府谷县府谷中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份府谷县府谷中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．数列-4，-7，-10,13，…的一个通项公式为( )
A.B.C.D.
2．节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积V（单位：）与半径R（单位：）的关系为，则时体积V关于半径R的瞬时变化率为( )
A.B.C.D.
3．下列求导运算结果正确的是( )
A.B.C.D.
4．已知等比数列的前n项和为，若，，则( )
A.16B.17C.18D.20
5．在等差数列中，，，则( )
A.B.C.1345D.2345
6．已知函数的导函数为，且，则( )
A.B.C.D.
7．已知等差数列是递增数列，其前n项和为，且满足，当时，实数k的最小值为( )
A.10B.11C.20D.21
8．若函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是( )
A.B.C.D.
10．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则( )
A.在上单调递减B.有极小值
C.有2个极值点D.在处取得最大值
11．若数列是等比数列，且，则下列结论正确的是( )
A.数列是等比数列B.数列是等比数列
C.数列是等比数列D.数列是等差数列
12．已知函数，则( )
A.曲线在点处的切线方程是
B.函数有极大值，且极大值点
C.
D.函数有两个零点
三、填空题
13．已知数列满足，若，则__________.
14．设函数满足，则__________.
15．中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂__________盏灯笼.
16．若-2是函数的极大值点，则实数m的取值范围是__________.
四、解答题
17．已知等差数列的前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
18．已知函数，且.
（1）求a的值；
（2）求函数的图象在点处的切线方程.
19．已知递增的等差数列和等比数列满足，，.
（1）求和的通项公式；
（2）若，求的前n项和.
20．已知函数，且当时，有极值-5.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值.
21．已知等差数列的前n项和为，，，数列是各项均为正数的等比数列，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前n项和为，证明：.
22．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：当时，.
参考答案
1．答案：B
解析：由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是.故选B.
2．答案：C
解析：由，得，所以时体积V关于半径R的瞬时变化率为.故选C.
3．答案：B
解析：对于A,，A错误；对于B,，B正确；对于C,，C错误；对于D,,D错误.故选B.
4．答案：C
解析：因为为等比数列，所以，且，所以，则.故选C.
5．答案：A
解析：由，得，由，得，所以数列的公差，所以，所以.故选A.
6．答案：A
解析：因为，所以，令，则，,则，所以.故选A.
7．答案：C
解析：因为是递增数列，所以.因为，所以，所以，所以，，所以，,所以当时，k的最小值为20.故选C.
8．答案：D
解析：由题意，得，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即，令，则，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为，所以，即k的取值范围为.故选D.
9．答案：BC
解析：设数列的公比为q，则，所以，解得或，即或.故选BC.
10．答案：AB
解析：由的图象可知时，，则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；由的图象可知,2,4时，有极值，所以有3个极值点，故C错误；当时，，则单调递增，所以,在处不能取得最大值，故D错误.故选AB.
11．答案：ACD
解析：设等比数列的公比为，由知，,所以是以为公比的等比数列，故A正确；当时，，此时数列不是等比数列，故B错误；由知，,所以是以为公比的等比数列，故C正确；由知，,所以数列是等差数列，故D正确.故选ACD.
12．答案：AB
解析：由，得，则，故曲线在点处的切线方程是，即，故A正确；令，则，所以在上单调递减，又，,所以存在，使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，且极大值点，故B正确；由上知在上单调递减，故，故C错误；当时，单调递增，又,在有一个零点，当时，，则在上无零点，即只有一个零点，故D错误.故选AB.
13．答案：2
解析：因为数列满足，且，所以，,,所以数列是以3为周期的周期数列，所以.
14．答案：
解析：因为，所以.
15．答案：2044
解析：依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，且，公比，所以前9项和为，所以九层塔楼一共需要挂2044盏灯笼.
16．答案：
解析：，令，得或，当，即时，由，得或，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以-2是函数的极小值点，不符合题意；当，即时，由，得或，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以-2是函数的极大值点，符合题意；当，即时，恒成立，所以没有极值点，不符合题意.综上所述，实数m的取值范围是.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以.
设的公差为d，所以，即，所以.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1），得.
所以，，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以数列的前n项和.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，
又，所以，解得.
（2）由，得，所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即.
19．答案：（1），
（2）
解析：（1）设的公差为，的公比为q，
由，，，得，
解得.
所以，.
（2）由（1）知，
所以
.
20．答案：（1）
（2）在上的最大值为，最小值为
解析：（1）由，得，
又当时，有极值-5，所以，解得，
所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，有极小值-5.
所以.
（2）由（1）知.令，得，
的值随的变化情况如下表：
由表可知在上的最大值为，最小值为.
21．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为.
因为，，所以，解得，
所以数列的通项公式为.
所以，，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知，
所以，①
，②
①-②，得
，
所以.
又，所以.
22．答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知的定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，，
令，则，
令，则，因为，所以，，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，即.
x
-4
-1
3
4
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值-5
单调递增