数学2 探索直线平行的条件精练

这是一份数学2 探索直线平行的条件精练，共24页。

1.正确识别“三线八角”；
2．理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理．
3．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力．
4．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．
【知识点梳理】
知识点1：三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点2：平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c
注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性
知识点3：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【典例分析】
【考点1：同位角、内错角和同旁内角】
【典例1】（2022春•秀山县校级月考）如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
【变式1-1】（2022春•禅城区校级月考）如图，关于图中角与角的位置关系，描述有误的是（ ）
A．∠1与∠3是对顶角B．∠2与∠5是同位角
C．∠3与∠4是内错角D．∠1与∠4是同旁内角
【变式1-2】（2022秋•香坊区校级期中）图中∠1与∠2是同位角的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【典例2】（2022春•赵县月考）如图所示，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是 ；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是 ；图中∠4的内错角是 ．
【变式2-1】（2021春•伊春期末）如图，直线l1、l2被直线l3所截，则∠1和∠2是 角．
【变式2-2】（2021秋•南岗区校级月考）如图，若AB，AF被ED所截，则∠1与 是内错角．
【变式2-3】（2022春•平山县期中）如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是 （填序号）．
【考点2：平行线公理及推论】
【典例3】（2021秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．平角是一条直线
D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线
【变式3】（2020秋•奉化区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．永不相交的两条直线叫做平行线
C．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
D．两点确定一条直线
【典例4】（2022春•麒麟区期末）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
【变式4-1】（2022春•阳春市校级月考）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行
（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c
（3）如果两线段不相交，那么它们就平行
（4）如果两直线不相交，那么它们就平行
A．1个AB．2个C．3个D．4个
【变式4-2】（2021春•饶平县校级期中）若AB∥CD，AB∥EF，则 ∥ ，理由是 ．
【考点3：平行线判定】
【典例4】（2022秋•香坊区校级期中）如图，下列各组条件中，能得到AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4
C．∠B＝∠DD．∠1+∠2+∠B＝180°
【变式4-1】（2022春•台江区校级期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行
D．两直线平行，内错角相等
【变式4-2】（2022•德保县二模）如图，能判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠1＝∠2C．∠2＝∠3D．∠2＝∠4
【变式4-3】（2022春•宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．
其中能判断a∥b的条件是（ ）
A．①③B．②④C．①②③④D．①③④
【典例5】（2022春•北京期末）如图，∠B+∠BAD＝180°，∠1＝∠2．
求证：AB∥CD．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD＝180°（已知），
∠1+∠BAD＝180°（ ），
∴∠1＝∠B（ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【变式5-1】（2022春•溧阳市期末）填写下列空格：
已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．
求证：AB∥CD．
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【变式5-2】（2022春•龙华区期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．
已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d．
证明：如图，
∵∠1+∠2＝180°（ ），
∠2+∠3＝180°（平角的定义），
∴ ＝∠3（ ），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠4（ ），
∴c∥d（ ）．
【典例6】（2021秋•渭滨区期末）如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，∠CFB＝∠EDO．
证明：CF∥DO．
【变式6-1】（2021秋•青岛期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，CD与EF相交于点H，且∠BDC+∠DHF＝180°，∠DEF＝∠B．
求证：DE∥BC．
【变式6-2】（2021秋•淇滨区期末）已知：如图，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．求证：AD∥EF．
【变式6-3】（2022春•百色期末）已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．
专题2.2 探索直线平行的条件（知识解读）
【学习目标】
1.正确识别“三线八角”；
2．理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理．
3．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力．
4．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．
【知识点梳理】
知识点1：三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点2：平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c
注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性
知识点3：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【典例分析】
【考点1：同位角、内错角和同旁内角】
【典例1】（2022春•秀山县校级月考）如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
【答案】B
【解答】解：∠1与∠2是直线a，b被c所截得的内错角，
故选：B．
【变式1-1】（2022春•禅城区校级月考）如图，关于图中角与角的位置关系，描述有误的是（ ）
A．∠1与∠3是对顶角B．∠2与∠5是同位角
C．∠3与∠4是内错角D．∠1与∠4是同旁内角
【答案】D
【解答】解：A．∠1和∠3是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意；
B．∠2和∠5是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意；
C．∠3与∠4内错角，原说法正确，故此选项不符合题意；
D．∠1与∠4是同位角，不是同旁内角，原说法错误，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（2022秋•香坊区校级期中）图中∠1与∠2是同位角的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：第一个图：∠1和∠2是同位角；
第二个图：∠1的两边所在的直线没有任何一条和∠2的两边所在的直线公共，∠1和∠2不是同位角；
第三个图：∠1和∠2不是同位角；
第四个图：∠1和∠2是同位角．
∴∠1与∠2是同位角的有2个．
故选：B．
【典例2】（2022春•赵县月考）如图所示，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是 ；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是 ；图中∠4的内错角是 ．
【答案】∠1和∠3，∠2和∠4，∠2和∠BED．
【解答】解：直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是∠1和∠3，
直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是∠2和∠4，
图中∠4的内错角是∠2和∠BED，
故答案为：∠1和∠3，∠2和∠4，∠2和∠BED．
【变式2-1】（2021春•伊春期末）如图，直线l1、l2被直线l3所截，则∠1和∠2是 角．
【答案】同旁内
【解答】解：直线l1、l2被直线l3所截，可得∠1和∠2是同旁内角．
故答案为：同旁内．
【变式2-2】（2021秋•南岗区校级月考）如图，若AB，AF被ED所截，则∠1与 是内错角．
【答案】∠3
【解答】解：若AB，AF被ED所截，则∠1与∠3是内错角，
故答案为：∠3．
【变式2-3】（2022春•平山县期中）如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①②
【解答】解：①由同位角的概念得出：∠A与∠1是同位角；
②由同旁内角的概念得出：∠A与∠B是同旁内角；
③由内错角的概念得出：∠4与∠1不是内错角，错误；
④由内错角的概念得出：∠1与∠3是内错角，错误．
故正确的有2个，是①②．
故答案为：①②．
【考点2：平行线公理及推论】
【典例3】（2021秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．平角是一条直线
D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线
【答案】B
【解答】解：A．应强调在同一平面内，错误；
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；
C．直线与角是不同的两个概念，错误；
D．过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误．
故选：B．
【变式3】（2020秋•奉化区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．永不相交的两条直线叫做平行线
C．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
D．两点确定一条直线
【答案】D
【解答】解：A、两点之间，线段最短，故本选项说法错误；
B、同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故本选项说法错误；
C、若AC＝BC且点A、B、C共线时，则点C为线段AB的中点，故本选项说法错误；
D、两点确定一条直线，故本选项说法正确．
故选：D．
【典例4】（2022春•麒麟区期末）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
【答案】A
【解答】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知：A正确．
故选：A．
【变式4-1】（2022春•阳春市校级月考）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行
（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c
（3）如果两线段不相交，那么它们就平行
（4）如果两直线不相交，那么它们就平行
A．1个AB．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
（2）根据平行公理的推论，正确；
（3）线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误；
（4）应该是“在同一平面内”，故错误．
正确的只有一个，故选A．
【变式4-2】（2021春•饶平县校级期中）若AB∥CD，AB∥EF，则 ∥ ，理由是 ．
【解答】解：∵AB∥CD，AB∥EF，
∴CD∥EF，
理由是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，
故答案为平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【考点3：平行线判定】
【典例4】（2022秋•香坊区校级期中）如图，下列各组条件中，能得到AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4
C．∠B＝∠DD．∠1+∠2+∠B＝180°
【答案】B
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴AD∥BC，
故A不符合题意；
∵∠2＝∠4，
∴AB∥CD，
故B符合题意；
由∠B＝∠D不能判定AB∥CD，
故C不符合题意；
∵∠1+∠2+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
故D不符合题意；
故选：B．
【变式4-1】（2022春•台江区校级期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行
D．两直线平行，内错角相等
【答案】C
【解答】解：如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．
故选：C．
【变式4-2】（2022•德保县二模）如图，能判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠1＝∠2C．∠2＝∠3D．∠2＝∠4
【答案】A
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴AD∥BC，
故A符合题意；
由∠1＝∠2不能判定AD∥BC，
故B不符合题意；
由∠2＝∠3不能判定AD∥BC，
故C不符合题意；
∵∠2＝∠4，
∴AB∥CD，
故D不符合题意；
故选：A．
【变式4-3】（2022春•宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．
其中能判断a∥b的条件是（ ）
A．①③B．②④C．①②③④D．①③④
【答案】C
【解答】解：∠1＝∠2，同位角相等两直线平行，①正确；
∠3＝∠6，内错角相等两直线平行，②正确；
∠4＝∠6，∠4+∠7＝180°，同旁内角互补两直线平行，③正确；
∠5+∠8＝180°，它们对顶角是∠3，∠2是同旁内角，同上，④正确．
故选：C．
【典例5】（2022春•北京期末）如图，∠B+∠BAD＝180°，∠1＝∠2．
求证：AB∥CD．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD＝180°（已知），
∠1+∠BAD＝180°（ ），
∴∠1＝∠B（ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【解答】证明：∵∠B+∠BAD＝180°（已知），
∠1+∠BAD＝180°（平角定义），
∴∠1＝∠B（同角的补角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠B（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两条直线平行）．
故答案为：平角定义，同角的补角相等．∠B，等量代换．同位角相等，两条直线平行．
【变式5-1】（2022春•溧阳市期末）填写下列空格：
已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．
求证：AB∥CD．
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【解答】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠3（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2．（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．
故答案为：∠2＝∠3；角平分线的定义；∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【变式5-2】（2022春•龙华区期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．
已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d．
证明：如图，
∵∠1+∠2＝180°（ ），
∠2+∠3＝180°（平角的定义），
∴ ＝∠3（ ），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠4（ ），
∴c∥d（ ）．
【解答】证明：如图，
∵∠1+∠2＝180° （已知），
∠2+∠3＝180°（平角的定义），
∴∠3＝∠1（同角的补角相等），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠4 （等量代换），
∴c∥d（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；同角的补角相等；∠1；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【典例6】（2021秋•渭滨区期末）如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，∠CFB＝∠EDO．
证明：CF∥DO．
【解答】证明：∵DE⊥AO，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠AOB＝90°，
∴DE∥BO，
∴∠EDO＝∠BOD，
∵∠EDO＝∠CFB，
∴∠BOD＝∠CFB，
∴CF∥DO．
【变式6-1】（2021秋•青岛期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，CD与EF相交于点H，且∠BDC+∠DHF＝180°，∠DEF＝∠B．
求证：DE∥BC．
【解答】证明：∵∠BDC+∠DHF＝180°，
∴BD∥FH，
∴∠B＝∠EFC，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠EFC＝∠DEF，
∴DE∥BC．
【变式6-2】（2021秋•淇滨区期末）已知：如图，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．求证：AD∥EF．
【解答】证明：∵∠1＝∠C，
∴GD∥AC，
∴∠CAD＝∠2，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠3+∠CAD＝180°，
∴AD∥EF．
【变式6-3】（2022春•百色期末）已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．
【解答】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2＝∠CDM，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C＝∠AMN，
∵∠3＝∠C，
∴∠3＝∠AMN，
∴AB∥MN．