人教版七年级数学下册同步精讲精练9.3一元一次不等式组(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练9.3一元一次不等式组(原卷版+解析)，共55页。试卷主要包含了3 一元一次不等式组，5B．3，2代入[2]＝2，[1等内容，欢迎下载使用。

知识点一
一元一次不等式组
◆一元一次不等式组的定义：一般地，把同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
【注意】
一个一元一次不等式组包含三个条件：
（1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式；
（2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数；
（3）不等式组中的一元一次不等式的个数至少是两个.
知识点二
一元一次不等式组的解集
◆1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是 求不等式组的解集 .
◆2、确定几个不等式解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共的部分.
◆3、不等式组解集的四种基本类型：（已知：a＞b ）
知识点三
一元一次不等式组的解法
◆1、求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
◆2、求一元一次不等式组解集的方法：
①分别求出各个不等式的解集；
②在数轴上寻找各不等式解集公共部分；
③写出不等式组的解集.
◆3、一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点四
一元一次不等式组的实际应用
◆1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案．
◆2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
题型一 一元一次不等式组的识别
【例题1】（2022春•招远市期末）下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
A．x−1＞3x−3＜2B．a−1＜0b+2＞0
C．3x−5＞04x+2＜0D．3x＜52x−1＜9
【变式1-1】下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．x+y＞3，x＜1B．x≥3，x＞1
C．x2=5，x＜2D．x＜3，1x＞1
【变式1-2】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．x+y=1x−y＞1B．x2+x＞2x+1＞0
C．2x+3＞xx+2＞3yD．x+1＞22x+3＞x−1x＞2
【变式1-3】下列不等式组中，是一元一次不等式组的有（ ）
①；x＞02x+5＜−1②x+π＞−23−x＜0；③14+2＞3x−5＞4；④ab＜−8a+b＞0；⑤m+n+1≥0m−n−1≤0；⑥y＜02y−1＜53+y＞2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-4】下列不等式组：①x＞−2x＜3；②x＞0x+2＞4；③x+1＞0y−4＜0；④x+3＞0x＜−7；⑤x2+1＜xx3+2＞4，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
题型二 确定简单不等式组的解集
【例题2】直接写出下列数轴表示的不等式组的解集
（1）解集为 ；
（2）解集为 ；
（3）解集为 ；
（4）解集为 ．
【变式2-1】利用数轴直接写出不等式组的解集
（1）x＞4，x≥−2；解集是 ；
（2）x＜4x≤−2解集是 ；
（3）x＜4x≥−2；解集是 ；
（4）x＞4，x≤−2；解集是 ．
【变式2-2】直接写出不等式组的解集：
（1）x＞3x＜8 ；（2）x≤−6x≥−6 ；（3）x＜−1x＞3x＞2 ．
【变式2-3】直接写出下列不等式组的解：
（1）x＞2x＞5的解集为 ；
（2）x＜2x＜5的解集为 ；
（3）x＞2x＜5的解集为 ；
（4）x＜2x＞5的解集为 ．
【变式2-4】在横线上写出不等式组的解集：
（1）x≥2x＞−3 ；
（2）x≤2x＜−3 ；
（3）x≥2x＜−3 ；
（4）x≤2x＞−3 ．
题型三 求不等式组的解集
【例题3】（2023•翼城县一模）将不等式组1−4x＜93x−5≤1的解集在数轴上表示出来，则下列选项正确
的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】（2023•越秀区一模）解不等式组：2x+1＜9①3−x≤0②．
【变式3-2】（2023•武汉模拟）解不等式组2x≤3−xx−4≥4x+2，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
​
（4）原不等式组的解集是 ．
【变式3-3】（2023春•水城区月考）解不等式组x+32+3≥x+11−3(x−1)＜8−x，并把解集在数轴上表示出来．
【变式3-4】（2022春•泾阳县期中）解不等式组：2(2x−1)≤3x+13x−85＜x，并把解集在如图所示的数轴上表示出来．
【变式3-5】（2023•福安市二模）解不等式组：3x−1≤x+5①2x−13−9x+26≤1②，并在数轴上表示它的解集．
题型四 求不等式组的特殊解
【例题4】（2023春•龙亭区校级月考）不等式组−2x＜6x−3＞0的最小整数解是 ．
【变式4-1】（2023•杨浦区二模）解不等式组1−x−23≥16x①1−x2＜x②并求出它的正整数解．
【变式4-2】（2023•西城区校级模拟）解不等式组：−2x+6≥44x+13＞x−1，并写出该不等式组的非负整数解．
【变式4-3】（2023•宝应县一模）解不等式组：−x−2(x+1)≤1x+13＞x−1，并求出它的所有整数解的和．
【变式4-4】（2021•毕节市）x取哪些正整数值时，不等式5x+2＞3（x﹣1）与2x−13≤3x+16都成立？
【变式4-5】（2022春•偃师市校级期中）已知不等式4−5x2−1＜6的负整数解是方程2x﹣3＝ax的解．求关于x的一元一次不等式组7(x−a)−3x＞−1115x+2＜a的解集及其所有整数解的和．
题型五 根据不等式组的解集求字母范围
【例题5】（2023•郸城县一模）不等式组x≤1x≥n无解，则n的值可能是 ．
【变式5-1】（2022•珠海二模）如果不等式组x3＜1−x−36x＜m的解集是x＜3，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜78B．m≥78C．m＜3D．m≥3
【变式5-2】（2023春•济阳区期中）如果不等式组x+5＜4x−1x＞m的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2B．m≤2C．m＝2D．m＜2
【变式5-3】（2022秋•岳阳县期末）若关于x的一元一次不等式组x≥b−1x＜a2的解集为−3≤x＜32，
则ab＝ ．
【变式5-4】（2023春•普宁市月考）若关于x的不等式组x＞a+1x≤3a−5无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．a＞3C．a≤3D．a≥3
【变式5-5】（2022•大理州二模）若关于x的不等式组x−23≤mx−12＞3−2x有解，则m的取值范围是 ．
题型六 利用整数解求字母的取值范围
【例题6】（2023•泰山区一模）不等式组x＜mx≥3有4个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．6≤m≤7B．6＜m＜7C．6≤m＜7D．6＜m≤7
【变式6-1】（2023春•新城区校级月考）若关于x的不等式组3x−2＜1m−x＜1恰有两个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1＜m≤0B．﹣1≤m＜0C．﹣1＜m＜0D．﹣1＜m≤1
【变式6-2】（2022春•惠安县校级期中）已知关于x的不等式组6x+2(2−x)＜52x+2(2+x)−1≥k只有三个整数解，则k的取值范围为（ ）
A．﹣9≤k＜﹣5B．﹣9＜k＜﹣5C．﹣9＜k≤﹣5D．﹣9≤k≤﹣5
【变式6-3】（2023•佳木斯一模）若关于x的一元一次不等式组a−4x＜02x−15−1≤0有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【变式6-4】（2021春•蒲城县期中）若关于x的一元一次不等式组4x+10＞k1−x≥0有且只有四个整数解，且关于y的方程y﹣3＝3k﹣y的解为非负整数，则符合条件的所有整数k的值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6-5】（2021春•神木市期中）已知关于x的不等式组3x−5＞kx+32＞x−1有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
题型七 方程（组）与不等式组的综合应用
【例题7】（2021春•南岗区校级期中）若不等式组2x+3＜1x＞12(x−3)的整数解是关于x的方程3x﹣1＝ax的解，求a的值．
【变式7-1】（2023春•北碚区校级期中）关于x，y的方程组2x−y=a−4x+y=2a+1．的解满足x为非正数，y为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知不等式ax+x＞a+1的解集为x＞1，请求出所有满足条件的整数a的值．
【变式7-2】（2022春•威远县校级期中）已知方程组x+y=−7−mx−y=1+3m的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式2mx+x＜4m+2的解集为x＞2．
【变式7-3】（2023•南皮县校级一模）已知方程组x+y=a+3x−y=3a−1的解是一对正数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简：|2a+1|+|a﹣2|．
【变式7-4】（2023春•仓山区校级期中）已知关于x、y的方程组2x+y=5m+6x−3y=−m+10的解满足x为非负数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，关于z的不等式2mz+z＜2m+1的解为z＞1．
【变式7-5】（2022春•博罗县期末）已知关于x、y的方程组满足x+2y=3m+1x−y=m−2，且它的解x为负数，y为正数．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简|m+2|+|m﹣1|．
题型八 不等式组的新定义问题
【例题8】（2023•东莞市校级一模）定义新运算：a⊗b＝2a﹣b+3．例如，5⊗4＝2×5﹣4+3，则不等式组0.5⊗x＞−22x⊗5＞3x+1的解集为（ ）
x＞3B．3＜x＜6C．无解D．﹣1＜x＜6
【变式8-1】（2022春•思明区校级期中）对于实数m，n，定义一种运算“※”为m※n＝m2+mn，例如，5※3＝52+5×3＝40．那么不等式组(−2)※x＞01※x≥0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-2】（2022•嘉兴二模）对于实数a，b，定义一种运算“⊗”：a⊗b＝a2﹣ab，那么不等式组 1⊗x＞0(−2)⊗x≤0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-3】（2022秋•晋州市期末）对于一个非整数的有理数x（x≠n+0.5，n为整数），我们规定：（x）表示不大于x的最大整数，[x]表示不小于x的最小整数，{x}表示最接近x的整数．例如，（3.14）＝3，[3.14]＝4，{3.14}＝3．则使3（x）+2[x]+{x}＝20成立的x的取值范围为（ ）
A．3＜x＜3.5B．3.5＜x＜4
C．3＜x＜4且x≠3.5D．以上答案都不对
【变式8-4】（2022春•埇桥区期中）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．如果[x+12]=3，则x的取值范围是 ．
【变式8-5】（2022秋•北碚区校级期末）我们规定：[m]表示不超过m的最大整数，例如：[3.1]＝3，[−3.1]＝−4，则关于x和y的二元一次方程组[x]+y=3.2x−[y]=[3.2]的解为（ ）
A．x=3y=0.2B．x=2y=1.2
C．x=3.3y=0.2D．x=3.4y=0.2
题型九 列不等式组解决实际问题
【例题9】（2023•南皮县校级一模）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（ ）
A．24人B．23人C．22人D．不能确定
【变式9-1】（2022春•普宁市校级月考）某校将若干间宿舍分配给八年级（1）班女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，且有一间住不满．那么该班有 名女生．
【变式9-2】（2022秋•长沙期末）北京时间12月18日晚23点，2022年卡塔尔世界杯决赛，阿根廷对战法国．阿根廷最终战胜法国，时隔36年再次夺得世界杯冠军，这也是阿根廷队历史第3次在世界杯夺冠．梅西赛后接受采访时说道，“我们受到了很多挫折，但我们做到了”．世界杯结束后，学生对于足球的热情高涨．为满足学生课间运动的需求，学校计划购买一批足球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价；
（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于B品牌的足球个数，求该校购买这些足球共有几种方案？
【变式9-3】（2023春•重庆期中）为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新书．下面是他们的对话内容：
班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，160元，据我了解这套书进价只有100元．”
班委B：“你可以花20元办一张会员卡，买书可打八折．”
班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花100元办张贵宾卡，买书打六折．”
（1）班委A上次买的一套书，图书城的利润是 元，利润率是 ．如果当时他买一张会员卡，可省下 元．
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠？
（3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围．
【变式9-4】（2023•浠水县一模）某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要资金380元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？
（2）该超市计划购进这两种商品共50件，而可用于购买这两种商品的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一件甲商品可获利10元，销售一件乙商品可获利15元．该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元．则该超市有哪几种进货方案？
【变式9-5】（2023春•新城区校级月考）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？
不等式 组
数轴
表示
解集
解集
x＞a
x＜a
b＜x＜a
无 解
归纳
同大取大
同小取小
大小小大中间找
大大小小无处找
解题技巧提炼
每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个．
解题技巧提炼
求由两个简单不等式所组成的不等式组的解集，利用口诀法快速得出答案.
解题技巧提炼
一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找．
解题技巧提炼
求一元一次不等式组的特殊解分两步来解答：一是求解一元一次不等式组，得出解集；二是根据问题的条件，在求出的范围内确定满足条件的解.
解题技巧提炼
解答这类题，一般先将字母视为常数，再逆用不等式组解集的意义，由不等式组的解集反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
解题技巧提炼
利用整数解求字母的取值范围的方法：
（1）先求出每个不等式解集，其中一个不等式解集（含待定字母），如x＜1+n；
（2）画数轴，在数轴上表示出确定的一个解集，并在数轴上观察出一解集中（1+n）
的取值范围.
（3）列出不等式组，求出不等式组的解集.
解题技巧提炼
本题运用了消元法和常量法，解答这类题，一般先将某个字母视为常数，求出方程组的解，再建立不等式组，解不等式组，即可求出相应字母的取值范围.
解题技巧提炼
解决不等式组的新定义问题的方法是：根据题意中给出的新定义运算的方法列出不等式组，再解不等式组即可解答.
解题技巧提炼
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》
9.3 一元一次不等式组
知识点一
一元一次不等式组
◆一元一次不等式组的定义：一般地，把同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
【注意】
一个一元一次不等式组包含三个条件：
（1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式；
（2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数；
（3）不等式组中的一元一次不等式的个数至少是两个.
知识点二
一元一次不等式组的解集
◆1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是 求不等式组的解集 .
◆2、确定几个不等式解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共的部分.
◆3、不等式组解集的四种基本类型：（已知：a＞b ）
知识点三
一元一次不等式组的解法
◆1、求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
◆2、求一元一次不等式组解集的方法：
①分别求出各个不等式的解集；
②在数轴上寻找各不等式解集公共部分；
③写出不等式组的解集.
◆3、一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
知识点四
一元一次不等式组的实际应用
◆1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案．
◆2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
题型一 一元一次不等式组的识别
【例题1】（2022春•招远市期末）下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
A．x−1＞3x−3＜2B．a−1＜0b+2＞0
C．3x−5＞04x+2＜0D．3x＜52x−1＜9
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答．
【解答】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
B、该不等式组中含有2给未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确；
C、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．
【变式1-1】下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．x+y＞3，x＜1B．x≥3，x＞1
C．x2=5，x＜2D．x＜3，1x＞1
【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可．
【解答】解：A、含有二个未知数，不符合题意；
B、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
C、未知数的最高次数是2，不符合题意；
D、分母中含有未知数，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答．
【变式1-2】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．x+y=1x−y＞1B．x2+x＞2x+1＞0
C．2x+3＞xx+2＞3yD．x+1＞22x+3＞x−1x＞2
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B、未知数的次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、是一元一次不等式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了对一元一次不等式组的定义的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．
【变式1-3】下列不等式组中，是一元一次不等式组的有（ ）
①；x＞02x+5＜−1②x+π＞−23−x＜0；③14+2＞3x−5＞4；④ab＜−8a+b＞0；⑤m+n+1≥0m−n−1≤0；⑥y＜02y−1＜53+y＞2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【解答】解：①②⑥是一元一次不等式，③④⑤不是一元一次不等式组，
故选：C．
【点评】本题考查了对一元一次不等式组的定义的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．
【变式1-4】下列不等式组：①x＞−2x＜3；②x＞0x+2＞4；③x+1＞0y−4＜0；④x+3＞0x＜−7；⑤x2+1＜xx3+2＞4，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【解答】解：①x＞−2x＜3是一元一次不等式组；
②x＞0x+2＞4是一元一次不等式组；
③x+1＞0y−4＜0含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④x+3＞0x＜−7是一元一次不等式组；
⑤x2+1＜xx3+2＞4，未知数是3次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
题型二 确定简单不等式组的解集
【例题2】直接写出下列数轴表示的不等式组的解集
（1）解集为 ；
（2）解集为 ；
（3）解集为 ；
（4）解集为 ．
【分析】根据数轴上画出的部分写出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）解集为空集；
故答案为：空集；
（2）解集为0＜x≤3；
故答案为：0＜x≤3；
（3）解集为x＞3；
故答案为：x＞3；
（4）解集为x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式2-1】利用数轴直接写出不等式组的解集
（1）x＞4，x≥−2；解集是 ；
（2）x＜4x≤−2解集是 ；
（3）x＜4x≥−2；解集是 ；
（4）x＞4，x≤−2；解集是 ．
【分析】根据数轴上画出的部分写出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）x＞4，x≥−2；解集是x＞4；
故答案为：x＞4；
（2）x＜4x≤−2解集是x≤﹣2；
故答案为：x≤﹣2；
（3）x＜4x≥−2；解集是﹣2≤x＜4；
故答案为：﹣2≤x＜4；
（4）x＞4，x≤−2；解集是无解．
故答案为：无解．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式2-2】直接写出不等式组的解集：
（1）x＞3x＜8 ；（2）x≤−6x≥−6 ；（3）x＜−1x＞3x＞2 ．
【分析】（1）根据口诀“大小小大中间找”即可确定答案；
（2）找到这两个x的取值范围的公共部分即可；
（3）根据“同大取大”及“大大小小无解了”即可得出答案．
【解答】解：（1）x＞3x＜8的解集为3＜x＜8；
（2）x≤−6x≥−6的解集为x＝﹣6；
（3）x＜−1x＞3x＞2无解；
故答案为：3＜x＜8，x＝﹣6，无解．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式2-3】直接写出下列不等式组的解：
（1）x＞2x＞5的解集为 ；
（2）x＜2x＜5的解集为 ；
（3）x＞2x＜5的解集为 ；
（4）x＜2x＞5的解集为 ．
【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小解不了的原则直接写出解集即可．
【解答】解：（1）x＞5；
（2）x＜2；
（3）2＜x＜5；
（4）无解．
故答案为：x＞5；x＜2；2＜x＜5；无解．
【点评】本题考查了不等式的解集，求不等式组的解集，要遵循以下原则：大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【变式2-4】在横线上写出不等式组的解集：
（1）x≥2x＞−3 ；
（2）x≤2x＜−3 ；
（3）x≥2x＜−3 ；
（4）x≤2x＞−3 ．
【分析】（1）根据大大取较大，可以解答本题；
（2）根据小小取较小，可以解答本题；
（3）根据大大小小无解，可以解答本题；
（4）根据大小小大中间找，可以解答本题．
【解答】解：（1）∵x≥2x＞−3，
∴该不等式组的解集是x≥2，
故答案为：x≥2；
（2）∵x≤2x＜−3，
∴该不等式组的解集是x＜﹣3，
故答案为：x＜﹣3；
（3）∵x≥2x＜−3，
∴该不等式组无解，
故答案为：无解；
（4）x≤2x＞−3，
∴该不等式组的解集是﹣3＜x≤2，
故答案为：﹣3＜x≤2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确不等式解集的确定方法：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解．
题型三 求不等式组的解集
【例题3】（2023•翼城县一模）将不等式组1−4x＜93x−5≤1的解集在数轴上表示出来，则下列选项正确
的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：1−4x＜9①3x−5≤1②，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【变式3-1】（2023•越秀区一模）解不等式组：2x+1＜9①3−x≤0②．
【分析】分别求解不等式，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x＜4，
由②，得x≥3，
∴不等式组的解集是3≤x＜4．
【点评】本题考查了求一元一次不等式组的解集，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找”是关键．
【变式3-2】（2023•武汉模拟）解不等式组2x≤3−xx−4≥4x+2，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
​
（4）原不等式组的解集是 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）解不等式①，得x≤1；
（2）解不等式②，得x≤﹣2；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
​
（4）原不等式组的解集是x≤﹣2．
故答案为：x≤1，x≤﹣2，x≤﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式3-3】（2023春•水城区月考）解不等式组x+32+3≥x+11−3(x−1)＜8−x，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：x+32+3≥x+1①1−3(x−1)＜8−x②，
∵解不等式①得：x≤7，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤7．
在数轴上表示不等式组的解集为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
【变式3-4】（2022春•泾阳县期中）解不等式组：2(2x−1)≤3x+13x−85＜x，并把解集在如图所示的数轴上表示出来．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：2(2x−1)≤3x+1①3x−85＜x②，
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞﹣4，
∴不等式组的解集为：﹣4＜x≤3，
把解集在数轴上表示如下：
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解不等式组的方法．
【变式3-5】（2023•福安市二模）解不等式组：3x−1≤x+5①2x−13−9x+26≤1②，并在数轴上表示它的解集．
【分析】，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x≤3，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
题型四 求不等式组的特殊解
【例题4】（2023春•龙亭区校级月考）不等式组−2x＜6x−3＞0的最小整数解是 ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出最小整数解即可．
【解答】解：−2x＜6①x−3＞0②，
由①得x＞﹣3，
由②得x＞3，
∴不等式组的解集为x＞3，
则不等式组的最小整数解为4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
【变式4-1】（2023•杨浦区二模）解不等式组1−x−23≥16x①1−x2＜x②并求出它的正整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
【解答】解：解不等式①得：x≤103，
解不等式②得：x＞13，
所以不等式组的解集为13＜x≤103，
则不等式组的正整数解为1，2，3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式4-2】（2023•西城区校级模拟）解不等式组：−2x+6≥44x+13＞x−1，并写出该不等式组的非负整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出其整数解．
【解答】解：解不等式﹣2x+6≥4，得：x≤1，
解不等式4x+13＞x−1，得：x＞﹣4，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤1，
所以不等式组的非负整数解为0和1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式4-3】（2023•宝应县一模）解不等式组：−x−2(x+1)≤1x+13＞x−1，并求出它的所有整数解的和．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解的和即可．
【解答】解：不等式组−x−2(x+1)≤1①x+13＞x−1②，
由①得x≥﹣1，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，即整数解为﹣1，0，1，
则整数解的和为﹣1+0+1＝0．
【点评】此题考查了一元一次方程组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
【变式4-4】（2021•毕节市）x取哪些正整数值时，不等式5x+2＞3（x﹣1）与2x−13≤3x+16都成立？
【分析】根据题意分别求出每个不等式解集，根据口诀：大小小大中间找，确定两不等式解集的公共部分，即可得正整数值．
【解答】解：根据题意解不等式组5x+2＞3(x−1)①2x−13≤3x+16②，
解不等式①，得：x＞−52，
解不等式②，得：x≤3，
∴−52＜x≤3，
故满足条件的正整数有1、2、3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式4-5】（2022春•偃师市校级期中）已知不等式4−5x2−1＜6的负整数解是方程2x﹣3＝ax的解．求关于x的一元一次不等式组7(x−a)−3x＞−1115x+2＜a的解集及其所有整数解的和．
【分析】先求出不等式4−5x2−1＜6的负整数解，再解方程求出a的值，代入不等式组，求出不等式组的解集即可得答案．
【解答】解：∵4−5x2−1＜6，
4﹣5x﹣2＜12，
﹣5x＜10，
x＞﹣2，
∴不等式的负整数解是﹣1，
把x＝﹣1代入2x﹣3＝ax得：﹣2﹣3＝﹣a，
解得：a＝5，
把a＝5代入不等式组得7(x−5)−3x＞−1115x+2＜5，
解不等式组得：6＜x＜15．
∴所有整数解的和7+8+9+10+11+12+13+14＝84．
【点评】本题考查了解一元一次不等式及整数解，解一元一次方程，解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．
题型五 根据不等式组的解集求字母范围
【例题5】（2023•郸城县一模）不等式组x≤1x≥n无解，则n的值可能是 ．
【分析】不等式组x≤1x≥n无解，知n＞1，据此可得答案．
【解答】解：∵不等式组x≤1x≥n无解，
∴n＞1，
∴n的值可能是2．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式5-1】（2022•珠海二模）如果不等式组x3＜1−x−36x＜m的解集是x＜3，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜78B．m≥78C．m＜3D．m≥3
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：解不等式x3＜1−x−36，得：x＜3，
∵x＜m且不等式组的解集为x＜3，
∴m≥3，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式5-2】（2023春•济阳区期中）如果不等式组x+5＜4x−1x＞m的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2B．m≤2C．m＝2D．m＜2
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知进行得出关于m的不等式，即可得出选项．
【解答】解：x+5＜4x−1①x＞m②
∵不等式①的解集为x＞2，
不等式②的解集为x＞m，
又∵不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式，难度适中．
【变式5-3】（2022秋•岳阳县期末）若关于x的一元一次不等式组x≥b−1x＜a2的解集为−3≤x＜32，
则ab＝ ．
【分析】根据不等式组的解集情况列方程求a，b的值，从而求解．
【解答】解：关于x的一元一次不等式组x≥b−1x＜a2的解集为：b﹣1≤x＜a2，
又∵该不等式组的解集为﹣3≤x＜32，
∴b﹣1＝﹣3，a2=32，
解得：b＝﹣2，a＝3，
∴ab＝3×（﹣2）＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式5-4】（2023春•普宁市月考）若关于x的不等式组x＞a+1x≤3a−5无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．a＞3C．a≤3D．a≥3
【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵不等式组x＞a+1x≤3a−5无解，
∴a+1≥3a﹣5，
解得：a≤3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键．
【变式5-5】（2022•大理州二模）若关于x的不等式组x−23≤mx−12＞3−2x有解，则m的取值范围是 ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组有解列出关于m的不等式求解即可．
【解答】解：解不等式x−23≤m，得：x≤3m+2，
解不等式x﹣12＞3﹣2x，得：x＞5，
∵不等式组有解，
∴3m+2＞5，
则m＞1，
故答案为：m＞1．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
题型六 利用整数解求字母的取值范围
【例题6】（2023•泰山区一模）不等式组x＜mx≥3有4个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．6≤m≤7B．6＜m＜7C．6≤m＜7D．6＜m≤7
【分析】根据关于x的不等式组的解集和整数解的个数确定关于m的不等式组，再求出解集即可．
【解答】解：关于x的不等式组x＜mx≥3有解，其解集为3≤x＜m，
∵关于x的不等式组恰有4个整数解，
∴6＜m≤7，
故选：D．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的整数解的意义是正确解答的前提．
【变式6-1】（2023春•新城区校级月考）若关于x的不等式组3x−2＜1m−x＜1恰有两个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1＜m≤0B．﹣1≤m＜0C．﹣1＜m＜0D．﹣1＜m≤1
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：3x−2＜1①m−x＜1②，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞m﹣1，
∴原不等式组的解集为：m﹣1＜x＜1，
∵不等式组恰有两个整数解，
∴﹣2≤m﹣1＜﹣1，
解得：﹣1≤m＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式6-2】（2022春•惠安县校级期中）已知关于x的不等式组6x+2(2−x)＜52x+2(2+x)−1≥k只有三个整数解，则k的取值范围为（ ）
A．﹣9≤k＜﹣5B．﹣9＜k＜﹣5C．﹣9＜k≤﹣5D．﹣9≤k≤﹣5
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解情况得出关于k的不等式组，解之即可得出答案．
【解答】解：由6x+2（2﹣x）＜5得：x＜14，
由2x+2（2+x）﹣1≥k得：x≥k−34，
∵不等式组只有三个整数解，
∴不等式组的整数解为0、﹣1、﹣2，
则﹣3＜k−34≤−2，
解得﹣9＜k≤﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解情况得出关于k的不等式组是解答此题的关键．
【变式6-3】（2023•佳木斯一模）若关于x的一元一次不等式组a−4x＜02x−15−1≤0有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【分析】根据关于x的不等式组的解集和整数解的个数确定关于a的不等式组，再求出解集即可．
【解答】解：关于x的一元一次不等式组a−4x＜02x−15−1≤0有解，其解集为a4＜x≤3，
∵关于x的不等式组恰有3个整数解，
∴0≤a4＜1，
解得0≤a＜4．
故答案为：0≤a＜4．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的整数解的意义是正确解答的前提．
【变式6-4】（2021春•蒲城县期中）若关于x的一元一次不等式组4x+10＞k1−x≥0有且只有四个整数解，且关于y的方程y﹣3＝3k﹣y的解为非负整数，则符合条件的所有整数k的值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出k的值，再由方程的解为非负数求出满足题意整数k的值．
【解答】解：一元一次不等式组4x+10＞k1−x≥0整理得：x＞k−104x≤1，
由不等式组有且只有四个整数解，得到﹣3≤k−104＜−2，
解得：﹣2≤k＜2，
解方程y﹣3＝3k﹣y得：y=3k+32，
∵关于y的方程y﹣3＝3k﹣y的解为非负整数，
∴3k+32≥0，且3k+32为整数，
解得：k≥﹣1，
∴﹣1≤k＜2，
∵k为整数，3k+32为整数，
∴k为﹣1，1，
即符合条件的所有整数k的值有2个．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-5】（2021春•神木市期中）已知关于x的不等式组3x−5＞kx+32＞x−1有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】解不等式组得出关于x的范围，根据不等式组有4个整数解得出k的范围，继而可得整数k的取值．
【解答】解：由不等式3x﹣5＞k，解得x＞k+53，
由不等式x+32＞x−1，解得x＜5，
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴0≤k+53＜1，
解得：﹣5≤k＜﹣2；
所以满足条件的整数k的值有﹣5、﹣4、﹣3共3个，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的解，熟练掌握解不等式组的能力，并根据题意得到关于k的范围是解题的关键．
题型七 方程（组）与不等式组的综合应用
【例题7】（2021春•南岗区校级期中）若不等式组2x+3＜1x＞12(x−3)的整数解是关于x的方程3x﹣1＝ax的解，求a的值．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集中的公共部分，确定出不等式组的解集，找出解集中的整数解，确定出x的值，将x的值代入已知方程计算，即可求出a的值．
【解答】解：2x+3＜1①x＞12(x−3)②，
由①得：x＜﹣1，
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣1，
∴整数解为﹣2，
把x＝﹣2代入已知方程得：﹣6﹣1＝﹣2a，
解得a＝3.5；
∴a的值为3.5．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元二次方程的解，求出不等式组的整数解是解本题的关键．
【变式7-1】（2023春•北碚区校级期中）关于x，y的方程组2x−y=a−4x+y=2a+1．的解满足x为非正数，y为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知不等式ax+x＞a+1的解集为x＞1，请求出所有满足条件的整数a的值．
【分析】（1）用含a的式子表示出方程组的解，再根据方程组的解满足x为非正数，y为正数，列出不等式组，进行求解即可；
（2）根据题意，可得：a+1＞0，结合（1）中a的取值范围，进行求解即可．
【解答】解：（1）2x−y=a−4①x+y=2a+1②，
①+②，得：3x＝3a﹣3，解得：x＝a﹣1，
把x＝a﹣1，代入②，得：a﹣1+y＝2a+1，解得：y＝a+2，
∴方程组的解为：x=a−1y=a+2．
∵关于x，y的方程组2x−y=a−4x+y=2a+1的解满足x为非正数，y为正数，
∴a−1≤0a+2>0
解得：﹣2＜a≤1；
（2）∵ax+x＞a+1
∴（a+1）x＞a+1，
∵不等式ax+x＞a+1的解集为x＞1，
∴a+1＞0，
∴a＞﹣1，
∵﹣2＜a≤1，
∴﹣1＜a≤1，
∴满足条件的整数a的值为0，1．
【点评】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的取值范围、解一元一次不等式组．正确的求出方程组的解，是解题的关键．
【变式7-2】（2022春•威远县校级期中）已知方程组x+y=−7−mx−y=1+3m的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式2mx+x＜4m+2的解集为x＞2．
【分析】（1）解方程组得x=m−3y=−2m−4，根据x为非正数，y为负数得m−3≤0①−2m−4＜0②，解之可得答案；
（2）由不等式2mx+x＜2m+1，即（2m+1）x＜2m+1的解集为x＞1知2m+1＜0，解之得出m＜−12，再从﹣2＜m≤3中找到符合此条件的整数m的值即可．
【解答】解：（1）解方程组得x=m−3y=−2m−4，
∵x为非正数，y为负数，
∴m−3≤0①−2m−4＜0②，
解不等式①，得：m≤3，
解不等式②，得：m＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜m≤3；
（2）∵不等式2mx+x＜4m+2，即（2m+1）x＜4m+2的解集为x＞2，
∴2m+1＜0，
解得m＜−12，
在﹣2＜m≤3中符合m＜−12的整数为﹣1．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式7-3】（2023•南皮县校级一模）已知方程组x+y=a+3x−y=3a−1的解是一对正数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简：|2a+1|+|a﹣2|．
【分析】（1）首先解关于x，y的方程组，根据解是一对正数即可得到一个关于a的不等式组，从而求得a的范围；
（2）根据a的范围确定2a+1和a﹣2的符号，然后根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可求解．
【解答】解：（1）解原方程组可得：x=2a+1y=2−a，
因为方程组的解为一对正数
所以有 2a+1＞02−a＞0，
解得：−12＜a＜2，
即a的取值范围为：−12＜a＜2；
（2）由（1）可知：2a+1＞0，
2﹣a＞0，
所以：2a+1＞0，
a﹣2＜0，
即|2a+1|+|a﹣2|，
＝（2a+1）+（2﹣a），
＝2a+1+2﹣a，
＝a+3．
【点评】本题考查解一元一次方程组，去绝对值，解二元一次不等式组的解集，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【变式7-4】（2023春•仓山区校级期中）已知关于x、y的方程组2x+y=5m+6x−3y=−m+10的解满足x为非负数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，关于z的不等式2mz+z＜2m+1的解为z＞1．
【分析】（1）解方程组得出x、y，由x为非负数，y为负数得出关于m的不等式组，解之可得；
（2）先根据不等式的性质得出2m+1＜0，解得m＜−12，结合以上求出m的范围可得答案．
【解答】解：（1）解方程组得x=2m+4y=m−2，
由题意知2m+4≥0m−2＜0，
解得﹣2≤m＜2；
（2）由2mz+z＜2m+1得（2m+1）z＜2m+1，
∵不等式的解集为z＞1，
∴2m+1＜0，
解得m＜−12，
则﹣2≤m＜−12，
∴符合条件的整数m的值为﹣2、﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式7-5】（2022春•博罗县期末）已知关于x、y的方程组满足x+2y=3m+1x−y=m−2，且它的解x为负数，y为正数．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简|m+2|+|m﹣1|．
【分析】（1）根据加减消元法，可以解答此方程组；
（2）根据（1）中的结果和x为负数，y为正数，可以列出相应的不等式组，然后求解即可；
（3）根据（2）中的结果，可以将绝对值符号去掉，然后化简即可．
【解答】解：（1）x+2y=3m+1①x−y=m−2②，
①﹣②，得：3y＝2m+3，
解得y=2m+33，
将y=2m+33代入②，得：x=5m−33，
∴方程组的解是x=5m−33y=2m+33；
（2）∵x为负数，y为正数，x=5m−33y=2m+33，
∴5m−33＜02m+33＞0，
解得−32＜m＜35，
即实数m的取值范围是−32＜m＜35；
（3）∵−32＜m＜35，
∴m+2＞0，m﹣1＜0，
∴|m+2|+|m﹣1|
＝m+2+1﹣m
＝3．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解不等式组和二元一次方程组的方法．
题型八 不等式组的新定义问题
【例题8】（2023•东莞市校级一模）定义新运算：a⊗b＝2a﹣b+3．例如，5⊗4＝2×5﹣4+3，则不等式组0.5⊗x＞−22x⊗5＞3x+1的解集为（ ）
A．x＞3B．3＜x＜6C．无解D．﹣1＜x＜6
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由0.5⊗x＞﹣2得1﹣x+3＞﹣2，解得x＜6，
由2x⊗5＞3x+1得4x﹣5+3＞3x+1，解得x＞3，
则不等式组的解集为3＜x＜6，
故选：B．
【点评】本题考查的是新定义和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式8-1】（2022春•思明区校级期中）对于实数m，n，定义一种运算“※”为m※n＝m2+mn，例如，5※3＝52+5×3＝40．那么不等式组(−2)※x＞01※x≥0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意列出不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法即可求出答案．
【解答】解：由题意可知不等式组可化为：4−2x＞0①1+x≥0②，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式的解集为：﹣1≤x＜2．
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是正确理解新定义运算以及一元一次不等式组的解法．
【变式8-2】（2022•嘉兴二模）对于实数a，b，定义一种运算“⊗”：a⊗b＝a2﹣ab，那么不等式组 1⊗x＞0(−2)⊗x≤0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意列出不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法即可求出答案．
【解答】解：由题意可知不等式组可化为1−x＞0①4+2x≤0②，
解不等式①得，x＜1；
解不等式②得，x≤﹣2；
在数轴上表示为：，
故选：B．
【点评】本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算以及一元一次不等式组的解法，本题属于基础题型．
【变式8-3】（2022秋•晋州市期末）对于一个非整数的有理数x（x≠n+0.5，n为整数），我们规定：（x）表示不大于x的最大整数，[x]表示不小于x的最小整数，{x}表示最接近x的整数．例如，（3.14）＝3，[3.14]＝4，{3.14}＝3．则使3（x）+2[x]+{x}＝20成立的x的取值范围为（ ）
A．3＜x＜3.5B．3.5＜x＜4
C．3＜x＜4且x≠3.5D．以上答案都不对
【分析】根据选项的特点，选择特殊的值代入，然后利用排除法求解即可．
【解答】解：取x＝3.8，（3.8）＝3，[3.8]＝4，{3.8}＝4
∴3（x）+2[x]+{x}＝9+8+4＝21＞20，不符合题意，排除B、C；
取x＝3.3，（3.3）＝3，[3.3]＝4，{3.3}＝3
∴3（x）+2[x]+{x}＝9+8+3＝20，符合题意，
∵3＜3.3＜3.5
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式，有理数的混合运算，理解新定义的运算是解题关键．
【变式8-4】（2022春•埇桥区期中）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，例如[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．如果[x+12]=3，则x的取值范围是 ．
【分析】根据题意得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵[x+12]=3，
∴x+12≥3①x+12＜4②，
解不等式①，得x≥5，
解不等式②，得x＜7，
所以不等式组的解集是5≤x＜7，
故答案为：5≤x＜7．
【点评】本题考查了实数的大小比较和解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
【变式8-5】（2022秋•北碚区校级期末）我们规定：[m]表示不超过m的最大整数，例如：[3.1]＝3，[−3.1]＝−4，则关于x和y的二元一次方程组[x]+y=3.2x−[y]=[3.2]的解为（ ）
A．x=3y=0.2B．x=2y=1.2
C．x=3.3y=0.2D．x=3.4y=0.2
【分析】本题的题型是选择题，由于[x]，[y]表示的是不超过x，y的最大整数，所以可以采用代入验证法来答题．将选项中的答案依次代入方程组，按照规定验证，两个等式都成立的就正确．
【解答】解：[x]+y=3.2x−[y]=[3.2]根据题意化简得[x]+y=3.2x−[y]=3，
A．将x＝3，y＝0.2代入[3]＝3，[0.2]＝0，代入方程组，等式成立，故正确；
B．将x＝2，y＝1.2代入[2]＝2，[1.2]＝1，代入方程组，等式不成立，故错误；
C．将x＝3.3，y＝0.2代入[3.3]＝3，[0.2]＝0，代入方程组，等式不成立，故错误；
D．将x＝3.4，y＝0.2代入[3.4]＝3，[0.2]＝0，代入方程组，等式不成立，故错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组的知识点，但是结合了新定义的题型，采用代入法比较方便．考生应该结合题型的特征灵活采用方法答题．
题型九 列不等式组解决实际问题
【例题9】（2023•南皮县校级一模）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（ ）
A．24人B．23人C．22人D．不能确定
【分析】根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，可以列出相应的不等式组，然后求解即可，注意x为整数．
【解答】解：设每组预定的学生为x人，
由题意可得，9(x+1)＞2009(x−1)＜190，
解得2129＜x＜2219，
∵x为正整数，
∴x＝22，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组．
【变式9-1】（2022春•普宁市校级月考）某校将若干间宿舍分配给八年级（1）班女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，且有一间住不满．那么该班有 名女生．
【分析】设有x间宿舍，由题意得，5x+5＜355x+5−8(x−2)＜8，进行计算即可得133＜x＜6，结合实际问题可得x＝5，进行计算即可得女生人数．
【解答】解：设有x间宿舍，
由题意得，5x+5＜35①5x+5−8(x−2)＜8②，
解不等式①，得x＜6，
解不等式②，得x＞133，
∴不等式组的解集为：133＜x＜6，
∵x为整数，
∴x＝5，
则女生人数为：5×5+5＝30（名），
故答案为：30．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的运用，解题的关键是理解题意，能够根据题意列出一元一次不等式组并正确计算．
【变式9-2】（2022秋•长沙期末）北京时间12月18日晚23点，2022年卡塔尔世界杯决赛，阿根廷对战法国．阿根廷最终战胜法国，时隔36年再次夺得世界杯冠军，这也是阿根廷队历史第3次在世界杯夺冠．梅西赛后接受采访时说道，“我们受到了很多挫折，但我们做到了”．世界杯结束后，学生对于足球的热情高涨．为满足学生课间运动的需求，学校计划购买一批足球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价；
（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于B品牌的足球个数，求该校购买这些足球共有几种方案？
【分析】（1）设A种品牌的足球单价为x元，B种品牌的足球单价为y元，根据已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球（20﹣a）个，根据购买A品牌的足球不少于3个且不多于B品牌的足球个数，列出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）设A种品牌的足球单价为x元，B种品牌的足球单价为y元，
根据题意，得3x+2y=4805x+2y=640，
解得x=80y=120，
答：A种品牌足球单价为80元，B种品牌足球单价为120元；
（2）设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球（20﹣a）个，
根据题意，得a≥3a≤20−a，
解得3≤a≤10，
∵a为整数，
∴a＝3，4，5，6，7，8，9，10，
∴该校购买这些足球共有8种方案．
【点评】本题考查一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，关键是找到数量关系列出方程组和不等式组．
【变式9-3】（2023春•重庆期中）为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新书．下面是他们的对话内容：
班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，160元，据我了解这套书进价只有100元．”
班委B：“你可以花20元办一张会员卡，买书可打八折．”
班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花100元办张贵宾卡，买书打六折．”
（1）班委A上次买的一套书，图书城的利润是 元，利润率是 ．如果当时他买一张会员卡，可省下 元．
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠？
（3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围．
【分析】（1）利用利润＝售价﹣进价，可求出图书城的利润；利用利润率=利润进价×100%，可求出利润率；利用节省的钱数＝原价﹣（原价×折扣率+办卡费用），可求出购买会员卡后可节省的钱数；
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为x元时，办贵宾卡后购买所需总费用为（100+0.6x）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8x）元，根据办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）当购书的总价（指未打折前的原价）为y元时，办贵宾卡后购买所需总费用为（100+0.6y）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8y）元，根据办会员卡购书最省钱，可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）图书城的利润是160﹣100＝60（元）；
利润率是60100×100%＝60%；
购买会员卡后可节省160﹣（160×0.8+20）＝12（元）．
故答案为：60；60%；12；
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为x元时，办贵宾卡后购买所需总费用为（100+0.6x）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8x）元，
根据题意得：100+0.6x＝20+0.8x，
解得：x＝400．
答：当购书的总价（指未打折前的原价）为400元时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠；
（3）当购书的总价（指未打折前的原价）为y元时，办贵宾卡后购买所需总费用为（100+0.6y）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8y）元，
根据题意得：20+0.8y＜y20+0.8y＜100+0.6y，
解得：100＜y＜400．
答：当购书的总价（指未打折前的原价）大于100元且少于400元时，办会员卡购书最省钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【变式9-4】（2023•浠水县一模）某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要资金380元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？
（2）该超市计划购进这两种商品共50件，而可用于购买这两种商品的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一件甲商品可获利10元，销售一件乙商品可获利15元．该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元．则该超市有哪几种进货方案？
【分析】（1）设甲商品每件的进价是x元，乙商品每件的进价是y元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进甲商品a件，则购进乙商品（50﹣a）件，根据题意，建立一元一次不等式组，解不等式组，求得整数解即可求解．
【解答】解：（1）设甲商品每件的进价是x元，乙商品每件的进价是y元，根据题意得，
10x+8y=8802x+5y=380，
解得：x=40y=60，
答：甲商品每件的进价是40元，乙商品每件的进价是60元；
（2）解：设购进甲商品a件，则购进乙商品（50﹣a）件，根据题意得，
40a+60(50−a)≤252010a+15(50−a)≥620，
解得：24≤a≤26，
∵a为正整数，故a＝24，25，26，
∴有三种进货方案，
方案一：购进甲商品24件，乙商品26件；
方案二：购进甲商品25件，乙商品25件；
方案三：购进甲商品26件，乙商品24件；
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组或不等式组是解题的关键．
【变式9-5】（2023春•新城区校级月考）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？
【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元”列出方程组，解之即可；
（2）设购买甲种办公桌m张，根据“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元”列出不等式组，解之可得方案数．
【解答】解：（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，
由题意可得20x+15y=1700010x−5y=1000，
解得x=400y=600，
∴甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；
（2）设购买甲种办公桌m张，
由题意可得m≤3(40−m)400m+600(40−m)≤18400，
解得28≤m≤30，
∵m取整数，
∴m的取值为28或29或30，
∴共有3种方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到题中蕴含的等量关系和不等关系．
不等式 组
数轴
表示
解集
解集
x＞a
x＜a
b＜x＜a
无 解
归纳
同大取大
同小取小
大小小大中间找
大大小小无处找
解题技巧提炼
每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个．
解题技巧提炼
求由两个简单不等式所组成的不等式组的解集，利用口诀法快速得出答案.
解题技巧提炼
一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找．
解题技巧提炼
求一元一次不等式组的特殊解分两步来解答：一是求解一元一次不等式组，得出解集；二是根据问题的条件，在求出的范围内确定满足条件的解.
解题技巧提炼
解答这类题，一般先将字母视为常数，再逆用不等式组解集的意义，由不等式组的解集反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
解题技巧提炼
利用整数解求字母的取值范围的方法：
（1）先求出每个不等式解集，其中一个不等式解集（含待定字母），如x＜1+n；
（2）画数轴，在数轴上表示出确定的一个解集，并在数轴上观察出一解集中（1+n）
的取值范围.
（3）列出不等式组，求出不等式组的解集.
解题技巧提炼
本题运用了消元法和常量法，解答这类题，一般先将某个字母视为常数，求出方程组的解，再建立不等式组，解不等式组，即可求出相应字母的取值范围.
解题技巧提炼
解决不等式组的新定义问题的方法是：根据题意中给出的新定义运算的方法列出不等式组，再解不等式组即可解答.
解题技巧提炼
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．