专题39 分式方程-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】计算（1）x2x+y-x+y；
（2）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯1(x+2005)(x+2006)．
【解答】解：（1）x2x+y-x+y，
=x2x+y-x2-y2x+y，
=y2x+y；
（2）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯+1(x+2005)(x+2006)，
=1x-1x+1+1x+1-1x+2+⋯+1x+2005-1x+2006，
=1x-1x+2006，
=2006x(x+2006)．
【巩固】实数x与y使得x+y，x﹣y，xy，xy四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x，y）．
二、求分式方程的取值范围
【典例】若以x为未知数的方程1x-1-a2-x=2(a+1)x2-3x+2无解，则a＝ ．
【解答】解：去分母得：x﹣2+a（x﹣1）＝2（a+1）
解得：x=3a+4a+1
当a+1＝0即a＝﹣1时，方程无解．
根据题意得：3a+4a+1=1时，解得a=-32；
当3a+4a+1=2时，解得：a＝﹣2
故答案是﹣1或-32或﹣2．
【巩固】若关于x的方程k(x-1)x+2k+1x2+x=1+2kx+1有且只有一个实数根，求实数k的所有可能值．
三、分式方程的应用
【典例】为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，
依题意：3600(1+20%)x-20=2700x，
解之得：x＝15．
经检验，x＝15是所列方程的根，且符合题意，
所以（1+20%）x＝18．
答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；
（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，
依题意：18a+15（100﹣a）≤1600，
解之得：a≤1003．
因为a是正整数，
所以a最大值＝33．
答：最多可购“科普类”图书33本．
【巩固】
某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．
（1）原来每天生产健身器械多少台？
（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？
巩固练习
1．若数a使关于x的不等式组x-12＜1+x3，5x-2≥x+a有且只有四个整数解，且使关于y的分式方程y+ay-1+2ay-1=1的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．2
2．若关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x＝c，x=2c，则关于x的方程的x+2x-1=a+2a-1的解是（ ）
A．a，2aB．a﹣1，2a-1C．a，2a-1D．a，a+1a-1
3．已知关于x的分式方程xx-2-3=k2-x的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣6B．k＞﹣2C．k＞﹣6且k≠﹣2D．k≥﹣6且k≠﹣2
4．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的数，如：min{3，5}＝3．按照这个规定，方程min{﹣2，﹣3}=3x-2-x2-x的解为（ ）
A．﹣2B．﹣3C．13D．34
5．已知关于x的方程x-1x-2-xx+1=ax+1x2-x-2无解，则a的值为 ．
6．解下列分式方程
（1）xx-2-1-x2(x-3)(x-2)=2xx-3；
（2）x+1x-1-4x2-1=1；
（3）y-2y-3=2-13-y．
7．如图，某小区有一块长为4a米（a＞1），宽为（4a﹣2）米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为（2a+1）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形用A型绿化方案，对正中间的长方形采用B型绿化方案．
（1）用含a的代数式表示采用A型绿化方案的四个正方形边长是 米，B型绿化方案的长方形的另一边长是 米．
（2）请你判断使用A型，B型绿化方案的面积哪个少？并说明理由．
（3）若使用A型，B型绿化方案的总造价相同，均为1350元，每平方米造价高的比低的多540(2a-1)2元，求a的值．
8．两个工程队共同参与一项筑路工程．若先由甲、乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队单独做15天可以完成，共需施工费810万元若由甲、乙合作完成此项工程共需36天，共需施工费828万元．
（1）求乙队单独完成这项工程需多少天
（2）甲、乙两队每天的施工费各为多少万元？
（3）若工程预算的总费用不超过840万元，则乙队最少施工多少天？
9．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1，2x-3x+1=2x+2-5x+1=2x+2x+1+-5x+1=2+-5x+1，则x+1x-1和2x-3x+1都是“和谐分式”．
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①x+1x；②2+x2；③x+2x+1；④y2+1y2
（2）将“和谐分式”a2-2a+3a-1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2-2a+3a-1= + ；
（3）应用：先化简3x+6x+1-x-1x÷x2-1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
10．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？