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    四川省兴文第二中学校2024届高三下学期开学考试数学(理)试卷(含答案)

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    这是一份四川省兴文第二中学校2024届高三下学期开学考试数学(理)试卷(含答案),共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.复数的虚部为( )
    A.B.C.D.
    2.已知集合,,则( )
    A.B.C.D.
    3.等差数列满足,,则( )
    A.5B.7C.9D.11
    4.已知向量,满足且,则在上的投影向量为( )
    A.B.C.D.
    5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱,问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲,乙,丙,丁,戊,己6名航天员开展实验,其中天和核心舱安排4人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲,乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有( )
    A.14种B.16种C.18种D.20种
    6.“”是“函数是奇函数”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    7.已知(,)的展开式中含x项系数为75,则含项系数的最小值为( )
    A.1156B.1157C.1160D.1188
    8.若,则( )
    A.8B.25C.16D.4
    9.设函数的最小正周期为,将的图象向左平移个单位得函数的图象,则( )
    A.在上单调递减B.在上单调递减
    C.在上单调递增D.在上单调递增
    10.已知直三棱柱存在内切球,若,,,则该三棱柱外接球的表面积为( )
    A.B.C.D.
    11.已知等比数列的前n项和为,,则使得不等式成立的正整数m的最大值为( )
    A.9B.10C.11D.12
    12.已知函数,,,,若,,则( )
    A.B.C.D.
    二、填空题
    13.已知实数x,y满足,则的最大值为________.
    14.若,则________.
    15.双曲线的左,右焦点分别为,,P为右支上一点,且,的内切圆圆心为I,与切于点A,直线PI交x轴于点Q,若,则双曲线的离心率为________.
    16.如图,在长方体中,,,动点E,F分别在线段AB和上.给出下列四个结论:
    ①;
    ②不可能是等边三角形;
    ③当时,;
    ④至少存在两组E,F,使得三棱锥的四个面均为直角三角形.
    其中所有正确结论的序号是________.
    三、解答题
    17.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设的外接圆半径为R,且.
    (1)求A;
    (2)若,,求的面积.
    18.2023年9月23日至2023年10月8日,第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛,其中1班,2班,3班,4班报名人数如下:
    该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛,每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答,至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.
    (1)求各班参加竞赛的人数;
    (2)2班的小张同学被抽中参加竞赛,若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对,记他答对的题目数为X,求X的分布列及数学期望;
    (3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为,求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率.
    19.如图甲,已知是边长为6的等边三角形,D,E分别是AB,AC的点,且,将沿着DE翻折,使,点A到达点P处使得,得到四棱锥,如图乙.
    (1)求证:平面平面BCED;
    (2)求平面PDB与平面PEC所成锐二面角的正弦值.
    20.已知双曲线的渐近线为,右焦点F到渐近线的距离为,设是双曲线上的动点,过M的两条直线,分别平行于的两条渐近线,与分别交于P,Q两点.
    (1)求的标准方程:
    (2)证明:直线PQ过定点,并求出该定点的坐标.
    21.已知函数,.
    (1)若,求证:;
    (2)若关于x的不等式的解集为集合B,且,求实数的取值范围.
    22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
    (1)写出C的普通方程;
    (2)若A,B是C上异于坐标原点O的两动点,且,,并与线段AB相交于点P,求点P轨迹的极坐标方程.
    23.已知函数.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若,求的取值范围.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:,其虚部为1.
    故选:A.
    2.答案:D
    解析:由题意可得:,
    ,
    所以.
    故选:D.
    3.答案:B
    解析:设等差数列的公差为d,
    因为,解得,
    所以.
    故选:B.
    4.答案:D
    解析:,
    则,,
    故在上的投影向量为:
    故选:D.
    5.答案:C
    解析:若甲,乙都不在天和核心舱,则共有种,
    若甲和乙有一人在天和核心舱,则共有,
    所以共有种.
    故选:C.
    6.答案:A
    解析:当函数为奇函数,
    则,
    解得,
    所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.
    故选:A.
    7.答案:D
    解析:
    8.答案:B
    解析:,
    ,
    ,
    故选:B.
    9.答案:A
    解析:
    10.答案:D
    解析:因为,,,故,
    故的内切圆的半径为,
    因为直三棱柱存在内切球,故直三棱柱的高即为内切球的直径.
    而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径,故内切球的半径为1,
    故直三棱柱的高为2.
    将直三棱柱补成如图所示的长方体,则外接球的直径即为该长方体的体对角线,
    故外接球的半径为,
    故外接球的表面积为.
    故选:D.
    11.答案:C
    解析:
    12.答案:B
    解析:设,
    则在上单调递减,
    ,故,即,
    ,
    设,则,
    故在上单调递增,
    ,故,
    即,
    ,
    由于,,故,
    则,即,A错误,B正确;
    由,,无法确定还是,C,D错误.
    故选:B.
    13.答案:11
    解析:由约束条件,画出可行域,如图:
    令,化为斜截式方程得,
    由图可知,当直线过点B时,直线在y轴上的截距最大.
    由得,即.
    所以点代入目标函数可得最大值,即最大值为.
    故答案为:11.
    14.答案:,0
    解析:由题设可得,
    若,则,
    这与矛盾,,
    故,即,
    故或,
    故答案为:0或.
    15.答案:3
    解析:记c为双曲线半焦距,
    由内角平分线定理得,
    即,
    解得,
    设,与圆切于点D,E,
    则,,,
    则,
    设,
    则,
    即,
    则,
    又,
    即,
    解得.
    故答案为:3.
    16.答案:①②④
    解析:由题意,长方体中,E到平面的距离为1,F到边的距离为2,
    ,故①正确;
    由图可知,的最小值为2,若,则,
    ,
    若此时,则,
    ,
    则,即取最小值为2时,,EF不能同时取得2,当变大时,,EF不可能同时大于2,
    不可能是等边三角形,故②正确;以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,
    则,设,,
    ,,
    由,可得,
    ,,
    由题意得与EF不恒相等,只有时才成立,故③错误;
    当E为AB中点,F与C重合时,如图,
    此时,,,
    ,,
    ,,
    ,,,
    ,
    ,三棱锥的四个面均为直角三角形,
    当E与B重合,F与C重合时,如图,
    由题意得,,,,
    三棱锥的四个面均为直角三角形,综上,至少存在两组E,F,使得三棱锥的四个面均为直角三角形,故④正确.
    故答案为:①②④.
    17.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)因为,故,
    整理得到即,
    所以,而,故.
    (2)由余弦定理可得,
    故,解得,故.
    18.答案:(1)见解析
    (2)
    解析:(1)各班报名人数总共100人,抽取10人,抽样比为,
    故班分别抽取(人),(人),(人),(人).
    (2)由题意,X的可能取值为1,2,3,4,
    ,,
    ,,
    所以X的分布列为:
    (3)由题意,1班每位同学获奖的概率为,设1班获奖人数为,则,
    所以至少1人获奖的概率为.
    19.答案:(1)见解析
    (2)
    解析:(1)如图,
    取BC的中点F,连接AF交DB的中点O,连接OP,
    由,所以,
    由是边长为6的等边三角形,且,
    所以是边长为2的等边三角形,所以,,
    在直角中,,
    在中,,
    所以,又,所以平面BCED,
    又因为平面PDB,所以平面平面BCED.
    (2)由(1)知:OF,DB,OP两两垂直,建立如下图所示坐标系,
    在底面ABC中,由题意可知,且,
    所以,,,,,
    所以,,,,
    设为平面PBD的一个法向量,所以,
    即,令,所以,,即,
    设为平面PCE的一个法向量,所以,
    即,令,所以,,
    即,设平面PDB与平面PEC所成锐二面角的平面角为,
    则,所以.
    所以平面PDB与平面PEC所成锐二面角的平面角的正弦值为.
    20.答案:(1)
    (2)见解析
    解析:(1)因为的渐近线方程为,所以,所以.
    又右焦点到渐近线的距离为,所以,得.
    又因为,所以,所以.所以双曲线的标准方程为;
    (2)由(1)可知的方程为,
    设,所以有,过点M作与平行的直线分别与双曲线交于点,
    由,得,
    整理得,所以,
    由于,故,
    则,故,
    所以.同理可得.所以直线恒过定点.
    21.答案:(1)见解析
    (2)见解析
    解析:(1)若,则,,
    所以,又与在上单调递增,所以在上单调递增,
    又,所以当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,所以在处取得极小值即最小值,所以.
    (2)因为,,,
    所以,显然与在上单调递增,
    所以在上单调递增,当时,时,
    所以存在使得,所以当时,当时,
    所以在上单调递减,在上单调递增,
    又,由(1)可知时有,此时,显然符合;
    ①若时,有,
    由上单调递增,且,
    所以存在使得,要使的解集为集合的子集,
    而的解集为,因为,所以,
    又上单调递增,所以,即有,
    则,令,,则,
    所以在上单调递增,因为,所以,此时;
    ②若时,所以,
    又在上单调递减,时,所以
    所以存在使得,则不等式的解集为,
    因为,又,所以只需,
    又显然成立,所以,符合题意;综上可得.
    22.答案:(1)见解析
    (2)见解析
    解析:(1)由C的参数方程消去参数t,得C的普通方程为.
    (2)根据(1),设,,,(,且),则,,
    因为,所以,得,又,
    因为,所以,即,因为A,P,B三点共线,所以,
    即,整理得,把和,代入上式,
    得,故点P轨迹的极坐标方程为.
    23.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)当时,,
    由,得或或,解得,
    所以不等式的解集为;
    (2)等价于,由,得,
    因为,当且仅当时,取等号,
    所以,解得或,所以,a的取值范围为.
    班号
    1
    2
    3
    4
    人数
    30
    40
    20
    10
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    2
    3
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