初中数学3 直角三角形第2课时当堂检测题

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知识点4 “斜边、直角边”(或“HL”)
1.(2023湖南怀化通道期中)若两个直角三角形满足下列条件中的一个,则能证明这两个直角三角形全等的是( )
①一个锐角和斜边对应相等;
②斜边和一条直角边对应相等;
③有两条边相等;
④两个锐角对应相等.
A.①② B.②③
C.③④ D.①②③④
2.【易错题】(2022山东菏泽单县期末)如图,已知AB=DC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,添加下列条件中的一个,就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是( )
①∠B=∠C;②AB∥CD;③BE=CF;④AF=DE.
A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④
3.(2023吉林长春榆树期末)如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,连接AE.若∠B=28°,则∠AEC=(M7210006)( )
A.28° B.59° C.60° D.62°

4.(2023山东枣庄薛城月考)如图,AC=BC,AE⊥CD于点E,AE=CD,BD⊥CD于点D,AE=7,BD=2,则DE的长是(M7210006)( )
A.2 B.5 C.7 D.9
5.【易错题】(2022上海徐汇校级期末)如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点O,连接AO并延长,交BC于点F,则图中全等的直角三角形有 对.
6.(2023山东东营垦利期末)如图,已知∠A=∠D=90°,点E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.(M7210006)
7.【教材变式·P117随堂练习T2】(2023山东菏泽鄄城期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D为AB边的中点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.
能力提升全练
8.(2022湖南株洲中考,15,★★☆)如图所示,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO= 度.
9.(2023山东济南天桥期末,15,★★☆)如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P,Q分别是线段AC和射线AX上的动点,且AB=PQ,当AP= 时,△ABC与△APQ全等.
10.【一题多解】(2022山东德州德城月考,24,★★☆)如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC.CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F,那么CE=DF吗?
11.(2023山东济南莱芜期末,23,★★☆)如图所示,CE⊥AB于点E,CD⊥AD于点D,CD=CE,BE=FD.(M7210006)
(1)求证:BC=FC;
(2)若AC=5,AD=4,求四边形ABCF的面积.
素养探究全练
12.【推理能力】【一线三等角模型】在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)若B、C在DE的同侧(如图①所示),且AD=CE,求证:AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的两侧(如图②所示),且AD=CE,AB与AC垂直吗?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
答案全解全析
基础过关全练
1.A ①有斜边和一个锐角对应相等,可以利用AAS证明全等,故①符合题意;②有斜边和一条直角边对应相等,可以利用HL证明全等,故②符合题意;③有两条边相等,但并没有表明哪两条边相等,有可能是一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边相等,此时两个三角形不全等,故③不符合题意;④有两个锐角对应相等,无法证明两个三角形全等,故④不符合题意.综上,①②正确.故选A.
2.D ∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠AEB=∠CFD=90°,
又∵AB=DC,∴添加①,可利用AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF;
添加②,可得∠A=∠D,可利用AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF;
添加③,可利用HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF;
添加④,可得AE=DF,可利用HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF.故选D.
B 在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,且AE=AE,
∴Rt△CAE≌Rt△DAE(HL),∴∠CAE=∠DAE=12∠CAB,∵∠B+∠CAB=90°,∠B=28°,∴∠CAB=90°-28°=62°,∴∠AEC=90°-12∠CAB=90°-31°=59°.故选B.
4.B ∵AE⊥CD于点E,BD⊥CD于点D,
∴∠AEC=∠D=90°,
在Rt△AEC与Rt△CDB中,AC=CB,AE=CD,
∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL),
∴CE=BD=2,CD=AE=7,
∴DE=CD-CE=7-2=5.故选B.
5.答案 6
解析 ∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠AEC=90°,
∵AC=AB,∠CAE=∠BAD,
∴△AEC≌△ADB(AAS),∴CE=BD,
∵AC=AB,∴∠CBE=∠BCD,
∵∠BEC=∠CDB=90°,∴△BCE≌△CBD(AAS),
∴BE=CD,∴AD=AE,
又∵AO=AO,∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL),
∴∠OAD=∠OAE,
∵∠DOC=∠EOB,∠ODC=∠OEB,CD=BE,
∴△COD≌△BOE(AAS),∴OB=OC,
∵AB=AC,∠OAD=∠OAE,
∴CF=BF,AF⊥BC,又∵OF=OF,AF=AF,
∴△ACF≌△ABF(SSS),△COF≌△BOF(SSS).
综上所述,共有6对全等的直角三角形.
6.证明 ∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
∵∠A=∠D=90°,∴△ABF与△DCE都为直角三角形,
在Rt△ABF和Rt△DCE中,BF=CE,AB=DC,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
7.证明 ∵D为AB的中点,∴AD=BD.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠AED=∠BFD=90°.
在Rt△ADE和Rt△BDF中,AD=BD,DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL),
∴∠A=∠B,∴CA=CB,∵AB=AC,∴AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形.
能力提升全练
8.答案 15
解析 ∵OM⊥AB,ON⊥BC,
∴∠OMB=∠ONB=90°,
在Rt△OMB和Rt△ONB中,OB=OB,OM=ON,
∴Rt△OMB≌Rt△ONB(HL),∴∠OBM=∠OBN,
又∵∠ABC=30°,∴∠ABO=15°.
9.答案 5或10
解析 ∵AX⊥AC,∴∠PAQ=90°,
∴∠C=∠PAQ=90°,
分两种情况:①当AP=BC=5时,
在Rt△ABC和Rt△QPA中,AB=QP,BC=PA,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL);
②当AP=CA=10时,
在Rt△ABC和Rt△PQA中,AB=PQ,AC=PA,
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL).
综上所述,当AP=5或10时,△ABC与△APQ全等.
10.解析 CE=DF.理由如下:
解法一:【三角形全等法】在Rt△ABC和Rt△BAD中,AB=BA,BC=AD,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),
∴AC=BD,∠CAB=∠DBA.
在△ACE和△BDF中,∠CAE=∠DBF,∠AEC=∠BFD=90°,AC=BD,
∴△ACE≌△BDF(AAS),∴CE=DF.
解法二:【面积法】同“解法一”可证Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴S△ABC=S△ABD,
∴12AB·CE=12AB·DF,∴CE=DF.
11.解析 (1)证明:∵CE⊥AB,CD⊥AD,
∴∠CDF=∠CEB=90°,
在△CBE和△CFD中,BE=FD,∠CEB=∠CDF,CE=CD,
∴△CBE≌△CFD(SAS),∴BC=FC.
(2)在Rt△ACD中,∵AC=5,AD=4,
∴CD=52−42=3,
∵AC=AC,CD=CE,∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL),
∴S△ACD=S△ACE,
∵△CBE≌△CFD,∴S△CBE=S△CFD.
∴S四边形ABCF=S四边形AECD=2S△ACD=2×12×4×3=12.
素养探究全练
12.解析 (1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中,AB=CA,AD=CE,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),∴∠DBA=∠EAC.
∵∠DAB+∠DBA=90°,∴∠DAB+∠EAC=90°,
∴∠BAC=180°-(∠DAB+∠EAC)=90°,
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.证明如下:
同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE,
∴∠DAB=∠ECA,∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,∴AB⊥AC.