北师大版七年级下册6 完全平方公式课堂检测

这是一份北师大版七年级下册6 完全平方公式课堂检测，共27页。
A．1﹣m2B．1﹣m+m2C．m2+1D．1+m+m2
2．（2022秋•丰宁县校级期末）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±18B．±9C．9D．18
3．（2022秋•平城区校级期末）下列计算正确的是（ ）
A．（2m﹣n）（n﹣2m）＝﹣4m2+4mn﹣n2
B．（x﹣3y）2＝x2﹣6xy+3y2
C．（a2+b2）2＝a4+2ab+b4
D．（a﹣b）4＝a4﹣2ab+b4
4．（2022秋•唐河县期末）将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．4米2B．（a2+4）米2C．（2a+4）米2D．（4a+4）米2
5．（2022秋•渝北区校级期末）已知a+b＝5，ab＝2，则代数式a2﹣ab+b2的值为（ ）
A．8B．18C．19D．25
6．（2022秋•河西区期末）分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有（ ）
A．一组B．两组C．三组D．四组
7．（2022秋•越秀区校级期末）计算（3x﹣1）2的结果是（ ）
A．6x2﹣6x+1B．9x2﹣6x+1C．9x2﹣6x﹣1D．9x2+6x﹣1
8．﹣（x﹣y）2＝（ ）
A．x2+2xy+y2B．﹣x2+2xy﹣y2C．x2﹣2xy+y2D．﹣x2﹣2xy﹣y2
9．（2022秋•广宗县期末）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4abD．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
10．（2022秋•城关区校级期末）若a＝b+3，则a2﹣2ab+b2的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
11．（2022秋•滨城区校级期末）x2+8x+k2是完全平方式，则k的值是（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．16
二．填空题。
12．（2022秋•滨城区校级期末）已知m2+n2＝7，m+n＝3，则（m﹣n）2＝ ．
13．（2022秋•霸州市校级期末）已知x﹣y＝1，x2+y2＝25，则xy＝ ，x+y＝ ．
三．解答题（共35小题）
14．（2022秋•青浦区校级期末）计算：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2．
15．（2022秋•利川市期末）已知x+y＝4，xy＝2，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）．
16．（2022秋•渝北区校级期末）若a+b＝6，ab＝4，求a2+4ab+b2的值．
17．（2021秋•岳池县期末）如图，某校门前有一块长（3a+b）m、宽（2a+b）m的长方形空地需要铺地砖，中间空白正方形区域是建筑物，不需要铺地砖，其边长为（a+b）m．
（1）铺设地砖的面积是 m2.（用含a，b的代数式表示，写最简结果）
（2）若3a+b＝11，a+b＝5，铺地砖的成本为50元/m2，则铺地砖共需要多少元？
18．（2021秋•黄陵县期末）如图，两个正方形边长分别为a、b．
（1）求阴影部分的面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）当a+b＝7，ab＝13时，求阴影部分的面积．
19．（2022秋•长寿区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝7，x•y＝，则x﹣y＝ ；
（3）拓展应用：若（2022﹣m）2+（m﹣2023）2＝5，求（2022﹣m）（m﹣2023）的值．
20．（2022秋•平桥区校级期末）有两种正方形A、正方形B，其边长分别为a，b．现将正方形B放在正方形A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，且图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．
（1）正方形A、正方形B的面积之和为 ．
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A和正方形B外，还需要 个长度分别a，b的长方形．
（3）将3个正方形A和2个正方形B按图3所示的方式摆放，求阴影部分的面积．
21．（2022秋•朔城区校级期末）在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨．请你阅读下列解题思路：
例1：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝10．
例2：若y满足（16﹣y）（y﹣4）＝35，求（16﹣y）2+（y﹣4）2的值．
解：设16﹣y＝a，y﹣4＝b，
则a+b＝（16﹣y）+（y﹣4）＝12，ab＝（16﹣y）（y﹣4）＝35．
这样就可以利用例1中的方法进行求值了！
请结合以上两个例题解答下列问题：
（1）若a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值．
（2）若x满足（20﹣x）（x﹣10）＝24，求（20﹣x）2+（x﹣10）2的值．
22．（2022秋•丰泽区校级期末）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
（2）若x满足（6﹣x）（3﹣x）＝1，求代数式（9﹣2x）2的值．
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝3，CF＝5，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
23．（2022秋•南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形．
（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是 ；
（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别 张．
24．（2022秋•丰满区期末）问题背景
如图，图1，图2分别是边长为（a+b），a的正方形，由图1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2．
类比探究
类比由图1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．
解决问题
（1）计算：（2m﹣n）2＝ ；
（2）运用完全平方公式计算：1052；
（3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
25.变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
26．（2022•南京模拟）（1）如图1是用4个全等的长方形纸板拼成一个“回形”正方形纸板．图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是 ；已知（b+a）2＝25，ab＝4，则（b﹣a）2＝ ；
（2）利用图1的结论，若（3x﹣y）2＝64，（3x+y）2＝100，求xy的值．
（3）如图2，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是 ；用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和为 ；
（4）如图2，若每块小矩形的面积为8cm2，阴影部分面积（四个正方形的面积和）为40cm2，试求（m+n）2的值．
（培优特训）专项1.4 完全平方公式
一．选择题.
1．（2022秋•卧龙区校级期末）（﹣m+1）2的计算结果为（ ）
A．1﹣m2B．1﹣m+m2C．m2+1D．1+m+m2
【答案】B
【解答】解：由题意知，原式＝1﹣m+m2，
故选：B．
2．（2022秋•丰宁县校级期末）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±18B．±9C．9D．18
【答案】A
【解答】解：∵x2+mx+81是一个完全平方式，
∴mx＝±2•x•9，
解得：m＝±18．
故选：A．
3．（2022秋•平城区校级期末）下列计算正确的是（ ）
A．（2m﹣n）（n﹣2m）＝﹣4m2+4mn﹣n2
B．（x﹣3y）2＝x2﹣6xy+3y2
C．（a2+b2）2＝a4+2ab+b4
D．（a﹣b）4＝a4﹣2ab+b4
【答案】A
【解答】解：A、原式＝﹣4m2+4mn﹣n2，原计算正确，故此选项符合题意；
B、原式＝x2﹣6xy+9y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、原式＝a4+2a2b2+b4，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、原式＝（a2+2ab+b2）2＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
4．（2022秋•唐河县期末）将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．4米2B．（a2+4）米2C．（2a+4）米2D．（4a+4）米2
【答案】D
【解答】解：（a+2）2﹣a2＝a2+4a+4﹣a2＝4a+4，
故选：D．
5．（2022秋•渝北区校级期末）已知a+b＝5，ab＝2，则代数式a2﹣ab+b2的值为（ ）
A．8B．18C．19D．25
【答案】C
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝2，
∴a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝52﹣3×2
＝19．
故选：C．
6．（2022秋•河西区期末）分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有（ ）
A．一组B．两组C．三组D．四组
【答案】D
【解答】解：图1，整体长方形的长为a+b+c，宽为d，因此面积为（a+b+c）d，
整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为ad、bd、cd，
所以有：（a+b+c）d＝ad+bd+cd，
因此图1符合题意；
图2，整体长方形的长为a+b，宽为c+d，因此面积为（a+b）（c+d），
整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为ac+ad+bc+bd，
所以有：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，
因此图2符合题意；
图3，整体正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为a2+2ab+b2，
所以有：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
因此图3符合题意；
图4，整体正方形的边长为a，因此面积为a2，
整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，较小正方形的边长为b，因此面积为b2，
另外两个长方形的长为（a﹣b），宽为b，则面积为（a﹣b）×b×2＝2ab﹣2b2，
所以有a2＝（a﹣b）2+b2+2ab﹣2b2，
即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
因此图4符合题意；
综上所述，四组均符合题意；
故选：D．
7．（2022秋•越秀区校级期末）计算（3x﹣1）2的结果是（ ）
A．6x2﹣6x+1B．9x2﹣6x+1C．9x2﹣6x﹣1D．9x2+6x﹣1
【答案】B
【解答】解：（3x﹣1）2＝9x2﹣6x+1，
故选：B．
8．﹣（x﹣y）2＝（ ）
A．x2+2xy+y2B．﹣x2+2xy﹣y2C．x2﹣2xy+y2D．﹣x2﹣2xy﹣y2
【答案】B
【解答】解：原式＝﹣（x2﹣2xy+y2）
＝﹣x2+2xy﹣y2，
故选：B．
9．（2022秋•广宗县期末）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4abD．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【答案】C
【解答】解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，
∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故选：C．
10．（2022秋•城关区校级期末）若a＝b+3，则a2﹣2ab+b2的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【解答】解：∵a＝b+3，
∴a﹣b＝3，
∴a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2
＝32
＝9，
故选：C．
11．（2022秋•滨城区校级期末）x2+8x+k2是完全平方式，则k的值是（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．16
【答案】C
【解答】解：x2+8x+k2＝x2+2×4x+k2，
∴k2＝42＝16，
∴k＝±4．
故选：C．
二．填空题。
12．（2022秋•滨城区校级期末）已知m2+n2＝7，m+n＝3，则（m﹣n）2＝ ．
【答案】5
【解答】解：∵m2+n2＝7，m+n＝3，
∴（m+n）2＝9，
即m2+2mn+n2＝9，
∴2mn＝9﹣（m2+n2）
＝9﹣7
＝2，
∴（m﹣n）2
＝m2﹣2mn+n2
＝m2+n2﹣2mn
＝7﹣2
＝5．
故答案为：5．
13．（2022秋•霸州市校级期末）已知x﹣y＝1，x2+y2＝25，则xy＝ ，x+y＝ ．
【答案】12；±7．
【解答】解：∵x﹣y＝1，
∴x2﹣2xy+y2＝1，
∵x2+y2＝25，
∴xy＝12，设x+y＝a，
∴x2+2xy+y2＝a2，
∴49＝a2，
∴a＝±7
∴x+y＝±7；
故答案为：12；±7．
三．解答题（共35小题）
14．（2022秋•青浦区校级期末）计算：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2．
【解答】解：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2
＝4x2﹣3x+8x﹣6﹣4x2+4x﹣1
＝9x﹣7．
15．（2022秋•利川市期末）已知x+y＝4，xy＝2，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）．
【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝2，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝42﹣2×2
＝16﹣4
＝12；
（2）由（1）知x2+y2＝12，
又∵xy＝2，
∴+
＝
＝
＝6．
16．（2022秋•渝北区校级期末）若a+b＝6，ab＝4，求a2+4ab+b2的值．
【解答】解：∵a+b＝6，ab＝4，
∴（a+b）2＝36，
∴a2+2ab+b2＝36，
∴a2+2×4+b2＝36，
∴a2+b2＝28，
∴a2+4ab+b2
＝28+4×4
＝28+16
＝44．
17．（2021秋•岳池县期末）如图，某校门前有一块长（3a+b）m、宽（2a+b）m的长方形空地需要铺地砖，中间空白正方形区域是建筑物，不需要铺地砖，其边长为（a+b）m．
（1）铺设地砖的面积是 m2.（用含a，b的代数式表示，写最简结果）
（2）若3a+b＝11，a+b＝5，铺地砖的成本为50元/m2，则铺地砖共需要多少元？
【解答】解：（1）铺设地砖的面积是（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝（5a2+3ab）（m2）；
故答案为：（5a2+3ab）；
（2）因为3a+b＝11，a+b＝5，
所以2a＝6，
所以a＝3，
所以b＝2，
当a＝3，b＝2时，需要铺设地砖的面积是5×32+3×3×2＝63（m2）．
因为铺地砖的成本为50元/m2，
所以铺地砖共需要的钱是：50×63＝3150（元）．
答：铺地砖共需要3150元．
18．（2021秋•黄陵县期末）如图，两个正方形边长分别为a、b．
（1）求阴影部分的面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）当a+b＝7，ab＝13时，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）根据题意得：
S阴影＝．
（2）根据题意，当a+b＝7，ab＝13时，
S阴影＝．
19．（2022秋•长寿区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝7，x•y＝，则x﹣y＝ ；
（3）拓展应用：若（2022﹣m）2+（m﹣2023）2＝5，求（2022﹣m）（m﹣2023）的值．
【解答】解：（1）根据题意，
（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）∵x+y＝7，x•y＝，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy
＝（7）2﹣4×
＝49﹣13
＝36，
∴x﹣y＝±6．
故答案为：±6．
（3）∵[（2022﹣m）+（m﹣2023）]2＝（2022﹣m）2+（m﹣2023）2+2（2022﹣m）（m﹣2023），
又∵（2022﹣m）2+（m﹣2023）2＝5，
∴1＝5+2（2022﹣m）（m﹣2023），
∴（2022﹣m）（m﹣2023）＝﹣2．
20．（2022秋•平桥区校级期末）有两种正方形A、正方形B，其边长分别为a，b．现将正方形B放在正方形A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，且图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．
（1）正方形A、正方形B的面积之和为 ．
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A和正方形B外，还需要 个长度分别a，b的长方形．
（3）将3个正方形A和2个正方形B按图3所示的方式摆放，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b），
由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，
得ab＝6，a2+b2＝13，
故答案为：13；
（2）（2a+b）（a+3b）
＝2a2+6ab+ab+3b2
＝2a2+7ab+3b2，
∴需要以a，b为边的长方形7个，
故答案为：7；
（3）∵ab＝6，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25，
∵a+b＞0，
∴a+b＝5，
∵（a﹣b）2＝1，
∴a﹣b＝1，
∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2
＝a2﹣b2+4ab
＝（a+b）（a﹣b）+4ab
＝5+24
＝29．
21．（2022秋•朔城区校级期末）在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨．请你阅读下列解题思路：
例1：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝10．
例2：若y满足（16﹣y）（y﹣4）＝35，求（16﹣y）2+（y﹣4）2的值．
解：设16﹣y＝a，y﹣4＝b，
则a+b＝（16﹣y）+（y﹣4）＝12，ab＝（16﹣y）（y﹣4）＝35．
这样就可以利用例1中的方法进行求值了！
请结合以上两个例题解答下列问题：
（1）若a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值．
（2）若x满足（20﹣x）（x﹣10）＝24，求（20﹣x）2+（x﹣10）2的值．
【解答】解：（1）∵a+b＝7，
∴a2+2ab+b2＝49，
将ab＝10，代入得：
a2+b2+2×10＝49，
∴a2+b2
＝49﹣20
＝29；
（2）设20﹣x＝a，x﹣10＝b，根据题意得：
（20﹣x）（x﹣10）＝ab＝24，
∵a+b
＝（20﹣x）+（x﹣10）
＝10，
∴（20﹣x）2+（x﹣10）2
＝a2+b2
＝102﹣2×24
＝52．
22．（2022秋•丰泽区校级期末）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
（2）若x满足（6﹣x）（3﹣x）＝1，求代数式（9﹣2x）2的值．
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝3，CF＝5，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，
则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，
a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2
＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×2
＝5；
（2）设（6﹣x）＝a，（3﹣x）＝b，
（6﹣x）（3﹣x）＝ab＝1，
a﹣b＝（6﹣x）﹣（3﹣x）＝3，
∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝13，
∴（a+b）2＝13，
∵（6﹣x）+（3﹣x）＝a+b，
∴9﹣2x＝a+b，
∴（9﹣2x）2＝（a+b）2＝13；
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，
∴MF＝DE＝x﹣3，DF＝x﹣5，
∴（x﹣3）•（x﹣5）＝48，
∴（x﹣3）﹣（x﹣5）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣3）2﹣（x﹣5）2，
设（x﹣3）＝a，（x﹣5）＝b，
则（x﹣3）（x﹣5）＝ab＝48，
a﹣b＝（x﹣3）﹣（x﹣5）＝2，
∴a＝8，b＝6，a+b＝14，
∴（x﹣3）2﹣（x﹣5）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
23．（2022秋•南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形．
（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是 ；
（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别 张．
【解答】解：（1）由题意知，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，
∴需要A、B、C三种纸片分别2张，1张，3张，
故答案为：2，1，3．
24．（2022秋•丰满区期末）问题背景
如图，图1，图2分别是边长为（a+b），a的正方形，由图1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2．
类比探究
类比由图1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．
解决问题
（1）计算：（2m﹣n）2＝ ；
（2）运用完全平方公式计算：1052；
（3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
【解答】解：类比探究：由图2中的已知条件可以得出完全平方的另一个公式：
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
解决问题：（1）（2m﹣n）2＝（2m）2﹣2×2m×n+n2＝4m2﹣4mn+n2；
故答案为：4m2﹣4mn+n2；
（2）1052＝（100+5）2＝1002+2×100×5+52＝10000+1000+25＝11025；
（3）因为（x+y）2＝12，xy＝2，
所以（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝122﹣4×2＝144﹣8＝136．
25.变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
【解答】解：（1）∵x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
即x2+2xy+y2＝64，
又∵x2+y2＝40，
∴2xy＝64﹣40，
∴xy＝12，
答：xy的值为12；
（2）设m＝4﹣x，n＝x﹣5，则m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，
∴（4﹣x）2+（x﹣5）2
＝m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）
＝1+16
＝17；
（3）设AE＝a，FG＝b，则AB＝6＝a+b，由题意可知S1+S2＝a2+b2＝18，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴36＝18+2ab，
∴ab＝9，
∴阴影部分的面积为ab＝，
答：阴影部分的面积为．
26．（2022•南京模拟）（1）如图1是用4个全等的长方形纸板拼成一个“回形”正方形纸板．图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是 ；已知（b+a）2＝25，ab＝4，则（b﹣a）2＝ ；
（2）利用图1的结论，若（3x﹣y）2＝64，（3x+y）2＝100，求xy的值．
（3）如图2，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是 ；用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和为 ；
（4）如图2，若每块小矩形的面积为8cm2，阴影部分面积（四个正方形的面积和）为40cm2，试求（m+n）2的值．
【解答】解：（1）由图可知，大正方形的边长为（a+b），小正方形的边长为（b﹣a），
图中阴影部分面积：（a+b）2﹣（b﹣a）2＝4ab，
∵（b+a）2＝25，ab＝4，
∴（b+a）2
＝25b2+2ab+a2
＝25b2+a2+2×4
＝25b2+a2
＝17，
∴（b﹣a）2
＝b2+a2﹣2ab
＝17﹣2×4
＝9．
故答案为：（a+b）2﹣（b﹣a）2＝4ab；9；
（2）∵（3x+y）2﹣（3x﹣y）2
＝12xy
＝100﹣64
＝36，
∴xy＝3；
（3）由图可知，矩形的长为（2m+n）m，宽为（m+2n）m，
∴阴影的面积为：（2m+n）（m+2n）﹣5mn＝2m2+2n2，
由图可知，所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和为：6m+6n；
（4）由题意得：2m2+2n2＝40，mn＝8，
∴m2+n2＝20，
∵（m+n）2
＝m2+2mn+n2
＝20+2×8
＝36，
∴（m+n）2的值为36．