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07-专项素养综合全练(七)角平分线中常用的辅助线——2024年鲁教版数学七年级下册精品同步练习
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专项素养综合全练(七)角平分线中常用的辅助线类型一 已知角平分线作垂两边1.(2023河北保定月考)如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于D,OP=6 cm,点E是射线OB上的动点,则PE的最小值为( )A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm2.(2023山东枣庄市中月考)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,角平分线BE,CD相交于点P,若AP=4,AC=6,则S△APC=( )A.4 B.6 C.12 D.24类型二 已知角平分线作垂中间3.(2023辽宁丹东凤城期中)如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,若△PAB的面积为6 cm2,△PBC的面积为8 cm2,则△PAC的面积为( )A.2 cm2 B.2.5 cm2 C.3 cm2 D.4 cm24.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD交BD的延长线于E.求证:BD=2CE.类型三 已知角平分线截两边5.已知△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,分别交BC,AB于D,E,求证:AE+CD=AC.答案全解全析1.B ∵∠AOB=60°,OC平分∠AOB,∴∠AOP=30°,∵PD⊥OA,OP=6 cm,∴PD=12OP=3 cm,易知PE⊥OB时,PE的值最小,如图,过点P作PE'⊥OB于点E',∵OC平分∠AOB,PE'⊥OB,PD⊥OA,∴PE'=PD=3 cm,∴PE的最小值为3 cm.故选B.2.B 如图,过点P作PF⊥AC,垂足为F,∵BE,CD分别为∠ABC,∠ACB的平分线,∴AP为∠BAC的平分线,又∵∠BAC=60°,∴∠PAF=12∠BAC=30°,∵PF⊥AC,AP=4,∴PF=12AP=2,∴S△APC=12AC·PF=12×6×2=6.故选B.3.A 延长AP交BC于D,如图,∵BP平分∠ABC,AP⊥BP,∴∠ABP=∠DBP,∠APB=∠DPB=90°,∴∠PAB=∠PDB,∴BA=BD,∵BP⊥AD,∴AP=DP,∴S△PBD=S△PAB=6 cm2,∵S△PBC=8 cm2,∴S△PDC=2 cm2,∵AP=DP,∴S△PAC=S△PDC=2 cm2.故选A.4.证明 延长CE、BA交于F点,如图,∵BE⊥EC,∴∠BEF=∠CEB=90°,∴∠1+∠F=90°.∵∠1=∠2,∴∠F=∠BCF,∴BF=BC,∵BE⊥CF,∴2CE=2FE=CF,∵△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,∴∠1+∠ADB=90°,∵∠1+∠F=90°,∴∠ADB=∠F.∵在△ADB和△AFC中,∠ADB=∠F,∠BAD=∠FAC,AB=AC,∴△ADB≌△AFC(AAS),∴BD=FC,∴BD=2CE.5.证明 在△ABC中,∠B=60°,∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°.∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC,∠OCD=∠OCA=12∠ACB,在△OAC中,∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-12(∠BAC+∠ACB)=180°-12×120°=120°.∴∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°.在AC上截取AF=AE,连接OF,如图,在△AOE和△AOF中,AE=AF,∠OAE=∠OAF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF(SAS),∴∠AOE=∠AOF,∴∠AOF=60°.∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°.又∠COD=∠AOE=60°,∴∠COD=∠COF.在△COD和△COF中,∠COD=∠COF,OC=OC,∠OCD=∠OCF,∴△COD≌△COF(ASA),∴CD=CF.∴AC=AF+CF=AE+CD,即AE+CD=AC.
专项素养综合全练(七)角平分线中常用的辅助线类型一 已知角平分线作垂两边1.(2023河北保定月考)如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于D,OP=6 cm,点E是射线OB上的动点,则PE的最小值为( )A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm2.(2023山东枣庄市中月考)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,角平分线BE,CD相交于点P,若AP=4,AC=6,则S△APC=( )A.4 B.6 C.12 D.24类型二 已知角平分线作垂中间3.(2023辽宁丹东凤城期中)如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,若△PAB的面积为6 cm2,△PBC的面积为8 cm2,则△PAC的面积为( )A.2 cm2 B.2.5 cm2 C.3 cm2 D.4 cm24.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD交BD的延长线于E.求证:BD=2CE.类型三 已知角平分线截两边5.已知△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,分别交BC,AB于D,E,求证:AE+CD=AC.答案全解全析1.B ∵∠AOB=60°,OC平分∠AOB,∴∠AOP=30°,∵PD⊥OA,OP=6 cm,∴PD=12OP=3 cm,易知PE⊥OB时,PE的值最小,如图,过点P作PE'⊥OB于点E',∵OC平分∠AOB,PE'⊥OB,PD⊥OA,∴PE'=PD=3 cm,∴PE的最小值为3 cm.故选B.2.B 如图,过点P作PF⊥AC,垂足为F,∵BE,CD分别为∠ABC,∠ACB的平分线,∴AP为∠BAC的平分线,又∵∠BAC=60°,∴∠PAF=12∠BAC=30°,∵PF⊥AC,AP=4,∴PF=12AP=2,∴S△APC=12AC·PF=12×6×2=6.故选B.3.A 延长AP交BC于D,如图,∵BP平分∠ABC,AP⊥BP,∴∠ABP=∠DBP,∠APB=∠DPB=90°,∴∠PAB=∠PDB,∴BA=BD,∵BP⊥AD,∴AP=DP,∴S△PBD=S△PAB=6 cm2,∵S△PBC=8 cm2,∴S△PDC=2 cm2,∵AP=DP,∴S△PAC=S△PDC=2 cm2.故选A.4.证明 延长CE、BA交于F点,如图,∵BE⊥EC,∴∠BEF=∠CEB=90°,∴∠1+∠F=90°.∵∠1=∠2,∴∠F=∠BCF,∴BF=BC,∵BE⊥CF,∴2CE=2FE=CF,∵△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,∴∠1+∠ADB=90°,∵∠1+∠F=90°,∴∠ADB=∠F.∵在△ADB和△AFC中,∠ADB=∠F,∠BAD=∠FAC,AB=AC,∴△ADB≌△AFC(AAS),∴BD=FC,∴BD=2CE.5.证明 在△ABC中,∠B=60°,∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°.∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC,∠OCD=∠OCA=12∠ACB,在△OAC中,∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-12(∠BAC+∠ACB)=180°-12×120°=120°.∴∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°.在AC上截取AF=AE,连接OF,如图,在△AOE和△AOF中,AE=AF,∠OAE=∠OAF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF(SAS),∴∠AOE=∠AOF,∴∠AOF=60°.∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°.又∠COD=∠AOE=60°,∴∠COD=∠COF.在△COD和△COF中,∠COD=∠COF,OC=OC,∠OCD=∠OCF,∴△COD≌△COF(ASA),∴CD=CF.∴AC=AF+CF=AE+CD,即AE+CD=AC.
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