第六章 计数原理—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元检测卷（B卷）

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第六章 计数原理（B卷）【满分：120分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.五一小长假期间,旅游公司决定从6辆旅游大巴A,B,C,D,E,F中选出4辆分别开往紫蒙湖,美林谷,黄岗梁,乌兰布统四个景区承担载客任务,要求每个景区都要有一辆大巴前往,每辆大巴只开往一个景区,且这6辆大巴中A,B不去乌兰布统,则不同的选择方案共有( )A.360 B.240 C.216 D.1682.某高校计划在今年暑假安排编号为A,B,C,D,E,F的6名教师,到4个不同的学校进行宣讲,每个学校至少安排1人,其中B,D必须安排在同一个学校.则不同的安排方法共有( )A.96种 B.144种 C.240种 D.384种3.展开式中的系数为( )A.42 B.48 C.84 D.964.某班级举办元旦晚会,一共有8个节目,其中有2个小品节目.为了节目效果,班级规定中间的2个节目不能安排小品,且2个小品不能相邻演出,则不同排法的种数是( )A. B. C. D.5.将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务,每个场馆不能少于2人,则不同的安排方法有( )A.2720 B.3160 C.3000 D.29406.的展开式中,含项的系数是( )A. B. C. D.7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为.若,,则b的值可以是( )A.2004 B.2005 C.2025 D.20268.的展开式中的系数为,则实数( )A.2 B.1 C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某医院派出甲,乙,丙,丁4名医生到A,B,C三家企业开展“面对面”义诊活动,每名医生只能到一家企业工作,每家企业至少派1名医生,则下列结论正确的是( )A.所有不同分派方案共种B.所有不同分派方案共36种C.若甲必须到A企业,则所有不同分派方案共12种D.若甲,乙不能安排到同一家企业,则所有不同分派方案共30种10.已知二项式的展开式中各项系数的和为-128,则下列结论正确的是( )A. B.展开式中二项式系数和为128C.展开式中x项的系数为21 D.展开式中有3项有理项11.下列关于排列组合数的等式或说法正确的有( )A.B.设,则x的个位数字是6C.已知,则等式对任意正整数n,m都成立D.等式对任意正整数n都成立12.九本书籍分给三位同学,下列说法正确的是( )A.九本书内容完全一样,每人至少一本有28种不同分法B.九本书内容都不一样,分给三位同学有种不同的分法C.九本书内容完全一样,分给三位同学有55种不同的分法D.九本书内容都不一样,甲同学至少一本,乙同学至少二本有种不同的分法三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某班元旦晚会准备了8个节目,其中歌曲节目有3个,舞蹈节目有2个,小品,相声,廆术节目各1个,要求小品,相声,魔术这3个节目不安排在第一个表演,这3个节目中最多有2个节目连续表演,且魔术在小品后面表演,则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种________.(用数字作答)14.2023年9月23日,杭州第19届亚运会开幕,在之后举行的射击比赛中,6名志愿者被安排到安检､引导运动员入场､赛场记录这三项工作,若每项工作至少安排1人,每人必须参加且只能参加一项工作,则共有种安排方案______________.（用数字作答）15.的展开式中的系数为________.16.设的小数部分为，则__________.四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,其中,,,···,.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.(1)求n值及二项式系数最大项;(2)求的值（用数值作答）.18.安排6名教师A，B，C，D，E，F到甲､乙､丙三个场馆做志愿者.（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？（2）每名教师只去一个场馆，每个场馆至少要去一名教师，且A，B两人约定去同一个场馆，共有多少种不同的安排方法？19.从A，B，C等8人中选出5人排成一排.（1）A必须内，有多少种排法？（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？20.已知（且,）.（1）设,求中含项的系数;（2）化简：;（3）证明：.答案以及解析1.答案：B解析：这6辆旅游大巴,A,B不去乌兰布统,则不同的选择方案共有种.故选:B.2.答案：C解析：将这6名教师分成四组,再分配到不同的学校.若教师人数依次为3,1,1,1,则不同的安排方法种数为：种;若教师人数依次为2,2,1,1,则不同的安排方法种数为：种,故不同的安排方法共有种.故选：C.3.答案：A解析：,的第项为,（）,,系数为42.故选：A.4.答案：C解析：用表示不安排中间且不相邻的位置,则有,,,,,,,,,,,共11种情况,2个小品有种安排方式;再安排其余6个节目,共有种安排方式;不同排法的种数有种.故选:C.5.答案：D解析：共有两种分配方式,一种是,一种是,故不同的安排方法有.故选：D.6.答案：A解析：依题意,含项的系数是.故选:A7.答案：D解析：若,由二项式定理得,则,因为能被5整除,所以a除以5余,又因为,选项中2026除以5余1.故选:D.8.答案：D解析:的展开式的通项公式为,所以.令,解得,.令,解得.由题意,可知,所以.故选:D.9.答案：BCD解析：由题意,所有不同分派方案共种,故A错误,B正确;对于C,若甲必须到A企业,若企业有两人,则将其余三人安排到三家企业,每家企业一人,则不同分派方案有种,若企业只有一人,则不同分派方案有种,所以所有不同分派方案共种,故正确;对于D,若甲,乙安排到同一家企业,则将剩下的两人安排到另外两家企业,每家企业一人,则有种不同的分派方法,所以若甲,乙不能安排到同一家企业,则所有不同分派方案共种,故D正确.故选:BCD.10.答案：BD解析：由题可得,不妨令,得,所以,故选项A错误;展开式中二项式系数和为,故选项B正确;展开式的通项公式为,令,解得,展开式中x项的系数为,故选项C错误;展开式的通项公式为,当,4,7时,为有理项,故选项D正确.故选：BD.11.答案：ACD解析：对A：,A正确;对B： ,,则,故,其个位数字是0,故的个位数字是9,B错误;对C：若,则,C正确;对D： 的展开式为,,1,2,···,n,故展开式的的系数为,又,则,同理可得：的展开式为,,1,2,···,即展开式的的系数为,由于,故,D正确;故选：ACD.12.答案：ABC解析：对于A,9本相同的书分给三位同学,每人至少一本,利用挡板法分析,在9本书之间的8个空位中任选2个,插入挡板即可,有种不同的分法,故A正确;对于B,根据题意,9本书内容都不一样,则每本书都可以分给3人中的任意一人,即有3种分法,所以9本书有种不同的分法,故B正确;对于C,由9本书内容完全一样,则将这9本书和2个挡板排成一排,利用挡板将9本书分为3组,对应3位同学即可,则有种不同的分法,故C正确;对于D,可以分11类情况：①“1,2,6型”有;②“1,3,5型”;③“1,4,4型”;④“1,7,1型”;⑤“1,8,0型”;⑥“2,2,5型”;⑦“2,3,4型”;⑧“2,7,0型”;⑨“3,3,3型”;⑩“3,6,0型”;⑪“4,5,0型”,所以有种不同的分法,故D错误．故选：ABC．13.答案：10800解析：先将歌曲和舞蹈节目排好,有种,再将小品,相声,魔术这3个节目排好,有种,则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种.故答案为:10800.14.答案：540解析：6名志愿者被安排三项工作,每项工作至少安排1人,则分组方式为1,2,3;1,1,4;2,2,2,则安排方案有（种）.15.答案：0解析：,要想得到,则,故的系数为,故答案为:016.答案：7解析：因为，所以的整数部分为3，则，即，所以，故.故答案为：717.答案：(1),(2)3281解析：（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大,即仅有最大,所以,故.即,二项式系数最大项为第5项：;（2）令,得,令,得.两式相加可得.18.答案：（1）21种（2）150种.解析：（1）由题知，把这14个口罩按要求全部发给这6名教师有两种分配方案：2，2，2，2，3，3或2，2，2，2，2，4；按2，2，2，2，3，3分时，有种分法；按2，2，2，2，2，4分时，有种分法；所以不同的发放方法有21种；（2）法一：把A，B视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有两类：1，1，3或1，2，2；按1，1，3安排时，有种方法；按1，2，2安排时，有种方法；所以不同的安排方法有种.法二：把6人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有三类：第一类1，2，3：若A，B为2人组，有种分组方法；若A，B在3人组，有种分组方法；再分配给三个场馆，有种方法；第二类2，2，2：则A，B为其中一组，有种方法；第三类1，1，4：则A，B在4人组，有种方法；所以不同的安排方法有种.19.答案：（1）4200（2）5520（3）240（4）4440解析：（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排列有种不同的排法，故由乘法原理可知共有种不同排法；（2）从8人中任选5人排列共有种不同排法，A，B，C三人全在内有种不同排法，由间接法可得A，B，C三人不全在内共有种不同排法；（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，由乘法原理可得共有种不同排法；（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，若A不排中间时，有种排法，共有种排法；综上，共有4440种不同排法.20.答案：（1）330;（2）;（3）见解析解析：（1）由题意知：所以中含项的系数为：（2）两边求导得,令得到,又且所求式子的通项为（3）①则函数中含项的系数为因为②①-②得：即所以函数中含项的系数为：所以.