04-专项素养综合全练(四)三角形内角和的常见应用类型——2024年鲁教版数学七年级下册精品同步练习

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专项素养综合全练(四)三角形内角和的常见应用类型类型一　三角形内角和定理在求角度中的应用(2023山东济南期中)如图,在△ABC中,∠A=40°,∠B=56°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于点D,DF⊥CE于点F,求∠CDF的度数. 类型二　三角形内角和定理在折叠中的应用2.(2023辽宁本溪、铁岭、辽阳中考)如图,在三角形纸片ABC中,AB=AC,∠B=20°,点D是边BC上的动点,将三角形纸片沿AD折叠,使点B落在点B'处,当B'D⊥BC时,∠BAD的度数为　　　　. 类型三　三角形内角和定理在类比思想中的应用3.【新考向·新定义试题】(2022北京房山期末)如图,由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像∑,称为“∑形BAMCD”.（1）如图1,∑形BAMCD中,若AB∥CD,∠AMC=60°,则∠A+∠C=　　　　°; （2）如图2,连接∑形BAMCD中B,D两点,若∠ABD+∠BDC=160°,∠AMC=α,试猜想∠BAM与∠MCD之间的数量关系,并说明理由.　类型四　三角形内角和定理在转化思想中的应用4.(2023山东淄博期中)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(　　)A.180°　　　　B.260°　　　　C.270°　　　　D.360°类型五　三角形内、外角的关系在探究角的关系中的应用5.(2023山东东营广饶期中)如图①②③,若∠A=42°,∠1=∠2,∠3=∠4,则∠O1+∠O2+∠O3=(　　)A.84°　　　　B.111°　　　　C.225°　　　　D.201°类型六　方程思想在三角形内、外角的关系中的应用6.(2023福建泉州期末)如图,AD平分∠BAC,∠EAD=∠EDA.(1)∠EAC与∠B相等吗?为什么?(2)若∠B=50°,∠CAD∶∠E=1∶3,求∠E的度数.类型七　整体思想在三角形内、外角的关系中的应用7.【新考向·阅读理解试题】(2023陕西宝鸡凤翔期末)综合与探究:【情境引入】(1)如图1,BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线,说明∠D=90°+12∠A.　　【深入探究】(2)①如图2,BD,CD分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线,∠D与∠A之间的等量关系是　　　　; ②如图3,BD,CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线,BD,CD交于点D,探究∠D与∠A之间的等量关系,并说明理由.答案全解全析1.解析　在△ABC中,∠A=40°,∠B=56°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-56°=84°,∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=12∠ACB=12×84°=42°.∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∴∠BCD=90°-∠B=90°-56°=34°,∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=42°-34°=8°.∵DF⊥CE,∴∠CFD=90°,∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-8°=82°.2.答案　25°或115°解析　由折叠的性质得∠ADB'=∠ADB.∵B'D⊥BC,∴∠BDB'=90°.①当B'在BC下方时,如图,∵∠ADB+∠ADB'+∠BDB'=360°,∴∠ADB=12×(360°-90°)=135°,∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=25°;②当B'在BC上方时,如图,∵∠ADB+∠ADB'=90°,∴∠ADB=12×90°=45°,∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=115°.综上,∠BAD的度数为25°或115°.故答案为25°或115°.3.解析　(1)如图,延长AM交CD于E,∵AB∥CD,∴∠A=∠AEC,∴∠A+∠C=∠C+∠MEC=∠AMC=60°.故答案为60.(2)∠BAM+∠MCD=α+20°.理由:如图,过A点作AP∥CD交BD于点P,∴∠APB=∠D,∵∠BAP+∠APB+∠B=180°,∠B+∠D=160°,∴∠BAP=180°-160°=20°,由(1)可得∠AMC=∠PAM+∠MCD,∵∠AMC=α,∴∠PAM+∠MCD=α,∴∠BAM+∠MCD=α+20°.4.A　如图,∵∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E,∠A+∠1+∠C=180°,∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C=180°,故选A.5.D　∵∠A=42°,∠1=∠2,∠3=∠4,∴题图①中,∠2+∠4=12(∠1+∠2+∠3+∠4)=12×(180°-42°)=69°,故∠O1=180°-69°=111°;题图②中,∠O2=∠4-∠2=12×[(∠3+∠4)-(∠1+∠2)]=12∠A=21°;题图③中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-42°=138°,则∠1+∠2+∠3+∠4=180°+180°-138°=222°,故∠O3=180°-(∠2+∠3)=180°-12×222°=69°.∴∠O1+∠O2+∠O3=111°+21°+69°=201°,故选D.解析　(1)相等.理由如下:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∠EAD=∠EDA,∴∠EAC=∠EAD-∠CAD=∠EDA-∠BAD=∠B.(2)设∠CAD=x°,则∠E=3x°,由(1)知∠EAC=∠B=50°,∴∠EAD=∠EDA=(x+50)°.在△EAD中,∵∠E+∠EAD+∠EDA=180°,∴3x+2(x+50)=180,解得x=16.∴∠E=48°.解析　(1)证明:∵BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB,∵∠1+∠2+∠D=180°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠D=180°-∠1-∠2=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A.(2)①∵BD,CD分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线,∴∠DBC=12∠EBC=12(∠A+∠ACB),∠DCB=12∠FCB=12(∠A+∠ABC),∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-12(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°-12(180°+∠A)=90°-12∠A.故答案为∠D=90°-12∠A.②∠D=12∠A.理由如下:∵BD,CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线,∴∠DBC=12∠ABC,∠DCE=12∠ACE,∵∠ACE=∠A+∠ABC,∠DCE=∠D+∠DBC,∴∠D+12∠ABC=12(∠A+∠ABC),∴∠D=12∠A.