线的定义．
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠1+∠C＝90°，
∠3+∠DEB＝90°，
∠2+∠B＝90°，
∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1的余角为：∠C、∠B、∠DEB．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11．（2022秋•沙坪坝区校级期末）完成下面推理填空：
如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；
（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．
解：（1）DE与AB的位置关系为① 平行 ．
理由如下：∵AB∥CF（已知）
∴∠ACF＝∠BAC＝② 80 °，（③ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝④ 60 °，
∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝⑤ 180 °，
∴DE∥AB（⑥ 同旁内角互补，两直线平行 ）
（2）∵AB∥CF，DE∥AB
∴DE∥CF，（⑦ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）
∴∠CED+∠ECF＝180°
∵∠CED＝71°，∴∠ECF＝180°﹣∠CED＝109°，
∵∠ACF＝80°，∴∠ACB＝∠ECF﹣∠ACF，
∴∠ACB＝⑧ 29 °．
【分析】平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，根据已知分析填空即可．
【解答】解：（1）DE与AB的位置关系为：平行．
理由如下：∵AB∥CF（已知），
∴∠ACF＝∠BAC＝80°（两直线平行，内错角相等），
∵∠CAD＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝60°，
∵∠ADE＝120°，
∴∠BAD+∠ADE＝180°，
∴DE∥AB（同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：平行，80，两直线平行，内错角相等，60，180，同旁内角互补，两直线平行；
（2）∵AB∥CF，DE∥AB，
∴DE∥CF，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠CED+∠ECF＝180°，
∵∠CED＝71°，
∴∠ECF＝180°﹣∠CED＝109°，
∵∠ACF＝80°，
∴∠ACB＝∠ECF﹣∠ACF，
∴∠ACB＝29°．
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，29．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
12．（2022秋•秀英区校级期末）如图．AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．
（1）试说明：EB∥DC；
（2）AC与ED的位置关系如何？为什么？
（3）∠BED与∠ACD相等吗？请说明理由．
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程．
解：
（1）∵AD∥BC，（已知）
∴∠B＝∠ EAD （ 两直线平行，同位角相等 ）
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠1＝∠ EAD （等量代换）
∴ EB ∥ DC （ 内错角相等，两直线平行 ）
（2）AC与ED的位置关系是： AC∥ED 理由如下：
∵AD∥BC，（已知）
∴∠3＝∠ CAD （ 两直线平行，内错角相等 ）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠ 2 ＝∠ CAD （等量代换）
∴ AC ∥ ED ．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】（1）根据平行线的性质及判定定理推理论证即可；
（2）根据平行线的性质及判定定理推理论证即可；
（3）根据平行线的性质得到∠BED+∠CDE＝180°，∠ACD+∠CDE＝180°，即可得到结论∠BED＝∠ACD．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，（已知）
∴∠B＝∠EAD（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠1＝∠EAD（等量代换）
∴EB∥DC（内错角相等，两直线平行）
故答案为：EAD；两直线平行，同位角相等；EAD；EB、DC；内错角相等，两直线平行；
（2）AC与ED的位置关系是：AC∥ED，理由如下：
∵AD∥BC，（已知）
∴∠3＝∠CAD（两直线平行，内错角相等）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠2＝∠CAD（等量代换）
∴AC∥ED．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：AC∥ED；CAD；两直线平行，内错角相等；2；CAD；AC；ED；内错角相等，两直线平行；
（3）∠BED＝∠ACD，理由如下：
∵EB∥DC，
∴∠BED+∠CDE＝180°，
∵AC∥ED，
∴∠ACD+∠CDE＝180°，
∴∠BED＝∠ACD．
【点评】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理及性质定理并进行推理论证是解题的关键．
压 轴 题
（2022秋•卧龙区校级期末）（1）【感知】如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、
CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整．
证明：如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1，（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线作法），
∴EF∥CD，（ 平行于同一直线的两条直线平行 ）
∴∠2＝∠DCE，（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE；（ 等量代换 ）
（2）【探究】当点E在如图2的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°；
（3）【应用】如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，求∠MEC的度数（请直接写出答案）．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠A＝∠1，证出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2＝∠DCE，即可得出结论；
（2）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，即可得出结论；
（3）同（2）得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，得出∠AEC＝110°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∵EF∥AB（辅助线作法），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；
（2）证明：过点E作EF∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；
（3）解：同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质；正确作出辅助线是解题的关键．
2．如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说明理由．（提示：三角形的内角和等于180°）
①填空或填写理由：
解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°．
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF ∥ CD ，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠EPD+ ∠CDP ＝180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．
②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
③观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不说明理由．
图（3）： ∠BPD＝∠D﹣∠B， ；
图（4）： ∠BPD＝∠B﹣∠D ．
【分析】①过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补，证出结论；
②与①的方法类似，过点P作EP∥AB，根据两直线平行，内错角相等，证出结论；
③过点P作EP∥AB，可以看出图中的∠BPD与∠B、∠D的关系．
【解答】解：①猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°，
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD+∠CDP＝180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补．EF∥CD，∠CDP；
②猜想∠BPD＝∠B+∠D
理由：过点P作EP∥AB，
∴∠B＝∠BPE（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠EPD＝∠D
∴∠BPD＝∠B+∠D
③如图（3），∠BPD＝∠D﹣∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D，
∵∠1＝∠B+∠BPD，
∴∠D＝∠B+∠BPD，
即∠BPD＝∠D﹣∠B；
如图（4），∠BPD＝∠B﹣∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠B，
∵∠1＝∠D+∠BPD，
∴∠BPD＝∠B﹣∠D．
故答案为：∠BPD＝∠D﹣∠B，∠BPD＝∠B﹣∠D．
【点评】本题考查的是平行线的性质，作出正确的辅助线是解题的关键，解答本题时，注意类比思想的运用．
3．（2022秋•二道区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连结BE，CE，可以发现∠BEC＝∠B+∠C．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AB∥DC（已知），EF∥AB，
∴EF∥DC（ 平行于同一直线的两直线平行 ）．
∴∠C＝∠CEF．
∵（ ∠B+∠C ）＝∠BEF+∠CEF，
∴∠BEC＝∠B+∠C．（等量代换）．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点F作FM∥AB，根据（1）求解即可．
【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥DC（已知），EF∥AB，
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行）．
∴∠C＝∠CEF．
∵（∠B+∠C）＝∠BEF+∠CEF，
∴∠BEC＝∠B+∠C．（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等，平行于同一直线的两直线平行，∠B+∠C；
（2）解：如图②，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，
∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（∠BEF+∠CEF），
即∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；
（3）解：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4，理由如下：
如图，过点F作FM∥AB，则AB∥FM∥CD，
由（1）得，∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．
【点评】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
4．（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点P作PE∥AB
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ 平行于同一直线的两直线平行 ），
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（ 两直线平行，内错角相等 ），
∴∠A+∠C＝ ∠APE + ∠CPE （等式的性质）．
即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是 ∠APC＝∠A+∠C ．
（2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，则∠AEC＝ 119° ．
（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系 2∠BFD＝∠AEC ．
【分析】（1）利用题干中的思路，依据两条直线平行的判定，平行线的性质和等式的性质解答即可；
（2）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法解答即可；
（3）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法分别计算∠BFD与∠AEC，观察结论即可得出结论．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），
∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．
即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；
（2）过点E作EP∥AB，如图，
∵AB∥CD（已知），
∴∠ADC＝∠BAD＝78°，
∴PE∥CD，
∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，
∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，
故答案为：119°；
（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，
∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，
∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．
过点F作FP∥AB，如图，
则∠ABF＝∠BFP，
∵AB∥CD，
∴FP∥CD，
∴∠PFD＝∠FDC，
∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，
∴2∠BFD＝∠AEC，
故答案为：2∠BFD＝∠AEC．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，利用类比的方法解答是解题的关键．
5．（1）阅读下列证明过程，并在括号内填写理由；
如图①，AB∥CD，E为平行线内任意一点，连接AE，CE，得到∠AEC，说明为什么∠AEC＝∠A+∠C．
小亮是这样做的：
过点 E作EF∥AB，
则有∠AEF＝∠A（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AB∥CD，
所以EF∥CD（ 平行于同一直线的两条直线平行 ），
所以∠FEC＝∠C（ 两直线平行，内错角相等 ）．
所以∠AEF+∠FEC＝∠A+∠C（等式的性质）．
即∠AEC＝∠A+∠C．
（2）如图②，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并说明理由．
（3）如图③，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线段，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，请说明∠FG1E+∠FG2E＝180°的理由．
【分析】（1）根据平行线的性质定理与判定定理求解即可；
（2）由（1）得∠G＝∠BEG+∠GFD，再根据角平分线的定义与平行线的性质即可得解；
（3）由（1）得∠FG1E＝∠1+∠G1FD，∠EG2F＝∠BEG2+∠G2FD，再根据角平分线的定义、角的和差与平行线的性质即可得解．
【解答】解：（1）过点 E作EF∥AB，
则有∠AEF＝∠A （ 两直线平行，内错角相等 ），
∵AB∥CD，
所以EF∥CD （平行于同一直线的两条直线平行），
所以∠FEC＝∠C （两直线平行，内错角相等 ），
所以∠AEF+∠FEC＝∠A+∠C（等式的性质），
即∠AEC＝∠A+∠C．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等．
（2）如图②，∠G＝90°，
由（1）结论得∠G＝∠BEG+∠GFD，
∵EG，FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，
∴∠BEG+∠GFD＝90°．
∴∠G＝90°．
（3）如图③，由（1）结论可得∠FG1E＝∠1+∠G1FD，∠EG2F＝∠BEG2+∠G2FD，
∵FG1平分∠EFD，
∴∠EF G1＝∠G1FD，
∵∠1＝∠2，∠FG1E＝∠2+∠EFG1，
∴∠FG1E+∠FG2E＝∠2+∠EFG1+∠BEG2+∠G1FD＝（∠2+∠BEG2）+（∠EFG1++∠G1FD）＝∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
即∠FG1E+∠FG2E＝180°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
6．（2022秋•朝阳区校级期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴ MN ∥CD
∵MN∥AB，
∴∠ A ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝ DGM （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．
【分析】（1）由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D；
（2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D；
（3）如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，得到∠BAG＝∠AGM，∠BAH＝∠AHP，由MN∥CD，PQ∥CD，得到∠CDG＝∠DGM，∠CDH＝∠DHP，再由∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，可得∠GDH＝44°，∠DHP＝22°，则∠CDG＝66°，∠AHP＝54°，∠DGM＝66°，∠BAH＝54°，再由AH平分∠GAE，即可得到∠AGM＝108°，则∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝42°．
【解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等．
（2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D．
（3）如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，PQ∥CD
∵MN∥AB，PQ∥AB，
∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH＝∠AHP，
∵MN∥CD，PQ∥CD，
∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH＝∠DHP，
∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，
∴∠GDH＝44°，∠DHP＝22°，
∴∠CDG＝66°，∠AHP＝54°，
∴∠DGM＝66°，∠BAH＝54°，
∵AH平分∠GAE，
∴∠BAG＝2∠BAH＝108°，
∴∠AGM＝108°，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝42°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
7．（2022秋•内乡县期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC＝∠A+∠C．
小明笔记上写出的证明过程如下：
证明：过点E作EF∥AB，
∴∠1＝∠A．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD．
∴∠2＝∠C．
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠C．
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝ 240° ．
（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H共线，F、C、H共线，则∠H＝ 51° ．
【分析】（1）由EM∥AB，FN∥EM，FN∥CD分别得∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4+∠C＝180°，由角的和差计算∠B+∠C+∠F的度数为240°；
（2）由角平分线得∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，根据直线EF∥AB，EF∥CD得2∠1+∠7＝180°，2∠4+∠8＝180°，等式的性质得2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°；直线MN∥AB，MN∥CD得∠1＝∠5，∠4＝∠6，等量代换2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，又因∠BGC＝∠BHC+27°求得∠BHC的度数为51°．
【解答】解：（1）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示：
∵EM∥AB，
∴∠1＝∠B，
又∵FN∥AB，
∴FN∥EM，
∴∠2＝∠3，
又∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠4+∠C＝180°，
又∵∠BEF＝∠1+∠2，∠EFC＝∠3+∠4，∠BEF＝60°
∴∠B+∠EFC+∠C＝∠1+∠3+∠4+∠C
＝（∠1+∠2）+（∠4+∠C）
＝60°+180°
＝240°；
（2）过点G、H作EF∥AB，MN∥AB，如图3所示：
∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，
∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，
又∵EF∥AB，
∴2∠1+∠7＝180°，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴2∠4+∠8＝180°，
∴∠7+∠8＝360°﹣2（∠1+∠4），
又∵∠7+∠8+∠BGC＝180°，
∴2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°，
又∵MN∥AB，
∴∠1＝∠5，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠4＝∠6，
∴2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，
又∵∠5+∠6+∠BHC＝180°，
∴∠BGC+2∠BHC＝180°，
又∠BGC＝∠BHC+27°，
∴3∠BHC+27°＝180°，
∴∠BHC＝51°；
故答案为：240°，51°．
【点评】本题综合考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，角平分线的定义，等量代换等相关知识，重点掌握平行线的判定与性质，难点作辅助线构建平行线．
8．（2022春•市南区校级期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
【类比应用】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由．
（2）如图3，设∠PAB＝α、∠CDP＝β、直接写出∠α、∠β、∠P之间的数量关系为 ∠α+∠β﹣∠P＝180° ．
【联系拓展】如图4，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠P，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由．
【分析】【类比应用】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质可得∠APE＝∠A＝50°，∠EPD＝180°﹣150°＝30°，即可求出∠APD的度数；
（2）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，根据平行线的性质可得∠DPE＝∠CDP＝β，∠APE+∠PAB＝180°，即可得出∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°；
【联系拓展】PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO＝90°，由∠PAN+12∠PAB＝∠APD得出∠PAN+12∠PAB＝90°，由∠POA+∠PAN＝90°，得出∠POA=12∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD=12∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN=12∠PDC，即∠AND＝180°−12（∠PAB+∠PDC），由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°，代入计算即可求出∠AND的度数．
【解答】解：【类比应用】（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠A＝50°，∠DPE+∠D＝180°，
∴∠DPE＝180°﹣150°＝30°，
∴∠APD＝∠APE+∠DPE＝50°+30°＝80°；
（2）如图3，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠DPE＝∠CDP＝β，∠APE+∠PAB＝180°，
∴∠APE＝180°﹣α，
∠DPE＝∠DPA+∠APE＝∠DPA+180°﹣α，
∴β＝∠DPA+180°﹣α，
∴α+β﹣∠P＝180°，
故答案为：∠α+∠β﹣∠P＝180°；
【联系拓展】
如图4，PD交AN于点O，
∵AP⊥PD，
∴∠APO＝90°，
∵∠PAN+12∠PAB＝∠APD，
∴∠PAN+12∠PAB＝90°，
∵∠POA+∠PAN＝90°，
∴∠POA=12∠PAB，
∵∠POA＝∠NOD，
∴∠NOD=12∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=12∠PDC，
∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN
＝180°−12（∠PAB+∠PDC），
由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°，
∴∠CDP+∠PAB＝180°+∠APD，
∴∠AND＝180°−12（∠PAB+∠PDC）
＝180°−12（180°+∠APD）
＝180°−12（180°+90°）
＝45°．
【点评】本题考查了平行线的性质及垂线，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．