四川省兴文第二中学校2024届高三下学期开学考试数学(理)试卷(含答案)
展开一、选择题
1.复数的虚部为( )
A.B.C.D.
2.已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3.等差数列满足,,则( )
A.5B.7C.9D.11
4.已知向量,满足且,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱,问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲,乙,丙,丁,戊,己6名航天员开展实验,其中天和核心舱安排4人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲,乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有( )
A.14种B.16种C.18种D.20种
6.“”是“函数是奇函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知(,)的展开式中含x项系数为75,则含项系数的最小值为( )
A.1156B.1157C.1160D.1188
8.若,则( )
A.8B.25C.16D.4
9.设函数的最小正周期为,将的图象向左平移个单位得函数的图象,则( )
A.在上单调递减B.在上单调递减
C.在上单调递增D.在上单调递增
10.已知直三棱柱存在内切球,若,,,则该三棱柱外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
11.已知等比数列的前n项和为,,则使得不等式成立的正整数m的最大值为( )
A.9B.10C.11D.12
12.已知函数,,,,若,,则( )
A.B.C.D.
二、填空题
13.已知实数x,y满足,则的最大值为________.
14.若,则________.
15.双曲线的左,右焦点分别为,,P为右支上一点,且,的内切圆圆心为I,与切于点A,直线PI交x轴于点Q,若,则双曲线的离心率为________.
16.如图,在长方体中,,,动点E,F分别在线段AB和上.给出下列四个结论:
①;
②不可能是等边三角形;
③当时,;
④至少存在两组E,F,使得三棱锥的四个面均为直角三角形.
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题
17.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设的外接圆半径为R,且.
(1)求A;
(2)若,,求的面积.
18.2023年9月23日至2023年10月8日,第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛,其中1班,2班,3班,4班报名人数如下:
该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛,每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答,至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.
(1)求各班参加竞赛的人数;
(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛,若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对,记他答对的题目数为X,求X的分布列及数学期望;
(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为,求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率.
19.如图甲,已知是边长为6的等边三角形,D,E分别是AB,AC的点,且,将沿着DE翻折,使,点A到达点P处使得,得到四棱锥,如图乙.
(1)求证:平面平面BCED;
(2)求平面PDB与平面PEC所成锐二面角的正弦值.
20.已知双曲线的渐近线为,右焦点F到渐近线的距离为,设是双曲线上的动点,过M的两条直线,分别平行于的两条渐近线,与分别交于P,Q两点.
(1)求的标准方程:
(2)证明:直线PQ过定点,并求出该定点的坐标.
21.已知函数,.
(1)若,求证:;
(2)若关于x的不等式的解集为集合B,且,求实数的取值范围.
22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出C的普通方程;
(2)若A,B是C上异于坐标原点O的两动点,且,,并与线段AB相交于点P,求点P轨迹的极坐标方程.
23.已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求的取值范围.
参考答案
1.答案:A
解析:,其虚部为1.
故选:A.
2.答案:D
解析:由题意可得:,
,
所以.
故选:D.
3.答案:B
解析:设等差数列的公差为d,
因为,解得,
所以.
故选:B.
4.答案:D
解析:,
则,,
故在上的投影向量为:
故选:D.
5.答案:C
解析:若甲,乙都不在天和核心舱,则共有种,
若甲和乙有一人在天和核心舱,则共有,
所以共有种.
故选:C.
6.答案:A
解析:当函数为奇函数,
则,
解得,
所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.
故选:A.
7.答案:D
解析:
8.答案:B
解析:,
,
,
故选:B.
9.答案:A
解析:
10.答案:D
解析:因为,,,故,
故的内切圆的半径为,
因为直三棱柱存在内切球,故直三棱柱的高即为内切球的直径.
而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径,故内切球的半径为1,
故直三棱柱的高为2.
将直三棱柱补成如图所示的长方体,则外接球的直径即为该长方体的体对角线,
故外接球的半径为,
故外接球的表面积为.
故选:D.
11.答案:C
解析:
12.答案:B
解析:设,
则在上单调递减,
,故,即,
,
设,则,
故在上单调递增,
,故,
即,
,
由于,,故,
则,即,A错误,B正确;
由,,无法确定还是,C,D错误.
故选:B.
13.答案:11
解析:由约束条件,画出可行域,如图:
令,化为斜截式方程得,
由图可知,当直线过点B时,直线在y轴上的截距最大.
由得,即.
所以点代入目标函数可得最大值,即最大值为.
故答案为:11.
14.答案:,0
解析:由题设可得,
若,则,
这与矛盾,,
故,即,
故或,
故答案为:0或.
15.答案:3
解析:记c为双曲线半焦距,
由内角平分线定理得,
即,
解得,
设,与圆切于点D,E,
则,,,
则,
设,
则,
即,
则,
又,
即,
解得.
故答案为:3.
16.答案:①②④
解析:由题意,长方体中,E到平面的距离为1,F到边的距离为2,
,故①正确;
由图可知,的最小值为2,若,则,
,
若此时,则,
,
则,即取最小值为2时,,EF不能同时取得2,当变大时,,EF不可能同时大于2,
不可能是等边三角形,故②正确;以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,
则,设,,
,,
由,可得,
,,
由题意得与EF不恒相等,只有时才成立,故③错误;
当E为AB中点,F与C重合时,如图,
此时,,,
,,
,,
,,,
,
,三棱锥的四个面均为直角三角形,
当E与B重合,F与C重合时,如图,
由题意得,,,,
三棱锥的四个面均为直角三角形,综上,至少存在两组E,F,使得三棱锥的四个面均为直角三角形,故④正确.
故答案为:①②④.
17.答案:(1)
(2)
解析:(1)因为,故,
整理得到即,
所以,而,故.
(2)由余弦定理可得,
故,解得,故.
18.答案:(1)见解析
(2)
解析:(1)各班报名人数总共100人,抽取10人,抽样比为,
故班分别抽取(人),(人),(人),(人).
(2)由题意,X的可能取值为1,2,3,4,
,,
,,
所以X的分布列为:
(3)由题意,1班每位同学获奖的概率为,设1班获奖人数为,则,
所以至少1人获奖的概率为.
19.答案:(1)见解析
(2)
解析:(1)如图,
取BC的中点F,连接AF交DB的中点O,连接OP,
由,所以,
由是边长为6的等边三角形,且,
所以是边长为2的等边三角形,所以,,
在直角中,,
在中,,
所以,又,所以平面BCED,
又因为平面PDB,所以平面平面BCED.
(2)由(1)知:OF,DB,OP两两垂直,建立如下图所示坐标系,
在底面ABC中,由题意可知,且,
所以,,,,,
所以,,,,
设为平面PBD的一个法向量,所以,
即,令,所以,,即,
设为平面PCE的一个法向量,所以,
即,令,所以,,
即,设平面PDB与平面PEC所成锐二面角的平面角为,
则,所以.
所以平面PDB与平面PEC所成锐二面角的平面角的正弦值为.
20.答案:(1)
(2)见解析
解析:(1)因为的渐近线方程为,所以,所以.
又右焦点到渐近线的距离为,所以,得.
又因为,所以,所以.所以双曲线的标准方程为;
(2)由(1)可知的方程为,
设,所以有,过点M作与平行的直线分别与双曲线交于点,
由,得,
整理得,所以,
由于,故,
则,故,
所以.同理可得.所以直线恒过定点.
21.答案:(1)见解析
(2)见解析
解析:(1)若,则,,
所以,又与在上单调递增,所以在上单调递增,
又,所以当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,所以在处取得极小值即最小值,所以.
(2)因为,,,
所以,显然与在上单调递增,
所以在上单调递增,当时,时,
所以存在使得,所以当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
又,由(1)可知时有,此时,显然符合;
①若时,有,
由上单调递增,且,
所以存在使得,要使的解集为集合的子集,
而的解集为,因为,所以,
又上单调递增,所以,即有,
则,令,,则,
所以在上单调递增,因为,所以,此时;
②若时,所以,
又在上单调递减,时,所以
所以存在使得,则不等式的解集为,
因为,又,所以只需,
又显然成立,所以,符合题意;综上可得.
22.答案:(1)见解析
(2)见解析
解析:(1)由C的参数方程消去参数t,得C的普通方程为.
(2)根据(1),设,,,(,且),则,,
因为,所以,得,又,
因为,所以,即,因为A,P,B三点共线,所以,
即,整理得,把和,代入上式,
得,故点P轨迹的极坐标方程为.
23.答案:(1)
(2)
解析:(1)当时,,
由,得或或,解得,
所以不等式的解集为;
(2)等价于,由,得,
因为,当且仅当时,取等号,
所以,解得或,所以,a的取值范围为.
班号
1
2
3
4
人数
30
40
20
10
X
1
2
3
4
P
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