04-专项素养综合全练（四）巧用乘法公式进行计算——2024年苏科版数学七年级下册精品同步练习

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专项素养综合全练(四)巧用乘法公式进行计算类型一　巧用乘法公式的变形求式子的值1.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求(1)a2+b2,ab的值;(2)a4+b4的值.2.已知x+1x=5,求x2+1x2的值.3.已知a-b=-4,ab=-3,求:(1)a(a-b)+b(2a+b)的值;(2)(a+b)(a2-b2)的值.类型二　巧用乘法公式进行简便运算4.运用乘法公式简便计算:(1)992;(2)201×199;(3)9982-4;(4)2 0232-2 024×2 022.类型三　巧用乘法公式解决整除问题5.【新考向·代数推理】请你说明:当n为自然数时,(n+7)2-(n-5)2能被24整除.6.【新考向·代数推理】对任意整数n,整式(3n+1)·(3n-1)-(3-n)(3+n)是不是10的倍数?为什么?类型四　巧用乘法公式进行计算7.计算:(1)(a-2b+c)2-(3a-2b+c)(3a+2b-c);(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).8.计算:(1)(m-2n)(m2-4n2)(m+2n);(2)(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1).类型五　巧用乘法公式解决换元问题9.【换元法】求202420232202420222+202420242-2的值.类型六　巧用乘法公式解决规律问题10.计算:(1)1002-992+982-972+…+42-32+22-12;(2)1−122×1−132×1−142×…×1−192×1−1102.类型七　巧用乘法公式解决实际问题11.【分类讨论思想】王老师在一次团体操队列队形设计中,先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形,且总人数不少于25人),人数正好够用,然后再进行各种队形变化,其中一个队形需分为5人一组,手执彩带变换图形,在讨论分组方案时,有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人,你说这可能吗?答案全解全析1.解析　(1)(a+b)2=a2+2ab+b2=7,①(a-b)2=a2-2ab+b2=3,②①+②,得2(a2+b2)=10,所以a2+b2=5.①-②,得4ab=4,所以ab=1.(2)因为ab=1,所以a2b2=1,所以a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=25-2×1=23.2.解析　因为x+1x=5,所以x+1x2=52,所以x2+2+1x2=25,所以x2+1x2=23.3.解析　(1)原式=a2-ab+2ab+b2=a2+ab+b2=(a-b)2+3ab,当a-b=-4,ab=-3时,原式=(-4)2+3×(-3)=16-9=7.(2)原式=(a+b)2(a-b)=[(a-b)2+4ab](a-b),当a-b=-4,ab=-3时,原式=[(-4)2+4×(-3)]×(-4)=(16-12)×(-4)=-16.4.解析　(1)原式=(100-1)2=10 000-200+1=9 801.(2)原式=(200+1)×(200-1)=40 000-1=39 999.(3)9982-4=9982-22=(998+2)×(998-2)=1 000×996=996 000.(4)原式=2 0232-(2 023+1)×(2 023-1)=2 0232-(2 0232-1)=2 0232-2 0232+1=1.5.证明　原式=(n+7+n-5)(n+7-n+5)=24(n+1),故当n为自然数时,(n+7)2-(n-5)2能被24整除.6.解析　对任意整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)·(3+n)是10的倍数.理由:(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=9n2-1-(9-n2)=9n2-1-9+n2=10n2-10=10(n2-1),所以对任意整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)是10的倍数.7.解析　(1)原式=[(a-2b)+c]2-[3a-(2b-c)][3a+(2b-c)]=(a-2b)2+c2+2c(a-2b)-[9a2-(2b-c)2]=a2+4b2-4ab+c2+2ac-4bc-(9a2-4b2-c2+4bc)=a2+4b2-4ab+c2+2ac-4bc-9a2+4b2+c2-4bc=-8a2+8b2+2c2-4ab+2ac-8bc.(2)原式=[(2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2.8.解析　(1)原式=(m-2n)(m+2n)(m2-4n2)=(m2-4n2)(m2-4n2)=m4-8m2n2+16n4.(2)原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1)=(x4-1)(x4+1)=x8-1.9.解析　设20 242 023=m,则原式=m2(m-1)2+(m+1)2-2=m2m2-2m+1+m2+2m+1−2=m22m2=12.10.解析　(1)原式=(1002-992)+(982-972)+…+(42-32)+(22-12)=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+…+(2+1)×(2-1)=100+99+98+97+…+2+1=100×(100+1)2=5 050.(2)原式=1−12×1+12×1−13×1+13×1−14×1+14×…×1−19×1+19×1−110×1+110=12×32×23×43×34×54×…×89×109×910×1110=12×1110=1120.11.解析　不可能.理由如下:因为全体队员可排成方阵,所以总人数为完全平方数,设排成方阵时每行m人,则总人数为m2,根据队形变化时5人一组,可考虑m为5n,5n+1,5n+2,5n+3,5n+4中的某种,n为正整数,从而m2可能为(5n)2=5n·5n,(5n+1)2=25n2+10n+1=5(5n2+2n)+1,(5n+2)2=25n2+20n+4=5(5n2+4n)+4,(5n+3)2=25n2+30n+9=5(5n2+6n+1)+4,(5n+4)2=25n2+40n+16=5(5n2+8n+3)+1,由此可得,无论哪种情形,总人数按每组5人分,要么正好,要么多出的人数是1或4,不可能多3人.