初中数学9.4 乘法公式课时训练

这是一份初中数学9.4 乘法公式课时训练，共12页。试卷主要包含了4　乘法公式，下列各式中计算正确的是，化简，计算等内容，欢迎下载使用。
基础过关全练
知识点1 完全平方公式
1.下列各式中计算正确的是(M7209002)( )
A.(a2+1)2=a4+2a2+1
B.(a+2b)2=a2+2ab+4b2
C.(a-b)2=a2-b2
D.(-m-n)2=m2-2mn+n2
2.(2023江西中考)化简:(a+1)2-a2= .(M7209002)
3.【新独家原创】已知(a+b)2=2 024,(a-b)2=2 022,则a2+b2= ,
ab= .
4.已知关于x的多项式4x2-bx+9是一个完全平方式,则b的值为 .
5.计算:(M7209002)
(1)a(1+a)-(a-1)2;
(2)(2x+1)2-(4x+1)(x+1).
6.(1)已知m=15,n=14,求代数式(2m+5n)2-(2m-5n)2的值;
(2)已知ab=-1,a-b=3,求a2+b2的值.
7.【江苏数学家·华罗庚】我国著名数学家华罗庚曾讲过“数缺形时少直观,形少数时难入微.”数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法.图①是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)图②中阴影部分正方形的边长是 ;
(2)通过观察,请用两种不同的方法求出图②中阴影部分的面积;
(3)观察图②,请你写出(a+b)2,(a-b)2与ab之间的数量关系.

8.【新课标例66变式】设a5是一个两位数,其中a是十位上的数字(1≤a≤9).例如,当a=4时,a5表示的两位数是45.
尝试:
①当a=1时,152=225=1×2×100+25;
②当a=2时,252=625=2×3×100+25;
③当a=3时,352=1 225= ;
……
归纳:a52= ;
论证:请证明你归纳所得到的结论.
知识点2 平方差公式
9.下列各式中,能用平方差公式进行计算的是(M7209002)( )
A.(-2a+b)(b-2a) B.(-m-n)(n-m)
C.(2y+x)(2x-y) D.(-a-b)(a+b)
10.(2023江苏南京期中)若(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算,则p,q满足的条件可能是(M7209002)( )
①p=a,q=b;②p=a,q=-b;③p=-a,q=b;④p=-a,q=-b.
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
11.(2021江苏扬州中考)计算:2 0212-2 0202= .(M7209002)
12.【项目式学习试题】(2023江苏无锡锡山期中)观察下列各等式:
x-2=x-2;
(x-2)(x+2)=x2-22;
(x-2)(x2+2x+4)=x3-23;
(x-2)(x3+2x2+4x+8)=x4-24;
……
若A·(x-y)=x5-y5,则A= .
13.用简便方法计算:(M7209002)
(1)2 002×1 998;
(2)2 024×2 016-2 0202.
知识点3 乘法公式及其综合运用
14.利用乘法公式计算:(M7209002)
(1)(2x-3y)2-(y+3x)(3x-y);
(2)(a-b+2)(a+b-2);
(3)[(x-y)2+(x+y)2](x2-y2);
(4)(m-n-3)2.
15.(2023湖南长沙中考)先化简,再求值:(2-a)·(2+a)-2a(a+3)+3a2,其中a=-13.
能力提升全练
16.(2023黑龙江鹤岗中考,1,★☆☆)下列运算正确的是(M7209002)( )
A.(-2a)2=-4a2 B.(a-b)2=a2-b2
C.(-m+2)(-m-2)=m2-4 D.(a5)2=a7
17.【新考向·代数推理】(2022河北中考,22,★★☆)发现:两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证:如(2+1)2+(2-1)2=10,10为偶数,请把10的一半表示为两个正整数的平方和;
探究:设“发现”中的两个正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确.
素养探究全练
18.【运算能力】阅读下列材料:
若一个正整数x能表示成a2-b2(a,b是正整数,且a>b)的形式,则称这个数为“明礼崇德数”,a与b是x的一个平方差分解.例如:因为5=32-22,所以5是“明礼崇德数”,3与2是5的一个平方差分解;再如:M=x2+2xy=x2+2xy+y2-y2=(x+y)2-y2(x,y是正整数),所以M也是“明礼崇德数”,(x+y)与y是M的一个平方差分解.
(1)9 “明礼崇德数”(填“是”或“不是”);
(2)已知(x2+y)(y>0)与x2是P的一个平方差分解,求P;
(3)已知N=x2-y2+4x-6y+k(x,y是正整数,k是常数,且x>y+1),要使N是“明礼崇德数”,试写出符合条件的k值,并说明理由.
19.【运算能力】【数形结合思想】在整式乘法的学习中,我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题.如图1,现有边长分别为a,b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号卡片,以及长为a,宽为b的长方形Ⅲ号卡片,这些卡片足够多,我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形(卡片间不重叠、无缝隙),根据已有的学习经验,解决下列问题.

图1
【发现】图2是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的大正方形,那么大正方形的边长为 .
【探究】用两种不同的方法,求图2中图形的面积,并写出能得到的等式.
【应用】计算:4.322+8.64×0.68+0.682.
【解决问题】
若Ⅲ号长方形卡片的相邻两边长分别为16-m和m-7,且满足(16-m)(2m-14)=8,求(16-m)2+(m-7)2的值.
答案全解全析
基础过关全练
1.A A.(a2+1)2=a4+2a2+1,原计算正确,符合题意;
B.(a+2b)2=a2+4ab+4b2,原计算错误,不符合题意;
C.(a-b)2=a2-2ab+b2,原计算错误,不符合题意;
D.(-m-n)2=m2+2mn+n2,原计算错误,不符合题意.故选A.
2.答案 2a+1
解析 原式=a2+2a+1-a2=2a+1.
3.答案 2 023;12
解析 (a+b)2=a2+2ab+b2=2 024,①
(a-b)2=a2-2ab+b2=2 022,②
①+②,得(a2+2ab+b2)+(a2-2ab+b2)=2 024+2 022,所以2a2+2b2=4 046,
所以a2+b2=2 023.
①-②,得(a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2)=2 024-2 022,所以4ab=2,所以ab=12.
4.答案 ±12
解析 ∵4x2-bx+9是一个完全平方式,
且4x2-bx+9=(2x)2-bx+32,∴4x2-bx+9=(2x±3)2,∴-b=±12,∴b=±12.
5.解析 (1)原式=a+a2-(a2-2a+1)=a+a2-a2+2a-1=3a-1.
(2)原式=4x2+4x+1-(4x2+4x+x+1)=4x2+4x+1-4x2-4x-x-1=-x.
6.解析 (1)原式=4m2+2·2m·5n+25n2-(4m2-2·2m·5n+25n2)
=4m2+20mn+25n2-4m2+20mn-25n2=40mn,
当m=15,n=14时,原式=40×15×14=2.
(2)∵ab=-1,a-b=3,
∴a2+b2=(a-b)2+2ab=32-2=9-2=7.
7.解析 (1)a-b.
(2)方法一:S阴影=(a-b)2.
方法二:S阴影=(a+b)2-4ab.
(3)(a-b)2=(a+b)2-4ab.
8.解析 尝试:由①②可得352=1 225=3×4×100+25.
归纳:通过观察可知,a52=a(a+1)×100+25=100a(a+1)+25.
论证:证明:∵a52=(10a+5)2=100a2+100a+25,
100a(a+1)+25=100a2+100a+25,
∴a52=100a(a+1)+25.
9.B A.不存在互为相反数的项,故A不符合题意;
B.(-m-n)(n-m)=(-m-n)(-m+n),符合平方差公式的特点,故B符合题意;
C.不存在相同的项,也不存在互为相反数的项,故C不符合题意;
D.(-a-b)(a+b)=-(a+b)(a+b),不存在互为相反数的项,故D不符合题意.故选B.
10.C 当p=a,q=-b或p=-a,q=b时,(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算.故选C.
11.答案 4 041
解析 2 0212-2 0202=(2 021+2 020)×(2 021-2 020)=4 041×1=4 041.
12.答案 x4+x3y+x2y2+xy3+y4
解析 由题意知第五个等式应该为
(x-2)(x4+2x3+4x2+8x+16)=x5-25,
∴(x-y)(x4+x3y+x2y2+xy3+y4)=x5-y5,
∴A=x4+x3y+x2y2+xy3+y4.
13.解析 (1)2 002×1 998=(2 000+2)×(2 000-2)=2 0002-22=
4 000 000-4=3 999 996.
(2)2 024×2 016-2 0202=(2 020+4)×(2 020-4)-2 0202=
2 0202-42-2 0202=-16.
14.解析 (1)原式=(2x-3y)2-(9x2-y2)
=4x2+9y2-12xy-9x2+y2
=10y2-12xy-5x2.
(2)原式=[a-(b-2)][a+(b-2)]
=a2-(b-2)2
=a2-b2+4b-4.
(3)原式=(x2-2xy+y2+x2+y2+2xy)(x2-y2)
=2(x2+y2)(x2-y2)
=2(x4-y4)
=2x4-2y4.
(4)解法一:原式=[(m-n)-3]2
=(m-n)2-6(m-n)+9
=m2-2mn+n2-6m+6n+9.
解法二:原式=[m-(n+3)]2
=m2-2m(n+3)+(n+3)2
=m2-2mn-6m+n2+6n+9.
15.解析 (2-a)(2+a)-2a(a+3)+3a2
=4-a2-2a2-6a+3a2
=4-6a.
当a=-13时,
原式=4-6×-13=4+2=6.
能力提升全练
16.C (-2a)2=4a2,所以A中计算错误;
(a-b)2=a2-2ab+b2,所以B中计算错误;
(-m+2)(-m-2)=m2-4,所以C中计算正确;
(a5)2=a10,所以D中计算错误.
故选C.
17.解析 验证:10的一半为5,
5=1+4=12+22.
探究:(m+n)2+(m-n)2
=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2
=2m2+2n2
=2(m2+n2),
故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
素养探究全练
18.解析 (1)因为9=52-42,所以9是“明礼崇德数”,故答案为是.
(2)因为(x2+y)与x2是P的一个平方差分解,
所以P=(x2+y)2-(x2)2=x4+2x2y+y2-x4=2x2y+y2.
(3)当k=-5时,N为“明礼崇德数”.理由如下:
因为N=x2-y2+4x-6y+k=(x2+4x+4)-(y2+6y+9)+k+5=(x+2)2-(y+3)2+k+5,且x+2>y+3,
所以当k+5=0时,N=(x+2)2-(y+3)2为“明礼崇德数”,
此时k=-5,故当k=-5时,N为“明礼崇德数”.
19.解析 【发现】a+b.
【探究】方法一:S=(a+b)2.
方法二:S=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
(a+b)2=a2+2ab+b2.
【应用】4.322+8.64×0.68+0.682
=4.322+2×4.32×0.68+0.682
=(4.32+0.68)2=52=25.
【解决问题】
可设a=16-m,b=m-7,则(16-m)(2m-14)=2(16-m)(m-7)=2ab=8.
∵(a+b)2=a2+2ab+b2,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab.
即(16-m)2+(m-7)2
=[(16-m)+(m-7)]2-2(16-m)(m-7)
=(16-m+m-7)2-8
=92-8=73.