初中数学4 线段的垂直平分线达标测试

这是一份初中数学4 线段的垂直平分线达标测试，共11页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
1.如图所示,AC垂直平分BD,若AB=3 cm,CD=5 cm,则四边形ABCD的周长是( )
A.11 cm B.13 cm C.16 cm D.18 cm
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=42°,AB的垂直平分线MN交AC于D点,连接BD,则∠DBC的度数是(M7210007)( )
A.22° B.27° C.32° D.40°
3.(2021山东济南期末)如图,∠ABC=90°,∠C=15°,线段AC的垂直平分线DE交AC于D,交BC于E,CE=10 cm,则AB=(M7210007)( )
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.不能确定
4.(2022内蒙古鄂尔多斯中考)如图,在△ABC中,边BC的垂直平分线DE交AB于点D,连接DC,若AB=3.7,AC=2.3,则△ADC的周长是 .(M7210007)
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,直线DE是线段AB的垂直平分线,交AC于点E,连接BE.
(1)若∠A=35°,求∠CBE的度数;
(2)若∠A=30°,△BCE的周长为15+53,求△ABC的面积.
知识点2 线段垂直平分线的判定定理
6.已知:C、D是线段AB外不重合的两点,AC=BC,AD=BD,点P在直线CD上.若AP=5,则BP的长为( )
A.2.5 B.5 C.10 D.25
7.(2023陕西西安高陵期末)如图,已知∠ACB=∠BDA=90°,BC与AD交于点E,AC=BD.求证:点E在线段CD的垂直平分线上.(M7210007)
8.【一题多解】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上一点,EH垂直平分BD,连接DE交AC于F,求证:点E在线段AF的垂直平分线上.
知识点3 三角形三条边的垂直平分线的性质
9.(2023河北石家庄赵县二模)A、B、C三地所在的位置如图所示,若想建立一个货物中转仓,使其到这三地的距离相等,则中转仓的位置应选在( )
A.△ABC的三边垂直平分线的交点处
B.△ABC的三边中线的交点处
C.△ABC的三条角平分线的交点处
D.△ABC的三边上的高所在直线的交点处
能力提升全练
10.(2023山东济南历下期末,10,★★☆)如图,在锐角三角形ABC中,直线l为边BC的垂直平分线,射线BP为∠ABC的平分线,且直线l与射线BP相交于点P.若∠A=64°,∠ACP=26°,则∠ABP的度数为( )
A.30° B.32° C.34° D.36°
11.(2023山东威海荣成十六校联盟期中,8,★★☆)如图,在△ABC中,∠BAC=80°,AB边的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,AC边的垂直平分线交AC于点F,交BC于点G,连接AE,AG,则∠EAG的度数为( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
12.【新考法】(2022湖北宜昌中考,6,★★☆)如图,在△ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于12BC长为半径画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则△ABD的周长为( )
A.25 B.22 C.19 D.18
13.(2023浙江丽水中考,13,★★☆)如图,在△ABC中,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是 .
14.(2023山东淄博张店期中,12,★★☆)如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠AOC=68°,则∠ABC= .
(2022山东青岛胶州期中,14,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点D是边BC的中点,直线MN是线段AB的垂直平分线,点E是MN上的一个动点,则
△BDE周长的最小值是 .
16.【方程思想】(2022山东济南章丘期末,23,★★☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,点P在AC上运动,点D在AB上运动,PD始终与PA相等,线段BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.
(1)判断DE与PD的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,BC=4,PA=1,求线段DE的长.
素养探究全练
17.【推理能力】如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连接OB,OC.若△ADE的周长为12 cm,△OBC的周长为32 cm.
(1)求线段BC的长;
(2)连接OA,求线段OA的长;
(3)若∠BAC=n°(n>90),求∠DAE的度数.(用含n的式子表示)
答案全解全析
基础过关全练
1.C ∵AC垂直平分BD,∴AD=AB=3 cm,BC=CD=5 cm,∴四边形ABCD的周长=AD+AB+BC+CD=16 cm.故选C.
2.B ∵AB=AC,∠A=42°,
∴∠ABC=12(180°-∠A)=12(180°-42°)=69°,
∵MN垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=42°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=69°-42°=27°.故选B.
B ∵DE垂直平分AC,∴AE=CE=10 cm,∴∠EAC=∠C=15°,∴∠AEB=30°,
∵∠ABC=90°,∴AB=12AE=5 cm,故选B.
4.答案 6
解析 ∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D,
∴BD=CD,∵AB=3.7,AC=2.3,∴△ADC的周长为AD+CD+AC=AB+AC=6,故答案为6.
5.解析 (1)∵∠C=90°,∠A=35°,∴∠ABC=90°-35°=55°,∵直线DE是线段AB的垂直平分线,∴EA=EB,∴∠EBA=∠A=35°,∴∠CBE=55°-35°=20°.
(2)∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,
∵EB=EA,∴∠ABE=∠A=30°,∴∠CBE=30°,∴BE=2CE,设CE=x,则BE=2x,
∴BC=BE2−CE2=3x,∴3x+3x=15+53,∴x=5,∴BC=53,EA=EB=10,∴AC=CE+EA=15,∴△ABC的面积=12×CA×BC=7532.
6.B ∵C、D是线段AB外不重合的两点,AC=BC,AD=BD,
∴直线CD是线段AB的垂直平分线,
∵点P在直线CD上,AP=5,∴BP=AP=5,故选B.
7.证明 ∵∠ACB=∠BDA=90°,AC=BD,且AB=BA,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL),
∴AD=BC,∠ABC=∠BAD,∴AE=BE,∴EC=ED,
∴点E在线段CD的垂直平分线上.
8.证明 证法一:∵EH垂直平分BD,
∴BE=DE,EH⊥BD,∴∠BEH=∠DEH,
∵∠ACB=90°,∴AC⊥BD,∴EH∥AC,
∴∠BEH=∠A,∠DEH=∠AFE,
∴∠A=∠AFE,∴AE=EF,
∴点E在线段AF的垂直平分线上.
证法二:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∠D+∠DFC=90°,∵EH垂直平分BD,
∴EB=ED,∴∠B=∠D,∴∠A=∠DFC,∵∠DFC=∠AFE,∴∠A=∠AFE,∴EA=EF,
∴点E在线段AF的垂直平分线上.
9.A ∵中转仓到A、B、C三地的距离相等,
∴中转仓的位置应选在△ABC的三边垂直平分线的交点处,故选A.
能力提升全练
10.A ∵直线l为边BC的垂直平分线,
∴PB=PC,∴∠PBC=∠PCB,
∵BP为∠ABC的平分线,∴∠ABP=∠CBP,
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP,
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,
∴3∠ABP+∠A+∠ACP=180°,
∵∠A=64°,∠ACP=26°,∴∠ABP=30°.故选A.
B ∵AB边的垂直平分线交BC于点E,AC边的垂直平分线交BC于点G,
∴AG=CG,AE=BE,
∴∠C=∠CAG,∠B=∠BAE,∴∠BAE+∠CAG=∠B+∠C=180°-∠BAC=100°，
∴∠EAG=∠BAE+∠CAG-∠BAC=100°-80°=20°,故选B.
C 由题意可得,MN垂直平分BC,∴DB=DC,∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC,
∵AB=7,AC=12,∴AB+AC=19,∴△ABD的周长是19,故选C.
13.答案 4
解析 ∵∠B=∠ADB,AB=4,∴AD=AB=4,
∵直线DE是边AC的垂直平分线,∴DC=AD=4,
故答案为4.
14.答案 34°
解析 连接OB,AC,如图所示,
∵线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,
∴OA=OB,OC=OB,∴∠OBA=∠OAB,∠OBC=∠OCB,
∵∠AOC=68°,∴∠OAC+∠OCA=180°-68°=112°,
∵∠OAC+∠OCA+∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°,
∴112°+2∠OBA+2∠OBC=180°,
∴2(∠OBA+∠OBC)=68°,∴∠OBA+∠OBC=34°,
即∠ABC=34°.
15.答案 14
解析 如图,连接AD,AE,
∵直线MN是线段AB的垂直平分线,∴AE=BE,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,BD=CD=6,∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE≥BD+AD,∴当A、E、D三点共线时,△BDE的周长最小,∵∠ADB=90°,AB=10,BD=6,∴AD=AB2−BD2=8,∴△BDE周长的最小值为6+8=14,故答案为14.
16.解析 (1)DE⊥DP.
理由:∵PD=PA,∴∠A=∠PDA,
∵直线EF是线段BD的垂直平分线,∴EB=ED,∴∠B=∠EDB,
∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠PDA+∠EDB=90°,
∴∠PDE=180°-90°=90°,∴DE⊥DP.
(2)如图,连接PE,CP=AC-AP=2,PD=PA=1,
设DE=x,则EB=ED=x,∴CE=4-x,
∵∠C=∠PDE=90°,
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2,
即22+(4-x)2=12+x2,解得x=198,故DE=198.
素养探究全练
17.解析 (1)∵l1是AB边的垂直平分线,∴DA=DB,
∵l2是AC边的垂直平分线,∴EA=EC,
∵△ADE的周长为12 cm,∴DA+DE+EA=12 cm,
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12 cm.
(2)如图,
∵l1是AB边的垂直平分线,
∴OA=OB,
∵l2是AC边的垂直平分线,
∴OA=OC,
∵△OBC的周长为32 cm,∴OB+OC+BC=32 cm,
∴OA=OB=OC=32−122=10(cm).
(3)∵∠BAC=n°,∴∠ABC+∠ACB=(180-n)°,∵DA=DB,EA=EC,∴∠BAD=∠ABC,
∠EAC=∠ACB,∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠EAC=n°-(180°-n°)=2n°-180°.