第六章 计数原理—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元检测卷（A卷）

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第六章 计数原理（A卷）【满分：120分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.二项式的展开式中常数项为( )A.4 B.8 C.16 D.322.用0,1,2,3,4可以组成无重复数字的三位数的个数为( )A.16 B.36 C.48 D.603.第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办,这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目.现有三个场地A,B,C分别承担竞赛项目与表演项目比赛,其中电子竞技和冲浪两个项目仅能A,B两地承办,且各自承办其中一项.5个表演项目分别由A,B,C三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目,则不同的安排方法有( )A.150种 B.300种 C.720种 D.1008种4.口袋里有红黄蓝绿的小球各四个,这些球除了颜色之外完全相同,现在从口袋里任意取出四个小球,则不同的方法有____种( )A.48 B.77 C.35 D.395.“畅通微循环,未来生活更舒适”.我国开展一刻钟便民生活圈建设,推进生活服务业“规范化,连锁化,便利化,品牌化,特色化,智能化”发展,以提质便民为核心,高质量建设国际消费中心城市,便民商业体系向高品质发展.某调研机构成立5个调研小组,就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研,每个调研小组选择其中1个社区,要求调研活动覆盖被调研的社区,共有派出方案种数为( )A.120 B.240 C.360 D.4806.用2个0,2个1和1个2组成一个五位数,则这样的五位数有( )A.8个 B.12个 C.18个 D.24个7.大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表,语文､数学､外语､物理､化学各一节,现要求数学和物理不相邻,且都不排在第一节,则课表排法的种数为( )A.24 B.36 C.72 D.1448.定义“有增有减”数列如下:,满足,且,满足.已知“有增有减”数列共4项,若,且,则数列共有( )A.64个 B.57个 C.56个 D.54个二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知二项式的展开式中各项的系数和为64,则下列说法正确的是( )A.B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为32C.展开式中的常数项为540D.展开式中二项式系数最大的项是第四项10.某校文艺汇演共6个节目,其中歌唱类节目3个,舞蹈类节目2个,语言类节目1个,则下列说法正确的是( )A.若以歌唱类节目开场,则有360种不同出场顺序B.若舞蹈类节目相邻,则有120种出场顺序C.若舞蹈类节目不相邻,则有240种不同的出场顺序D.从中挑选2个不同类型节目参加市艺术节,则有11种不同的选法11.4个男生与3个女生并排站成一排,下列说法正确的是( )（选项中排列数的计算结果均正确）A.若3个女生必须相邻,则不同的排法有种B.若3个女生中有且只有2个女生相邻,则不同的排法有种C.若女生甲不能在最左端,且女生乙不能在最右端,则不同的排法共种D.若3个女生按从左到右的顺序排列,则不同的排法有种12.已知,则下列结论正确的是( )A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种.(用数字填写答案)14.在二项式的展开式中,常数项是-160,则a的值为____________.15.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有3种不同的植物可供选择,则有_____种栽种方案.16.设集合,则集合A中满足条件:“”的元素个数为________.四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从6名男生,5名女生中选举3人分别担任班长,学习委员和体育委员.（1）若担任班长,学习委员和体育委员的3人中有女生,则不同的情况有多少种？（2）若担任班长和学习委员的学生性别不同,则不同的情况有多少种？18.已知的展开式中所有项的二项式系数和为128,各项系数和为-1.(1)求n和a的值;(2)求的展开式中的常数项.19.某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动.（1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？（2）如果男生甲与女生乙至少有l人参加，有多少种选法？（3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？20.已知,且.(1)求n的值;(2)求的值;(3)求的值.答案以及解析1.答案：C解析：展开式的通项为,令得,所以展开式中常数项为.2.答案：C解析：第一步,从1,2,3,4中任选一个数字排在百位,有4种;第二步,从剩下的4个数字中任选2个排在十位和个位,有种,根据分步乘法计数原理得共有个无重复数字的三位数.故选：C.3.答案：B解析:首先电子竞技和冲浪两个项目仅能A,B两地举办,且各自承办其中一项有种安排;再次5个表演项目分别由A,B,C三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目则有种,故总数为种不同的安排方法.故选:B.4.答案：C解析：根据条件,取出的四个球可以分为一种,两种,三种,四种颜色,当取出的球只有一种颜色时：有4种;当取出的球只有二种颜色时：有种;当取出的球只有三种颜色时：有种;当取出的球只有四种颜色时：有1种;共有：种.故C项正确.5.答案：B解析：将这5个调研小组分成2,1,1,1这4个小组,然后派往4个社区,所以派出方案种数为.故选:B.6.答案：C解析：当首位为2时,这样的五位数有个;当首位为1时,这样的五位数有个.综上,这样的五位数共有个.故选：C.7.答案：B解析：1、将数学排在第一节的排法有种;2、将物理排在第一节的排法有种;3、数学和物理都不排在第一节,但相邻的排法有种;而5节课任意排的排法有种,数学和物理不相邻且都不排在第一节的排法有种.故选：B.8.答案：D解析：(法一):由题意不妨设,,,记则满足条件的P有:（1）P中有两个元素时:选元素:种;排循序:(减去:全相同2种,顺序3种,倒序3种);共有种;（2）P中有三个元素时:选元素:种;排循序:(减去:顺序1种,倒序1种);共有种;所以共有种.(法二):当四个数中只有两个数相同或只有两对数时,共有种,当四个数中有三个数相同时,共有种,所以总方法数有.9.答案：ABD解析：令,得,得,故A正确;展开式中所有奇数项的二项式系数和为,故B正确,由上得二项式为,常数项为,故C错误;最大的二项式系数为,即第四项的二项式系数最大,故D正确;故选：ABD.10.答案：AD解析：A:从3个歌唱节目选1个作为开场,有种方法,后面的5个节目全排列,所以符合题意的方法共有种,故A正确;B:将2个舞蹈节目捆绑在一起,有种方法,再与其余4个节目全排列,所以符合题意的方法共有,故B错误;C:除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列,有种,再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目,所以符合题意的方法有种,故C错误;D:符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈,1个歌唱1个语言,1个舞蹈1个语言,所以不同的选法共种,故D正确.故选:AD.11.答案：BCD解析：对于A,3个女生必须相邻,则不同的排法有种,A错误;对于B,3个女生中有且只有2个女生相邻,先排4个男生有种,3个女生取2个女生排在一起,与另1个女生插入4个男生排列形成的5个间隙中,有,不同排法有种,B正确;对于C,女生甲不能在最左端,且女生乙不能在最右端,由排除法得不同的排法共有种,C正确;对于D,3个女生按从左到右的顺序排列,不同的排法有种,D正确.故选：BCD12.答案：ACD解析：对于A,令,则,故A正确;对于B,因为,所以,B错误;对于C,令,则, 令,则 , 所以,故C正确;对于D,由选项B可知,,,,,,,,所以,故D正确.故选：ACD.13.答案：16解析：方法一:反面考虑没有女生入选有种选法,从6名学生中任意选3人有种选法,故至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.故答案为:16.方法二:正面考虑若有1位女生入选,则另2位是男生,于是选法有种;若有2位女生入选,则另有1位是男生,于是选法有种,则不同的选法共有种.故答案为:16.14.答案：-2解析：展开式的通项公式为,令,得,故,解得.故答案为：-2.15.答案：66解析：根据题意,分3种情况讨论:①当A,C,E种同一种植物,此时共有种方法;②当A,C,E种二种植物,此时共有种方法;③当A,C,E种三种植物,此时共有种方法;则一共有种不同的栽种方案;故答案为66.16.答案：18.解析：对于分以下几种情况:①,此时集合A的元素含有一个2,或,两个0,2或从三个位置选一个有3种选法,剩下的位置都填0,这种情况有种;②,此时集合A中元素含有两个2一个0;或两个,一个0;或一个2,一个,一个0.若是两个2或,一个0时,从三个位置任选一个填0,剩下的两个位置都填2或,这种情况有种;若是一个2,一个,一个0时,对这三个数全排列即得到种;集合A中满足条件“”的元素个数为.故答案为:1817.答案：（1）870（2）540解析：（1）由题意知担任班长,学习委员和体育委员的3人中有女生,可从11人中人选3人,减去全是选男生的情况,再分配担任不同的职务,故不同的情况有种;（2）若担任班长和学习委员的学生性别不同,则不同的情况有种18.答案：(1)(2)448解析：（1）由条件可得,解得.（2）.展开式的通项为：.①当即时,;②当即时,;所求的常数项为.19.答案：（1）100（2）140（2）200解析：（1）分两步：第一步，从5名男生中选2人，有种选法；第二步，从5名女生中选2人，有种选法.根据分步计数原理得，共有种选法.（2）从10人中选取4人，有种选法；男生甲与女生乙都不参加，有种选法，所以男生甲与女生乙至少有l人参加，共有种选法.（3）从l0人中选取4人，有种选法；4人全是男生，有种选法；4人全是女生，有种选法.所以4人中既有男生又有女生，共有种选法.20.答案：(1)(2)-2(3)解析：（1）, ,,,,解得（舍）或,.（2）由第（1）问,,①,令①式中,则,,令①式中,则,即,.（3）令第（2）问①式中,则,②,由第（2）问,③,②,③两式相加,得,.