黑龙江省哈尔滨市南岗区第四十七中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考生须知：
1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟；
2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚；
3.请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效；
4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚；
5.保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液修正带、刮纸刀
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕，冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源；北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”是以熊猫为原型进行设计创作；北京冬季残奥会的吉祥物“雪容融”是以灯笼为原型进行设计创作．下列冬奥元素图片中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判定即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形，把一个图形沿着某条直线对称，图形两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，解题关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，进行计算即可求解．
【详解】解：A、 ，故该选项正确，符合题意；
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式是解题的关键．
3. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．
【详解】解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误；
B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确；
C、，选项计算错误；
D、不能进行因式分解，选项计算错误；
故选：B．
【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
B. 如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C. 等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D. 一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称图形
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的定义以及轴对称的性质可判断选项A和B；根据等腰三角形的性质可判断选项C；根据线段的性质可判断选项D．
【详解】解：A．如果两个三角形全等，则它们不一定关于某条直线成轴对称的图形，故本选项不合题意；
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，说法正确，故本选项符合题意；
C．等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形或者说等腰三角形被中线所在直线分成的两个三角形成轴对称，故本选项不合题意；
D．一条线段是关于经过该线段中点且和线段垂直的直线成轴对称的图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握性质进行逐一判断．
5. 已知 ，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据积的乘方的性质计算，然后再根据单项式除单项式的法则计算即可．
【详解】a2÷2b=(1.6×109)2÷(8×103)=(2.56×1018)÷(8×103)= .
故选D.
【点睛】此题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解题关键在于掌握运算法则.
6. 把多项式分解因式，下列结果正确的是（ ）
A. x(3x+1)(x-3)B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用提公因式法将提出，此时不难发现括号里是完全平方公式，继续利用公式因式分解即可.（注：因式分解要彻底！）
【详解】
=
=
故选D.
【点睛】此题考查的是因式分解，需先用提公因式法因式分解，再用公式法因式分解. （注：因式分解要彻底！）
7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A. 25B. 22C. 19D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8. 若，则( )
A. 5B. 1C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】把变形后整体代入求值即可．
【详解】∵，
∴
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
9. 已知，，则（ ）
A. 19B. 25C. 31D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的运用．根据完全平方公式结合题意，将两边平方，利用完全平方公式展开，得到，由，即可求出值．
【详解】解：，
，即，
，
，
故选：A．
10. 如图，在ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF＝BC；②∠DEB＝45°，③AE＝CE+2BD，④若∠CAE＝30°，则，正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】①②只要证明ADF≌CDB即可解决问题；③易证DMF≌DNB，想办法证明AE﹣CE＝BC+EF﹣EC＝EF+BE＝2DN＜2BD即可；④如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH，想办法证明BFH是等边三角形，AC＝AH即可解决问题．
【详解】解：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠DAF＝∠DCB，
∵∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴AD＝DC，
∴ADF≌CDB，
∴AF＝BC，DF＝DB，故①正确，
∴∠DFB＝∠DBF＝45°，
过点D作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，
∵ADF≌CDB，
∴S△ADF＝S△CDB，
∴
∵AF＝BC，
∴DM＝DN，
∴∠DEB＝∠DEA＝45°，故②正确，
∵∠DMF＝∠DNB＝90°，DM＝DN，∠MFD＝∠NBD，
∴DMF≌DNB，
∴MF＝BN，
∵∠DME＝∠DNE＝90°，∠DEB＝∠DEA＝45°，DE＝DE，
∴DME≌DNE，
∴EM＝EN，
∴EF+EB＝EM﹣FM+EN+NB＝2EM＝2DN，
∵AE﹣CE＝BC+EF﹣EC＝EF+BE＝2DN＜2BD，
∴AE﹣CE＜2BD，即AE＜EC+2BD，故③错误，
如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．
∵∠CAE＝30°，∠CAD＝45°，∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝15°，∠AFD＝75°，
∵∠DFB＝45°，
∴∠AFB＝120°，
∴∠BFH＝60°，
∵FH＝BF，
∴BFH是等边三角形，
∴BF＝BH，
∵BC⊥FH，
∴FE＝EH，
∴CF＝CH，
∴∠CFH＝∠CHF＝∠AFD＝75°，
∴∠ACH＝75°，
∴∠ACH＝∠AHC＝75°，
∴AC＝AH，
∵AF+FB＝AF+FH＝AH，
∴AF+BF＝AC，故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 若，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】任何不为零的数的零次幂都等于零，根据定义解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了零指数幂定义，熟记定义是解题的关键．
12. 分解因式：=_________________________．
【答案】．
【解析】
详解】试题分析：原式==．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
13. 点关于x轴对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14. 等腰的顶角为30°，腰长为6，则______．
【答案】
【解析】
【分析】作，在中，根据，求出的长，在中，以为底，为高，即可求解，本题考查了含角的直角三角形，解题的关键是：灵活应用求三角形面积的多种方式．
【详解】解：设，，过点，作，垂足为，
，，
，
，
故答案为：．
15. 已知10x＝7，10y＝21，则10x﹣y＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】逆用同底数幂的除法法则进行计算即可．
【详解】∵10x＝7，10y＝21，
∴10x﹣y＝10x÷10y＝7÷21＝．
故答案为．
【点睛】本题主要考查的是同底数幂的除法，逆用同底数幂的除法法则是解题的关键．
16. 若是一个完全平方式，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式：，进行计算即可得．
【详解】解：∵是一个完全平方公式，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式．
17. 如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为_____．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠性质可知，通过等边三角形的性质可得，，，由得到，再利用三角形的外角性质即可求出，熟练掌握边三角形和折叠的性质是解题的关键．
【详解】由翻折性质可知：，
∵为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是由翻折得到，
∴，
故答案为：．
18. 已知，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为直线BC上一点，BP=AB，则∠APB的度数为___________ .
【答案】15°或75°
【解析】
【分析】由P为直线BC上一点，BP=AB，有两种情况：①若P在CB延长线上时，利用等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再利用外角性质即可求出∠APB；②如P在BC上时，两次利用等腰三角形的性质即可求出∠APB.
【详解】如图所示，由P直线BC上一点，BP=AB，有两种情况：
①若P在CB延长线上，即P1的位置时，
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠BAC）
=30°
又∵AB=BP1
∴∠BP1A=∠BAP1
∵∠ABC是△BP1A的外角
∴∠ABC=∠BP1A＋∠BAP1
∴∠AP1B=15°
②如P在BC上，即P2的位置时，
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠BAC）
=30°
又∵AB=BP2
∴∠BP2A=∠BAP2=（180°－∠ABC）
=75°
综上所述：∠APB=15°或75°
故答案为15°或75°.
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质：等边对等角和三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和.利用BP=AB进行分类讨论是此题需注意的地方.
19. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为______．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用线段垂直平分线的性质．根据对称性和等腰三角形的性质，连接交于点M，此时周长最小，进而可求解．
详解】解：如图：
连接交于点M，
∵等腰的底边长为6，点D为边的中点，
∴，
∵是腰的垂直平分线，连接，
∴，
此时的周长为：，
∵的长为3固定，
∴根据两点之间线段最短，的周长最小．
∵，
，
∴，
∴．
故答案为：13．
20. 如图：在△ABC中，∠ACB ＝90°，点D在边AB上，AD＝AC，点E在BC边上，CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，若AF＝2，BC＝8，则DF的长为_______
【答案】4
【解析】
【分析】延长AC至点G，使AG=AB，延长EF、CA交于H，根据题意证明△CEH≌CGB，即可得到DF=AD-AF=AC-AH=CH-2AF=BC-2AF，即可求解.
【详解】设∠BCD=a,∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-a，∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD=90°-a，∴∠CAB=2a,∴∠ABC=90°-2a,
∵EF⊥CD,∴∠DKF=90°，∴∠DFK=a，∴∠CEF=90°-a,
延长AC至点G，使AG=AB，连接BG,∴∠G=90°-a=∠CEF，
∵AC=AD,∴BD=CG=CE,
延长EF、CA交于H，
∴∠H=a=∠BFE=∠AFH，
∴AH=AF=2，
∵∠ACB=∠BCG=90°，CG=CE，∠G=∠CEF
∴△CEH≌CGB
∴BC=CH=8，
∴DF=AD-AF=AC-AH=CH-2AF=BC-2AF=4.
故填：4.
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
三、解答题（21题9分，22题6分，23题7分，24题8分，25－27每题10分，共计60分）
21. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）分别计算幂的乘方和积的乘方，再根据单项式乘以单项式法则计算即可；
（）直接利用多项式除以单项式法则计算即可；
（）根据乘法运算律逆运算即可求出结果；
本题考查了幂的乘方和积的乘方，单项式乘以单项式，多项式除以单项式，乘法运算律逆运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式，
，
；
【小问2详解】
解：原式，
；
【小问3详解】
解：原式，
，
．
22. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）作出关于y轴对称的三角形；
（2）经过的一个顶点及一边上的格点做一条直线，将三角形分成两个图形，使其中一个图形是轴对称图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置，然后顺次连接即可；
（2）根据轴对称的定义，按照题意要求画图即可．
【小问1详解】
解：如图：即为所求
【小问2详解】
解：如图：直线将分成两个图形，其中是轴对称图形．
23. 先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）+5xy]÷y，其中x＝﹣2，y＝1．
【答案】5y+x，3．
【解析】
【分析】原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
当时，
原式＝
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是利用完全平方公式，平方差公式正确化简原式．
24. 已知：点D是的边的中点，，，垂足分别为点E、F，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，连接交于点M，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的与面积相等的非等腰三角形．
【答案】24. 见解析
25. 图中所有的与面积相等的非等腰三角形是，，，
【解析】
【分析】（1）先证明，得到，再根据等腰三角形的判定，即得答案；
（2）先证明是等腰直角三角形，得到，，，然后证明，，得到，再证明，得到，，由此可推得答案．
【小问1详解】
证明：，，
，
点D是的中点，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
图中所有的与面积相等的非等腰三角形是，，，．
理由如下：
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
同理，
，，，
，
，，
，，
，，
．
图中所有的与面积相等的非等腰三角形是，，，．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，根据三角形的中线求面积，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
25. 如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．
（1）通道的面积共有多少平方米？
（2）剩余草坪的面积是多少平方米？
（3）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？
【答案】（1）通道的面积共有6ab+5b2平方米;（2）剩余草坪的面积是8a2+12ab+4b2平方米;（3）通道的宽度是2米.
【解析】
【分析】本题主要考查整式乘法在实际问题中的运用.
【详解】解：（1）
（2）长方形面积-通道的面积=剩余草坪的面积
（3），
通道的宽度为2m
【点睛】把通道都平移到一个顶点附近，使剩余的面积为一个大的长方形，能使这类题变的更简单.
26. 如图1等腰中，，点O在底边上（异于点B、D），点C是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点C为的“同型点”．
（1）如图1，当平分，，交于点O，，时，求证：点C是的“同型点”；
（2）如图2，在的正方形网格图上有一个，点A，B，C均在格点上，在给出的网格上有一个格点D，使得点D为的“同型点”，则满足条件的点D有______个；
（3）如图3，在四边形中，，，且，若点C为的“同型点”，请求出所有满足条件的的度数．
【答案】（1）见解析 （2）4
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质可得是等腰三角形，然后可求出，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到为等腰三角形，即点C是的“同型点”；
（2）找出所有在下方能使为等腰三角形的格点D即可；
（3）根据点C为的“同类点”可知为等腰三角形，然后分和两种情况，分别作出图形，并根据等边三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵当平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴等腰二角形，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，即点C是的“同类点”．
【小问2详解】
解：如图：这样的点D共有4个．
故答案为4．
【小问3详解】
解：∵，，且，点C为的“同型点；
①如图：当时，则，即是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，当时，则，
∴，
∴．
综上，的度数为或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质等知识点，正确理解“同型点”的定义是解题关键．
27. 在中，点在上，点在的延长线上，连接交于，，过点作的垂线，垂足为点．
（1）如图1，延长交线段于，当时，求证：；
（2）如图2，当时，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，的面积为9，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）的长为
【解析】
【分析】（1）由可得，由可得，，可证，结合时，根据三角形外角定理，根据等角对等边，即可求证，
（2）由，根据三角形外角定理，可得，由可得，求出，
在中，即可求解，
（3）作，由等腰直角三角形，可得，，结合，可得，用表示出，即可求解，
本题考查了等腰直角三角形的性质，等边对等角，三角形外角和定理，全等三角形的性质与判定，同底等高的三角形面积相等，解题的关键是：通过边长相等推导出角度之间的关系与面积之间的关系．
【小问1详解】
解：，
，
，
，，
又，
，
，
，
，整理得：，
，
【小问2详解】
解：，
，
，
，即：，
，
，
，
，
故答案为：，
【小问3详解】
解：作交于点，连接，
，，
，
由（1）得：，
，
，，
，即：，
，
，
，
，，
，即：，
，
，
，
，解得：，
故答案为：长为．