四川省兴文第二中学校2024届高三下学期开学考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省兴文第二中学校2024届高三下学期开学考试数学（文）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数的虚部为( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知甲,乙两人进行篮球罚球训练,每人练习10组,每组罚球40个,每组命中个数的茎叶图如图所示,则下列结论错误的是( )
A.甲命中个数的极差为29B.乙命中个数的众数是21
C.甲的命中率比乙高D.甲每组命中个数的中位数是25
4．等差数列满足,,则( )
A.5B.7C.9D.11
5．已知向量,满足且,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
6．“”是“函数是奇函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．若,则( )
A.8B.25C.16D.4
8．设x,y为正数,若,则的最小值为( )
A.6B.9C.12D.15
9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则下列说法正确的是( )
A.B.的最小正周期是
C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减
10．过直线上一点P作圆的两条切线,切点分别是A,B,则四边形MAPB的面积最小值是( )
A.1B.C.2D.
11．已知直三棱柱存在内切球,若,,,则该三棱柱外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
12．已知函数,,,,若,,则( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知实数x,y满足,则的最大值为________.
14．已知向量,,若,则________.
15．若,则________.
16．双曲线的左,右焦点分别为,,P为右支上一点,且,的内切圆圆心为I,与切于点A,直线PI交x轴于点Q,若,则双曲线的离心率为________.
三、解答题
17．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设的外接圆半径为R,且.
（1）求A;
（2）若,,求的面积.
18．如图,四棱锥的底面ABCD是边长为的菱形,,,,平面平面ABCD,E,F分别为CD,PB的中点.
（1）证明:平面PAE;
（2）求点A到平面PEF的距离.
19．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组（不加药物）和实验组(加药物).
测得40只小鼠体重如下(单位:g):(已按从小到大排好)
对照组:17.3,18.4,20.1,20.4,21.5,23.2,24.6,24.8,25.0,25.4
26.1,26.3,26.4,26.5,26.8,27.0,27.4,27.5,27.6,28.3
实验组:5.4,6.6,6.8,6.9,7.8,8.2,9.4,10.0,10.4,11.2
14.4,17.3,19.2,20.2,23.6,23.8,24.5,25.1,25.2,26.0
（1）求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面列联表:
（2）根据列联表,能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
附:,其中.
20．设抛物线,直线与C交于A,B两点,且.
（1）求p;
（2）若在x轴上存在定点M,使得,求定点M的坐标.
21．已知函数,,令.
（1）当时,求函数的单调递增区间;
（2）若关于x的不等式恒成立,求整数m的最小值.
22．在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出C的普通方程;
（2）若A,B是C上异于坐标原点O的两动点,且,,并与线段AB相交于点P,求点P轨迹的极坐标方程.
23．已知函数.
（1）当时,求不等式的解集;
（2）若,求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：,其虚部为1.
故选:A.
2．答案：D
解析：由题意可得:,
,
所以.
故选:D.
3．答案：D
解析：A.甲的最大值是37,最小值是8,极差为,故A正确,
B.乙命中个数的众数是21,故B正确,
C.由茎叶图知甲的命中数集中在20附近,而乙的数值集中在10左右,故甲的命中率高,故C正确,
D.甲的中位数为,故D错误,故选:D.
4．答案：B
解析：设等差数列的公差为d,
因为,解得,
所以.
故选:B.
5．答案：D
解析：,
则,,
故在上的投影向量为:
故选:D.
6．答案：A
解析：当函数为奇函数,
则,
解得,
所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.
故选:A.
7．答案：B
解析：,
,
,
故选:B.
8．答案：B
解析：,y为正数,,
,
当且仅当时取等号.
最小值为9.
故选:B.
9．答案：C
解析：将的图象向右平移个单位,
,
对于A,由,故错误;
对于B,的最小正周期是,故错误;
对于C,令,,解得,,可得在区间上单调递增,故正确;
对于C,令,,解得,,当时,单调递减区间为,故错误.
故选:C.
10．答案：D
解析：圆的圆心为,
半径,
圆心M到直线的距离,故的最小值是3,
又,,
的面积最小值是,
则四边形MAPB的面积的最小值是,故选:D.
11．答案：D
解析：因为,,,故,
故的内切圆的半径为,
因为直三棱柱存在内切球,故直三棱柱的高即为内切球的直径.
而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径,故内切球的半径为1,
故直三棱柱的高为2.
将直三棱柱补成如图所示的长方体,则外接球的直径即为该长方体的体对角线,
故外接球的半径为,
故外接球的表面积为.
故选:D.
12．答案：B
解析：设,
则在上单调递减,
,故,即,
,
设,则,
故在上单调递增,
,故,
即,
,
由于,,故,
则,即,A错误,B正确;
由,,无法确定还是,C,D错误.
故选:B.
13．答案：11
解析：由约束条件,画出可行域,如图:
令,化为斜截式方程得,
由图可知,当直线过点B时,直线在y轴上的截距最大.
由得,即.
所以点代入目标函数可得最大值,即最大值为.
故答案为:11.
14．答案：
解析：
15．答案：,0
解析：由题设可得,
若,则,
这与矛盾,,
故,即,
故或,
故答案为:0或.
16．答案：3
解析：记c为双曲线半焦距,
由内角平分线定理得,
即,
解得,
设,与圆切于点D,E,
则,,,
则,
设,
则,
即,
则,
又,
即,
解得.
故答案为:3.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,故,
整理得到即,
所以,而,故.
（2）由余弦定理可得,
故,解得,故.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,
,.
平面平面ABCD,且交线为AB,平面PAB,
平面ABCD,
平面ABCD,.
连接AC,AF,如图,
因为四边形ABCD是边长为的菱形,,
所以为等边三角形.
又因为E为CD的中点,所以,
又,平面PAE,平面PAE,所以平面PAE.
（2）设点A到平面PEF的距离为h,则,
因为,所以,又由（1）知,
又,平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,
又平面PAB,平面PAB,所以,,
又,,
又由,,,平面AEF,平面AEF,
所以平面AEF,且,,
所以,即,
所以点A到平面PEF的距离为.
19．答案：（1）见解析
（2）有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用
解析：（1）由所给数据可知40只小鼠体重的中位数为,
填二联表如下:
（2）由上表及卡方公式可知:
,
所以有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设,,由可得,
,所以,,所以
,
即,因为,解得:;
（2）假设x轴上存在定点使得,
由可得,,
所以,,
由题知,
即,
化简得:,解得,
则存在定点或.
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）当时,,(),
由,又,所以.
函数的单调递增区间为.
（2）关于x的不等式恒成立,即为
恒成立,
令,,
当可得恒成立,递增,无最大值,不成立;
当时,,
当,,递减,当,,递增,
则有取得极大值,且为最大值.
由恒成立思想可得,
即为,
显然不成立,时,即有成立.整数m的最小值为2.
22．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由C的参数方程消去参数t,得C的普通方程为.
（2）根据（1）,设,,,(,且),则,,
因为,所以,得,又,
因为,所以,即,因为A,P,B三点共线,所以,
即,整理得,把和,代入上式,
得,故点P轨迹的极坐标方程为.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,
由,得或或,解得,
所以不等式的解集为;
（2）等价于,由,得,
因为,当且仅当时,取等号,
所以,解得或,所以,a的取值范围为.
合计
对照组
实验组
合计
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40