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人教版七年级数学下册同步精讲精练7.2坐标方法的简单应用(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练7.2坐标方法的简单应用(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了2 坐标方法的简单应用，5cm代表100m）．等内容，欢迎下载使用。
知识点一
用坐标表示地理的位置
◆利用平面直角坐标系表示地理位置的方法：
①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向.
②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度.
③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
知识点二
用“方向角＋距离”表示平面内点的位置
◆在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角.
知识点三
用坐标表示点的平移
◆平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变.
（1）向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
（2）向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
（3）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
（4）向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
知识点四
用坐标表示图形的平移
●图形在坐标平面内的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动；在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标变化，也可以得出这个图形进行了怎样的平移.
◆1、图形在坐标平面内平移变换的实质：①图形的位置及表示位置的坐标发生变化；②图形的形状、大小不变.
◆2、图形的平移坐标变化规律：
在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
◆3、图形沿“斜方向”进行平移：
把沿“斜方向”平移分解成水平和竖直两种方向的平移，如图形从右上方直接平移到左下方，可以分解成图形先水平向左平移，再竖直向下平移，也可以分解成先竖直向下平移，再水平向左平移.
题型一 利用坐标表示地理位置
【例题1】（2022春•上林县期末）如图是广西几个城市旅游景点的平面示意图．
（1）请选取某一个景点为坐标原点，建立平面直角坐标系；
（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各景点的坐标．
【变式1-1】（2022春•新乐市期中）如图是某市市区几个旅游景点的平面示意图．
（1）选取某一个景点为坐标原点，建立平面直角坐标系；
（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各景点的坐标．
【变式1-2】（2022春•澧县期中）如图，这是一所学校的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．
【变式1-3】如图，一个小正方形网格的边长表示50米．A同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校．
（1）以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系：
（2）B同学家的坐标是 ；
（3）在你所建立的直角坐标系中，如果C同学家的坐标为（﹣150，100），请你在图中描出表示C同学家的点．
题型二 由已知坐标确定平面直角坐标系或地理位置
【例题2】（2022春•广安期末）如图是某市火车站及周围的平面示意图，已知超市的坐标是（﹣2，4），市场的坐标是（1，3）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系，并在图中标出汽车站（﹣3，﹣2），花坛（2，﹣1）的位置；
（2）分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标．
【变式2-1】（2021秋•高新区校级期末）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用（2，3）表示教学楼的位置，（3，1）表示旗杆的位置，则实验楼的位置可表示成（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，2）C．（﹣2，1）D．（1，﹣2）
【变式2-2】（2022春•增城区期末）如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标，使最后两架轰炸机分别位于点M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3），则第一架轰炸机位于的点P的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（3，0）
【变式2-3】如图，某历史街区有树龄百年以上的古松树3棵（S1，S2，S3），古槐树4棵（H1，H2，H3，H4），为了加强对古树的保护，园林部门将3棵古松树的位置用坐标表示为S1（﹣1，3），S2（1，4），S3（7，0）．
（1）请你在图中画出平面直角坐标系；
（2）把图中4棵古槐树的位置也用坐标表示出来．
【变式2-4】（2022春•海淀区校级期中）下图是北京市海淀区清华园地区几所高校及中学的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为（0，3），北京大学的坐标为（﹣3，2）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标及北京市一零一中的坐标；
（2）若北京市上地实验学校的坐标为（﹣2，6），请在坐标系中标出北京市上地实验学校的位置．
【变式2-5】（2022春•庐江县期中）如图是某公园的平面图（小正方形的边长代表100m长），图中牡丹园的坐标是（300，300），望春亭的坐标为（﹣200，﹣100），请在图中建立平面直角坐标系并写出其它游览点的坐标．
题型三 用方位角和距离表示地理位置
【例题3】（2021秋•罗源县期末）如图，一艘船在A处遇险后向相距50海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置（ ）
A．南偏西75°，50海里B．南偏西15°，50海里
C．北偏东15°，50海里D．北偏东75°，50海里
【变式3-1】小明要去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：①“悠悠日用化工品厂”在他
现在所在地的北偏东30°方向，距离此处3km的地方；②“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45°方向，
距离此处2.4km的地方；③“321号水库”在他现在所在地的南偏东27°方向，距离此处1.1km的地方．
（1）根据以上信息在图中标出各处位置；
（2）小明在“明天调味品厂”的什么位置？
【变式3-2】（2021秋•集贤县校级期末）根据描述标出每个同学家的位置
（1）小红家在学校东偏北30°方向150米处．
（2）学校在小平家北偏西45°方向200米处．
（3）小华家在学校南偏西60°方向100米处．
（4）小刚家在学校西偏北30°方向150米处．
【变式3-3】如图，是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图（图中1cm表示20 n mile），对我方潜艇O来说：
(1) 北偏东40°的方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据 ?
(2)距离我方潜艇20 n mile的敌舰有哪几艘?
(3) 要确定每艘敌舰的位置，各需要 个数据： 和 ．
对于我方潜艇O来说：
敌方战舰A在 上，距离为 ．
敌方战舰B在 方向，距离为 ．
敌方战舰C在 上，距离为 ．
【变式3-4】（2022春•沂水县期中）春天到了，七（1）班组织同学公园春游，张明、李华对着景区示意图描述牡丹亭位置（图中小正方形边长0.5cm代表100m）．
张明：“牡丹亭坐标（300，300）”．
李华：“望春亭约在南偏西63°方向220m处”．
实际上，他们所说的位置都是正确的．根据所学的知识解答下列问题：
（1）请指出张明同学是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的，并在图中画出所建立的平面直角坐标系；
（2）李华同学是用什么来描述望春亭的位置？
（3）请分别用张明、李华的方法，描述出音乐台、牡丹亭、游乐园的位置．
题型四 点在坐标系中的平移
【例题4】（2022•成都模拟）在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）沿x轴负方向平移2个单位长度后得到的点Q的坐标为 ．
【变式4-1】（2022秋•朝阳区校级期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，4）沿y轴正方向平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
【变式4-2】（2022春•五华区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，0），向下平移3个单位后位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式4-3】（2022•南京模拟）点A（﹣3，﹣1）向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式4-4】（2022秋•全椒县期中）将点P（﹣2，3）先向右平移5个单位，再向下平移4个单位所得到的点Q的坐标为 ．
【变式4-5】（2022春•灞桥区校级期末）点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣2，5）B．（﹣7，0）C．（2，9）D．（3，10）
【变式4-6】（2022春•九龙坡区校级月考）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，﹣3）经过平移后位于第二象限，则下列说法符合题意的是（ ）
A．向上平移3个单位长度B．向右平移3个单位长
C．向下平移3个单位长度D．向上平移5个单位长度
题型五 图形在坐标系中的平移
【例题5】（2022秋•海陵区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，3），点B的坐标是
（1，﹣2），若把线段AB平移，A的对应点为A′，坐标为（﹣1，4），则B′的坐标为 ．
【变式5-1】（2022秋•农安县期中）如图，线段AB两端点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB平移到CD位置，若线段CD两端点的坐标分别为C（1，a），D（b，4），则a+b的值为 ．
【变式5-2】（2022秋•锡山区校级月考）把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标为（ ）
A．（m+2，n+1）B．（m﹣2，n﹣1）C．（m﹣2，n+1）D．（m+2，n﹣1）
【变式5-3】（2021秋•百色期末）如图，△A1B1C1是由△ABC平移后得到的．已知△ABC三顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0），在△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3）．
（1）△ABC是怎样平移得到△A1B1C1的？
（2）分别直接写出△A1B1C1三个顶点A1，B1，C1的坐标．
【变式5-4】（2022春•景谷县期末）三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）分别写出下列各点的坐标：A ，A′ ；
（2）若点P（x，y）是三角形ABC内部一点，则三角形A′B′C′内部的对应点P′的坐标 ．
（3）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
【变式5-5】如图中的“鱼”是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，﹣1），（3，0），（4，﹣2），（0，0）的点用线段依次连接而成的．
（1）若纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比，有什么变化？
（2）若横坐标保持不变，纵坐标分别减2呢？
题型六 平移作图
【例题6】（2022春•官渡区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．
已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
【变式6-1】如图是轰炸机群的最后两架飞机的位置，如果它们的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣2，﹣3）．
（1）试根据点A，B的坐标建立适当的平面直角坐标系；
（2）把点A先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，请描出点C的位置，并写出其对应的坐标．
【变式6-2】如图，在直角坐标系中，A，B位于小正方形的格点上．
（1）直接写出点A，B的坐标；
（2）将线段AB向右平移5个单位，得到线段CD，点A与C是对应点，请画出线段CD；
（3）直接写出点C，D的坐标．
【变式6-3】（2022春•陇县期末）在如图的方格纸中，三角形ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣2，0），三角形ABC内任意一点P的坐标为（a，b）
（1）三角形ABC向右平移 个单位长度到△A1B1C1位置，点C对应点C1的坐标为（ ）：点P对应点P1的坐标为（ ）（用含a、b的代数式表示）；
（2）三角形ABC经平移后点P的对应点为P2（a+3，b﹣4），请画出上述平移后的三角形A2B2C2，并写出点A2、B2的坐标．
【变式6-4】（2022春•长葛市期末）△ABC在方格中位置如图，A点的坐标为（﹣3，1）．
（1）写出B、C两点的坐标；
（2）把△ABC向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，请你画出平移后的△A1B1C1；
（3）在x轴上存在点D，使△DB1C1的面积等于3，求满足条件的点D的坐标．
【变式6-5】四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1），B（5，1），C（7，3），D（2，5）．
（1）在平面直角坐标系中画出该四边形；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）将四边形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到四边形A'B'C'D'，在图中画出四边形A'B'C'D'的位置，并写出A'，B′，C′，D'的坐标．
解题技巧提炼
建立平面直角坐标系描述物体的位置时，要选择一个适当的参照点作为原点，一般将正北方向作为y轴正方向，将正东方向作为x轴正方向，选取适当的单位长度；建立的平面直角坐标系不同，各个点的坐标一般也不同；建立的坐标系在符合题意的基础上，应尽量使较多的点落在坐标轴上.
解题技巧提炼
本题应用了数形结合思想，根据已知点的坐标结合图形分析，确定坐标轴与原点的位置是解题的关键.
解题技巧提炼
用“方位角+距离”定位法来确定物体的位置时，方位角、距离这两个数据缺一不可，在描述位置时，一般先指出方位角再指出距离.
解题技巧提炼
由点的坐标变化确定点的平移的方法：在判断点的平移时，终点与始点的横坐标的差即为沿x轴的平移情况，差为正，向右移，差为负，向左移；终点与始点的纵坐标的差即为沿y轴的平移情况，差为正，向上移，差为负，向下移.
解题技巧提炼
1、在图形的平移中，由图上一点的平移方式可得出图形的平移方式；由图形的平移方式又可得图上某一点的平移方式；点与图形的平移方式一致，故已知图上一点的平移方式，图形上其它点的平移方式也已知.
2、从图形上的点的坐标的变化，可以得出这个图形进行怎样的平移；横坐标的变化决定图形左移平移的距离，纵坐标的变化决定图形上下平移的距离.
解题技巧提炼
在平面直角坐标系中画出平移后的图形的方法：先根据平移的情况确定特殊点
的坐标，然后再描点连线画出图形.
七年级下册数学《第七章 平面直角坐标系》
7.2 坐标方法的简单应用
知识点一
用坐标表示地理的位置
◆利用平面直角坐标系表示地理位置的方法：
①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向.
②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度.
③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
知识点二
用“方向角＋距离”表示平面内点的位置
◆在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角.
知识点三
用坐标表示点的平移
◆平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变.
（1）向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
（2）向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
（3）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
（4）向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
知识点四
用坐标表示图形的平移
●图形在坐标平面内的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动；在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标变化，也可以得出这个图形进行了怎样的平移.
◆1、图形在坐标平面内平移变换的实质：①图形的位置及表示位置的坐标发生变化；②图形的形状、大小不变.
◆2、图形的平移坐标变化规律：
在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
◆3、图形沿“斜方向”进行平移：
把沿“斜方向”平移分解成水平和竖直两种方向的平移，如图形从右上方直接平移到左下方，可以分解成图形先水平向左平移，再竖直向下平移，也可以分解成先竖直向下平移，再水平向左平移.
题型一 利用坐标表示地理位置
【例题1】（2022春•上林县期末）如图是广西几个城市旅游景点的平面示意图．
（1）请选取某一个景点为坐标原点，建立平面直角坐标系；
（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各景点的坐标．
【分析】（1）直接选择钦州三娘湾为原点得出答案；
（2）直接利用所建平面直角坐标系，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：桂林七星岩坐标为（4，5），柳州龙潭公园坐标为（3，3），百色起义纪念馆坐标为
（﹣2，2），南宁青秀山坐标为（1，1），钦州三娘湾坐标为（0，0），北海银滩坐标为（2，﹣1）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
【变式1-1】（2022春•新乐市期中）如图是某市市区几个旅游景点的平面示意图．
（1）选取某一个景点为坐标原点，建立平面直角坐标系；
（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各景点的坐标．
【分析】（1）以光岳楼为坐标原点建立直角坐标系；
（2）根据各象限点的坐标特点写出其余各景点的坐标．
【解答】解：（1）如图，
（2）湖心岛的坐标为（﹣1，2）；动物园的坐标为（4，4）；山陕会管的坐标为（2，﹣1）；金凤广场的坐标为（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标确定点：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．
【变式1-2】（2022春•澧县期中）如图，这是一所学校的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．
【分析】得出原点位置进而建立坐标系得出各点坐标．
【解答】解：如图所示：
国旗杆（0，0），校门（﹣3，0），教学楼（3，0），实验楼（3，﹣3），图书馆（2，3）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
【变式1-3】如图，一个小正方形网格的边长表示50米．A同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校．
（1）以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系：
（2）B同学家的坐标是 ；
（3）在你所建立的直角坐标系中，如果C同学家的坐标为（﹣150，100），请你在图中描出表示C同学家的点．
【分析】（1）由于A同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校，则可确定A点位置，然后画出直角坐标系；
（2）利用第一象限点的坐标特征写出B点坐标；
（3）根据坐标的意义描出点C．
【解答】解：（1）如图，
（2）B同学家的坐标是（200，150）；
（3）如图．
故答案为（200，150）．
【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
题型二 由已知坐标确定平面直角坐标系或地理位置
【例题2】（2022春•广安期末）如图是某市火车站及周围的平面示意图，已知超市的坐标是（﹣2，4），市场的坐标是（1，3）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系，并在图中标出汽车站（﹣3，﹣2），花坛（2，﹣1）的位置；
（2）分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标．
【分析】（1）直接利用宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（﹣3，1）得出原点的位置，进而得出答案；根据点的坐标的定义在图中标出汽车站（﹣3，﹣2），花坛（2，﹣1）的位置；
（2）利用所建立的平面直角坐标系即可得出答案．
【解答】解：（1）汽车站和花坛的位置如图所示；
（2）如图所示：由平面直角坐标系知，体育场的坐标为（﹣4，2），火车站的坐标为（﹣1，1），文化宫的坐标为（0，﹣2）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
【变式2-1】（2021秋•高新区校级期末）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用（2，3）表示教学楼的位置，（3，1）表示旗杆的位置，则实验楼的位置可表示成（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，2）C．（﹣2，1）D．（1，﹣2）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解答】解：如图所示：实验楼的位置可表示成（1，﹣2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
【变式2-2】（2022春•增城区期末）如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标，使最后两架轰炸机分别位于点M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3），则第一架轰炸机位于的点P的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（3，0）
【分析】根据M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3）的坐标建立坐标系，根据坐标系解答即可．
【解答】解：因为M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3），所以可建立如下图所示平面直角坐标系：
所以可得点P的坐标为（3，﹣1），
故选：B．
【点评】此题考查坐标问题，关键是根据M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3）的坐标以建立坐标系．
【变式2-3】如图，某历史街区有树龄百年以上的古松树3棵（S1，S2，S3），古槐树4棵（H1，H2，H3，H4），为了加强对古树的保护，园林部门将3棵古松树的位置用坐标表示为S1（﹣1，3），S2（1，4），S3（7，0）．
（1）请你在图中画出平面直角坐标系；
（2）把图中4棵古槐树的位置也用坐标表示出来．
【分析】（1）根据S3（7，0）可知S3所在的横线是x轴，再结合S1（﹣1，3），S2（1，4）确定出y轴的位置即可；
（2）结合（1）中所建的坐标系，写出4棵古槐树的位置即可．
【解答】解：（1）根据S1（﹣1，3），S2（1，4），S3（7，0），可得坐标系如图所示：
（2）由坐标系可得，H1（0，0），H2（﹣2，﹣2），H3（4，0），H4（5，1）．
【点评】本题考查平面直角坐标系的相关知识，掌握用坐标确定位置的方法是解题的关键．
【变式2-4】（2022春•海淀区校级期中）下图是北京市海淀区清华园地区几所高校及中学的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为（0，3），北京大学的坐标为（﹣3，2）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标及北京市一零一中的坐标；
（2）若北京市上地实验学校的坐标为（﹣2，6），请在坐标系中标出北京市上地实验学校的位置．
【分析】（1）直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案；
（2）利用（1）中平面直角坐标系得出北京市上地实验学校位置．
【解答】解：（1）如图所示：北京语言大学的坐标为（3，1），北京市一零一中的坐标为（﹣3，3）；
（2）如图所示：北京市上地实验学校即为所求．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
【变式2-5】（2022春•庐江县期中）如图是某公园的平面图（小正方形的边长代表100m长），图中牡丹园的坐标是（300，300），望春亭的坐标为（﹣200，﹣100），请在图中建立平面直角坐标系并写出其它游览点的坐标．
【分析】以牡丹园向左3个单位，向下3个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面直角坐标系中点的坐标的写法写出即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示；
广场（0，0），湖心亭（﹣300，200），东门（400，0），游乐园（200，﹣200）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，根据牡丹亭的位置确定出坐标原点的位置是解题的关键．
题型三 用方位角和距离表示地理位置
【例题3】（2021秋•罗源县期末）如图，一艘船在A处遇险后向相距50海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置（ ）
A．南偏西75°，50海里B．南偏西15°，50海里
C．北偏东15°，50海里D．北偏东75°，50海里
【分析】直接根据题意得出AB的长以及∠ABC的度数，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠ABC＝15°，AB＝50海里，
故遇险船相对于救生船的位置是：南偏西15°，50海里，
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键．
【变式3-1】小明要去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：①“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30°方向，距离此处3km的地方；②“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45°方向，距离此处2.4km的地方；③“321号水库”在他现在所在地的南偏东27°方向，距离此处1.1km的地方．
（1）根据以上信息在图中标出各处位置；
（2）小明在“明天调味品厂”的什么位置？
【分析】建立直角坐标系，以小明所在地方为原点，以正北方向为y轴的正方向，正东方向为x轴的正半轴．在坐标系内，画出
（1）①北偏东30°方向，距离原点3km处表示“悠悠日用化工品厂”；北偏西45°的方向，距离原点2.4km处表示“明天调味品厂”；③南偏东27°的方向，距离原点1.1km处表示“321号水库”；
（2）根据方向角的概念可得小明在“明天调味品厂”的什么位置．
【解答】解：以小明所在地方为原点，以正北方向为y轴的正方向，
正东方向为x轴的正半轴建立直角坐标系，
（1）如图所示：
（2）由图可知：小明在“明天调味品厂”的南偏东45°的方向，距离2.4km处．
【点评】此题考查的是坐标确定位置和方向角，由已知信息正确表示为坐标轴的位置是解决本题的关键．
【变式3-2】（2021秋•集贤县校级期末）根据描述标出每个同学家的位置
（1）小红家在学校东偏北30°方向150米处．
（2）学校在小平家北偏西45°方向200米处．
（3）小华家在学校南偏西60°方向100米处．
（4）小刚家在学校西偏北30°方向150米处．
【分析】（1）利用方向角的定义即可解答；
（2）利用方向角的定义即可解答；
（3）利用方向角的定义即可解答；
（4）利用方向角的定义即可解答．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）如图所示，
（4）如图所示，
【点评】本题考查了用坐标表示地理位置，正确掌握方向角的定义是解题的关键．
【变式3-3】如图，是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图（图中1cm表示20 n mile），对我方潜艇O来说：
(1) 北偏东40°的方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据 ?
(2)距离我方潜艇20 n mile的敌舰有哪几艘?
(3) 要确定每艘敌舰的位置，各需要 个数据： 和 ．
对于我方潜艇O来说：
敌方战舰A在 上，距离为 ．
敌方战舰B在 方向，距离为 ．
敌方战舰C在 上，距离为 ．
【分析】利用方位角的方法来确定位置，一般需要两个数据：方位角和距离，二者缺一不可．
【解答】
（1）北偏东40°方向上的目标是敌方战舰B，小岛H．要确定敌方战舰B的位置，还需要OB的距离．
（2）距离我方潜艇20海里的敌方战舰有敌方战舰C．
（3）要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：方向角和距离．
对于我方潜艇O来说：
敌方战舰A在正南方向上，距离为20海里．
敌方战舰B在北偏东40°方向，距离为35海里．
敌方战舰C在正东方向上，距离为20海里 ．
【点评】本题考查方位角，正确记忆利用方位角判断位置必须有两个条件是解题关键．
【变式3-4】（2022春•沂水县期中）春天到了，七（1）班组织同学公园春游，张明、李华对着景区示意图描述牡丹亭位置（图中小正方形边长0.5cm代表100m）．
张明：“牡丹亭坐标（300，300）”．
李华：“望春亭约在南偏西63°方向220m处”．
实际上，他们所说的位置都是正确的．根据所学的知识解答下列问题：
（1）请指出张明同学是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的，并在图中画出所建立的平面直角坐标系；
（2）李华同学是用什么来描述望春亭的位置？
（3）请分别用张明、李华的方法，描述出音乐台、牡丹亭、游乐园的位置．
【分析】（1）根据牡丹亭坐标（300，300）画出直角坐标系；
（2）利用方向角和距离描述望春亭的位置；
（3）利用所画的坐标坐标系，根据各特殊位置点的坐标特征写出其它景点的坐标．
【解答】解：（1）张明是以中心广场为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，如图：
（2）李华是用方向和距离描述望春亭的位置；
（3）张明的方法：音乐台坐标（0，400），牡丹亭坐标（300，300），游乐园坐标（200，﹣400），
李华的方法：音乐台在正北方向400m处，牡丹亭在西北方向424m处，游乐园约在南偏东27°方向447m处．
【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．
题型四 点在坐标系中的平移
【例题4】（2022•成都模拟）在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）沿x轴负方向平移2个单位长度后得到的点Q的坐标为 ．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：原来点的横坐标是﹣4，纵坐标是2，沿x轴的负方向平移2个单位长度得到新点的横坐标是﹣4﹣2＝﹣6，纵坐标不变；
即点Q的坐标为（﹣6，2）．
故答案为：（﹣6，2）．
【点评】本题主要考查了平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
【变式4-1】（2022秋•朝阳区校级期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，4）沿y轴正方向平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点B的坐标为（﹣1+1，4），进而可得答案．
【解答】解：将点A（﹣1，4）沿y轴正方向平移1个单位长度得到点B，
则点B的坐标为（﹣1+1，4），
即（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，掌握点的坐标的变化规律是关键．
【变式4-2】（2022春•五华区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，0），向下平移3个单位后位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据点的平移：左减右加，上加下减以及各象限中点的坐标特征解答可得．
【解答】解：∵点P（﹣2，0）向下平移3个单位后的坐标为（﹣2，﹣3），
∴点P（﹣2，0）向下平移3个单位后位于第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化一平移，各象限中点的坐标特征，熟记平移中点的变化规律是：左减右加，上加下减是解题的关键．
【变式4-3】（2022•南京模拟）点A（﹣3，﹣1）向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【解答】解：点A的坐标为（﹣3，﹣1），将点A向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，
点B的横坐标是﹣3﹣3＝﹣6，纵坐标为﹣1+4＝3，即（﹣6，3）．
故选：B．
【点评】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．
【变式4-4】（2022秋•全椒县期中）将点P（﹣2，3）先向右平移5个单位，再向下平移4个单位所得到的点Q的坐标为 ．
【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减可得答案．
【解答】解：将点P（﹣2，3）向右平移5个单位，再向下平移4个单位得到点Q，
则点Q的坐标为（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式4-5】（2022春•灞桥区校级期末）点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣2，5）B．（﹣7，0）C．（2，9）D．（3，10）
【分析】根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，
∴m﹣2﹣2＝0，
∴m＝4，
∴点M（2，9），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，正确地列出方程是解题的关键．
【变式4-6】（2022春•九龙坡区校级月考）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，﹣3）经过平移后位于第二象限，则下列说法符合题意的是（ ）
A．向上平移3个单位长度B．向右平移3个单位长
C．向下平移3个单位长度D．向上平移5个单位长度
【分析】根据平移规律分别求出平移后点的坐标，再根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征进行判断即可．
【解答】解：A、把点P（﹣2，﹣3）向上平移3个单位长度得到的点为（﹣2，0），不在第二象限，不符合题意；
B、把点P（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到的点为（1，﹣3），不在第二象限，不符合题意；
C、把点P（﹣2，﹣3）向下平移3个单位长度得到的点为（﹣2，﹣6），不在第二象限，不符合题意；
D、把点P（﹣2，﹣3）向上平移5个单位长度得到的点为（﹣2，2），在第二象限，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征．
题型五 图形在坐标系中的平移
【例题5】（2022秋•海陵区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，3），点B的坐标是
（1，﹣2），若把线段AB平移，A的对应点为A′，坐标为（﹣1，4），则B′的坐标为 ．
【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向左平移1个单位，向上平移了1个单位，然后可得B′点的坐标．
【解答】解：∵A（2，3）平移后得到点A′的坐标为（﹣1，4），
∴向左平移3个单位，向上平移了1个单位，
∴B（1，﹣2）的对应点坐标为（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式5-1】（2022秋•农安县期中）如图，线段AB两端点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB平移到CD位置，若线段CD两端点的坐标分别为C（1，a），D（b，4），则a+b的值为 ．
【分析】根据平移的性质分别求出a、b的值，计算即可．
【解答】解：点A的横坐标为﹣1，点C的横坐标为1，
则线段AB先向右平移2个单位，
∵点B的横坐标为1，
∴点D的横坐标为3，即b＝3，
同理，a＝3，
∴a+b＝3+3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握平移变换与坐标变化之间的规律是解题的关键．
【变式5-2】（2022秋•锡山区校级月考）把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标为（ ）
A．（m+2，n+1）B．（m﹣2，n﹣1）C．（m﹣2，n+1）D．（m+2，n﹣1）
【分析】根据A点到O点的变化情况，即可求解．
【解答】解：由题图可知，将圆A先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得圆O，点P作相应的平移得到P'，
∴P'（m+2，n﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了图形的变换﹣平移，解题的关键是先找到平移前后图形的几个关键点，观察对应点的坐标变化情况，从而得出所有坐标的变化情况．
【变式5-3】（2021秋•百色期末）如图，△A1B1C1是由△ABC平移后得到的．已知△ABC三顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0），在△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3）．
（1）△ABC是怎样平移得到△A1B1C1的？
（2）分别直接写出△A1B1C1三个顶点A1，B1，C1的坐标．
【分析】（1）根据△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3）中横纵坐标的变化可直接得出结论；
（2）根据（1）中三角形的平移方法及A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0）可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3），
∴△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A1B1C1；
（2）由（1）知，△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A1B1C1，
∵A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0），
∴A1（3，6），B1（1，2），C1（5，3）．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．
【变式5-4】（2022春•景谷县期末）三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）分别写出下列各点的坐标：A ，A′ ；
（2）若点P（x，y）是三角形ABC内部一点，则三角形A′B′C′内部的对应点P′的坐标 ．
（3）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的规律解决问题即可；
（3）根据平移变换的性质解决问题．
【解答】解：（1）A（1，3），A′（﹣3，1）．
故答案为：（1，3），（﹣3，1）；
（2）∵△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′，
∴P（x，y）的对应点P′（x﹣4，y﹣2），
故答案为：（x﹣4，y﹣2）；
（3）△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
【变式5-5】如图中的“鱼”是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，﹣1），（3，0），（4，﹣2），（0，0）的点用线段依次连接而成的．
（1）若纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比，有什么变化？
（2）若横坐标保持不变，纵坐标分别减2呢？
【分析】根据网格结构找出各点的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图，
所得的图案向右平移3个单位；
（2）若横坐标保持不变，纵坐标分别减2，所得的图案向下平移2个单位．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，主要利用了点的位置的确定，几何图形的变化，是基础题．
题型六 平移作图
【例题6】（2022春•官渡区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．
已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
【分析】（1）利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据图示得出坐标即可；
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求：
（2）A′（4，0），B′（1，﹣1），C′（2，﹣3）；
【点评】此题主要考查了坐标系内图形平移，正确得出对应点位置是解题关键．
【变式6-1】如图是轰炸机群的最后两架飞机的位置，如果它们的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣2，﹣3）．
（1）试根据点A，B的坐标建立适当的平面直角坐标系；
（2）把点A先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，请描出点C的位置，并写出其对应的坐标．
【分析】（1）根据点A的位置，确定原点位置，再画出坐标系即可；
（2）根据平移要求确定C点位置即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：C（﹣1，﹣1）．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是利用坐标系确定点的平移位置．
【变式6-2】如图，在直角坐标系中，A，B位于小正方形的格点上．
（1）直接写出点A，B的坐标；
（2）将线段AB向右平移5个单位，得到线段CD，点A与C是对应点，请画出线段CD；
（3）直接写出点C，D的坐标．
【分析】（1）利用坐标系可得答案；
（2）首先确定A、B两点平移后的位置，再连接即可；
（3）利用坐标系可得答案．
【解答】解：（1）A（﹣2，3），B（﹣3，﹣3）；
（2）如图所示：
（3）C（3，3），D（2，﹣3）．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
【变式6-3】（2022春•陇县期末）在如图的方格纸中，三角形ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣2，0），三角形ABC内任意一点P的坐标为（a，b）
（1）三角形ABC向右平移 个单位长度到△A1B1C1位置，点C对应点C1的坐标为（ ）：点P对应点P1的坐标为（ ）（用含a、b的代数式表示）；
（2）三角形ABC经平移后点P的对应点为P2（a+3，b﹣4），请画出上述平移后的三角形A2B2C2，并写出点A2、B2的坐标．
【分析】（1）根据坐标系可得答案；
（2）根据点P平移后的对应点位置可得图形向右平移3个单位，向下平移4个单位，然后再确定A、B、C三点平移后的对应点位置，再连接即可．
【解答】解：（1）三角形ABC向右平移5个单位长度到△A1B1C1位置，点C对应点C1的坐标为
（2，3）：点P对应点P1的坐标为（a+5，b），
故答案为：5；（2，3）；（a+5，b）；
（2）如图所示：A2（﹣1，3），B2（1，﹣4）．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是掌握组成图形的关键点平移后的对应点位置．
【变式6-4】（2022春•长葛市期末）△ABC在方格中位置如图，A点的坐标为（﹣3，1）．
（1）写出B、C两点的坐标；
（2）把△ABC向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，请你画出平移后的△A1B1C1；
（3）在x轴上存在点D，使△DB1C1的面积等于3，求满足条件的点D的坐标．
【分析】（1）根据平面直角坐标系写出点B、C的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据三角形的面积求出C1D的长度，再分两种情况求出OD的长度，然后写出点D的坐标即可．
【解答】解：（1）B（﹣2，4），C（1，1）；
（2）△A1B1C1如图所示；
（3）△DB1C1的面积=12×C1D×3＝3，
解得C1D＝2，
点D在C1的左边时，OD＝3﹣2＝1，
此时，点D（1，0），
点D在C1的右边时，OD＝3+2＝5，
此时，点D（5，0），
综上所述，点D（1，0）或（5，0）．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
【变式6-5】四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1），B（5，1），C（7，3），D（2，5）．
（1）在平面直角坐标系中画出该四边形；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）将四边形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到四边形A'B'C'D'，在图中画出四边形A'B'C'D'的位置，并写出A'，B′，C′，D'的坐标．
【分析】（1）根据点的坐标作出图形；
（2）把四边形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）利用平移变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A′，B′，C′，D′即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）四边形ABCD的面积＝4×7−12×2×4−12×2×5−12×2×2＝17；
（3）如图，四边形A′B′C′D′即为所求，A′（﹣1，﹣1），B′（5，﹣1），C′（6，1），D′（1，3）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．解题技巧提炼
建立平面直角坐标系描述物体的位置时，要选择一个适当的参照点作为原点，一般将正北方向作为y轴正方向，将正东方向作为x轴正方向，选取适当的单位长度；建立的平面直角坐标系不同，各个点的坐标一般也不同；建立的坐标系在符合题意的基础上，应尽量使较多的点落在坐标轴上.
解题技巧提炼
本题应用了数形结合思想，根据已知点的坐标结合图形分析，确定坐标轴与原点的位置是解题的关键.
解题技巧提炼
用“方位角+距离”定位法来确定物体的位置时，方位角、距离这两个数据缺一不可，在描述位置时，一般先指出方位角再指出距离.
解题技巧提炼
由点的坐标变化确定点的平移的方法：在判断点的平移时，终点与始点的横坐标的差即为沿x轴的平移情况，差为正，向右移，差为负，向左移；终点与始点的纵坐标的差即为沿y轴的平移情况，差为正，向上移，差为负，向下移.
解题技巧提炼
1、在图形的平移中，由图上一点的平移方式可得出图形的平移方式；由图形的平移方式又可得图上某一点的平移方式；点与图形的平移方式一致，故已知图上一点的平移方式，图形上其它点的平移方式也已知.
2、从图形上的点的坐标的变化，可以得出这个图形进行怎样的平移；横坐标的变化决定图形左移平移的距离，纵坐标的变化决定图形上下平移的距离.
解题技巧提炼
在平面直角坐标系中画出平移后的图形的方法：先根据平移的情况确定特殊点
的坐标，然后再描点连线画出图形.
知识点一
用坐标表示地理的位置
◆利用平面直角坐标系表示地理位置的方法：
①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向.
②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度.
③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
知识点二
用“方向角＋距离”表示平面内点的位置
◆在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角.
知识点三
用坐标表示点的平移
◆平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变.
（1）向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
（2）向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
（3）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
（4）向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
知识点四
用坐标表示图形的平移
●图形在坐标平面内的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动；在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标变化，也可以得出这个图形进行了怎样的平移.
◆1、图形在坐标平面内平移变换的实质：①图形的位置及表示位置的坐标发生变化；②图形的形状、大小不变.
◆2、图形的平移坐标变化规律：
在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
◆3、图形沿“斜方向”进行平移：
把沿“斜方向”平移分解成水平和竖直两种方向的平移，如图形从右上方直接平移到左下方，可以分解成图形先水平向左平移，再竖直向下平移，也可以分解成先竖直向下平移，再水平向左平移.
题型一 利用坐标表示地理位置
【例题1】（2022春•上林县期末）如图是广西几个城市旅游景点的平面示意图．
（1）请选取某一个景点为坐标原点，建立平面直角坐标系；
（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各景点的坐标．
【变式1-1】（2022春•新乐市期中）如图是某市市区几个旅游景点的平面示意图．
（1）选取某一个景点为坐标原点，建立平面直角坐标系；
（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各景点的坐标．
【变式1-2】（2022春•澧县期中）如图，这是一所学校的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．
【变式1-3】如图，一个小正方形网格的边长表示50米．A同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校．
（1）以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系：
（2）B同学家的坐标是 ；
（3）在你所建立的直角坐标系中，如果C同学家的坐标为（﹣150，100），请你在图中描出表示C同学家的点．
题型二 由已知坐标确定平面直角坐标系或地理位置
【例题2】（2022春•广安期末）如图是某市火车站及周围的平面示意图，已知超市的坐标是（﹣2，4），市场的坐标是（1，3）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系，并在图中标出汽车站（﹣3，﹣2），花坛（2，﹣1）的位置；
（2）分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标．
【变式2-1】（2021秋•高新区校级期末）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用（2，3）表示教学楼的位置，（3，1）表示旗杆的位置，则实验楼的位置可表示成（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，2）C．（﹣2，1）D．（1，﹣2）
【变式2-2】（2022春•增城区期末）如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标，使最后两架轰炸机分别位于点M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3），则第一架轰炸机位于的点P的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（3，0）
【变式2-3】如图，某历史街区有树龄百年以上的古松树3棵（S1，S2，S3），古槐树4棵（H1，H2，H3，H4），为了加强对古树的保护，园林部门将3棵古松树的位置用坐标表示为S1（﹣1，3），S2（1，4），S3（7，0）．
（1）请你在图中画出平面直角坐标系；
（2）把图中4棵古槐树的位置也用坐标表示出来．
【变式2-4】（2022春•海淀区校级期中）下图是北京市海淀区清华园地区几所高校及中学的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为（0，3），北京大学的坐标为（﹣3，2）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标及北京市一零一中的坐标；
（2）若北京市上地实验学校的坐标为（﹣2，6），请在坐标系中标出北京市上地实验学校的位置．
【变式2-5】（2022春•庐江县期中）如图是某公园的平面图（小正方形的边长代表100m长），图中牡丹园的坐标是（300，300），望春亭的坐标为（﹣200，﹣100），请在图中建立平面直角坐标系并写出其它游览点的坐标．
题型三 用方位角和距离表示地理位置
【例题3】（2021秋•罗源县期末）如图，一艘船在A处遇险后向相距50海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置（ ）
A．南偏西75°，50海里B．南偏西15°，50海里
C．北偏东15°，50海里D．北偏东75°，50海里
【变式3-1】小明要去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：①“悠悠日用化工品厂”在他
现在所在地的北偏东30°方向，距离此处3km的地方；②“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45°方向，
距离此处2.4km的地方；③“321号水库”在他现在所在地的南偏东27°方向，距离此处1.1km的地方．
（1）根据以上信息在图中标出各处位置；
（2）小明在“明天调味品厂”的什么位置？
【变式3-2】（2021秋•集贤县校级期末）根据描述标出每个同学家的位置
（1）小红家在学校东偏北30°方向150米处．
（2）学校在小平家北偏西45°方向200米处．
（3）小华家在学校南偏西60°方向100米处．
（4）小刚家在学校西偏北30°方向150米处．
【变式3-3】如图，是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图（图中1cm表示20 n mile），对我方潜艇O来说：
(1) 北偏东40°的方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据 ?
(2)距离我方潜艇20 n mile的敌舰有哪几艘?
(3) 要确定每艘敌舰的位置，各需要 个数据： 和 ．
对于我方潜艇O来说：
敌方战舰A在 上，距离为 ．
敌方战舰B在 方向，距离为 ．
敌方战舰C在 上，距离为 ．
【变式3-4】（2022春•沂水县期中）春天到了，七（1）班组织同学公园春游，张明、李华对着景区示意图描述牡丹亭位置（图中小正方形边长0.5cm代表100m）．
张明：“牡丹亭坐标（300，300）”．
李华：“望春亭约在南偏西63°方向220m处”．
实际上，他们所说的位置都是正确的．根据所学的知识解答下列问题：
（1）请指出张明同学是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的，并在图中画出所建立的平面直角坐标系；
（2）李华同学是用什么来描述望春亭的位置？
（3）请分别用张明、李华的方法，描述出音乐台、牡丹亭、游乐园的位置．
题型四 点在坐标系中的平移
【例题4】（2022•成都模拟）在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）沿x轴负方向平移2个单位长度后得到的点Q的坐标为 ．
【变式4-1】（2022秋•朝阳区校级期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，4）沿y轴正方向平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
【变式4-2】（2022春•五华区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，0），向下平移3个单位后位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式4-3】（2022•南京模拟）点A（﹣3，﹣1）向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式4-4】（2022秋•全椒县期中）将点P（﹣2，3）先向右平移5个单位，再向下平移4个单位所得到的点Q的坐标为 ．
【变式4-5】（2022春•灞桥区校级期末）点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣2，5）B．（﹣7，0）C．（2，9）D．（3，10）
【变式4-6】（2022春•九龙坡区校级月考）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，﹣3）经过平移后位于第二象限，则下列说法符合题意的是（ ）
A．向上平移3个单位长度B．向右平移3个单位长
C．向下平移3个单位长度D．向上平移5个单位长度
题型五 图形在坐标系中的平移
【例题5】（2022秋•海陵区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，3），点B的坐标是
（1，﹣2），若把线段AB平移，A的对应点为A′，坐标为（﹣1，4），则B′的坐标为 ．
【变式5-1】（2022秋•农安县期中）如图，线段AB两端点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB平移到CD位置，若线段CD两端点的坐标分别为C（1，a），D（b，4），则a+b的值为 ．
【变式5-2】（2022秋•锡山区校级月考）把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标为（ ）
A．（m+2，n+1）B．（m﹣2，n﹣1）C．（m﹣2，n+1）D．（m+2，n﹣1）
【变式5-3】（2021秋•百色期末）如图，△A1B1C1是由△ABC平移后得到的．已知△ABC三顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0），在△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3）．
（1）△ABC是怎样平移得到△A1B1C1的？
（2）分别直接写出△A1B1C1三个顶点A1，B1，C1的坐标．
【变式5-4】（2022春•景谷县期末）三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）分别写出下列各点的坐标：A ，A′ ；
（2）若点P（x，y）是三角形ABC内部一点，则三角形A′B′C′内部的对应点P′的坐标 ．
（3）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
【变式5-5】如图中的“鱼”是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，﹣1），（3，0），（4，﹣2），（0，0）的点用线段依次连接而成的．
（1）若纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比，有什么变化？
（2）若横坐标保持不变，纵坐标分别减2呢？
题型六 平移作图
【例题6】（2022春•官渡区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．
已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
【变式6-1】如图是轰炸机群的最后两架飞机的位置，如果它们的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣2，﹣3）．
（1）试根据点A，B的坐标建立适当的平面直角坐标系；
（2）把点A先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，请描出点C的位置，并写出其对应的坐标．
【变式6-2】如图，在直角坐标系中，A，B位于小正方形的格点上．
（1）直接写出点A，B的坐标；
（2）将线段AB向右平移5个单位，得到线段CD，点A与C是对应点，请画出线段CD；
（3）直接写出点C，D的坐标．
【变式6-3】（2022春•陇县期末）在如图的方格纸中，三角形ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣2，0），三角形ABC内任意一点P的坐标为（a，b）
（1）三角形ABC向右平移 个单位长度到△A1B1C1位置，点C对应点C1的坐标为（ ）：点P对应点P1的坐标为（ ）（用含a、b的代数式表示）；
（2）三角形ABC经平移后点P的对应点为P2（a+3，b﹣4），请画出上述平移后的三角形A2B2C2，并写出点A2、B2的坐标．
【变式6-4】（2022春•长葛市期末）△ABC在方格中位置如图，A点的坐标为（﹣3，1）．
（1）写出B、C两点的坐标；
（2）把△ABC向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，请你画出平移后的△A1B1C1；
（3）在x轴上存在点D，使△DB1C1的面积等于3，求满足条件的点D的坐标．
【变式6-5】四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1），B（5，1），C（7，3），D（2，5）．
（1）在平面直角坐标系中画出该四边形；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）将四边形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到四边形A'B'C'D'，在图中画出四边形A'B'C'D'的位置，并写出A'，B′，C′，D'的坐标．
解题技巧提炼
建立平面直角坐标系描述物体的位置时，要选择一个适当的参照点作为原点，一般将正北方向作为y轴正方向，将正东方向作为x轴正方向，选取适当的单位长度；建立的平面直角坐标系不同，各个点的坐标一般也不同；建立的坐标系在符合题意的基础上，应尽量使较多的点落在坐标轴上.
解题技巧提炼
本题应用了数形结合思想，根据已知点的坐标结合图形分析，确定坐标轴与原点的位置是解题的关键.
解题技巧提炼
用“方位角+距离”定位法来确定物体的位置时，方位角、距离这两个数据缺一不可，在描述位置时，一般先指出方位角再指出距离.
解题技巧提炼
由点的坐标变化确定点的平移的方法：在判断点的平移时，终点与始点的横坐标的差即为沿x轴的平移情况，差为正，向右移，差为负，向左移；终点与始点的纵坐标的差即为沿y轴的平移情况，差为正，向上移，差为负，向下移.
解题技巧提炼
1、在图形的平移中，由图上一点的平移方式可得出图形的平移方式；由图形的平移方式又可得图上某一点的平移方式；点与图形的平移方式一致，故已知图上一点的平移方式，图形上其它点的平移方式也已知.
2、从图形上的点的坐标的变化，可以得出这个图形进行怎样的平移；横坐标的变化决定图形左移平移的距离，纵坐标的变化决定图形上下平移的距离.
解题技巧提炼
在平面直角坐标系中画出平移后的图形的方法：先根据平移的情况确定特殊点
的坐标，然后再描点连线画出图形.
七年级下册数学《第七章 平面直角坐标系》
7.2 坐标方法的简单应用
知识点一
用坐标表示地理的位置
◆利用平面直角坐标系表示地理位置的方法：
①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向.
②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度.
③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
知识点二
用“方向角＋距离”表示平面内点的位置
◆在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角.
知识点三
用坐标表示点的平移
◆平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变.
（1）向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
（2）向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
（3）向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
（4）向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
知识点四
用坐标表示图形的平移
●图形在坐标平面内的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动；在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标变化，也可以得出这个图形进行了怎样的平移.
◆1、图形在坐标平面内平移变换的实质：①图形的位置及表示位置的坐标发生变化；②图形的形状、大小不变.
◆2、图形的平移坐标变化规律：
在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
◆3、图形沿“斜方向”进行平移：
把沿“斜方向”平移分解成水平和竖直两种方向的平移，如图形从右上方直接平移到左下方，可以分解成图形先水平向左平移，再竖直向下平移，也可以分解成先竖直向下平移，再水平向左平移.
题型一 利用坐标表示地理位置
【例题1】（2022春•上林县期末）如图是广西几个城市旅游景点的平面示意图．
（1）请选取某一个景点为坐标原点，建立平面直角坐标系；
（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各景点的坐标．
【分析】（1）直接选择钦州三娘湾为原点得出答案；
（2）直接利用所建平面直角坐标系，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：桂林七星岩坐标为（4，5），柳州龙潭公园坐标为（3，3），百色起义纪念馆坐标为
（﹣2，2），南宁青秀山坐标为（1，1），钦州三娘湾坐标为（0，0），北海银滩坐标为（2，﹣1）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
【变式1-1】（2022春•新乐市期中）如图是某市市区几个旅游景点的平面示意图．
（1）选取某一个景点为坐标原点，建立平面直角坐标系；
（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各景点的坐标．
【分析】（1）以光岳楼为坐标原点建立直角坐标系；
（2）根据各象限点的坐标特点写出其余各景点的坐标．
【解答】解：（1）如图，
（2）湖心岛的坐标为（﹣1，2）；动物园的坐标为（4，4）；山陕会管的坐标为（2，﹣1）；金凤广场的坐标为（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标确定点：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．
【变式1-2】（2022春•澧县期中）如图，这是一所学校的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．
【分析】得出原点位置进而建立坐标系得出各点坐标．
【解答】解：如图所示：
国旗杆（0，0），校门（﹣3，0），教学楼（3，0），实验楼（3，﹣3），图书馆（2，3）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
【变式1-3】如图，一个小正方形网格的边长表示50米．A同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校．
（1）以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系：
（2）B同学家的坐标是 ；
（3）在你所建立的直角坐标系中，如果C同学家的坐标为（﹣150，100），请你在图中描出表示C同学家的点．
【分析】（1）由于A同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校，则可确定A点位置，然后画出直角坐标系；
（2）利用第一象限点的坐标特征写出B点坐标；
（3）根据坐标的意义描出点C．
【解答】解：（1）如图，
（2）B同学家的坐标是（200，150）；
（3）如图．
故答案为（200，150）．
【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
题型二 由已知坐标确定平面直角坐标系或地理位置
【例题2】（2022春•广安期末）如图是某市火车站及周围的平面示意图，已知超市的坐标是（﹣2，4），市场的坐标是（1，3）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系，并在图中标出汽车站（﹣3，﹣2），花坛（2，﹣1）的位置；
（2）分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标．
【分析】（1）直接利用宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（﹣3，1）得出原点的位置，进而得出答案；根据点的坐标的定义在图中标出汽车站（﹣3，﹣2），花坛（2，﹣1）的位置；
（2）利用所建立的平面直角坐标系即可得出答案．
【解答】解：（1）汽车站和花坛的位置如图所示；
（2）如图所示：由平面直角坐标系知，体育场的坐标为（﹣4，2），火车站的坐标为（﹣1，1），文化宫的坐标为（0，﹣2）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
【变式2-1】（2021秋•高新区校级期末）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用（2，3）表示教学楼的位置，（3，1）表示旗杆的位置，则实验楼的位置可表示成（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，2）C．（﹣2，1）D．（1，﹣2）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解答】解：如图所示：实验楼的位置可表示成（1，﹣2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
【变式2-2】（2022春•增城区期末）如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标，使最后两架轰炸机分别位于点M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3），则第一架轰炸机位于的点P的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（3，0）
【分析】根据M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3）的坐标建立坐标系，根据坐标系解答即可．
【解答】解：因为M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3），所以可建立如下图所示平面直角坐标系：
所以可得点P的坐标为（3，﹣1），
故选：B．
【点评】此题考查坐标问题，关键是根据M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3）的坐标以建立坐标系．
【变式2-3】如图，某历史街区有树龄百年以上的古松树3棵（S1，S2，S3），古槐树4棵（H1，H2，H3，H4），为了加强对古树的保护，园林部门将3棵古松树的位置用坐标表示为S1（﹣1，3），S2（1，4），S3（7，0）．
（1）请你在图中画出平面直角坐标系；
（2）把图中4棵古槐树的位置也用坐标表示出来．
【分析】（1）根据S3（7，0）可知S3所在的横线是x轴，再结合S1（﹣1，3），S2（1，4）确定出y轴的位置即可；
（2）结合（1）中所建的坐标系，写出4棵古槐树的位置即可．
【解答】解：（1）根据S1（﹣1，3），S2（1，4），S3（7，0），可得坐标系如图所示：
（2）由坐标系可得，H1（0，0），H2（﹣2，﹣2），H3（4，0），H4（5，1）．
【点评】本题考查平面直角坐标系的相关知识，掌握用坐标确定位置的方法是解题的关键．
【变式2-4】（2022春•海淀区校级期中）下图是北京市海淀区清华园地区几所高校及中学的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为（0，3），北京大学的坐标为（﹣3，2）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标及北京市一零一中的坐标；
（2）若北京市上地实验学校的坐标为（﹣2，6），请在坐标系中标出北京市上地实验学校的位置．
【分析】（1）直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案；
（2）利用（1）中平面直角坐标系得出北京市上地实验学校位置．
【解答】解：（1）如图所示：北京语言大学的坐标为（3，1），北京市一零一中的坐标为（﹣3，3）；
（2）如图所示：北京市上地实验学校即为所求．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
【变式2-5】（2022春•庐江县期中）如图是某公园的平面图（小正方形的边长代表100m长），图中牡丹园的坐标是（300，300），望春亭的坐标为（﹣200，﹣100），请在图中建立平面直角坐标系并写出其它游览点的坐标．
【分析】以牡丹园向左3个单位，向下3个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面直角坐标系中点的坐标的写法写出即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示；
广场（0，0），湖心亭（﹣300，200），东门（400，0），游乐园（200，﹣200）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，根据牡丹亭的位置确定出坐标原点的位置是解题的关键．
题型三 用方位角和距离表示地理位置
【例题3】（2021秋•罗源县期末）如图，一艘船在A处遇险后向相距50海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置（ ）
A．南偏西75°，50海里B．南偏西15°，50海里
C．北偏东15°，50海里D．北偏东75°，50海里
【分析】直接根据题意得出AB的长以及∠ABC的度数，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠ABC＝15°，AB＝50海里，
故遇险船相对于救生船的位置是：南偏西15°，50海里，
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键．
【变式3-1】小明要去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：①“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30°方向，距离此处3km的地方；②“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45°方向，距离此处2.4km的地方；③“321号水库”在他现在所在地的南偏东27°方向，距离此处1.1km的地方．
（1）根据以上信息在图中标出各处位置；
（2）小明在“明天调味品厂”的什么位置？
【分析】建立直角坐标系，以小明所在地方为原点，以正北方向为y轴的正方向，正东方向为x轴的正半轴．在坐标系内，画出
（1）①北偏东30°方向，距离原点3km处表示“悠悠日用化工品厂”；北偏西45°的方向，距离原点2.4km处表示“明天调味品厂”；③南偏东27°的方向，距离原点1.1km处表示“321号水库”；
（2）根据方向角的概念可得小明在“明天调味品厂”的什么位置．
【解答】解：以小明所在地方为原点，以正北方向为y轴的正方向，
正东方向为x轴的正半轴建立直角坐标系，
（1）如图所示：
（2）由图可知：小明在“明天调味品厂”的南偏东45°的方向，距离2.4km处．
【点评】此题考查的是坐标确定位置和方向角，由已知信息正确表示为坐标轴的位置是解决本题的关键．
【变式3-2】（2021秋•集贤县校级期末）根据描述标出每个同学家的位置
（1）小红家在学校东偏北30°方向150米处．
（2）学校在小平家北偏西45°方向200米处．
（3）小华家在学校南偏西60°方向100米处．
（4）小刚家在学校西偏北30°方向150米处．
【分析】（1）利用方向角的定义即可解答；
（2）利用方向角的定义即可解答；
（3）利用方向角的定义即可解答；
（4）利用方向角的定义即可解答．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）如图所示，
（4）如图所示，
【点评】本题考查了用坐标表示地理位置，正确掌握方向角的定义是解题的关键．
【变式3-3】如图，是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图（图中1cm表示20 n mile），对我方潜艇O来说：
(1) 北偏东40°的方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据 ?
(2)距离我方潜艇20 n mile的敌舰有哪几艘?
(3) 要确定每艘敌舰的位置，各需要 个数据： 和 ．
对于我方潜艇O来说：
敌方战舰A在 上，距离为 ．
敌方战舰B在 方向，距离为 ．
敌方战舰C在 上，距离为 ．
【分析】利用方位角的方法来确定位置，一般需要两个数据：方位角和距离，二者缺一不可．
【解答】
（1）北偏东40°方向上的目标是敌方战舰B，小岛H．要确定敌方战舰B的位置，还需要OB的距离．
（2）距离我方潜艇20海里的敌方战舰有敌方战舰C．
（3）要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：方向角和距离．
对于我方潜艇O来说：
敌方战舰A在正南方向上，距离为20海里．
敌方战舰B在北偏东40°方向，距离为35海里．
敌方战舰C在正东方向上，距离为20海里 ．
【点评】本题考查方位角，正确记忆利用方位角判断位置必须有两个条件是解题关键．
【变式3-4】（2022春•沂水县期中）春天到了，七（1）班组织同学公园春游，张明、李华对着景区示意图描述牡丹亭位置（图中小正方形边长0.5cm代表100m）．
张明：“牡丹亭坐标（300，300）”．
李华：“望春亭约在南偏西63°方向220m处”．
实际上，他们所说的位置都是正确的．根据所学的知识解答下列问题：
（1）请指出张明同学是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的，并在图中画出所建立的平面直角坐标系；
（2）李华同学是用什么来描述望春亭的位置？
（3）请分别用张明、李华的方法，描述出音乐台、牡丹亭、游乐园的位置．
【分析】（1）根据牡丹亭坐标（300，300）画出直角坐标系；
（2）利用方向角和距离描述望春亭的位置；
（3）利用所画的坐标坐标系，根据各特殊位置点的坐标特征写出其它景点的坐标．
【解答】解：（1）张明是以中心广场为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，如图：
（2）李华是用方向和距离描述望春亭的位置；
（3）张明的方法：音乐台坐标（0，400），牡丹亭坐标（300，300），游乐园坐标（200，﹣400），
李华的方法：音乐台在正北方向400m处，牡丹亭在西北方向424m处，游乐园约在南偏东27°方向447m处．
【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．
题型四 点在坐标系中的平移
【例题4】（2022•成都模拟）在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）沿x轴负方向平移2个单位长度后得到的点Q的坐标为 ．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：原来点的横坐标是﹣4，纵坐标是2，沿x轴的负方向平移2个单位长度得到新点的横坐标是﹣4﹣2＝﹣6，纵坐标不变；
即点Q的坐标为（﹣6，2）．
故答案为：（﹣6，2）．
【点评】本题主要考查了平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
【变式4-1】（2022秋•朝阳区校级期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，4）沿y轴正方向平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得点B的坐标为（﹣1+1，4），进而可得答案．
【解答】解：将点A（﹣1，4）沿y轴正方向平移1个单位长度得到点B，
则点B的坐标为（﹣1+1，4），
即（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，掌握点的坐标的变化规律是关键．
【变式4-2】（2022春•五华区校级期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，0），向下平移3个单位后位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据点的平移：左减右加，上加下减以及各象限中点的坐标特征解答可得．
【解答】解：∵点P（﹣2，0）向下平移3个单位后的坐标为（﹣2，﹣3），
∴点P（﹣2，0）向下平移3个单位后位于第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化一平移，各象限中点的坐标特征，熟记平移中点的变化规律是：左减右加，上加下减是解题的关键．
【变式4-3】（2022•南京模拟）点A（﹣3，﹣1）向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【解答】解：点A的坐标为（﹣3，﹣1），将点A向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，
点B的横坐标是﹣3﹣3＝﹣6，纵坐标为﹣1+4＝3，即（﹣6，3）．
故选：B．
【点评】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．
【变式4-4】（2022秋•全椒县期中）将点P（﹣2，3）先向右平移5个单位，再向下平移4个单位所得到的点Q的坐标为 ．
【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减可得答案．
【解答】解：将点P（﹣2，3）向右平移5个单位，再向下平移4个单位得到点Q，
则点Q的坐标为（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式4-5】（2022春•灞桥区校级期末）点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣2，5）B．（﹣7，0）C．（2，9）D．（3，10）
【分析】根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，
∴m﹣2﹣2＝0，
∴m＝4，
∴点M（2，9），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，正确地列出方程是解题的关键．
【变式4-6】（2022春•九龙坡区校级月考）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，﹣3）经过平移后位于第二象限，则下列说法符合题意的是（ ）
A．向上平移3个单位长度B．向右平移3个单位长
C．向下平移3个单位长度D．向上平移5个单位长度
【分析】根据平移规律分别求出平移后点的坐标，再根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征进行判断即可．
【解答】解：A、把点P（﹣2，﹣3）向上平移3个单位长度得到的点为（﹣2，0），不在第二象限，不符合题意；
B、把点P（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到的点为（1，﹣3），不在第二象限，不符合题意；
C、把点P（﹣2，﹣3）向下平移3个单位长度得到的点为（﹣2，﹣6），不在第二象限，不符合题意；
D、把点P（﹣2，﹣3）向上平移5个单位长度得到的点为（﹣2，2），在第二象限，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征．
题型五 图形在坐标系中的平移
【例题5】（2022秋•海陵区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，3），点B的坐标是
（1，﹣2），若把线段AB平移，A的对应点为A′，坐标为（﹣1，4），则B′的坐标为 ．
【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向左平移1个单位，向上平移了1个单位，然后可得B′点的坐标．
【解答】解：∵A（2，3）平移后得到点A′的坐标为（﹣1，4），
∴向左平移3个单位，向上平移了1个单位，
∴B（1，﹣2）的对应点坐标为（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式5-1】（2022秋•农安县期中）如图，线段AB两端点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB平移到CD位置，若线段CD两端点的坐标分别为C（1，a），D（b，4），则a+b的值为 ．
【分析】根据平移的性质分别求出a、b的值，计算即可．
【解答】解：点A的横坐标为﹣1，点C的横坐标为1，
则线段AB先向右平移2个单位，
∵点B的横坐标为1，
∴点D的横坐标为3，即b＝3，
同理，a＝3，
∴a+b＝3+3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握平移变换与坐标变化之间的规律是解题的关键．
【变式5-2】（2022秋•锡山区校级月考）把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标为（ ）
A．（m+2，n+1）B．（m﹣2，n﹣1）C．（m﹣2，n+1）D．（m+2，n﹣1）
【分析】根据A点到O点的变化情况，即可求解．
【解答】解：由题图可知，将圆A先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得圆O，点P作相应的平移得到P'，
∴P'（m+2，n﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了图形的变换﹣平移，解题的关键是先找到平移前后图形的几个关键点，观察对应点的坐标变化情况，从而得出所有坐标的变化情况．
【变式5-3】（2021秋•百色期末）如图，△A1B1C1是由△ABC平移后得到的．已知△ABC三顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0），在△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3）．
（1）△ABC是怎样平移得到△A1B1C1的？
（2）分别直接写出△A1B1C1三个顶点A1，B1，C1的坐标．
【分析】（1）根据△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3）中横纵坐标的变化可直接得出结论；
（2）根据（1）中三角形的平移方法及A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0）可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC中任一点P（x0，y0）经平移后得△A1B1C1中对应点P1（x0+5，y0+3），
∴△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A1B1C1；
（2）由（1）知，△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A1B1C1，
∵A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（2，0），
∴A1（3，6），B1（1，2），C1（5，3）．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．
【变式5-4】（2022春•景谷县期末）三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）分别写出下列各点的坐标：A ，A′ ；
（2）若点P（x，y）是三角形ABC内部一点，则三角形A′B′C′内部的对应点P′的坐标 ．
（3）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的规律解决问题即可；
（3）根据平移变换的性质解决问题．
【解答】解：（1）A（1，3），A′（﹣3，1）．
故答案为：（1，3），（﹣3，1）；
（2）∵△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′，
∴P（x，y）的对应点P′（x﹣4，y﹣2），
故答案为：（x﹣4，y﹣2）；
（3）△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A′B′C′．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
【变式5-5】如图中的“鱼”是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，﹣1），（3，0），（4，﹣2），（0，0）的点用线段依次连接而成的．
（1）若纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比，有什么变化？
（2）若横坐标保持不变，纵坐标分别减2呢？
【分析】根据网格结构找出各点的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图，
所得的图案向右平移3个单位；
（2）若横坐标保持不变，纵坐标分别减2，所得的图案向下平移2个单位．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，主要利用了点的位置的确定，几何图形的变化，是基础题．
题型六 平移作图
【例题6】（2022春•官渡区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．
已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为（﹣4，3），顶点C的坐标为（﹣3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
【分析】（1）利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据图示得出坐标即可；
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求：
（2）A′（4，0），B′（1，﹣1），C′（2，﹣3）；
【点评】此题主要考查了坐标系内图形平移，正确得出对应点位置是解题关键．
【变式6-1】如图是轰炸机群的最后两架飞机的位置，如果它们的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣2，﹣3）．
（1）试根据点A，B的坐标建立适当的平面直角坐标系；
（2）把点A先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，请描出点C的位置，并写出其对应的坐标．
【分析】（1）根据点A的位置，确定原点位置，再画出坐标系即可；
（2）根据平移要求确定C点位置即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：C（﹣1，﹣1）．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是利用坐标系确定点的平移位置．
【变式6-2】如图，在直角坐标系中，A，B位于小正方形的格点上．
（1）直接写出点A，B的坐标；
（2）将线段AB向右平移5个单位，得到线段CD，点A与C是对应点，请画出线段CD；
（3）直接写出点C，D的坐标．
【分析】（1）利用坐标系可得答案；
（2）首先确定A、B两点平移后的位置，再连接即可；
（3）利用坐标系可得答案．
【解答】解：（1）A（﹣2，3），B（﹣3，﹣3）；
（2）如图所示：
（3）C（3，3），D（2，﹣3）．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
【变式6-3】（2022春•陇县期末）在如图的方格纸中，三角形ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣2，0），三角形ABC内任意一点P的坐标为（a，b）
（1）三角形ABC向右平移 个单位长度到△A1B1C1位置，点C对应点C1的坐标为（ ）：点P对应点P1的坐标为（ ）（用含a、b的代数式表示）；
（2）三角形ABC经平移后点P的对应点为P2（a+3，b﹣4），请画出上述平移后的三角形A2B2C2，并写出点A2、B2的坐标．
【分析】（1）根据坐标系可得答案；
（2）根据点P平移后的对应点位置可得图形向右平移3个单位，向下平移4个单位，然后再确定A、B、C三点平移后的对应点位置，再连接即可．
【解答】解：（1）三角形ABC向右平移5个单位长度到△A1B1C1位置，点C对应点C1的坐标为
（2，3）：点P对应点P1的坐标为（a+5，b），
故答案为：5；（2，3）；（a+5，b）；
（2）如图所示：A2（﹣1，3），B2（1，﹣4）．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是掌握组成图形的关键点平移后的对应点位置．
【变式6-4】（2022春•长葛市期末）△ABC在方格中位置如图，A点的坐标为（﹣3，1）．
（1）写出B、C两点的坐标；
（2）把△ABC向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，请你画出平移后的△A1B1C1；
（3）在x轴上存在点D，使△DB1C1的面积等于3，求满足条件的点D的坐标．
【分析】（1）根据平面直角坐标系写出点B、C的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据三角形的面积求出C1D的长度，再分两种情况求出OD的长度，然后写出点D的坐标即可．
【解答】解：（1）B（﹣2，4），C（1，1）；
（2）△A1B1C1如图所示；
（3）△DB1C1的面积=12×C1D×3＝3，
解得C1D＝2，
点D在C1的左边时，OD＝3﹣2＝1，
此时，点D（1，0），
点D在C1的右边时，OD＝3+2＝5，
此时，点D（5，0），
综上所述，点D（1，0）或（5，0）．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
【变式6-5】四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1），B（5，1），C（7，3），D（2，5）．
（1）在平面直角坐标系中画出该四边形；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）将四边形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到四边形A'B'C'D'，在图中画出四边形A'B'C'D'的位置，并写出A'，B′，C′，D'的坐标．
【分析】（1）根据点的坐标作出图形；
（2）把四边形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）利用平移变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A′，B′，C′，D′即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）四边形ABCD的面积＝4×7−12×2×4−12×2×5−12×2×2＝17；
（3）如图，四边形A′B′C′D′即为所求，A′（﹣1，﹣1），B′（5，﹣1），C′（6，1），D′（1，3）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．解题技巧提炼
建立平面直角坐标系描述物体的位置时，要选择一个适当的参照点作为原点，一般将正北方向作为y轴正方向，将正东方向作为x轴正方向，选取适当的单位长度；建立的平面直角坐标系不同，各个点的坐标一般也不同；建立的坐标系在符合题意的基础上，应尽量使较多的点落在坐标轴上.
解题技巧提炼
本题应用了数形结合思想，根据已知点的坐标结合图形分析，确定坐标轴与原点的位置是解题的关键.
解题技巧提炼
用“方位角+距离”定位法来确定物体的位置时，方位角、距离这两个数据缺一不可，在描述位置时，一般先指出方位角再指出距离.
解题技巧提炼
由点的坐标变化确定点的平移的方法：在判断点的平移时，终点与始点的横坐标的差即为沿x轴的平移情况，差为正，向右移，差为负，向左移；终点与始点的纵坐标的差即为沿y轴的平移情况，差为正，向上移，差为负，向下移.
解题技巧提炼
1、在图形的平移中，由图上一点的平移方式可得出图形的平移方式；由图形的平移方式又可得图上某一点的平移方式；点与图形的平移方式一致，故已知图上一点的平移方式，图形上其它点的平移方式也已知.
2、从图形上的点的坐标的变化，可以得出这个图形进行怎样的平移；横坐标的变化决定图形左移平移的距离，纵坐标的变化决定图形上下平移的距离.
解题技巧提炼
在平面直角坐标系中画出平移后的图形的方法：先根据平移的情况确定特殊点
的坐标，然后再描点连线画出图形.
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