专题47 一元二次方程-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】若实数x，y满足x2﹣2xy+y2+x﹣y﹣6＝0，则x﹣y的值是（ ）
A．﹣2或3B．2或﹣3C．﹣1或6D．1或﹣6
【解答】解：设x﹣y＝m，则原方程可化为：
m2+m﹣6＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣3，
所以，x﹣y的值2或﹣3．
故选：B．
【巩固】已知方程x2+1x+3xx2+1=0，如果设xx2+1=y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 ．
二、含绝对值解一元二次方程
【典例】已知方程x2﹣|2x﹣1|﹣4＝0，则满足该方程的所有根之和为（ ）
A．2-6B．1-6C．0D．1
【解答】解：当2x﹣1≥0时，即x≥12，原方程化为：x2﹣2x﹣3＝0，
∵（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∵﹣1＜12，
∴x2＝﹣1（舍去），
∴x＝3，
当2x﹣1＜0，即x＜12时，原方程化为：x2+2x﹣5＝0，
∴（x+1）2＝6，
∴x+1＝±6，
∴x1＝﹣1+6，x2＝﹣1-6，
∵﹣1+6＞12，
∴x1＝﹣1+6（舍去），
∴x＝﹣1-6．
则3+（﹣1-6）＝2-6．
故选：A．
【巩固】已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（ ）
A．0B．﹣2C．2D．8
三、一元二次方程求值类问题
【典例】设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+3α+αβ＝ ．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴αβ＝﹣7，α2+3α﹣7＝0，
∴α2+3α＝7，
∴α2+3α+αβ＝7﹣7＝0；
故答案为：0．
【巩固】
已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则a2-2019a+2020a2+1的值为（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
巩固练习
1．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x﹣1的值为（ ）
A．±2B．0或﹣4C．0D．2
2．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x2﹣2[x]﹣3＝0的解的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．定义新运算△：a△b＝a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b﹣1），其中b为正整数．如果（x△3）△（2x）＝13，则x＝（ ）
A．1或-138B．1或0C．-138D．1
4．用配方法解方程x2+6x+5＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝﹣4B．（x﹣3）2＝﹣4C．（x+3）2＝4D．（x﹣3）2＝4
5．对于实数m，n，先定义一种新运算“※”如下：m※n=m2+n，(m≥n)n2+m，(m＜n)，若x※（﹣2）＝10，则实数x的值为 ．
6．方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1＝0的较大根为a，方程x2+2006x﹣2007＝0的较小根为b，则a﹣b＝ ．
7．设实数x满足方程|x2﹣1|﹣x|x+1|＝0，则x的值为 ．
8．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：
（1）2a2﹣4040a﹣3的值；
（2）代数式a2﹣2019a+2020a2+1的值．
9．已知关于x的方程x2+ax+b＝0（b≠0）与x2+cx+d＝0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab＝cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x2﹣x﹣6＝0与x2﹣2x﹣3＝0互为“同根轮换方程”．
（1）若关于x的方程x2+4x+m＝0与x2﹣6x+n＝0互为“同根轮换方程”，求m的值；
（2）若p是关于x的方程x2+ax+b＝0（b≠0）的实数根，q是关于x的方程x2+2ax+12b=0的实数根，当p、q分别取何值时，方程x2+ax+b＝0（b≠0）与x2+2ax+12b=0互为“同根轮换方程”，请说明理由．
10．阅读下列材料：
已知实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝63，试求x2+y2的值．
解：设x2+y2＝a，则原方程变为（a+1）（a﹣1）＝63，整理得a2﹣1＝63，a2＝64，根据平方根意义可得a＝±8，由于x2+y2≥0，所以可以求得x2+y2＝8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．
根据阅读材料内容，解决下列问题：
（1）已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值．
（2）填空：
①分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝ ．
②已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=9y=5，关于x，y的方程组a1x2-2a1x+b1y=c1-a1a2x2-2a2x+b2y=c2-a2的解是 ．
11．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．
（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=5时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．
12．已知方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）＝0，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）＝0（其中m，n都是正整数，且m≠n≠1）有一个公共根，求mn•nm的值．