专题7.1 平行线中的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项高分突破（苏科版）

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【典例1】将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若三角板如图1摆放时，则∠α= °，∠β= °．
（2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数；
（3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值．
【思路点拨】
（1）如图1中，过点E作EJ∥PQ，证明∠DEF=α+∠BAC，可得结论；
（2）如图2中，根据（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH ．利用角平分线的定义求出∠PEH，∠MBH，可得结论；
（3）分9种情形∶当AC∥DF时，当AC∥DE时，当AC∥EF时，当BC∥DF时，当BC∥ED时，当BC∥EF时，当AB∥DF时，当AB∥ED时，当AB∥EF时，分别讨论求出∠MBA的度数，可得结论．
【解题过程】
（1）解∶如图1中，过点E作EJ∥PQ，
∵PQ∥MN， PQ∥EJ，
∴EJ∥MN，
∴∠α=∠DEJ，∠JEA=∠BAC=45°，
∴∠DEF=α+∠BAC，
∵∠DEF=60°，
∴α=60°−45°=15°，
∵∠DFE=30°，β+∠DFE=180°，
∴β=180°−30°=150°，
故答案为∶ 45， 150 ；
（2）解：如图2中，
利用（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH ．
∵PQ∥MN，
∴∠QEA=∠BAC=45° ，
∴∠AEP=180°-45°=135°，
∵∠CBA=45°，
∴∠CBM=180°-45°= 135*，
∵HE， HB分别平分∠AEP，∠CBM，
∴∠PEH=12∠PEA=67.5°，∠MBH=12∠FBM=67.5°，
∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°；
（3）解：①当AC∥DF时，如图1，
易得此时BC∥ED ，
∵AC∥DF，易知E，F，A三点共线，∠DFE= ∠FAC=30°，
∴∠FAB=∠BAC-∠FAC=45-30°= 15°，∠BAM=∠FAM-∠FAB=45°-15°=30°，即15t=30，解得t=2；
②当AC∥DE时，如图2，
易得此时BC∥DF．过点A作AH∥BC，则AH∥ BC∥DF，
∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°，
∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°．
∴15t=120，
∴t=8，
③当AC∥EF时，情况不存在；④当BC∥DF时，同②；⑤当BC∥ED时，同①；
⑥当BC∥EF时，如图3，
此∠MAB=90°，即15t= 90，解得t=6；
⑦当AB∥DF时，如图4，
∵AB∥DF
∴∠BAF=∠DFE=30°，
∴∠MAB=∠MAF+∠BAF= 45°+30°=75°，即15t=75，解得t=5；
⑧当AB∥ED时，
∵AB∥ED，
∴∠FAB=180°-∠DEF=180°-60°=120°，
∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165°，
∴15t=165，
解得t=11；
⑨当AB∥EF时，此情况不存在．
综上所述，t的值为2或5或6或8或11．
1．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．
（1）如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；
（2）CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．
2．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：
（1）如图，AB∥CD∥EF，分别就图1、图2、图3写出∠A，∠C，∠AFC的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若AB∥CD，则∠A+∠C+∠AFC= 度；
（3）在图5中，若A1B∥AnD，请你用含n的代数式表示∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n的度数．
3．（2022春·四川广元·七年级统考期末）已知直线l1∥l2，直线l3和l1，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在直线l1，l2上，且位于直线l3的右侧，动点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
（1）如图1，当动点P在线段CD上运动时，求证：∠APB=∠CAP+∠DBP．
（2）如图2，当动点P在点C上方运动时（P，A，B不在同一直线上），请写出∠APB，∠CAP，∠DBP之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当动点P在点D下方运动时（P，A，B不在同一直线上），直接写出∠APB，∠CAP，∠DBP之间的数量关系．
4．（2022春·全国·七年级期末）已知：如图，AB∥CD，BG、FG 分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，BG、FG交于点G．
（1）求证：∠BGF＝90°；
（2）点M是直线AB上的动点，连接MG，过点G作GN⊥MG，交直线CD于点N，画出图形直线，写出∠MGE和∠NGF的数量关系 ；
（3）在（2）的条件下，当∠MGE＝20°，∠AEG＝40°时，求∠CNG的度数．
5．（2022春·重庆永川·七年级统考期末）已知：如图，AB∥CD．
（1）如图1，猜想并写出∠B、∠D、∠E之间的数量关系．以下图2、图3、图4是三种不同角度思考采用的不同添加辅助线的方式，请你选择其中的两种方式说明理由．
（2）在图4中，如果BE、DE分别平分∠ABD，∠CDB，则∠E的度数是多少？（直接写出答案）
（3）根据以上推理，直接写出图5、图6、图7中的∠B、∠D、∠E之间的数量关系．
6．（2022春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°