四川省广安市岳池中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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一．单选题（每题5分，每题只有一个选项为正确答案，共8题40分）
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的运算可得答案.
【详解】因为，，，
所以，所以
故选：C
2. 若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的相关概念，逐项判断即得.
【详解】的大小不能确定，A错误；
两个非零向量的方向不确定，B错误；
向量的模是一个非负实数，D错误；
非零向量的模是正实数，C正确．
故选：C
3. 已知，，，则a、b、c大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助中间量比较即可.
【详解】解：根据题意，，，，
所以
故选：D
4. 对于实数，“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B
考点：不等式的性质
点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．
5. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】使用排除法，由奇偶性可排除B、D，由时，可排除C.
【详解】，又定义域为，故函数为偶函数，
可排除B、D，当时，，故可排除C.
故选：A.
6. 如图，在中，点，满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用向量的几何运算求解即可.
【详解】.
故选：C.
7. ，表示不超过x的最大整数，例如，，．设为函数的零点，则（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数零点存在定理判断零点的取值范围即可求解.
【详解】解：因为在上单调递增，
又，，
所以，
所以，
故选：B.
8. 已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由在， 上单调递减，得，由在上单调递减，得，作出函数且在上的大致图象，利用数形结合思想能求出的取值范围．
【详解】解：由在上单调递减，得，
又由且在上单调递减，
得，解得，所以，
作出函数且在上大致图象，
由图象可知，在上，有且仅有一个解，
故在上，同样有且仅有一个解，
当，即时，联立，即，
则，解得：，
当时，即，由图象可知，符合条件．
综上：．
故选：C．
二．多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇偶性和单调性的知识逐一判断即可.
【详解】奇函数，不满足题意；
是偶函数，且在区间上单调递减，满足题意；
是偶函数，且在区间上单调递减，满足题意；
是偶函数，但在区间上不单调递减，不满足题意；
故选：BC
10. 已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，使，则下列函数中符合上述条件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，依次分析选项，分析函数的奇偶性以及函数的值域，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，定义域，有，函数为偶函数，当时，，，所以显然，使，符合题意，故A正确；
对于B：定义域为，，函数为奇函数，不符合题意；
对于C，定义域为，有，函数为偶函数，当时，，当时，，符合题意；
对于D，为幂函数，定义域为，且是偶函数，在上，恒成立，不符合题意；
故选：AC．
11. 设正实数满足，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最小值为2
C. 的最大值为1
D. 的最小值为2
【答案】CD
【解析】
【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误.
【详解】对于选项， ，
当且仅当且时，即，时取等号，则错误；
对于选项， ,当且仅当
时等号成立，则，即的最大值为2，则错误；
对于选项，，即，当且仅当时，等号成立，则正确；
对于选项， ，当且仅
当时，等号成立，则正确,
故选: .
12. 关于函数，如下结论中正确的是（ ）．
A. 函数的周期是
B. 函数的值域是
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据周期定义判断A，结合周期性可求函数值域，判断B，利用对称性定义判断C，同样利用周期性判断D．
【详解】A．∵，
∴，
∴是周期为的周期函数，A正确，
B．当时，，此时，，∴，又的周期是，∴时，值域是，B错；
C．∵，
∴函数的图象关于直线对称，C正确；
D．由B知时，，当时，，单调递增，而是周期为的周期函数，因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的，因此仍然递增．D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查与三角函数有关的周期性、对称性、单调性、值域，解题关键是是函数的周期性，根据周期的定义证明周期性，然后可以在一个周期内研究函数的性质，再推广到整个定义域．
三．填空题（每题5分，16小题第1空2分，第2空3分，共20分）
13. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式算出答案即可.
【详解】因为
所以
故答案为：
14. 第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京—张家口冬奥会”，将于2022.2.4～在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.某公司为迎接冬奥会的到来，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为______.
【答案】36
【解析】
【分析】首先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；
【详解】解：依题意、 cm，所以，即 cm，所以；
故答案为：
15. 已知，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和差余弦公式将和分别展开，再将两式进行加和减，可求得和，两式相除即可求得结果.
【详解】…①，
…②，
①②得：，解得：；
①②得：，解得：
.
故答案为：.
【点睛】本题考查两角和差余弦公式的应用，涉及到同角三角函数商数关系的应用，属于基础题.
16. 设函数fx=ex−1,x≥a−xx2−5x+6,x【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】当时得到，令，再利用定义法证明在上单调递减，从而得到，令，，根据指数函数的性质得到函数的单调性，即可求出的最小值，即可得到的最小值；分别求出与的零点，根据恰有两个零点，即可求出的取值范围；
【详解】解：当时，令，，设且，则
因为且，所以，，所以，所以，所以在上单调递减，所以，令，，函数在定义域上单调递增，所以，所以的最小值为；
对于，令，即，解得，对于，令，即，解得或或，因为fx=ex−1,x≥a−xx2−5x+6,x故答案为：；；
四．解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 设集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】
（1）由集合描述求集合、，根据集合交运算求；（2）由充分不必要条件知⫋，即可求m的取值范围.
【详解】，
（1）时，，
∴；
（2）“”是“”的充分不必要条件，即⫋，
又且，
∴，解得；
【点睛】本题考查了集合的基本运算，及根据充分不必要条件得到集合的包含关系，进而求参数范围，属于基础题.
18. 已知函数，且为奇函数．
（1）求实数b的值；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由为奇函数得.
(2)配方法求出二次函数的值域.
【小问1详解】
由题意可知，
又∵为奇函数，
∴，即．
【小问2详解】
由（1）知，
∴
，
．
∴函数的值域为．
19. 已知函数.
（1）化简；
（2）若，求下列表达式的值：①；②.
【答案】（1）
（2）①，②；
【解析】
【分析】（1）直接利用诱导公式化简即可；
（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【小问1详解】
解：因为，所以；
【小问2详解】
解：由，得
①
②
20. 某同学用“五点法”画函数（ω＞0，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）当时，求使成立的x的取值集合．
【答案】（1）表中数据见解析，；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据表示数据可得函数的最值、周期和取得最值时的的值，然后可得答案；
（2）由条件可得，然后解出即可.
【小问1详解】
表中数据补充完整为：
【小问2详解】
由可得
所以，解得
所以使成立的x的取值集合为
21. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
【答案】21.
22.
【解析】
【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，利用整体代换法即可解出的单调递增区间；
（2）先结合条件将问题转化为“在上恰有一解”，然后分析的单调性以及函数值，从而列出关于的不等式，由此求解出结果.
【小问1详解】
函数，
令，
，
函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
若关于的方程在上恰有一解，
即在上恰有一解，
即在上恰有一解，
当时，，
函数，当时，单调递增，
当时，单调递减，
而，，，
或，解得或，
即实数的取值范围为．
22. 已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）函数是偶函数, 所以得出值检验即可；
（2），因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；
（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为是上的偶函数，
所以，即
解得，
此时，
则是偶函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
解：因为，所以
因为时，存在零点，
即关于的方程有解，
令，则
因为，所以，所以，
所以，实数的取值范围是.
【小问3详解】
因为函数与的图像只有一个公共点，
所以关于的方程有且只有一个解，
所以
令，得…（*），
记，
①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；
②当时，因为，所以只需，
解得，
方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意，
综上，的取值范围是.
0
π
x
0
2
0
－2
0
0
π
x
0
2
0
－2
0