第七章 随机变量及其分布—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元检测卷（A卷）

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第七章 随机变量及其分布（A卷）【满分：120分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.随机变量X服从二项分布：,则它的期望( )A.0.5 B.2.5 C.5 D.102.已知随机变量X的分布列为若t在内变化,当X的数学期望取得最小值时,( )A. B. C.0.15 D.0.253.已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X(单位:小时),且,.现从该社区中随机抽取3名居民,则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为( )A.0.642 B.0.648 C.0.722 D.0.7484.已知随机变量X服从二项分布，若，则等于( )A. B.8 C.12 D.245.某批播种用的一等小麦种子中混有的二等种子，的三等种子，的四等种子、播种一、二、三、四等种子后长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子播种后所长出的穗含50颗以上麦粒的概率为( )A.0.8 B.0.8325 C.0.5325 D.0.48256.已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若X的数学期望，则( )A.19 B.16 C. D.7.正态分布是一种重要的概率分布，它是由法国数学家棣莫弗（De Moivre)于1733年提出的，但由于德国数学家高斯（C.F.Gauss)率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作.，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布.如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态密度曲线与x轴在区间内所围成的图形的面积.某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分为100分，方差为36，，那么成绩落在内的人数约为( )A.756 B.748 C.782 D.7648.一台仪器每启动一次都会随机出现一个5位的二进制数（例如：若，，则），其中二进制数A的各数位中，已知，出现0的概率为，出现1的概率为，记，现在仪器启动一次，则( )A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.甲、乙两同学玩纸牌游戏（纸牌除颜色不同外，没有其他任何区别），他们手里先各持4张牌，其中甲同学手里有2张黑牌，2张红牌，乙同学手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机拿出1张牌进行交换，交换后甲、乙两同学手中的红牌分别有X张、Y张，则( )A. B. C. D.10.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的.如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每颗钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径小于两颗钉子之间距离的小球，小球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右落下，然后又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到落到底板的一个格子内.现从入口放进一个小球，则( )A.小球从入口落到第③个格子一共跳了6次B.小球从入口落到第③个格子一共跳了7次C.小球落到第③个格子的概率为D.小球落到第③个格子的概率为11.设A,B是一次随机试验中的两个事件,且,,,则( )A.A,B相互独立 B. C. D.12.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选,其中部分次品芯片会被淘汰,筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”,B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后,该款芯片的某项质量指标服从正态分布,现从中随机抽取M个,这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间,则下列说法正确的是( )A.B.C.D.取得最大值时,M的估计值为53三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量,若,则实数a的值为________.14.某中学生准备到各类古遗迹打卡，这些古遗迹可分为文化纪念地、史迹等五类.已知该学生打卡第一类、第二类的概率都是，打卡第三类、第四类和第五类的概率都是，且是否打卡这五类古遗迹相互独立.用随机变量X表示该学生打卡的类别数，则____________.15.甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务,分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名,记事件A为“五名同学所选项目各不相同”,事件B为“只有甲同学选安全防范服务”,则______________.16.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追捧，引来国内外粉丝争相购买，竟出现了“一墩难求”的局面.已知某工厂生产一批冰墩墩，产品合格率为90%.现引进一种设备对产品质量进行检测，但该设备存在缺陷，在产品为次品的前提下用该设备进行检测，检测结果有90%的可能为不合格，但在该产品为正品的前提下，检测结果也有5%的可能为不合格.现从生产的冰墩墩中任取一件并用该设备进行检测，则检测结果为合格的概率是____________.四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.春节临近,为了吸引顾客,我市某大型商超策划了抽奖活动,计划如下:有A,B,C三个抽奖项目,它们之间相互不影响,每个项目每位顾客至多参加一次,项目A中奖的概率是,项目B和C中奖的概率都是.（1）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A,B,C三个项目,如果A,B,C三个项目全部中奖,顾客将获得100元奖券;如果仅有两个项目中奖,他将获得50元奖券;否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望;（2）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了,求他参加的是A项目的概率.18.周末可以去哪里?带着挖沙桶,皮球,滑板车和野餐垫,踩踩沙滩,在草地上跑累了随手拿起野餐垫上的蛋糕往嘴巴里塞,沙滩和野餐没有哪个家庭会拒绝的.小芸正在考虑购买一些物品,和父母一起在本周末去离家不远的度假村游玩.买挖沙桶需要40元,买皮球需要60元,买野餐垫需要100元,假设是否购买相互独立,小芸购买三种物品的概率依次为,,,只不购买野餐垫的概率为,至少购买一件物品的概率为.（1）求小芸恰好购买两件物品的概率;（2）求小芸购买物品的总金额X的分布列和数学期望.19.某大型公司招聘新员工,应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试,只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节,已知2023年共有1000人参加该公司的笔试,笔试成绩.(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人,求这4人中至少有一人进入面试的概率;(2)甲､乙､丙三名应聘人员进入面试环节,且他们通过面试的概率分别为,,.设这三名应聘人员中通过面试的人数为Y,求随机变量Y的分布列和数学期望.参考数据：若,则,,,20.如图,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳剪刀,石头,布比赛决胜谁首先登上第3个台阶,他们规定从平地开始,每次划拳赢的一方登上一级台阶,输的一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳的次数为X.（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率;（2）求X的分布列和数学期望.答案以及解析1.答案：C解析：因为随机变量X服从二项分布：,则它的期望,故选：C.2.答案：B解析:,故当时,X的数学期望取得最小值.故选:B3.答案：B解析：由题意得,则,则,则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时概率为,故选:B.4.答案：D解析：随机变量X服从二项分布，，因为，所以，因为，所以.故选D.5.答案：D解析：设从这批种子中任选一粒是一、二、三、四等种子分别是事件，，，，则它们构成样本空间的一个划分.设“从这批种子中任选一粒，播种后所长出的穗含50颗以上麦粒”，则.故选D.6.答案：A解析：由题知，设，则，所以离散型随机变量X的概率分布如表所示：故，因为，所以，解得，所以，因此.故选A.7.答案：D解析：设该校高三年级学生的期中考试数学成绩为Y分，则，令，则，所以成绩落在内的概率为，由，得，所以，故成绩落在内的人数约为.故选D.8.答案：D解析：随机变量X的可能取值为1，2，3，4，5，则，，，，，，.故选D.9.答案：AD解析：设“甲同学取出1张红牌”为事件A，“乙同学取出1张红牌”为事件B，则，，则X的可能取值为1，2，3，且，则，，，所以，所以，，故选AD.10.答案：BC解析：小球从入口落到第③个格子一共跳了7次，其中向左边跳了5次，向右边跳了2次，由题知小球向左或向右落下的概率均为，设小球向右的次数为X，则，小球落到第③个格子的概率为.故选BC.11.答案：ABD解析：由题意可知,事件,互斥,且,所以,即,故A正确;则,故B正确;由条件概率公式可知：,故C错误;,即,故D正确.故选：ABD.12.答案：ACD解析：依题意,,A正确;由,则,又,于是,即,因此,即,则,B错误;由又,C正确;,设,由,解得,即,由,解得,即,所以最大时M的估计值为53,D正确.故选：ACD.13.答案：1解析：由正态分布的性质可知,解得.故答案为:1.14.答案：解析：记该学生打卡第一类、第二类的类别数为，打卡第三类、第四类和第五类的类别数为，因此，随机变量，则.15.答案：解析：事件AB：甲同学选安全防范服务且五名同学所选项目各不相同,所以其它4名同学排列在其它4个项目,且互不相同,为,事件B：甲同学选安全防范服务,所以其它4名同学排列在其它4个项目,可以安排在相同项目,为,.故答案为：.16.答案：0.865解析：记事件A为检测结果为合格，事件B为产品为正品，则，，，故由全概率公式可得，所以.17.答案：（1）16（2）解析:（1）设一位顾客获得X元奖券,,50,0,,,所以每位顾客获得奖券金额的期望是(元)（2）设“该顾客中奖”为事件M,参加项目A,B,C分别记为事件,,,则,所以,即已知葉顾客中奖了,则他参加的是A项目的概率是.18.答案：（1）（2）分布列见解析,解析：（1）由题意,可得,即,解得,由题意,可得小芸恰好购买两件物品的概率为:.（2）X的所有可能取值为0,40,60,100,140,160,200,,,,,,,,X的分布列为.19.答案：(1)0.499(2)分布列见解析,解析：（1）记“至少有一人进入面试”,由已知得,所以,则,即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.（2）由题意可得：的可能取值为0,1,2,3,则：,,,,可得随机变量X的分布列为所以.20.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个,其中小华赢(或输)包含三种可能情况,他们平局也有三种可能情况,不妨设事件“第次划拳小华赢”为;事件“第i次划拳小华平”为;事件“第i次划拳小华输”为,所以.因为游戏结束时小华在第2个台阶,所以这包含两种可能的情况:第一种:小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平;其概率为,第二种:小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,其概率为,所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为.（2）依题可知X的可能取值为2,3,4,5,,,,所以X的分布列为:所以X的数学期望为:.Xt6P0.30.20.20.3X0123PaX04060100140160200PX0123PX2345P