专题30 三角形中的边和角-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】周长为P的三角形中，最长边m的取值范围是（ ）
A．p3≤m＜p2B．p3＜m＜p2C．p3＜m≤p2D．p3≤m≤p2
【解答】解：三边相等时，m=p3，
三边不相等时，最长边m＜p2，
所以，p3≤m＜p2．
故选：A．
【巩固】已知等腰三角形ABC．
（1）若其两边长分别为2和3，求△ABC的周长；
（2）若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求△ABC的腰长．
【解答】解：（1）当2为底时，三角形的三边为3，2，3，可以构成三角形，周长为：3+2+3＝8；
当3为底时，三角形的三边为3，2，2，可以构成三角形，周长为：3+2+2＝7．
△ABC的周长为8或7．
（2）设三角形的腰为x，如图：
△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线，
则有AB+AD＝9或AB+AD＝18，分下面两种情况解．
a：x+12x＝9，
∴x＝6，
∴三边长分别为6，6，15，
∵6+6＜15，不符合三角形的三边关系，
∴舍去；
b：x+12x＝18，
∴x＝12，
∴三边长分别为12，12，3．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为12．
二、三角形的三线
【学霸笔记】
1.三角形的高：从顶点向它所对的边画垂线段，则顶点到垂足间的线段叫作这条边上的高，且三条高或其延长线相交于同一点，这个点叫作垂心；
2.三角形的中线：顶点与对边中点间的线段，且三角形三条中线相交于同一点，这个点叫作重心；
3.三角形的角平分线：顶点与角平分线和对边交点间的线段，三角形的三条角平分线相交于同一点，这个点叫作内心.
【典例】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为60，BD＝5，则△BDE的BD边上的高是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC＝60，
∴S△ABD=12S△ABC=12×60＝30，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△BDE=12S△ABD=12×30＝15，
设BD边上的高为h，BD＝5，
∴12⋅BD⋅h=12×5×h＝15，
∴h＝6．
故选：D．
【巩固】如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD＝2：1，
∴AE＝CE，
∴S△CGE＝S△AGE=13S△ACF，S△BGF＝S△BGD=13S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF=12S△ABC=12×12＝6，
∴S△CGE=13S△ACF=13×6＝2，S△BGF=13S△BCF=13×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．
故答案为：4．
三、三角形的角平分线
【典例】如图，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线且∠DBC＝∠ECB＝31°．求∠ABC和∠ACB的度数，它们相等吗？（写出简单过程）
【解答】解：相等，
由BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，可得
∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACE＝∠ECB=12∠ACB，
由∠DBC＝∠ECB＝31°，可得∠ABC＝∠ACB＝62°，
∴∠ABC＝∠ACB．
【巩固】
如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB．
（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数．
（2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝130°，
∴∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，
又∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，
又∵AD⊥BD，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°；
（2）DO是△DEG的角平分线，
理由：∵EF∥BC，DG∥AB，
∴四边形BGDE是平行四边形，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBG，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠GBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴四边形BGDE是菱形，
∴BD平分∠EDG，
∴DO是△DEG的角平分线．
巩固练习
1．已知三角形三边长a，b，c都是整数，并且a≤b＜c，若b＝7，那么这样的三角形共有（ ）个．
A．21B．28C．49D．14
【解答】解：根据已知，得
a的可能值有1，2，3，4，5，6，7．
根据三角形的三边关系，得
当a＝1时，则c不存在；
当a＝2时，则c＝8；
当a＝3时，则c＝8，9；
当a＝4时，则c＝8，9，10；
当a＝5时，则c＝8，9，10，11；
当a＝6时，则c＝8，9，10，11，12；
当a＝7时，则c＝8，9，10，11，12，13．
则这样的三角形有21个．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【解答】解：∵∠CDE＝160°，
∴∠ADE＝20°，
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠ADE＝20°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°．
故选：D．
3．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 ．
【解答】解：如图，连接AF，
∵△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，
∴S△ABFS△ADF=BFDF，S△BFCS△CDF=BFDF=53，S△BCFS△BEF=54，
∴S△AEF+4S△AFD=S△AEF+S△BFES△AFD=BFFD=S△BCFS△CDF=53，
S△AFD+3S△AEF=S△AFD+S△CDFS△AEF=CFFE=S△BCFS△BEF=54，
解得：S△AEF=10813，S△AFD=9613．
∴四边形AEFD的面积是S△AEF+S△ADF=10813+9613=20413，
故答案为：20413．
4．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＞∠C，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F=12（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABD+∠EBH．其中正确的是 （填序号）．
【解答】解：∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，故①正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正确；
∵∠ABD＝90°﹣∠BAC
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴2∠F＝∠BAC﹣∠C，
∴∠F=12（∠BAC﹣∠C），故③正确；
∵∠BGH＝∠ABD+∠BTG，∠CBE＝∠ABE，BE⊥TH，
∴∠BTG+∠ABE＝∠BHG+∠CBE＝90°，
∴∠BTG＝∠BHT，
显然∠CBE与∠BHT不一定相等，故④错误，
故答案为：①②③．
5．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 ．
【解答】解：①54°角是α，则友好角度数为54°；
②54°角是β，则12α＝β＝54°，
所以，友好角α＝108°；
③54°角既不是α也不是β，
则α+β+54°＝180°，
所以，α+12α+54°＝180°，
解得α＝84°，
综上所述，友好角度数为54°或84°或108°．
故答案为：54°或84°或108°．
6．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点D是AB的中点，点P从A点出发，沿线段AD以每秒2cm的速度运动到B．当点P的运动时间t＝ 秒时，△PCD的面积为6cm2．
【解答】解：∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD=12AB＝4cm，
又S△PCD＝6cm2，即12PD×BC＝6，
解得PD＝2cm，
当点P在点D左侧时，
PD＝2cm，则AP＝AD﹣PD＝4﹣2＝2（cm），
此时点P的运动时间t1=AP2=1s；
当点P在点D右侧时，
PD＝2cm，则AP＝AD+PD＝4+2＝6（cm），
此时点P的运动时间t2=AP2=3s，
综上，点P的运动时间为1或3s．
故答案为：1或3．
7．如图1，AD是△ABC的角平分线，E是AD延长线上一点，∠EBC＝90°-12∠ABC，∠ECB＝90°-12∠ACB．
（1）若∠BAC＝78°，求∠BEC的度数；
（2）若∠ABC＝42°，则∠AEC＝ 度，若∠ACB＝64°，则∠AEB＝ 度；
（3）如图2．若CF平分∠ACB交AD于点F，求证：CF⊥CE．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝78°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝102°．
∵∠EBC＝90°-12∠ABC，∠ECB＝90°-12∠ACB，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（90°-12∠ABC）﹣（90°-12∠ACB）＝180°﹣90°﹣90°-12（∠ABC+∠ACB）＝51°．
（2）∵∠ABC+∠BAE＝∠BDE，∠AEC+∠DCE＝∠BDE，
∴∠ABC+∠BAE＝∠AEC+∠DCE，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BAE﹣∠DCE．
∵AD是∠ABC的角平分线，
∴∠BAE=12∠BAC．
∵∠ECB＝90°-12∠ACB，∠ABC＝42°，
∴∠AEC＝∠ABC+12∠BAC﹣（90°-12∠ACB）
＝42°+12∠BAC﹣90°+12∠ACB
=12（∠BAC+∠ACB）+48°
=12（180°﹣∠ABC）+48°
＝21°．
∵∠ACB+∠DAC＝∠EDC，∠EBC+∠BEA＝∠EDC，
∴∠ACB+∠DAC＝∠EBC+∠BEA，
∴∠AEB＝∠ACB+∠DAC﹣∠EBC．
∵AD是∠ABC的角平分线，
∴∠DAC=12∠BAC．
∵∠EBC＝90°-12∠ABC，∠ACB＝64°，
∴∠AEB＝∠ACB+12∠BAC﹣（90°-12∠ABC）
＝64°﹣90°+12∠BAC+12∠ABC
＝64°﹣90°+12（180°﹣∠ACB）
＝32°．
故答案为：21，32；
（3）∵CF平分∠ACB，
∴∠FCB=12∠ACB．
∵∠EBC＝90°-12∠ABC，
∴∠FCE＝∠FCB+∠ECB=12∠ABC+（90°-12∠ABC）＝90°，
∴CF⊥CE．
8．如图所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，E是AC延长线上的一点，连接DE交BC于点M，∠ADE的平分线与∠ABC的平分线交于点P，∠ACB的平分线与∠DEC的平分线交于点Q，求证：∠P＝∠Q．
【解答】证明：∵∠ADM是△BDM 的外角，
∴∠BMD＝∠ADM﹣∠ABM．
∵∠ADE的平分线与∠ABC的平分线交于点P，
∴∠ADP=12∠ADM，∠ABP=12∠ABM，
∵∠ADP是△BDP的外角，
∴∠P＝∠ADP﹣∠ABP=12∠ADM-12∠ABM=12（∠ADM﹣∠ABM）=12∠BMD，
同理可得，∠Q=12∠CME，
又∵∠BMD＝∠CME，
∴∠P＝∠Q．
9．（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝60°，∠ADC＝140°，则∠AEC的大小是 ；
（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝α，∠ADC＝β（α＞β），求∠AEC的大小；（用含α，β的代数式表示）
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝α，∠ABC＝β（α＞β），AD是△ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，作EF⊥BC与点F，请问∠AEFα-β的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，延长CD，与AB交于点H，过点E作射线BF，
∵∠ADC＝∠DAH+∠AHD，∠ADC＝140°，
∴∠DAH+∠AHD＝140°，
∴∠AHD＝∠ABC+∠BCD，
∴∠ABC+∠BCD+∠DAH＝140°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCD+∠DAH＝80°，
∵∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，
∴∠BCE+∠BAE＝40°，
∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE，∠AEF＝∠ABE+BAE，
∴∠AEC＝∠CEF+∠AEF＝∠BCE+∠CBE+∠ABE+∠AEF＝∠ABC+∠BCE+∠BAE＝60°+40°＝100°，
故答案为：100°；
（2）过点C作射线AG，如图，
∴∠BCD＝∠BCG+∠DCG＝∠B+∠BAC+∠D+∠DAC＝α+β+∠BAD，
∵∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，
∴∠BAF=12∠BAD，∠BCE=12∠BCD=12α+12β+12∠BAD，
∵∠BFE＝∠B+∠BAF＝α+12∠BAD，
∴∠AEC＝∠BFE﹣∠BCE＝α+12∠BAD﹣（12α+12β+12∠BAD）=12(α-β)；
（3）∠AEFα-β的值不变，恒为12．理由如下：
∵∠ACB＝α，∠ABC＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝90°-12α-12β，
∴∠EDF＝∠B+∠BAD＝β+90°-12α-12β=90°-12α+12β，
∵EF⊥BC，
∴∠AEF＝90°﹣∠EDF=12（α﹣β），
∴∠AEFα-β=12，
故∠AEFα-β的值不变，恒为12．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠a．
（1）若点P在线段AB上，如图1，且∠a＝40°，则∠1+∠2＝ ；
（2）若点P在边AB上运动，如图2，则∠a，∠1，∠2之间的关系为 ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠a，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（4）若点P运动到△ABC外部，如图4，则∠a，∠1，∠2之间的关系为 ．
【解答】解：（1）∵∠1+∠CDP＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠1，
同理：∠CEP＝180°﹣∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，
∵∠C＝90°，
∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝90°+α＝90°+40°＝140°，
故答案为：130°；
（2）∵∠1+∠CDP＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠1，
同理：∠CEP＝180°﹣∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，
∵∠C＝90°，
∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝90°+α；
故答案为：∠1+∠2＝90°+α；
（3）如图3，∵∠1+∠CDF＝180°，
∴∠CDF＝180°﹣∠1，
∵∠CFD＝∠2+α，
根据三角形的内角和得，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴90°+180°﹣∠1+∠2+α＝180°，
∴∠1＝90°+∠2+α，
故答案为：∠1＝90°+∠2+α；
（4）如图4，∵∠PGD＝∠EGC，
∴∠2＝∠C﹣∠EGC＝90°﹣∠PGD，
∴∠PGD＝∠2﹣90°，
∵∠PDG＝180°﹣∠1，
根据三角形的内角和得，∠DPG+∠PDG+∠PDG＝180°，
∴α+180°﹣∠1+∠2﹣90°＝180°，
∴∠2＝90°+∠1﹣α．
故答案是：∠2＝90°+∠1﹣α．
11．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），OC＝4OB．
（1）若△ABC的面积为20，分别求点B、C的坐标；
（2）如图②，向x轴正方向移动点B，使∠ABC﹣∠ACB＝90°，作∠BAC的平分线AD交x轴于点D，求∠ADO的度数；
（3）如图③，在（2）的条件下，线段AD上有一动点Q，作∠DQP＝∠AQM，它们的边分别交y、x轴于点P、M两点，作∠FMG＝∠DMQ，试判断FM与PQ的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）设OB＝a，则OC＝4a，
∴BC＝5a，
由题意得，12×5a×4＝20，
解得，a＝2，
则OB＝2，则OC＝8，
∴点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）；
（2）∵∠ABC﹣∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°+∠ACB，
∴∠ACB+90°+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣2∠ACB
＝90°﹣2∠ACB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=12∠BAC＝45°﹣∠ACB，
则∠ADO＝∠DAC+∠ACB＝45°﹣∠ACB+∠ACB＝45°；
（3）FM⊥PQ，
理由如下：延长FM交QP于H，
设∠DQP＝∠AQM＝x，∠FMG＝∠DMQ＝y，
则∠DMH＝∠FMG＝y，
∠AQM＝∠QMD+∠QDM，即x＝y+45°，
∴∠1＝180°﹣∠DQP﹣∠ADO＝90°﹣y，
则∠2＝∠1＝90°﹣y，
∴∠2+∠DMH＝y+90°﹣y＝90°，
∴∠MHQ＝90°，即FM⊥PQ．