北师大版七年级数学下册同步精讲精练专题全等三角形模型——手拉手模型与半角模型(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册同步精讲精练专题全等三角形模型——手拉手模型与半角模型(原卷版+解析)，共33页。
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点，如图所示
结论：（1）△ABD≌△AEC
（2）∠+∠BOC=180°
（3）OA平分∠BOC
变形：

如图，以的边，为边，向外作等边和等边，连接，相交于点．
（1）求证：．
（2）求的度数．
（3）求证：平分．
（4）求证：．
等边和等边如图所示，连接与，证明：（1）；（2）与的夹角为；（3）延长线与的交点设为，求证：平分．
（2021春•宁阳县期末）如图两个等腰直角与，，连接，交于点．
证明：（1）；
（2）．
如图，两个等腰与，连接，交于点，连接．求证：．
如图，两个正方形和，连接与，二者相交于．问：
（1）求证：．
（2）与的关系？并说明理由．
（3）求证：平分．
（2021秋•南岗区校级期中）已知：，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，、交于点，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过作于，在上取点，连接并延长至，使，连接，若，求的度数．
（2021秋•天河区期末）是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到△．
（1）如图1，若，则 ．
（2）如图2，点在延长线上，且．
①试探究，，之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若，，求的长．（用含的式子表示）
半角模型
图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有套的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。
（2021秋•东坡区期末）如图，是边长为6的等边三角形，，，以点为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连结，则的周长是 ．
已知，如图，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法
（1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；
（2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明．
（2020秋•荔湾区期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，求证：．
已知：边长为1的正方形中，、分别是、上的点．
（1）若，求证：；
（2）若得周长为2，求的度数．
（2020秋•新建区校级期中）（1）如图（1），在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接．若，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明．
【感知】如图①，点是正方形的边上一点，点是延长线上一点，且，易证，进而证得（不要求证明）
【应用】如图②，在正方形中，点、分别在边、上，且．求证：．
【拓展】如图③，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为 ．
问题背景：“半角问题”
（1）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？
（2）若将（1）中“，”换为．其它条件不变．如图1，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．
（3）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出线段、、它们之间的数量关系．（不需要证明）
（4）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．
全等三角形模型——手拉手模型与半角模型
手拉手模型
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点，如图所示
结论：（1）△ABD≌△AEC
（2）∠+∠BOC=180°
（3）OA平分∠BOC
变形：

如图，以的边，为边，向外作等边和等边，连接，相交于点．
（1）求证：．
（2）求的度数．
（3）求证：平分．
（4）求证：．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质和角的关系得出即可；
（3）过点作于，于，根据三角形面积公式和角平分线的性质解答即可；
（4）在上截取，连接，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：（1）和是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
，
；
（2），
，
，
，
；
（3）过点作于，于，
，
，
，
，
，，
平分；
（4）在上截取，连接，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
即，
是等边三角形，
，
．
等边和等边如图所示，连接与，证明：（1）；（2）与的夹角为；（3）延长线与的交点设为，求证：平分．
【分析】（1）根据和都是等边三角形，即可得到，进而得出；
（2）根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到中，，进而得到与的夹角为；
（3）过作于，于，根据全等三角形的面积相等，即可得到，再根据于，于，可得平分．
【解答】证明：（1）和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
又，
，
中，，
即与的夹角为；
（3）如图，过作于，于，
，
，即，
又，
，
又于，于，
平分．
（2021春•宁阳县期末）如图两个等腰直角与，，连接，交于点．
证明：（1）；
（2）．
【分析】（1）由两个等腰直角与，可得，，，进而得出，然后由即可判定，进而可得结论；
（2）根据全等三角形的性质则可证得，再根据直角三角形的两锐角互余进而证出即可得解．
【解答】解：（1）证明：与是等腰直角三角形，
，，且，
，
即，
在与中，
，
，
；
（2）证明：设与相交于点，由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
．
如图，两个等腰与，连接，交于点，连接．求证：．
【分析】由“”可证，可得，，由面积公式可得，由角平分线的判定定理可得结论．
【解答】证明：如图，过点作于，于，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，，
．
如图，两个正方形和，连接与，二者相交于．问：
（1）求证：．
（2）与的关系？并说明理由．
（3）求证：平分．
【分析】（1）由四边形与是正方形，可得，，进而得出，，然后由即可判定；
（2）根据全等三角形的性质则可证得，，进而证出即可；
（3）根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可．
【解答】（1）证明：四边形和四边形是正方形，
，，且，
，
在与中，，
，
（2）解：，，理由如下：
由（1）得：，
，，
，
，
；
（3）证明：过点作于，于，如图：
，
，
，
，
，，
平分．
（2021秋•南岗区校级期中）已知：，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，、交于点，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过作于，在上取点，连接并延长至，使，连接，若，求的度数．
【分析】（1）证明即可；
（2）作，，截取，证明，可推出，从而可证，进而得证；
（3）作于，作交于，作于，证明，可推出，进而求得结果．
【解答】（1）证明：如图1，
，
，
，
，，
，
；
（2）证明：如图2，
设与交于，作于，于，在上截取，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
即：；
（3）解：如图3，
作于，作交于，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
（2021秋•天河区期末）是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到△．
（1）如图1，若，则 ．
（2）如图2，点在延长线上，且．
①试探究，，之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若，，求的长．（用含的式子表示）
【分析】（1）由是等边三角形知，，由，知，，代入值即可；
（2）①连接，在上取一点，使，根据证△，得，再证是等边三角形，即可得出；
②先证，即、、三点在同一直线上，得出，根据证△，得出，即可求出的值．
【解答】解：（1）是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）①，理由如下：
连接，在上取一点，使，
是等边三角形，
，，
，
△，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
即；
②如下图，
由①知，，
，
由（1）知，，
由折叠知，，
，
，
，
，
点、、在同一直线上，
即，
由折叠知，，，
，
，
，
△，
，
由①知，，
，，
，
，
．
半角模型
图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有套的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。
（2021秋•东坡区期末）如图，是边长为6的等边三角形，，，以点为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连结，则的周长是 ．
【分析】要求的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长至，使，连接，通过证明，及，从而得出，的周长等于的长．
【解答】解：是等腰三角形，且，
，
是边长为4的等边三角形，
，
，
延长至，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的周长是：．
故答案为：12．
已知，如图，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法
（1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；
（2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）利用旋转的性质，证明即可；
（2）把绕点逆时针旋转到，交于点，证明即可求得．
【解答】（1）证明：由旋转可得，，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：线段、、之间的数量关系是：，证明如下：
把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应，如图：
同（1）可证得，
，且，
．
（2020秋•荔湾区期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，求证：．
【分析】延长至，使，连接，先证，得，，再证，得，进而得出结论．
【解答】证明：延长至，使，连接，如图所示：
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
，
．
已知：边长为1的正方形中，、分别是、上的点．
（1）若，求证：；
（2）若得周长为2，求的度数．
【分析】（1）延长到，使，连接，因为，，，所以，则有，，又因为，，所以，故，即；
（2）延长至，使，则，故，进而求证，即可求得．
【解答】（1）证明：延长到，使，连接，
，，，
，
．
，，
，，
，
．
，
，
．
（2）解：如图，延长到，使，连接，
，，，
，
．
，，
，
又，
，
．
（2020秋•新建区校级期中）（1）如图（1），在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接．若，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）如图（1）延长到，使，连接，，根据条件证明，得，，易证垂直平分线段，则，把问题转化到中，由勾股定理可求解；
（2）如图（2），结论：．延长到，使，根据条件证明，则，再证明，从而得．
【解答】证明：（1），
理由如下：如图（1）延长到，使，连接，，
在与中，
，
，
，，，
又，
垂直平分线段，
，
，
，
，
在中，，
；
（2）如图（2），结论：，
理由如下：延长到，使，
，又，
，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
【感知】如图①，点是正方形的边上一点，点是延长线上一点，且，易证，进而证得（不要求证明）
【应用】如图②，在正方形中，点、分别在边、上，且．求证：．
【拓展】如图③，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为 ．
【分析】【应用】如图②中，过点作交延长线于点．先证明，再证明，得到，由此即可证明．
【拓展】如图③中，如图③中，过点作交延长线于点．首先证明，由此即可计算四边形的周长．
【解答】【应用】如图②中，过点作交延长线于点．
四边形为正方形，
，．
，．
，．
．
在和中，
，
．
，．
，，
．
在和中，
，
．
．
，
．
【拓展】如图③中，过点作交延长线于点．
，，
，
，．
．
在和中，
，
．
，．
，，
．
在和中，
，
．
．
，
．
四边形的周长为，
故答案为6.4
问题背景：“半角问题”
（1）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？
（2）若将（1）中“，”换为．其它条件不变．如图1，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．
（3）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出线段、、它们之间的数量关系．（不需要证明）
（4）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．
【分析】（1）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（2）如图1，延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（3）如图2，同理可得：；
（4）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：．
【解答】证明：（1）延长到点．使．连接，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图1，延长到，使，连接．
在与中，
，
．
，，
．
．
又，
易证．
．
．
（3）（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到，使，连接．
，，
，
在与中，
，
．
，，
．
．
又，
．
．
．
（4）结论不成立，应当是．
证明：在上截取，使，连接．
，，
．
在与中，
，
．
，．
．
．
，
易证．
．