高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就达标测试

这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就达标测试，共19页。
一、计算地球的质量
1．原理
若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力近似等于地球对物体的__引力__。
2．关系式：mg＝Geq \f(mM,R2)
3．结果：
地球的质量为：M＝eq \f(gR2,G)＝5.96×1024 kg
计算天体的质量
1．计算太阳的质量
(1)原理：将行星的运动近似看作匀速圆周运动，行星做圆周运动的向心力由万有引力来提供。
(2)关系式：Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r
(3)结果：M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
2．其他行星的质量计算
利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星与行星间的距离和转动周期，同样可得出行星的质量。
三、发现未知天体
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
【方法突破】
一、天体质量和密度的计算
■方法归纳
求天体质量和密度的几种方法
【例1】有科学家推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知（ ）
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的自转周期与地球相等
C．这颗行星质量等于地球的质量
D．这颗行星的密度等于地球的密度
【针对训练1】1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是（ ）
A．地球的质量
B．太阳的质量
C．月球的质量
D．由题中数据可求月球的密度
二、应用万有引力定律分析计算天体运动的问题
■方法归纳
1．两条思路
(1)万有引力提供天体运动的向心力，质量为m的行星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律及圆周运动知识得Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝m(eq \f(2π,T))2r。
(2)黄金替换：质量为m的物体在地球(星体)表面受到的万有引力等于其重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg。可以得到：GM＝gR2由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住。所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了万有引力常量G值和地球的质量M值，非常方便。
2．行星运动的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
(1)线速度v：由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，可见，r越大，v越小；r越小，v越大。
(2)角速度ω：由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，可见，r越大，ω越小；r越小，ω越大。
(3)周期T：由Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可见，r越大，T越大；r越小，T越小。
(4)向心加速度an：由Geq \f(Mm,r2)＝man得an＝eq \f(GM,r2)，可见，r越大，an越小；r越小，an越大。
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。
【例2】某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，则下列说法正确的是（ ）
A．根据公式v=rω可知，该卫星运行的线速度v与轨道半径r成正比
B．根据公式可知，该卫星运行的线速度v与成反比
C．根据公式可知，该卫星运行的线速度v2与轨道半径r成正比
D．根据公式可知，该卫星需要的向心力与r2成正比
【针对训练2】我国北斗卫星导航系统由空间段、地面段和用户段三部分组成。空间段由若干地球静止轨道卫星A（GEO）、倾斜地球同步轨道卫星B（IGSO）和中圆地球轨道卫星C（MEO）组成，如图所示。设三类卫星都绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径关系为。下列说法正确的是（ ）
A．A的线速度比B的小
B．A的角速度比C的大
C．B和C的周期之比为
D．B和C的线速度之比为
【巩固提升】
1．一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上。用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，FN表示人对秤的压力，下面说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探测工作，若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2，已知地球半径为R1，月球半径为R2，则（ ）
A．地球表面与月球表面的重力加速度之比为
B．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为
C．地球与月球的质量之比为
D．地球与月球的平均密度之比为
3．2022年10月15日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，成功将“遥感三十六号”卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功。该卫星绕地球做匀速圆周运动，运行的周期为T，运行轨道离地球表面的高度为h，地球的半径为R，引力常量为G，则地球的质量可表示为（ ）
A．B．C．D．
4．月球，地球唯一的一颗天然卫星，是太阳系中第五大的卫星。航天员登月后，观测羽毛的自由落体运动，得到羽毛的速度随时间变化的图像如图所示。已知月球半径为，引力常量为，则（ ）
A．月球表面的重力加速度大小为
B．月球表面的重力加速度大小为
C．月球的平均密度为
D．月球的平均密度为
5．2021年2月10日19时52分，我国首次执行火星探测任务的“天问一号”探测器实施近火捕获制动成功，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、着、巡”目标的第一步——环绕火星成功。如图所示，P为“天问一号”探测器，P到火星表面的高度为h，环绕周期为T1，Q为静止在火星赤道表面的物体，Q到火星中心的距离为R，火星自转周期为T2，已知万有引力常量为G，则（ ）
A．火星的质量
B．火星的第一宇宙速度大小为
C．P与Q的向心加速度大小之比
D．P与Q的线速度大小之比
6．2021年5月15日7时18分，由祝融号火星车及进入舱组成的天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，由此又掀起了一股研究太空热。某天文爱好者做出如下假设：未来人类宇航员登陆火星，在火星表面将小球竖直上抛，取抛出位置O点处的位移，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，小球运动的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。忽略火星的自转，且将其视为半径为R的匀质球体，引力常量为G。则下列分析正确的是（ ）
A．小球竖直上抛的初速度为
B．小球从O点上升的最大高度为
C．火星的质量为
D．火星的密度为
7．热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表所示。根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为（ ）
A．3∶2B．2∶3
C．4∶1D．6∶1
8．科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察。一质量为m的物体，假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得的读数为，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测得的读数为，通过天文观测测得火星的自转角速度为，引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为（ ）
A．B．
C．D．
9．卡文迪许在实验室测引力常量G时，他风趣地说是在“称量地球的质量”。事实上，在测出引力常量G的大小后，人们便可根据相关观测数据对地球质量进行估算了。下面提供的几组数据，那一组数据是可以用来估算地球质量（ ）
A．月球绕地球的运动周期及月球与地球的中心距离
B．人造地球卫星绕地球运行的周期和轨道半径
C．地球绕太阳运行的周期及地球到太阳的中心距离
D．地球表面的重力加速度和地球的半径
10．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量均匀分布的星球，地球半径为R，地球北极表面附近的重力加速度为g，引力常量为G，地球质量为M，则地球的最大自转角速度ω为（ ）
A．B．C．D．
情景及求解思路
结果
天体
质量
的计
算
①已知所求星体的半径R及其表面的重力加速度g，则Geq \f(Mm,R2)＝mg
M＝eq \f(gR2,G)
②质量为m的行星绕所求星体做匀速圆周运动，万有引力提供行星所需的向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝m(eq \f(2π,T))2r
①M＝eq \f(rv2,G)
②M＝eq \f(r3ω2,G)
③M＝eq \f(4π2r3,GT2)
天体
密度
的计算
ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当星球绕中心天体表面运行时，r＝R：ρ＝eq \f(3π,GT2)
月球半径
R0
月球表面处的重力加速度
g0
地球和月球的半径之比
地球表面和月球表面的重力加速度之比
第3节 万有引力理论的成就
【知识梳理】
一、计算地球的质量
1．原理
若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力近似等于地球对物体的__引力__。
2．关系式：mg＝Geq \f(mM,R2)
3．结果：
地球的质量为：M＝eq \f(gR2,G)＝5.96×1024 kg
计算天体的质量
1．计算太阳的质量
(1)原理：将行星的运动近似看作匀速圆周运动，行星做圆周运动的向心力由万有引力来提供。
(2)关系式：Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r
(3)结果：M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
2．其他行星的质量计算
利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星与行星间的距离和转动周期，同样可得出行星的质量。
三、发现未知天体
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
【方法突破】
一、天体质量和密度的计算
■方法归纳
求天体质量和密度的几种方法
【例1】有科学家推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知（ ）
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的自转周期与地球相等
C．这颗行星质量等于地球的质量
D．这颗行星的密度等于地球的密度
【答案】A
【详解】A．由题意可知，行星与地球在同一轨道上，这颗行星的轨道半径等于地球的轨道半径，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得解得行星的周期由于轨道半径相等，则行星公转周期与地球公转周期相等，故A正确；
BCD．由题中条件无法确定行星的质量和半径，故无法确定行星的密度和自转周期，故BCD错误。
故选A。
【针对训练1】1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是（ ）
A．地球的质量
B．太阳的质量
C．月球的质量
D．由题中数据可求月球的密度
【答案】B
【详解】A．若不考虑地球自转，根据地球表面万有引力等于重力，有则故A错误；
B．根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有则故B正确；
CD．由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，故CD错误。
故选B。
二、应用万有引力定律分析计算天体运动的问题
■方法归纳
1．两条思路
(1)万有引力提供天体运动的向心力，质量为m的行星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律及圆周运动知识得Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝m(eq \f(2π,T))2r。
(2)黄金替换：质量为m的物体在地球(星体)表面受到的万有引力等于其重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg。可以得到：GM＝gR2由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住。所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了万有引力常量G值和地球的质量M值，非常方便。
2．行星运动的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
(1)线速度v：由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，可见，r越大，v越小；r越小，v越大。
(2)角速度ω：由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，可见，r越大，ω越小；r越小，ω越大。
(3)周期T：由Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可见，r越大，T越大；r越小，T越小。
(4)向心加速度an：由Geq \f(Mm,r2)＝man得an＝eq \f(GM,r2)，可见，r越大，an越小；r越小，an越大。
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。
【例2】某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，则下列说法正确的是（ ）
A．根据公式v=rω可知，该卫星运行的线速度v与轨道半径r成正比
B．根据公式可知，该卫星运行的线速度v与成反比
C．根据公式可知，该卫星运行的线速度v2与轨道半径r成正比
D．根据公式可知，该卫星需要的向心力与r2成正比
【答案】B
【详解】A．由万有引力提供向心力有则可知：会随r的变化而变化，则不能说线速度v与轨道半径r成正比，故A错误；
B．由万有引力提供向心力有则可知：卫星运行的线速度v与成反比，故B正确；
C．根据公式可知，F会随r的变化而变化，则不能说卫星运行的线速度v2与轨道半径r成正比，故C错误；
D．根据公式可知，G、M、m是定值，则F与r2成反比，故D错误。故选B。
【针对训练2】我国北斗卫星导航系统由空间段、地面段和用户段三部分组成。空间段由若干地球静止轨道卫星A（GEO）、倾斜地球同步轨道卫星B（IGSO）和中圆地球轨道卫星C（MEO）组成，如图所示。设三类卫星都绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径关系为。下列说法正确的是（ ）
A．A的线速度比B的小
B．A的角速度比C的大
C．B和C的周期之比为
D．B和C的线速度之比为
【答案】D
【详解】AD．根据万有引力提供向心力有解得由于轨道半径的关系为
可得，B和C的线速度之比为，A与B的线速度大小相等，故A错误，D正确；
B．根据万有引力提供向心力有解得由于轨道半径的关系为可知，A的角速度比C的小，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力有解得由于轨道半径的关系为
可得，B和C的周期之比为故C错误。故选D。
【巩固提升】
1．一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上。用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，FN表示人对秤的压力，下面说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】AB．忽略地球的自转，万有引力等于重力，在地球表面处宇宙飞船所在处
结合两式可得，A错误，B正确；
CD．宇宙飞船绕地心做匀速圆周运动，飞船舱内物体处于完全失重状态，人对秤的压力为零，CD错误。 故选B。
2．“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探测工作，若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2，已知地球半径为R1，月球半径为R2，则（ ）
A．地球表面与月球表面的重力加速度之比为
B．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为
C．地球与月球的质量之比为
D．地球与月球的平均密度之比为
【答案】D
【详解】A．地球表面重力加速度为月球表面重力加速度为地球表面与月球表面的重力加速度之比为故A错误；
B．星球表面引力近似等于重力引力提供近地卫星的向心力联立得星球的第一宇宙速度地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为故B错误；
C．星球表面引力近似等于重力解得地球与月球的质量之比为故C错误；
D．平均密度地球与月球的平均密度之比为故D正确。故选D。
3．2022年10月15日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，成功将“遥感三十六号”卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功。该卫星绕地球做匀速圆周运动，运行的周期为T，运行轨道离地球表面的高度为h，地球的半径为R，引力常量为G，则地球的质量可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据可得地球的质量故选B。
4．月球，地球唯一的一颗天然卫星，是太阳系中第五大的卫星。航天员登月后，观测羽毛的自由落体运动，得到羽毛的速度随时间变化的图像如图所示。已知月球半径为，引力常量为，则（ ）
A．月球表面的重力加速度大小为
B．月球表面的重力加速度大小为
C．月球的平均密度为
D．月球的平均密度为
【答案】D
【详解】AB．由图像斜率表示加速度，得月球表面的重力加速度大小为故AB错误；
CD．根据月球表面上的物体受到的万有引力等于重力，即月球密度联立以上各式得月球的平均密度为故C错误，D正确。故选D。
5．2021年2月10日19时52分，我国首次执行火星探测任务的“天问一号”探测器实施近火捕获制动成功，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、着、巡”目标的第一步——环绕火星成功。如图所示，P为“天问一号”探测器，P到火星表面的高度为h，环绕周期为T1，Q为静止在火星赤道表面的物体，Q到火星中心的距离为R，火星自转周期为T2，已知万有引力常量为G，则（ ）
A．火星的质量
B．火星的第一宇宙速度大小为
C．P与Q的向心加速度大小之比
D．P与Q的线速度大小之比
【答案】D
【详解】A．“天问一号”探测器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
解得故A错误；
B．根据线速度与周期的关系可得Q运动的线速度为火星的第一宇宙速度为火星的近地卫星的线速度，而不是火星赤道表面的物体的线速度，故B错误；
C．根据向心加速度的计算公式；所以P与Q的向心加速度大小之比为故C错误；
D．根据线速度与周期的关系得；所以P与Q的线速度大小之比为
故D正确。故选D。
6．2021年5月15日7时18分，由祝融号火星车及进入舱组成的天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，由此又掀起了一股研究太空热。某天文爱好者做出如下假设：未来人类宇航员登陆火星，在火星表面将小球竖直上抛，取抛出位置O点处的位移，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，小球运动的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。忽略火星的自转，且将其视为半径为R的匀质球体，引力常量为G。则下列分析正确的是（ ）
A．小球竖直上抛的初速度为
B．小球从O点上升的最大高度为
C．火星的质量为
D．火星的密度为
【答案】D
【详解】AB．设小球竖直上抛的初速度为，火星表面重力加速度为，则有可得
可知图像的纵轴截距等于初速度，则有，图像的斜率绝对值为可知星表面重力加速度为小球从O点上升的最大高度为，AB错误；
C．根据物体在火星表面受到的重力等于万有引力，则有解得火星的质量为，C错误；
D．根据可得火星的密度为，D正确。
故选D。
7．热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表所示。根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为（ ）
A．3∶2B．2∶3
C．4∶1D．6∶1
【答案】A
【详解】在星球表面附近，万有引力等于重力，即解得星球质量则地球和月球的质量之比由密度公式体积公式联立解得地球和月球的密度之比，A正确，BCD错误。
故选A。
8．科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察。一质量为m的物体，假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得的读数为，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测得的读数为，通过天文观测测得火星的自转角速度为，引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】在火星两极在火星赤道上密度公式为联立得，故选AC。
9．卡文迪许在实验室测引力常量G时，他风趣地说是在“称量地球的质量”。事实上，在测出引力常量G的大小后，人们便可根据相关观测数据对地球质量进行估算了。下面提供的几组数据，那一组数据是可以用来估算地球质量（ ）
A．月球绕地球的运动周期及月球与地球的中心距离
B．人造地球卫星绕地球运行的周期和轨道半径
C．地球绕太阳运行的周期及地球到太阳的中心距离
D．地球表面的重力加速度和地球的半径
【答案】ABD
【详解】A．根据万有引力提供向心力有解得知道月球绕地球的运动周期及月球与地球的中心距离，可以求出地球的质量，故A正确；
B．知道人造地球卫星绕地球运行的周期和轨道半径，可以求出地球的质量，故B正确；
C．知道地球绕太阳运行的周期及地球到太阳的中心距离，只能求出太阳的质量，故C错误；
D．根据近地表面重力和万有引力相等有解得知道地球表面的重力加速度和地球的半径可以求出地球的质量，故D正确。
故选ABD。
10．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量均匀分布的星球，地球半径为R，地球北极表面附近的重力加速度为g，引力常量为G，地球质量为M，则地球的最大自转角速度ω为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】AB．设地球赤道上有一质量为m的物体，要维持该物体随地球一起以最大角速度ω转动，则物体与地球之间的万有引力提供自转所需的向心力，则有解得，A错误，B正确；
CD．在地球北极表面附近有则有GM=gR2解得，C正确，D错误。
故选BC。
情景及求解思路
结果
天体
质量
的计
算
①已知所求星体的半径R及其表面的重力加速度g，则Geq \f(Mm,R2)＝mg
M＝eq \f(gR2,G)
②质量为m的行星绕所求星体做匀速圆周运动，万有引力提供行星所需的向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝m(eq \f(2π,T))2r
①M＝eq \f(rv2,G)
②M＝eq \f(r3ω2,G)
③M＝eq \f(4π2r3,GT2)
天体
密度
的计算
ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当星球绕中心天体表面运行时，r＝R：ρ＝eq \f(3π,GT2)
月球半径
R0
月球表面处的重力加速度
g0
地球和月球的半径之比
地球表面和月球表面的重力加速度之比