四川省德阳市德阳中学2023-2024学年高一下学期入学考试数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的基本运算计算即可.
【详解】由，
所以.
故选：B.
2. 命题p：，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】原命题是全称量词命题，
其否定是存在量词命题，
注意到是否定结论，不否定条件，所以D选项正确.
故选：D
3. “关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解.
【详解】当时，则有，解得，不合题意；
当时，则，解得.
综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为，
所以一个必要不充分条件是.
故选：A.
4. 设，，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过三个数与，的关系即可解出.
【详解】由题意，，，，
∴.
故选：D.
5. 函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，，D. ，，，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.
故选：C．
6. 用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（ ）
A. 已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B. 已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C. 没有达到精确度的要求，应该接着计算
D. 没有达到精确度的要求，应该接着计算
【答案】C
【解析】
【分析】由二分法的定义直接求解即可.
【详解】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为，
故没有达到精确的要求，应该接着计算的值.
故选：C
7. 北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(单位：)和燃料的质量(单位：)、火箭的质量(除燃料外)(单位：)的函数关系是．当火箭的最大速度达到时，则燃料质量与火箭质量之比约为（ ）(参考数据：)
A. 314B. 313C. 312D. 311
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意将代入即可得解.
【详解】由题意将代入，可得，，.
故选：B.
8. 已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦函数的单调性求出单调递增区间，可得，解不等式即可得出答案.
【详解】由题意得，函数的增区间为，且，
解得.
由题意可知：.
于是，解得.
又，于是.
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，当时，，进而得到函数单调性，A错误；BD选项，求出，进而得到函数的单调性，利用求出最小正周期；C选项，根据的周期和单调性得到C正确.
【详解】A选项，当时，，
由于在上单调递减，
故在上单调递减，不合要求，A错误；
B选项，当时，，
由于在上单调递增，故在上单调递增，
又，故以为最小正周期，B正确；
C选项，以为最小正周期，且在区间上单调递增，C正确；
D选项，当时，，
由于在上不单调，故在上不单调，D错误.
故选：BC
10. 给出下列结论，其中不正确的结论是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D. 已知定义在R上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021
【答案】AB
【解析】
【分析】由复合函数的单调性可求的最大值、在上减函数时a的范围，结合指对数函数图象的关系、奇函数的性质可判断C、D的正误；
【详解】1、函数中，若令，即有，故A错误；
2、函数（且）在上是减函数，知：，即有，故B错误；
3、函数与互为反函数，图象关于直线对称，故C正确；
4、定义在R上的奇函数在内有1010个零点，由函数的对称性可知在内有1010个零点，即函数的零点个数为2021，故D正确；
故选：AB
【点睛】本题考查了指对数函数的性质，利用函数的单调性、奇偶性、对称性以及反函数知识判断正误；
11. 下列说法错误的是（ ）
A. 若，则是第一象限角或第二象限角
B. 若，是锐角的内角，则
C. 函数是偶函数
D. 函数是增函数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数的定义即可求解A，根据正弦的单调性即可判断B，根据诱导公式化简即可判断C，根据正切函数的性质即可求解D.
【详解】对于A，由可得是第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角，所以A错误，
对于B，由于，是锐角的内角，所以，故，
因此，故B正确，
对于C，为偶函数，C正确，
对于D，在是增函数,故D错误，
故选：AD
12. 已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】结合同角三角关系将平方即可求解即可判断A，再利用平方关系求解判断B，化切为弦通分即可求解判断C，解方程即可求解判断D.
【详解】由，得，
所以，故选项A正确；
因为，，所以，，
又因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
由，，所以，故选项D错误；
故选：AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式及面积公式求解.
【详解】由可知，，
所以扇形面积，
故答案为：
14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，线段绕点顺时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出以为终边的角的大小，然后顺时针旋转，判断以为终边的角的大小即可得出答案.
【详解】因为，所以点在单位圆上，
且点在角的终边所在的直线上，
则点的初始位置坐标，
线段绕点顺时针转动后，点在角的终边所在的直线上，
所以点所在位置的坐标为．
故答案为：．
15. 若方程在有解，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将原式化为，由正弦函数的值域列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由转化为，即，
因为，则，则，
所以，则，解得，
即的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数，若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得，利用基本不等式即可求解．
【详解】，
若，不妨设，
则，
所以，即，
所以，当且仅当，时，等号成立．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知合，或．
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入化简集合，再利用集合的交集运算，结合数轴法可得结果；
（2）利用集合与充要条件的关系得到是的真子集，结合数轴法即可求得m的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以或或，
又因为，
所以.
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
又因为，或，
所以或，故或，
故实数m的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）求证：；
（2）若且为第二象限角，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式对进行化简即可得证；
（2）利用平方关系与商数关系结合所在象限进行运算求解即可．
【小问1详解】
证明：，得证；
【小问2详解】
因为且为第二象限角，
所以，所以，
所以．
19. 已知函数.
(1)求函数的最大值，并求出使函数取得最大值的的集合;
(2)求函数在上的单调递减区间.
【答案】(1)最大值为，的集合是;(2)和
【解析】
【分析】（1）根据，即可求出结果；
（2）先由求出函数的减区间，再和求交集，即可得出结果.
【详解】(1)令，解得，
∴当时，的最大值为.
∴函数的最大值为，且使函数取得最大值的的集合是.
(2)令，
可解得.
记，.
∴或 .
∴函数在上的单调递减区间为和.
【点睛】本题主要考查求三角函数的最值，以及三角函数的单调区间，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
20. 近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，）
【答案】（1）
（2）小时
【解析】
【分析】（1）当时，设，当时，设（且），将相应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，综合可得出关于的函数解析式；
（2）分析函数的单调性，当时，解不等式，即可得出结论.
【小问1详解】
解：当时，设，将代入得，解得，此时，；
当时，设（且），将、代入得，
解得，此时，.
综上：.
【小问2详解】
解：因为函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，令，得，
则，即，
所以，.
所以，从药物释放开始，至少经过小时后学生才能进入教室.
21. 已知函数．
（1）用定义证明在定义域上是减函数；
（2）若函数在上有零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求函数的定义域，再根据减函数的定义证明即可；
（2）由（1）知，函数在定义域为上的减函数，从而为减函数，故只需满足，解不等式组即可求得a的取值范围．
【小问1详解】
证明：根据题意，函数，
则有，解可得，即函数的定义域为，
设，则
，
，
因为，所以 ，
，
所以，
故，即
则函数在定义域上减函数；
【小问2详解】
根据题意，由（1）的结论，函数在定义域为上的减函数，
则为减函数，
若函数在上有零点，
则，
解可得：，
故a的取值范围为．
22 已知函数．
（1）当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域；
（2）设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为和，递减区间为和；值域是
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对勾函数性质结合奇偶性判断单调区间，利用基本不等式求值域；
（2）求出的值域并将题目转化为函数的值域是的值域的子集，分情况讨论t的范围，求的最值列不等式求解.
【小问1详解】
当时，,
易知，且定义域关于原点对称，故为奇函数；
结合对勾函数的性质可得：的单调递增区间为和，递减区间为和．
当时，，
当且仅当时等号成立；
当时，，当且仅当时，等号成立．
所以的值域是；
【小问2详解】
，
因为，所以，所以，，
所以，那么的值域为．
当时，总有，使得，
转化为函数的值域是的值域的子集，
即当时，恒成立．
当时，在上单调递增，可得，，所以；
当时，，满足题意；
当时，对任意，，显然，
所以，对任意的恒成立，可得．
当时，，，此时．
综上可得，实数的取值范围为．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．